Économétrie

Texte intégral

(1)Économétrie e. 5 édition. Corrigés des exercices. William Greene New York University. Édition française dirigée par Didier Schlacther, IEP Paris, université Paris II Traduction : Nicolas Couderc, université Paris I Panthéon-Sorbonne Stéphanie Monjon, université Paris I Panthéon-Sorbonne. © 2008 Pearson Education France.

(2) Le présent ouvrage est la traduction de Solutions Manual to Econometric Analysis, 5th edition, de William Greene, publié par Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, États-Unis. Copyright © 2003 Pearson Education Inc.. Authorized translation from the English language edition, entitled Solutions Manual to Econometric Analysis, 5th edition published by Pearson Education Inc., publishing as Prentice Hall PTR, Copyright © 2003 by Pearson Education Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 07458. All rights reserved. No part of this book maybe reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson Education Inc., French language edition published by PEARSON EDUCATION France, Copyright © 2006.. Publié par Pearson Education France 47 bis, rue des Vinaigriers 75010 PARIS Tél. : 01 72 74 90 00. Structuration des documents et mise en pages : edito.biz. ISBN : 978-2-7440-7341-0 © 2008 Pearson Education France Tous droits réservés Tous les noms de produits ou marques cités dans ce document sont des marques déposées par leurs propriétaires respectifs. Toute reproduction, même partielle, par quelque procédé que ce soit, est interdite sans autorisation préalable. Une copie par xérographie, photographie, film support magnétique ou autre, constitue une contrefaçon passible des peines prévues par la loi, du 11 mars 1957 et du 3 juillet 1995, sur la protection des droits d’auteur.. © 2008 Pearson Education France.

(3) Table des matières. Chapitre 3 .................................................................................................................4 Chapitre 4 ...............................................................................................................10 Chapitre 5 ...............................................................................................................19 Chapitre 6 ...............................................................................................................25 Chapitre 7 ...............................................................................................................30 Chapitre 8 ...............................................................................................................36 Chapitre 9 ...............................................................................................................37 Chapitre 10 .............................................................................................................45 Chapitre 11 .............................................................................................................50 Chapitre 12 .............................................................................................................61 Chapitre 13 .............................................................................................................67 Chapitre 14 .............................................................................................................81 Chapitre 15 .............................................................................................................94 Chapitre 16 ...........................................................................................................103 Chapitre 17 ...........................................................................................................110 Chapitre 18 ...........................................................................................................117 Chapitre 19 ...........................................................................................................120 Chapitre 20 ...........................................................................................................126 Chapitre 21 ...........................................................................................................133 Chapitre 22 ...........................................................................................................142. Note au lecteur : Comme dans l’ouvrage principal, la traduction des termes techniques a été effectuée en tenant compte de l’usage français, mais l’expression anglo-saxonne est simultanément proposée. Nous avons adopté la norme française pour l’écriture des nombres décimaux. En revanche, nous avons conservé la norme anglo-saxonne dans toutes les sorties d’ordinateur. D. Schlacther. © 2008 Pearson Education France.

(4) 4. Économétrie. Chapitre 3 Exercice 1 ⎡ 1 x1 ⎤ . ⎥⎥ . Les équations normales sont données par (3-12), X′e = 0 , a. Soit X = ⎢⎢ . ⎢⎣ 1 xn ⎥⎦ donc, pour chaque colonne de X, xk, on sait que xk’e=0. Alors, ∑ i ei = 0 et ∑ i xi ei = 0.. b. Utiliser ∑ i ei = 0 pour conclure, à partir de la première équation normale, que a = y − bx .. (. ). c. On sait que ∑ i ei = 0 et ∑ i xi ei = 0 . Par conséquent, ∑ i xi − x ei = 0 et donc. (. ). ∑ i xi − x ( yi − a − bxi ) = 0. ou. (. )(. (. ∑ i xi − x yi − y − b xi − x. )) = 0 ,. ce qu’il. fallait démontrer.. Exercice 2 Écrire c sous la forme b + (c – b). Alors, la somme des carrés des résidus calculée avec le vecteur c est : (y – Xc)′(y – Xc) = [y – X(b + (c – b))]′[y – X(b + (c – b))] = [(y – Xb) + X(c – b)]′ [(y – Xb) + X(c – b)] = (y – Xb) ′(y – Xb) + (c – b) ′X′X(c – b) + 2(c – b) ′X′(y – Xb). Le troisième terme est nul, puisque 2(c – b) ′X′(y – Xb) = 2(c – b)X′e = 0. Donc, (y – Xc) ′(y – Xc) = e′e + (c – b) ′X′X(c – b) ou (y – Xc) ′(y – Xc) – e′e = (c – b) ′X′X(c – b) On peut réécrire le membre de droite sous la forme d′d avec d = X(c – b), donc il est nécessairement positif. Cela confirme ce que l’on savait déjà : les moindres carrés sont les moindres carrés…. © 2008 Pearson Education France.

(5) Chapitre 3. 5. Exercice 3 Le vecteur de résidus de la régression de y sur X est MXy = [I – X(X′X)–1X′]y. Le vecteur de résidus de la régression de y sur Z est : MZy = [I – Z(Z′Z)–1Z′]y = [I – XP((XP)′(XP))–1(XP)′)y = [I – XPP–1(X′X)–1(P′)–1P′X′)y = MXy Puisque les vecteurs de résidus sont identiques, la qualité des régressions doit être égale. Modifier les unités de mesure des variables explicatives revient à post-multiplier par une matrice diagonale P, dont le k-ième élément de la diagonale est le facteur d’échelle à appliquer à la k-ième variable explicative (ce facteur étant égal à 1 si on ne souhaite pas modifier l’échelle de cette variable). Partant du résultat précédent, on peut conclure que la modification des unités de mesure ne modifie pas la qualité de la régression.. Exercice 4 Dans la régression de y sur i et X, les coefficients de X sont b = (X′M0X)–1X′M0y. M0 = I – i(i′i)–1i′ est la matrice qui transforme les observations en écarts par rapport aux moyennes des colonnes. Puisque M0 est idempotente et symétrique, on peut réécrire l’équation précédente sous la forme [(X′M0′)(M0X)]–1(X′M0′M0y), ce qui implique que la régression de M0y sur M0X fournit les pentes des moindres carrés. Si seule la variable X est transformée, on peut alors calculer [(X′M0′)(M0X)]–1(X′M0′)y, ce qui revient au même. Cependant, si seule y est transformée, on obtient un résultat relativement différent : (X′X)–1X′M0y. On peut généraliser (6-24) pour comprendre ces résultats. Dans la formule, on assimile X1 à X, et X2 représente la colonne de 1 de sorte que b2 est la constante des moindres carrés. Ainsi, le vecteur de coefficients b, défini ci-dessus, devient b = (X′X)–1X′(y – ai). Mais a = y – b′ x donc b = (X′X)–1X′(y – i( y – b′ x )). On peut séparer ce résultat : (X′X)–1X′(y – i y )= b – (X′X)–1X′i(b′ x )= (I – n(X′X)–1 x x ′)b (Ce dernier résultat découle de X′i = n x ). Si les moyennes des régresseurs ne sont pas nulles, le vecteur de pentes qui résulte de la transformation sera différent du vecteur correct des coefficients des moindres carrés.. © 2008 Pearson Education France.

(6) 6. Économétrie. Exercice 5 M1M = (I – X1(X1′X1)–1X1′)(I – X(X′X)–1X′) = M – X1(X1′X1)–1X1′M Il n’est pas nécessaire de multiplier le second terme. Chaque colonne de MX1 est le vecteur des résidus de la régression de la colonne correspondante de X1 sur toutes les colonnes de X. Puisque ce x fait partie des colonnes de X, cette régression permet d’obtenir la régression parfaite ; les résidus sont donc nuls. Ainsi, MX1 est une matrice de zéros ce qui implique que M1M = M.. Exercice 6 On remarque que le dernier terme est es, le résidu obtenu grâce à la prédiction de ys réalisée à partir des coefficients fondés sur Xn et bn. On en conclut que la nouvelle observation ne modifie les résultats des moindres carrés que si la nouvelle observation sur y ne peut être parfaitement prédite par les informations déjà disponibles.. Exercice 7 Pour simplifier, on modifie l’ordre des variables de telle sorte que X = [i, Pd, Pn, Ps, Y]. Les trois variables dépendantes sont Ed, En, et Es. Y = Ed + En + Es. Les vecteurs de coefficients sont : bd = (X′X)–1X′Ed, bn = (X′X)–1X′En, et bs = (X′X)–1X′Es La somme des trois vecteurs est : b = (X′X)–1X′[Ed + En + Es] = (X′X)–1X′Y Puisqu’à présent Y est la dernière colonne de X, la somme précédente est le vecteur des coefficients des moindres carrés dans la régression de la dernière colonne de X sur toutes les colonnes de X, la dernière incluse. Évidemment, la régression est parfaite. De plus, X′[Ed + En + Es] est la dernière colonne de X′X. Le produit matriciel est donc égal à la dernière colonne d’une matrice identité. Ainsi, la somme des coefficients sur toutes les variables est nulle, à l’exception de la variable revenu, pour laquelle la somme des coefficients est égale à 1.. © 2008 Pearson Education France.

(7) Chapitre 3. 7. Exercice 8 2. On se fonde sur les résultats du problème précédent. Soit R K , le R2 ajusté de la 2. régression complète sur K variables dont xk, et R1 , le R2 ajusté de la régression partielle sur K – 1 variables (xk omis). Soit RK2 et R12 , les R 2 non ajustés. Alors, RK2 = 1 – e′e / y′M0y R12 = 1 – e1′e1 / y′M0y. Avec e′e la somme des carrés des résidus de la régression complète, e1′e1 la somme (supérieure) des carrés des résidus de la régression qui omet xk, et y′M0y = Σi (yi – y )2. Alors, 2. R K = 1 – [(n – 1) / (n – K)](1 – RK2 ). et 2. R1 = 1 – [(n – 1) / (n – (K – 1))](1 – R12 ). La différence s’explique par la variation du R2 ajusté lorsque xk est ajouté à la régression : 2. 2. R K – R1 = [(n – 1) / (n – K + 1)][e1′e1 / y′M0y] – [(n – 1) / (n – K)][e′e / y′M0y]. La différence est positive si et seulement si le ratio est supérieur à 1. Après avoir annulé les termes, pour que R2 augmente, il est nécessaire que e1′e1 / (n – K + 1)] / [(n – K) / e′e] > 1. Or on sait (voir problème précédent) que e1′e1 = e′e + bK2(xk′M1xk), avec M1 définie telle que ci-dessus et bk le coefficient des moindres carrés de la régression complète de y sur X1 et xk. Il faut donc que [(e′e + bK2(xk′M1xk))(n – K)] / [(n – K)e′e + e′e] > 1. Puisque e′e = (n – K)s2, on peut simplifier l’équation : [e′e + bK2(xk′M1xk)] / [e′e + s2] > 1. Puisque tous les termes sont positifs, la fraction est supérieure à 1 si et seulement si bK2(xk′M1xk) > s2 ou bK2(xk′M1xk / s2) > 1. Le dénominateur est la variance estimée de bk, ce qu’il fallait démontrer.. © 2008 Pearson Education France.

(8) 8. Économétrie. Exercice 9 On utilise les notations Var[.] et Cov[.] pour indiquer les variances et les covariances de l’échantillon. Nos informations sont : Var[N] = 1, Var[D] = 1, Var[Y] = 1 puisque C = N + D, Var[C] = Var[N] + Var[D] + 2Cov[N,D] = 2(1 + Cov[N,D]). Les régressions nous indiquent que : Cov[C,Y] / Var[Y] = Cov[C,Y] = 0,8 Mais, Cov[C,Y] = Cov[N,Y] + Cov[D,Y]. Également, Cov[C,N] / Var[N] = Cov[C,N] = 0,5. Mais, Cov[C,N] = Var[N] + Cov[N,D] = 1 + Cov[N,D], alors Cov[N,D] = –0,5. Donc,Var[C] = 2(1 + –0,5) = 1. Et, Cov[D,Y] / Var[Y] = Cov[D,Y] = 0,4. PuisqueCov[C,Y] = 0,8 = Cov[N,Y] + Cov[D,Y], Cov[N,Y] = 0,4. Finalement, Cov[C,D] = Cov[N,D] + Var[D] = –0,5 + 1 = 0,5. D’autre part, dans la régression de C sur D, la somme des carrés des résidus est : (n – 1){Var[C] – (Cov[C,D] / Var[D])2Var[D]}, car on sait que Σe2 = Σ(yi – y )2 – b2Σ(xi – x )2 On dispose maintenant de tous les résultats nécessaires à la réponse. Il suffit d’utiliser ces résultats et n – 1 = 20 pour établir que la somme des carrés des résidus est égale à 15.. Exercice 10 Calcul du R2. Pour cela, on doit utiliser les sous-matrices suivantes :. Investissement Constante PIB Intérêt. Investissement *. Constante 3,0500 15. PIB 3,9926 19,310 25,218. © 2008 Pearson Education France. Intérêt 23,521 111,79 148,98 943,86.

(9) Chapitre 3. 9. L’inversion du bloc 3 × 3 en bas à droite donne (X′X)–1 : –1. (X′X). =. 7,5874 –7,41859 0,27313. 7,84078 –0,598953. 0,06254637. Le vecteur de coefficients est b = (X′X)–1X′y = (–0,0727985, 0,235622, –0,00364866)′. La somme totale des carrés est y′y = 0,63652. Il est donc possible d’obtenir e′e = y′y – b′X′y. X′y est donné dans la ligne supérieure de la matrice. On trouve donc e′e = 0,63652 – 0,63291 = 0,00361. Pour calculer R2, il nous faut de plus Σi (xi – y )2 = 0,63652 – 15(3,05 / 15)2 = 0,01635333. Donc : R2 = 1 – 0,00361 / 0,0163533 = 0,77925.. Exercice 11 Les résultats fournis ne peuvent pas être corrects. Puisque ln S / N = ln S / Y + ln Y / N la même égalité doit exister dans les résultats de la régression par les moindres carrés. Cela signifie que la seconde équation estimée doit être égale à la première plus ln Y / N. En d’autres termes, tous les coefficients devraient être identiques entre les deux équations à l’exception du deuxième, qui devrait être égal à la valeur qu’il prend dans la première équation plus 1. On pourrait penser que l’erreur provient des arrondis, mais les écarts entre les coefficients sont trop importants pour que cette explication soit crédible.. © 2008 Pearson Education France.

(10) Chapitre 4 Exercice 1 Il faut examiner le problème d’optimisation qu’entraîne la minimisation de la variance de l’estimateur pondéré. Pour que l’estimateur ne soit pas biaisé, il doit être de forme ∧. ∧. c1 θ1 + c2 θ2 , avec la somme de c1 et c2 qui vaut 1. Ainsi, c2 = 1 – c1. La fonction à minimiser est Minc1L* = c12v1 + (1 – c1)2v2. La condition nécessaire est ∂L* / ∂c1 = 2c1v1 – 2(1 – c1)v2 = 0 qui implique que c1 = v2 / (v1 + v2). On aboutit à une forme plus intuitive en divisant le numérateur et le dénominateur par v1v2, ce qui donne c1 = (1 / v1) / [1 / v1 + 1 / v2]. Ainsi, le poids de chaque terme est proportionnel à l’inverse de sa variance. L’estimateur à la variance la plus faible obtient le poids le plus important.. Exercice 2 ∧. ∧. ∧. Tout d’abord, β = c′y = c′x + c′ε. Donc E[ β ] = βc′x et Var[ β ] = σ2c′c. Par conséquent, ∧. MSE[ β ] = β2[c′x – 1]2 + σ2c′c. Pour minimiser cette expression, on pose ∧. ∂MSE[ β ] / ∂c = 2β2[c′x – 1]x + 2σ2c = 0. On arrange les termes, β2(c′x – 1)x = –σ2c, on prémultiplie par x′ pour obtenir β2(c′x – 1)x′x = –σ2x′c oùc′x = β2x′x / (σ2 + β2x′x). Ensuite, c = [(–β2 / σ2)(c′x – 1)]x, donc c = [1 / (σ2 / β2 + x′x)]x. ∧. Et β = c′y = x′y / (σ2 / β2 + x′x). ∧. La valeur espérée de cet estimateur est E[ β ] = βx′x / (σ2 / β2 + x′x). Donc : ∧. E[ β ] – β = β(–σ2 / β2) / (σ2 / β2 + x′x) = –(σ2 / β) / (σ2 / β2 + x′x) alors que sa variance est Var[x′(xβ + ε) / (σ2 / β2 + x′x)] = σ2x′x / (σ2 / β2 + x′x)2. L’erreur quadratique moyenne est la variance plus le biais au carré, ∧. MSE[ β ] = [σ4 / β2 + σ2x′x] / [σ2 / β2 + x′x]2. © 2008 Pearson Education France.

(11) Chapitre 4. 11. L’estimateur des carrés ordinaires est, comme toujours, non biaisé et a pour variance et pour erreur quadratique moyenne :. MSE(b) = σ2 / x′x Le ratio se calcule en divisant chaque terme du numérateur : ⎡∧ ⎤ MSE ⎢β ⎥ 4 2 2 2 2 ⎣ ⎦ = (σ / β ) /(σ / x ' x) + σ x ' x/ (σ / x ' x) 2 ΜΣΕ(β) (σ 2 / β 2 + x ' x ). = [σ2x′x / β2 + (x′x)2] / (σ2 / β2 + x′x)2 = x′x[σ2 / β2 + x′x] / (σ2 / β2 + x′x)2 = x′x / (σ2 / β2 + x′x) À présent, on multiplie le numérateur et le dénominateur par β2 / σ2 ce qui donne : ∧. MSE[ β ] / MSE[b] = β2x′x / σ2 / [1 + β2x′x / σ2] = τ2 / [1 + τ2] Lorsque τ → ∞, le ratio tend vers 1. Cela s’explique par le fait que l’estimateur biaisé et l’estimateur non biaisé convergent vers le même point, soit lorsque σ2 tend vers zéro, et dans ce cas l’estimateur de l’erreur quadratique moyenne minimale est le même que l’estimateur des moindres carrés, soit lorsque x′x augmente. Les deux estimateurs sont alors convergents.. Exercice 3 La qualité de l’estimateur des moindres carrés sans constante est b = x′y / x′x. Si on suppose que la constante est en fait nulle, la variance de cet estimateur est Var[b] = σ2 / x′x. Si l’on inclut une constante dans la régression, alors. (. )(. ). (. b′ = ∑ in=1 xi − x yi − y / ∑ in=1 xi − x. ). 2. .. (. Comme d’habitude, la variance appropriée est σ2 / ∑ in=1 xi − x. (. ). 2. . Le ratio des variances est :. Var[b] / Var[b′] = [σ2 / x′x] / [σ2 / ∑ in=1 xi − x Mais :. (. ∑ in=1 xi − x. ). 2. = x′x + n x 2. © 2008 Pearson Education France. ). 2. ].

(12) 12. Économétrie. Le ratio est donc Var[b] / Var[b′] = [x′x + n x 2] / x′x = 1 – n x 2 / x′x = 1 – { n x 2 / [Sxx + n x 2]} < 1. Ainsi, ajouter une constante lorsque ce n’est pas nécessaire fait augmenter la variance de l’estimateur des moindres carrés si la moyenne du régresseur n’est pas nulle.. Exercice 4 On peut écrire la régression sous la forme yi = (α + λ) + βxi + (εi – λ) = α* + βxi + εi*. On détermine alors que E[εi*] = 0, indépendamment de xi. Par conséquent, la deuxième forme du modèle satisfait toutes les hypothèses pour la régression classique. Les moindres carrés ordinaires donneront des estimateurs non biaisés de α* et de β. Si λ n’est pas nul, la constante est différente de α.. Exercice 5 On écrit la constante sous la forme a = Σidiyi = Σidi(α + βxi + εi) = αΣidi + βΣidixi + Σidiεi. Afin que a ne soit pas biaisée pour tous les échantillons de xi, il faut que Σidi = 1 et Σidixi = 0. On doit donc minimiser a sous ces deux contraintes. Le lagrangien est : L* = Var[a] + λ1(Σidi – 1) + λ2Σidixi où Var[a] = Σi σ2di2 On minimise par rapport à di, λ1, et λ2. Les (n + 2) conditions nécessaires sont : ∂L* / ∂di = 2σ2di + λ1 + λ2xi, ∂L* / ∂λ1 = Σi di – 1, ∂L* / ∂λ2 = Σi dixi. La première équation implique que di = [–1 / (2σ2)](λ1 + λ2xi). Par conséquent, Σi di = 1 = [–1 / (2σ2)][nλ1 + (Σi xi)λ2] et Σi dixi = 0 = [–1 / (2σ2)][(Σi xi)λ1 + (Σi xi2)λ2] On peut résoudre ces deux équations pour λ1 et λ2 en les multipliant toutes les deux par Σi xi ⎤ ⎛ λ1 ⎞ ⎡ −2σ 2 ⎤ ⎡ n ⎜ ⎟=⎢ –2σ2 puis en écrivant les équations sous la forme ⎢ ⎥. 2⎥ λ ⎣Σi xi Σi xi ⎦ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎣ 0 ⎦. © 2008 Pearson Education France.

(13) Chapitre 4 ⎛ λ1 ⎞ ⎡ n La solution est ⎜ λ ⎟ = ⎢ ⎜ 2⎟ Σ x ⎝ ⎠ ⎣ i i. Σi xi ⎤ Σi xi2 ⎥⎦. -1. 13. ⎡ −2σ 2 ⎤ ⎢ ⎥. ⎣ 0 ⎦. On remarque, premièrement, que Σi xi = n x . Le déterminant de la matrice est donc. (. nΣi xi2 – (n x )2 = n(Σi xi2 – n x 2) = nSxx avec Sxx ∑ in=1 xi − x 2 ⎛λ ⎞ 1 ⎡Σi xi Par conséquent, la solution est ⎜ 1 ⎟ = ⎢ ⎝ λ2 ⎠ nS xx ⎢⎣ −nx. ). 2. .. −nx ⎤ ⎡ −2σ 2 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ avec 0 ⎥⎦ ⎣ 0 ⎦. λ1 = (–2σ2)(Σi xi2 / n) / Sxx λ2 = (2σ2 x ) / Sxx.. Donc, di = [Σi xi2 / n – x xi] / Sxx. On peut simplifier le résultat en écrivant Σxi2 = Sxx + n x 2, donc Σi xi2 / n = Sxx / n + x 2. Ainsi, di = 1 / n + x ( x – xi) / Sxx, ou, sous une forme plus familière, di = 1 / n – x (xi – x ) / Sxx.. (. ). La constante devient donc Σidiyi = (1 / n)Σiyi – x ∑ in=1 xi − x yi / Sxx = y – b x , ce qu’il fallait démontrer.. Exercice 6 Soit q = E[Q]. Ainsi, q = α + βP, P = (–α / β) + (1 / β)q. On calcule le revenu marginal en utilisant un résultat bien connu pour les courbes de demande linéaires : MR = (–α / $) + (2 / β)q. La production qui maximise le profit est le niveau de production pour lequel le revenu marginal est égal au coût marginal, soit 10. On pose MR = 10 puis on détermine que q = α / 2 + 5β, ce qui signifie que l’on a besoin d’un intervalle de confiance pour cette combinaison de paramètres. ∧. Les résultats de la régression par les moindres carrés sont Q = 20,7691 – 0,840583.. © 2008 Pearson Education France.

(14) 14. Économétrie. ⎡ 7,96124 −0, 624559⎤ La matrice de covariance estimée des coefficients est ⎢ ⎥. ⎣ −0, 624559 0, 0564361⎦ ∧. L’estimateur de q vaut 6,1816. L’estimateur de la variance de q vaut (1 / 4)7,96124 + 25(0,056436) + 5(–0,0624559) soit 0,278415. L’écart-type estimé est donc de 0,5276. La valeur limite au seuil de 95 % de confiance pour une t-distribution avec 13 degrés de liberté est de 2,161. L’intervalle de confiance est donc [6,1816 – 2,161(0,5276) ; 6,1816 + 2,161(0,5276)] ou [5,041 ; 7,322].. Exercice 7 Les moyennes de l’échantillon sont égales aux éléments de la première colonne de X’X divisés par 100. La matrice de covariance de l’échantillon pour les trois régresseurs se calcule de la façon suivante : (1 / 99)[(X′X) ij – 100 xi x j ]. 0,069899 0,555489 ⎤ ⎡ 1,0127 ⎢ La variance de l’échantillon est égale à : Var[x] = ⎢0, 069899 0,755960 0, 417778 ⎥⎥ ⎢⎣0,555489 0, 417778 0, 496969 ⎥⎦ 0, 07971 0, 78043⎤ ⎡ 1 ⎢ La matrice de corrélation simple est : ⎢ 0, 07971 1 0, 68167 ⎥⎥ ⎢⎣0, 78043 0, 68167 1 ⎥⎦. Le vecteur de pentes est (X′X)–1X′y = [– 0,4022 ; 6,123 ; 5,910 ; – 7,525]′. Les vecteurs de coefficients des trois régressions simples sont : (1) constante, x1, et x2 : [– 0,223 ; 2,28 ; 2,11]′. (2) constante, x1, et x3 : [– 0,0696 ; 0,229 ; 4,025]′. (3) constante, x2, et x3 : [– 0,0627 ; – 0,0918 ; 4,358]′. Les facteurs d’échelle sont : pour x1 : [(1 / (99(1,01727)) / 1,129]2 = 0,094. pour x2 : [(1 / 99(0,75596)) / 1,11]2 = 0,109. pour x3 : [(1 / 99(0,496969)) / 4,292]2 = 0,068. x3 semble être la variable problématique car elle présente le facteur d’échelle le plus faible. En fait, les trois variables sont profondément intercorrélées. Bien que les corrélations simples ne soient pas excessivement fortes, les trois corrélations multiples sont de 0,9912 pour x1 sur x2 et x3, de 0,9881 pour x2 sur x1 et x3, et de 0,9912 pour x3 sur x1 et x2.. © 2008 Pearson Education France.

(15) Chapitre 4. 15. Exercice 8 On examine deux régressions. Dans la première, y est régressé sur K variables X. La variance de l’estimateur des moindres carrés, b = (X′X)–1X′y, est Var[b] = σ2(X′X)–1. Dans la deuxième, y est régressé sur X et sur une variable additionnelle z. En utilisant le résultat (6-18), on détermine que les coefficients de X, lorsque y est régressé sur X et z, de b.z est la soussont b.z = (X′MzX)–1X′Mzy avec Mz = I – z(z′z)–1z′. La vraie variance −1 ⎡ X ' X X'z ⎤ matrice K × K en haut à gauche de : Var[b, c] = s2 ⎢ z ' X z ' X ⎥ . Cependant, on était ⎣ ⎦ déjà parvenu à ce résultat un peu plus haut. La sous-matrice est Var[b.z] = s2(X′MzX)–1. On peut établir que la seconde matrice est supérieure à la première en démontrant que son inverse est plus faible. Ainsi, (Var[b])–1 – (Var[b.z])–1 = (1 / σ2)z(z′z)–1z′ qui est une matrice définie positive. Par conséquent Var[b]–1 est supérieure à Var[b.z]–1 ce qui implique que Var[b] est plus petite. Bien que la vraie variance de b soit inférieure à la vraie variance de b.z, cela ne signifie pas que la variance estimée le sera. Les variances estimées se fondent sur s2, et non sur la vraie valeur σ2. L’estimateur de variance résiduelle fondé sur la régression partielle est s2 = e′e / (n – K) alors que celui fondé sur la régression incluant z est sz2 = e.z′e.z / (n – K – 1). Le numérateur et le dénominateur de la seconde régression sont nettement inférieurs à ceux de la première. Il est impossible de conclure. Pour cela, il faut utiliser un résultat du problème précédent. On peut alors conclure que si le ratio t sur c dans la régression incluant z est supérieur à 1 en valeur absolue, alors sz2 sera inférieur à s2. Ainsi, dans la comparaison, Est. Var[b] = s2(X′X)–1 est fondé sur une matrice plus petite mais sur un facteur d’échelle plus élevé que Est. Var[b.z] = sz2(X′MzX)–1. En conséquence, on ne sait pas si les écarts-types estimés dans la régression partielle seront inférieurs à ceux de la régression complète. Remarquez que le résultat du problème précédent ne nous donne qu’une solution incomplète puisque les tailles relatives des matrices jouent, elles aussi, un rôle important. Cependant, prenons un cas extrême : supposons que z et X ne soient pas corrélés. Dans ce cas, XNMzX est égale à XNX. Ainsi, la variance estimée de b.z sera inférieure à celle de b sans z, même si la vraie variance est identique (en supposant que les hypothèses du problème précédent soient valides). À présent, on abandonne cette hypothèse tout en conservant le ratio t sur c constant. La matrice dans Var[b.z] est maintenant plus grande mais le plus grand des nombres est plus petit. Il est impossible de savoir comment le produit va évoluer.. © 2008 Pearson Education France.

(16) 16. Économétrie. Exercice 9 On calcule le ratio F : [b′X′Xb / K] / [e′e / (n – K)]. On remplace e par M et b par β + (X′X)–1X′ε = (X′X)–1X′ε. Alors, F = [ε′X(X′X)–1X′X(X′X)–1X′ε / K] / [ε ′Mε / (n – K)] = [ε′(I – M)ε / K] / [ε′Mε / (n – K)]. On peut trouver le ratio F espéré exact en posant : F = [(n – K) / K][ε′(I – M)ε] / [ε′Mε]. Ainsi, sa valeur espérée exacte est (n – K) / K fois la valeur espérée du ratio. Pour la calculer, il faut d’abord remarquer que M et (I – M) sont indépendants parce que M(I – M) = 0. Alors, E{[ε(I – M)ε] / [ε′Mε]} = E[ε′(I – M)ε] × E{1 / [ε′Mε]}. Le premier terme a été obtenu ci-dessus, E[ε′(I – M)ε] = Kσ2. Le second est la valeur espérée de la réciproque d’une variable suivant une distribution du chi-deux, soit E[1 / χ2(n – K)] = 1 / (n – K – 2). En combinant les termes, la prévision exacte est E[F] = (n – K) / (n – K – 2). On remarque que la moyenne ne dépend pas du nombre de degrés de liberté du numérateur.. Exercice 10 On pose b = β + (X′X)–1X′ε, donc b′b = β′β + ε′X(X′X)–1(X′X)–1X′ε + 2β′(X′X)–1X′ε. La valeur espérée du dernier terme est nulle et le premier terme n’est pas stochastique. Pour calculer la valeur espérée du deuxième terme, on utilise la trace et on permute ε′X au sein de l’opérateur de trace. Ainsi, E[β′β]. = β′β + E[ε′X(X′X)–1(X′X)–1X′ε] = β′β + E[tr{ε′X(X′X)–1(X′X)–1X′ε}] = β′β + E[tr{(X′X)–1X′εε′X(X′X)–1}] = β′β + tr[E{(X′X)–1X′εε′X(X′X)–1}] = β′β + tr[(X′X)–1X′E[εε′]X(X′X)–1] = β′β + tr[(X′X)–1X′(σ2I)X(X′X)–1] = β′β + σ2tr[(X′X)–1X′X(X′X)–1] = β′β + σ2tr[(X′X)–1] = β′β + σ2Σk (1 / λk). La trace de l’inverse est égale à la somme des racines caractéristiques de l’inverse qui sont les réciproques de la racine caractéristique de X′X.. © 2008 Pearson Education France.

(17) Chapitre 4. 17. Exercice 11 a. Les résultats de la régression de G / Pop sur toutes les autres variables sont : +-----------------------------------------------------------------------+ | Ordinary least squares regression Weighting variable = none | | Dep. var. = G Mean= 100.7008114 , S.D.= 14.08790232 | | Model size: Observations = 36, Parameters = 10, Deg.Fr.= 26 | | Residuals: Sum of squares= 117.5342920 , Std.Dev.= 2.12616 | | Fit: R-squared= .983080, Adjusted R-squared = .97722 | | Model test: F[ 9, 26] = 167.85, Prob value = .00000 | | Diagnostic: Log-L = -72.3796, Restricted(b=0) Log-L = –145.8061 | | LogAmemiyaPrCrt.= 1.754, Akaike Info. Crt.= 4.577 | | Autocorrel: Durbin-Watson Statistic = .94418, Rho = .52791 | +-----------------------------------------------------------------------+ +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ |Variable | Coefficient | Standard Error |t-ratio |P[|T|>t] | Mean of X| +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ Constant –1859.389661 1699.6133 –1.094 .2840 YEAR .9485446803 .87693228 1.082 .2893 1977.5000 PG –12.18681017 2.6071552 -4.674 .0001 2.3166111 Y .1110971600E-01 .32230846E-02 3.447 .0019 9232.8611 PNC 6.889686945 13.203241 .522 .6062 1.6707778 PUC -4.121840732 2.8707832 –1.436 .1630 2.3436389 PPT 6.034560575 4.0693845 1.483 .1501 2.7448611 PN 20.50251499 16.556303 1.238 .2267 2.0851111 PD 14.18819749 17.122006 .829 .4148 1.6505636 PS -31.48299999 12.795328 -2.461 .0208 2.3689802. Les coefficients de prix et de revenu sont conformes à ce que l’on pourrait s’attendre à trouver dans une équation de demande (s’il s’agit véritablement d’une équation de demande – voir le chapitre 16. Le coefficient positif du prix des nouvelles voitures peut sembler contre-intuitif, mais les nouvelles voitures ont tendance à consommer moins d’essence que les vieilles. Une augmentation du prix des nouvelles voitures a donc pour effet de réduire la demande : les gens achètent moins de voitures. Mais, parallèlement, cela peut pousser les gens à conserver leurs vieilles voitures au lieu d’en acheter de nouvelles. Dans ce cas, la demande d’essence augmentera, elle aussi, en conséquence. Le coefficient négatif du prix des vieilles voitures est conforme à ce raisonnement. Dans la mesure où les transports publics peuvent parfaitement se substituer aux voitures des particuliers, il n’est pas surprenant d’avoir un coefficient positif. Par ailleurs, puisque les automobiles constituent une part importante des biens « durables », le coefficient positif de PD reflète le phénomène décrit plus haut. Bien évidemment, si la régression linéaire est correctement spécifiée, il existe d’autres facteurs expliquant l’effet de PD. On n’attend pas de signes particuliers pour les. © 2008 Pearson Education France.

(18) 18. Économétrie coefficients de PD et PN. Enfin, puisque le secteur des services se compose en partie de services aux automobiles, si le prix de ces services augmente, il sera plus coûteux d’utiliser une voiture, c’est-à-dire que consommer de l’essence coûtera plus cher. Ainsi, le signe négatif de PS n’est pas surprenant.. b. Les résultats fournis par le logiciel incluent la matrice de covariance suivante ⎡174,326 2, 62732 ⎤ pour les coefficients de PNC et PUC : ⎢ ⎥ . La statistique de ⎣ 2, 62732 8, 2414 ⎦ test de l’hypothèse d’égalité des pentes de ces deux variables peut être calculée exactement comme dans le premier exercice. Ainsi, t[26] = [6,889686945 – (–4,121840732)] / [(174,326+8,2414 – 2(2,62732)]1/2 = 0,827. Le résultat est relativement faible ; l’hypothèse n’est donc pas rejetée. c. Les élasticités du modèle linéaire peuvent être calculées en utilisant η = b( x / G / Pop ) pour les différentes variables x. La moyenne de G est de 100,701. Les calculs du prix, des revenus et du prix des transports publics sont Variable PG. Coefficient –12,18681017. Y. 0,011109716. PPT. 6,034560575. Moyenne 2,3166111 9 232,8611 2,7448611. Élasticité –0,280 +1,019 +0,164. d. Les estimations des coefficients des équations log-linéaires et linéaires sont : Constant YEAR LPG LY LPNC LPUC LPPT LPN LPD LPS. 2,276660667 -0,00440933049 -0,5380992257 1,217805741 0,09006338891 -0,1146769420 0,1232808093 1,224804198 0,9484508600 –1,321253144. –1 859,389661 0,9485446803 –12,18681017 (Elasticity = -0,28) 0,01110971600 (Elasticity = +1,019) 6,889686945 -4,121840732 6,034560575 (Elasticity = +0,164) 20,50251499 14,18819749 -31,48299999. Les estimations sont proches mais pas autant qu’on aurait pu l’espérer. Pour l’instant, on ne dispose pas d’informations qui nous permettraient de déterminer quel est le modèle le plus pertinent. e. Il faut diviser Pd par 0,483, Pn par 0,375 et Ps par 0,353. Cela ne devrait pas avoir d’effet sur la qualité de la régression ou sur les coefficients des autres régresseurs. Les coefficients de la régression des moindres carrés concernés par ces modifications seront multipliés par les valeurs correspondantes.. © 2008 Pearson Education France.

(19) Chapitre 5 Exercice 1 On calcule le ratio F : [b′X′Xb / K] / [e′e / (n – K)]. On remplace e par M, et b par β + (X′X)–1X′ε = (X′X)–1X′ε. Alors, F = [ε′X(X′X)–1X′X(X′X)–1X′ε / K] / [ε ′Mε / (n – K)] = [ε′(I – M)ε / K] / [ε′Mε / (n – K)]. Le dénominateur converge vers σ2 ainsi qu’on l’a déjà vu. Le numérateur est de forme quadratique idempotente dans un vecteur normal. La trace de (I – M) est K indépendamment de la taille de l’échantillon. Le numérateur est donc toujours distribué selon σ2 fois une variable du chi-deux avec K degrés de liberté. Par conséquent, le numérateur de F ne converge pas vers une constante ; il converge vers σ2 / K fois une variable du chi-deux avec K degrés de liberté. Étant donné que le dénominateur de F converge vers une constante, σ2, la statistique converge vers une variable aléatoire, (1 / K) fois une variable du chi-deux avec K degrés de liberté.. Exercice 2 On peut écrire ei sous la forme ei = yi – b′xi = (β′xi + εi) – b′xi = εi + (b – β)′xi. On sait que plim b = β et que xi ne varie pas lorsque n augmente. Ainsi, quand n → ∞, ei est proche de εi.. Exercice 3 L’estimateur est y = (1 / n)Σi yi = (1 / n)Σi (µ + εi) = µ + (1 / n)Σi εi. Alors, E[ y ] µ+ (1 / n)Σi E[εi] = µ et Var[ y ]= (1 / n2)Σi Σj Cov[εi,εj] = σ2 / n. Étant donné que la moyenne est égale à µ et que la variance diminue lorsque n → ∞, y est convergent. De plus, étant donné que y est une combinaison linéaire de variables normalement distribuées, y suit une distribution normale dont la moyenne et la variance sont données plus haut, pour tous les échantillons. Supposons que εi ne soit pas normalement distribuée. Alors, n ( y -µ) = (1 / n )(Σiεi) satisfait les conditions du théorème central limite. Ainsi, peu importe si les perturbations présentent une distribution normale : la distribution asymptotiquement normale s’applique.. © 2008 Pearson Education France.

(20) 20. Économétrie ∧. ∧. Pour l’estimateur alternatif, µ = Σi wiyi, donc E[ µ ] = Σi wiE[yi] = Σi wiµ = µΣi wi = µ et ∧. Var[ µ ]= Σi wi2σ2 = σ2Σi wi2. La somme des carrés des poids est Σiwi2 = Σi i2 / [Σi i]2 = [n(n + 1)(2n + 1) / 6] / [n(n + 1) / 2]2 = [2(n2 + 3n / 2 + 1 / 2)] / [1,5n(n2 + 2n + 1)]. Lorsque n → ∞, la fraction est dominée par le terme (1 / n) et tend vers zéro. Cela nous permet d’établir la convergence de cet estimateur. La dernière expression fournit également la variance asymptotique. La variance en grand échantillon peut être ∧. ∧. calculée par Asy.Var[ µ ] = (1 / n)lim n→∞Var[ n ( µ – µ)]. Pour l’estimateur ci-dessus, on peut utiliser : ∧. ∧. Asy.Var[ µ ] = (1 / n)lim n→∞nVar[ µ – µ] = (1 / n)lim [1,5(n2 + 2n + 1)] = 1,3333σ2.. 2 2 n→∞σ [2(n. + 3n / 2 + 1 / 2)] /. On remarque qu’elle est indiscutablement plus élevée que la variance de la moyenne de l’échantillon qui est l’estimateur des moindres carrés ordinaires.. Exercice 4 Pour calculer la distribution asymptotique, on écrit le résultat donné dans l’énoncé sous la forme b = (β + Q–1γ) + (X′X)–1X′ε – Q–1ε. On sait que plim b = β + Q–1γ. Pour simplifier, on pose θ ≠ β et β + Q–1γ = plim b. On réécrit l’équation précédente sous la forme b – θ = (X′X / n)–1(X′ε / n) – Q–1γ. Étant donné que plim(X′X / n) = Q, le comportement en grand échantillon du membre de droite de l’équation est le même que celui de plim (b – θ) = Q–1plim(X′ε / n) – Q–1γ. Cela signifie que l’on peut remplacer (X′X / n) par Q dans notre dérivée. Ensuite, il nous faut trouver la distribution asymptotique de n (b – θ) qui est la même que celle de n [Q–1plim(X′ε / n) – Q–1γ] = ⎧1 n ⎫ Q–1 n ⎨⎩ n ∑ i =1 xi εi - γ ⎬⎭ . À partir de là, la dérivée est exactement la même que celle que l’on calcule lorsque γ = 0. Il n’est donc pas nécessaire de développer le résultat. On peut poursuivre directement avec la même distribution asymptotique que celle obtenue précédemment. La seule différence réside dans le fait que l’estimateur des moindres carrés estime θ et non β.. Exercice 5 En utilisant les notations du manuel : Var[x*] = Q* donc, si y = βx* + ε,. © 2008 Pearson Education France.

(21) Chapitre 5. 21. Corr2[y, x*] = (βQ*)2 / [(β2Q* + σε2)Q*] = β2Q* / [$2Q* + σε2)] Par rapport à la variable mesurée avec erreur : Cov[y, x] = Cov[βx* + ε,x* + u] = βQ* donc Corr2[y, x] = (βQ*)2 / [(β2Q* + εε2)(Q* + σu2)] = [Q* / (Q* + σu2)]Corr2[y, x*] Si y* est également mesurée avec erreur, l’affaiblissement de la corrélation s’aggrave. Le numérateur du carré de la corrélation reste inchangé mais le terme (β2Q* + σε2) du dénominateur est remplacé par (β2Q* + σε2 + σv2), ce qui réduit davantage le carré de la corrélation.. Exercice 6 L’estimateur est Q* = exp[2,3026(1 – 0,151) / (2(0,117))] = 4 248. La variance asympto∧. ∧. tique de Q* = exp[2,3026(1 – β ) / (2 γ ) est : ∧. ∧. [∂Q* / ∂β ∂Q* / ∂γ] Asy.Var[ β , γ ] [∂Q* / ∂β ∂Q* / ∂γ]′ Les dérivées sont : ∧. ∧. ∧. ∧. ∧. ∧. ∂Q* / ∂ β = Q*(–2,3026 β ) / (2 γ ) = –6 312 ∂Q* / ∂ γ = Q*[–2,3026(1 – β )] / (2 γ 2) = –303326. ⎡ 0, 00384 −0, 00008⎤ La matrice de covariance asymptotique estimée est ⎢ ⎥ . La matrice ⎣ −0, 00008 0, 000144 ⎦ de covariance asymptotique estimée de l’estimateur de Q* est donc 13 095 615. L’estimation de l’écart-type asymptotique est de 3 619. On remarque que c’est assez élevé par rapport à la valeur de l’estimateur. Un intervalle de confiance construit comme d’habitude inclurait normalement des valeurs négatives. C’est fréquent pour les fonctions hautement non linéaires comme celle présentée ci-dessus.. © 2008 Pearson Education France.

(22) 22. Économétrie. Exercice 7 Les résultats du calcul sont présentés ci-dessous. La statistique de Hausman est de 25,1 et la statistique t du test de Wu est de –5,3. Les deux sont bien supérieures à leurs valeurs critiques. L’hypothèse que les moindres carrés soient convergents est donc rejetée dans les deux cas. --> --> --> --> --> --> --> --> --> --> --> --> --> -->. samp;1-204$ crea;ct=log(realcons);yt=log(realdpi);it=tbilrate$ crea;ct1=ct[–1];yt1=yt[–1]$ samp;2-204$ name;x=one,yt,it,ct1;z=one,it,ct1,yt1$ regr;lhs=ct;rhs=x$ calc;s2=ssqrd$ matr;bls=b;xx=<x'x>$ 2sls;lhs=ct;rhs=x;inst=z$ matr;biv=b;xhxh=1/ssqrd*varb$ matr;d=biv-bls;vb=xhxh-xx$ matr;list;h=1/s2*d'*mpnv(vb)*d$ regr;lhs=yt;rhs=z;keep=ytf$ regr;lhs=ct;rhs=x,ytf$. +-----------------------------------------------------------------------+ | Ordinary least squares regression Weighting variable = none | | Dep. var. = CT Mean= 7.884560181 , S.D.= .5129509097 | | Model size: Observations = 203, Parameters = 4, Deg.Fr.= 199 | | Residuals: Sum of squares= .1318216478E-01, Std.Dev.= .00814 | | Fit: R-squared= .999752, Adjusted R-squared = .99975 | | Model test: F[ 3, 199] =********, Prob value = .00000 | | Diagnostic: Log-L = 690.6283, Restricted(b=0) Log-L = –152.0255 | | LogAmemiyaPrCrt.= -9.603, Akaike Info. Crt.= -6.765 | | Autocorrel: Durbin-Watson Statistic = 1.90738, Rho = .04631 | +-----------------------------------------------------------------------+ +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ |Variable | Coefficient | Standard Error |t-ratio |P[|T|>t] | Mean of X| +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ Constant -.4413074204E-01 .12917632E-01 -3.416 .0008 YT .1833744954 .32943409E-01 5.566 .0000 7.9953259 IT -.1654147681E-02 .29350320E-03 -5.636 .0000 5.2499007 CT1 .8216667186 .32285244E-01 25.450 .0000 7.8757433. © 2008 Pearson Education France.

(23) Chapitre 5. 23. +-----------------------------------------------------------------------+ | Two stage least squares regression Weighting variable = none | | Dep. var. = CT Mean= 7.884560181 , S.D.= .5129509097 | | Model size: Observations = 203, Parameters = 4, Deg.Fr.= 199 | | Residuals: Sum of squares= .1344364458E-01, Std.Dev.= .00822 | | Fit: R-squared= .999742, Adjusted R-squared = .99974 | | (Note: Not using OLS. R-squared is not bounded in [0,1] | | Model test: F[ 3, 199] =********, Prob value = .00000 | | Diagnostic: Log-L = 688.6346, Restricted(b=0) Log-L = –152.0255 | | LogAmemiyaPrCrt.= -9.583, Akaike Info. Crt.= -6.745 | | Autocorrel: Durbin-Watson Statistic = 2.02762, Rho = -.01381 | +-----------------------------------------------------------------------+ +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ |Variable | Coefficient | Standard Error |b/St.Er.|P[|Z|>z] | Mean of X| +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ Constant -.2023353156E-01 .13906118E-01 –1.455 .1457 YT .9004120016E-01 .38219830E-01 2.356 .0185 7.9953259 IT -.1168585850E-02 .31214268E-03 -3.744 .0002 5.2499007 CT1 .9130592037 .37448694E-01 24.382 .0000 7.8757433 (Note: E+nn ou E-nn signifient qu’il faut multiplier par 10 puissance + ou -nn.). Matrix H. has 1 rows and 1 +-------------1| 25.0986. 1 columns.. +-----------------------------------------------------------------------+ | Ordinary least squares regression Weighting variable = none | | Dep. var. = YT Mean= 7.995325935 , S.D.= .5109250627 | | Model size: Observations = 203, Parameters = 4, Deg.Fr.= 199 | | Residuals: Sum of squares= .1478971099E-01, Std.Dev.= .00862 | | Fit: R-squared= .999720, Adjusted R-squared = .99972 | | Model test: F[ 3, 199] =********, Prob value = .00000 | | Diagnostic: Log-L = 678.9490, Restricted(b=0) Log-L = –151.2222 | | LogAmemiyaPrCrt.= -9.488, Akaike Info. Crt.= -6.650 | | Autocorrel: Durbin-Watson Statistic = 1.77592, Rho = .11204 | +-----------------------------------------------------------------------+ +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ |Variable | Coefficient | Standard Error |t-ratio |P[|T|>t] | Mean of X| +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ Constant .4045167318E-01 .13493797E-01 2.998 .0031 IT .2943892707E-03 .32000803E-03 .920 .3587 5.2499007 CT1 .9130171904E-01 .35621085E-01 2.563 .0111 7.8757433 YT1 .9057719332 .36310045E-01 24.945 .0000 7.9868448. © 2008 Pearson Education France.

(24) 24. Économétrie. +-----------------------------------------------------------------------+ | Ordinary least squares regression Weighting variable = none | | Dep. var. = CT Mean= 7.884560181 , S.D.= .5129509097 | | Model size: Observations = 203, Parameters = 5, Deg.Fr.= 198 | | Residuals: Sum of squares= .1151983043E-01, Std.Dev.= .00763 | | Fit: R-squared= .999783, Adjusted R-squared = .99978 | | Model test: F[ 4, 198] =********, Prob value = .00000 | | Diagnostic: Log-L = 704.3099, Restricted(b=0) Log-L = –152.0255 | | LogAmemiyaPrCrt.= -9.728, Akaike Info. Crt.= -6.890 | | Autocorrel: Durbin-Watson Statistic = 2.35530, Rho = -.17765 | +-----------------------------------------------------------------------+ +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ |Variable | Coefficient | Standard Error |t-ratio |P[|T|>t] | Mean of X| +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ Constant -.2023559983E-01 .12905160E-01 –1.568 .1185 YT .4752021457 .62720658E-01 7.576 .0000 7.9953259 IT -.1168629424E-02 .28967486E-03 -4.034 .0001 5.2499007 CT1 .9130504994 .34753056E-01 26.273 .0000 7.8757433 YTF -.3851520841 .72054899E-01 -5.345 .0000 7.9953259. © 2008 Pearson Education France.

(25) Chapitre 6 Exercice 1 La matrice de covariance estimée des estimateurs des moindres carrés est : 0 0 ⎤ ⎡0, 69 0 0 ⎤ ⎡3 900 / 29 20 ⎢ ⎥ ⎢ s (X′X) = 0 80 −10 ⎥ = ⎢ 0 0, 40 −0, 051⎥⎥ 3 900 ⎢ ⎢⎣ 0 −1 0 80 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 −0, 051 0, 256 ⎥⎦ 2. –1. avec s2 = 520 / (29 – 3) = 20. Ainsi, le test peut être fondé sur : t = (0,4 + 0,9 – 1) / [0,410 + 0,256 – 2(0,051)]1/2 = 0,399. C’est inférieur à la valeur critique de 2,056. L’hypothèse n’est donc pas rejetée.. Exercice 2 Pour effectuer le calcul, on doit retrouver les sommes originales des carrés et des produits croisés de y à savoir : X′y = X′Xb = [116 ; 29 ; 76]′. La somme totale des carrés se calcule en utilisant R2 = 1 – e′e / y′M0y, donc y′M0y = 520 / (52 / 60) = 600. Les moyennes sont x1 = 0, x 2 = 0, y = 4, donc y′y = 600 + 29(42) = 1 064. La pente de la régression de y sur x2 seule est b2 = 76 / 80, la somme des carrés de la régression est donc b22(80) = 72,2, et la somme des carrés des résidus est 600 – 72,2 = 527,8. Le test fondé sur la somme des carrés des résidus est F = [(527,8 – 520) / 1] / [520 / 26] = 0,390. Dans la régression du problème précédent, le ratio t, pour tester la même hypothèse, aurait été t = 0,4 / (0,410)1/2 = 0,624, la racine carrée de 0,39.. Exercice 3 On note R = [0, I] où I est une matrice composée des K2 dernières colonnes. Par conséquent, R(X′X)–1RN est le bloc K2 × K2 en bas à droite de (X′X)–1. Ainsi qu’on l’a déjà vu, c’est (X2′M1X2)–1. De même, (X′X)–1R′ sont les K2 dernières colonnes de (X′X)–1. ⎡-( X ' X ) −1 X1 ' X 2 ( X 2 ' M1 X 2 ) −1 ⎤ Celles-ci sont : (X′X)–1R′ = ⎢ 1 1 ⎥ . Enfin, étant donné que ( X 2 ' M 1 X 2 ) −1 ⎣ ⎦ q = 0, Rb – q = (0b1 + Ib2) – 0 = b2. Par conséquent, l’estimateur contraint est. © 2008 Pearson Education France.

(26) 26. Économétrie. ⎡-( X1 ' X1 ) −1 X1 ' X 2 ( X 2 ' M1 X 2 ) −1 ⎤ ⎢ ⎥ (X2′M1X2)b2, avec b1 et b2 les ( X 2 ' M 1 X 2 ) −1 ⎣ ⎦ régression multiple de la régression de y sur X1 et X2. En arrangeant les ⎡ b ⎤ ⎡-( X ' X ) −1 X1 ' X 2 b 2 ⎤ termes, on trouve que b* = ⎢ 1 ⎥ - ⎢ 1 1 ⎥ . Cependant, on sait que b2 ⎣b 2 ⎦ ⎣ ⎦. ⎡b ⎤ b* = ⎢ 1 ⎥ ⎣b 2 ⎦ coefficients de. b1 = (X1′X1)–1X1′y – (X1′X1)–1X1′X2b2 donc on peut simplifier le résultat précédent : ⎡( X ' X )−1 X1 ' y ⎤ b* = ⎢ 1 1 ⎥ , ce qu’il fallait démontrer. 0 ⎣ ⎦ Si la restriction avait été β2 = β 20 alors le résultat aurait été modifié, car on aurait remplacé Rβ – q = 0 par Rβ – β20 = 0. Ainsi, Rb – q = b2 – β20. Alors, l’estimateur ⎡-( X ' X ) −1 X1 ' X 2 ( X 2 ' M1 X 2 ) −1 ⎤ ⎡b ⎤ 0 contraint aurait été b* = ⎢ 1 ⎥ – ⎢ 1 1 ⎥ (X2′M1X2)(b2 – β2 ) −1 b ( X ' M X ) ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦ 2 1 2 ⎡( X ' X ) −1 X ' X (b − β 02 ) ⎤ ⎡b ⎤ ou b* = ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 1 0 1 2 2 ⎥. (β 2 - b 2 ) ⎣b 2 ⎦ ⎣ ⎦. En utilisant le résultat de la question précédente, on peut réécrire la première partie de l’équation : b1* = (X1′X1)–1X1′y – (X1′X1)–1X1′X2β20 = (X1′X1)–1X1′(y – X2β20). Exercice 4 En factorisant le résultat (6-14), on obtient b* = [I – CR]b + w où C = (X′X)–1R′[R(X′X)–1R′]–1 et w = Cq. La matrice de covariance de l’estimateur des moindres carrés est : Var[b*] = [I – CR]σ2(X′X)–1[I – CR]′ = σ2(X′X)–1 + σ2CR(X′X)–1R′C′ – σ2CR(X′X)–1 – σ2(X′X)–1R′C′ On trouve donc que CR(X′X)–1 = (X′X)–1R′(R(X′X)–1R′)–1R(X′X)–1 = CR(X′X)–1R′C′ donc Var[b*] = σ2(X′X)–1 – σ2CR(X′X)–1R′C′ = σ2(X′X)–1 – σ2(X′X)–1R′[R(X′X)–1R′]–1R(X′X)–1 On peut réécrire cela : Var[b*] = σ2(X′X)–1{I – R′(R(X′X)–1R′)–1R(X′X)–1} = σ2(X′X)–1{[σ2(X′X)–1]–1 – R′[Rσ2(X′X)–1R′]–1R}σ2(X′X)–1 étant donné que Var[Rb] = Rσ2(X′X)–1R′, ce qu’il fallait démontrer.. © 2008 Pearson Education France.

(27) Chapitre 6. 27. Exercice 5 La variance de l’estimateur des moindres carrés contraints est donnée dans la deuxième équation de l’exercice précédent. On sait que cette matrice est définie positive puisqu’elle est sous la forme B′σ2(X′X)–1B′ et σ2(X′X)–1 est définie positive. Par conséquent, il ne nous reste plus qu’à démontrer que la matrice extraite de Var[b] pour obtenir Var[b*] est elle aussi définie positive. On considère une forme quadratique dans Var[b*] : z′Var[b*]z = z′Var[b]z – σ2z′(X′X)–1(R′[R(X′X)–1R′]–1R)(X′X)–1z = z′Var[b]z – w′[R(X′X)–1R′]–1w avec w = σR(X′X)–1z Par conséquent, il suffit de démontrer que la matrice entre parenthèses est définie positive. La réponse est évidente dans la mesure où son inverse est définie positive. Cela montre que chaque forme quadratique dans Var[b*] est inférieure à toute forme quadratique dans Var[b] du même vecteur.. Exercice 6 Notre démonstration découle directement du résultat (6-19). Étant donné que la somme des carrés des résidus doit être au moins aussi élevée, le coefficient de détermination, COD = 1 – somme des carrés / Σi (yi – y )2, ne doit pas être plus élevé.. Exercice 7 Pour simplifier, on pose F = [R(X′X)–1R′]–1. Ainsi, λ = F(Rb – q) et la variance du vecteur des multiplicateurs de Lagrange est Var[8] = FRσ2(X′X)–1R′F = σ2F. On calcule la variance estimée en remplaçant σ2 par s2. Par conséquent, la statistique du chi-deux est : χ2 = (Rb – q) ′F′(s2F)–1F(Rb – q) = (Rb – q) ′[(1 / s2)F](Rb – q) = (Rb – q) ′[R(X′X)–1R′]–1(Rb – q) / [e′e / (n – K)] Cela correspond exactement à J fois la statistique F définie dans (6-19) et (6-20). Enfin, J fois la statistique F dans (6-20) est égale à l’expression mentionnée ci-dessus.. © 2008 Pearson Education France.

(28) 28. Économétrie. Exercice 8 On utilise (6-19) pour calculer la nouvelle somme des carrés. La variation de la somme des carrés est : e*′e* – e′e = (Rb – q) ′[R(X′X)–1R′]–1(Rb – q). Pour ce problème, (Rb – q) = b2 + b3 – 1 = 0,3. La matrice entre parenthèses est la somme des 4 éléments en bas à droite du bloc de (X′X)–1. Ces éléments nous sont fournis par l’exercice 1, multipliés par s2 = 20. Par conséquent, la somme demandée est [R(X′X)–1R′] = (1 / 20)(0,410 + 0,256 – 2(0,051)) = 0,028. La variation de la somme des carrés est : 0,32 / 0,028 = 3,215. Ainsi, e′e = 520, e*′e* = 523,215, et la statistique du chi-deux est 26[523,215 / 520 – 1] = 0,16. Ce résultat est faible : cela ne permet pas de rejeter l’hypothèse. On remarque que pour une contrainte unique, la statistique du multiplicateur de Lagrange est égale à la statistique F, à son tour égale au carré de la statistique t utilisée pour tester la contrainte. Ainsi, on aurait pu trouver cette quantité en élevant au carré 0,399, obtenu au premier exercice (aux erreurs d’arrondi près).. Exercice 9 La somme des carrés des résidus des deux régressions est de 207,644 lorsque l’on inclut les indices de prix agrégés, et de 586,596 lorsqu’on les exclut. La statistique F est F = [(586,596 – 207,644) / 3] / [207,644 / 17] = 10,342. La valeur critique tirée de la table de F est de 3,20. L’hypothèse est donc rejetée.. Exercice 10 Puisque le modèle contraint est relativement non linéaire, il serait trop laborieux d’estimer et d’examiner avec précision la perte de qualité de l’estimation. On peut tester la contrainte en utilisant le modèle non contraint. En l’occurrence, f = [γnc – γuc, γncδs – γptδd]′. ⎡ ∂ f / ∂α ⎤ La matrice des dérivées (en utilisant l’ordre indiqué plus haut), est G = ⎢ 1 ⎥= ⎣∂ f 2 / ∂α ⎦ 0 0 0⎤ ⎡0 0 0 1 −1 0 0 . Les estimateurs des paramètres sont ⎢0 0 0 δ 0 −δ d 0 −γ pt 0 γ nc ⎥⎦ s ⎣. a = 18,5454, cuc = –0,201536, dd = 1,50607, bp = –0,581437, cpt = 0,0805074, dn = 0,999474, by = 1,39438, bt = –0,0125129, ds = –0,817896, cnc = –0,294769.. © 2008 Pearson Education France.

(29) Chapitre 6. 29. Ainsi, f = [–0,092322 ; 0,119841]′. Pour ce test, il nous faut utiliser la matrice de ⎡ 0, 053285 −0, 0362998⎤ covariance suivante : Gs2(X′X)–1G′ = ⎢ ⎥ ⎣ −0, 0362998 0, 0342649 ⎦ La statistique du test joint est χ2 = f′[Gs2(X′X)–1G′]–1f = 0,5789. Ce résultat est inférieur à la valeur critique d’un chi-deux à deux degrés de liberté. L’hypothèse jointe n’est donc pas rejetée. Pour les hypothèses individuelles, il suffit de calculer l’équivalent d’un ratio t pour chaque élément de f. Ainsi, z1 = –0,092322 / (0,053285)2 = 0,3999 et z2 = 0,119841 / (0,0342649)2 = 0,6474 Aucun de ces ratios t n’est supérieur à la valeur critique, donc aucune des hypothèses n’est rejetée (rien de surprenant à cela, vu le résultat précédent).. Exercice 11 On utilise tout d’abord (6-19) pour poser e*′e* = e′e + (Rb – q)′[R(X′X)–1R′]–1(Rb – q). À présent, on utilise le résultat selon lequel E[e′e] = (n – K)σ2 calculé au chapitre 6, donc E[e*′e*] = (n – K)σ2 + E[(Rb – q)′[R(X′X)–1R′]–1(Rb – q)]. b = β + (X′X)–1X′ε, donc Rb – q = Rβ – q + R(X′X)–1X′ε. Mais Rβ – q = 0, donc sous l’hypothèse, Rb – q = R(X′X)–1X′ε. On insère ceci dans le résultat précédent pour calculer : E[e*′e*] = (n-K)σ2 + E[ε′X(X′X)–1R′[R(X′X)–1R′]–1R(X′X)–1X′ε]. La quantité indiquée entre crochets est un scalaire qui est donc égal à sa trace. On permute ε′X(X′X)–1R′ dans la trace, ce qui nous donne : E[e*′e*] = (n – K)σ2 + E[tr{[R(X′X)–1R′]–1R(X′X)–1X′εε′X(X′X)–1R′]}. On peut donc introduire l’opérateur espérance dans la trace et utiliser E[εε′] = σ2I pour obtenir E[e*′e*] = (n – K)σ2 + tr{[R(X′X)–1R′]–1R(X′X)–1X′σ2IX(X′X)–1R′]}. On sort σ2 de l’opérateur de trace et après avoir annulé les produits des matrices par leurs inverses, on obtient E[e*′e*] = (n – K)σ2 + σ2tr[IJ] = (n – K + J)σ2.. Exercice 12 Pour simplifier, on met la constante à la fin du vecteur de paramètres plutôt qu’au début. La contrainte est Rb – q = 0 où R = [1 1 0] donc R1 = [1] et R2 = [1,0]. Ainsi, β1 = [1]–1[1 – β2] = 1 – β2. y = (1 – β2)x1 + β2x2 + αi + ε ou y – x1 = β2(x2 – x1) + αi + ε.. © 2008 Pearson Education France.

(30) Chapitre 7 Exercice 1 Les estimations par les moindres carrés des quatre modèles donnent : q / A = 0,45237 + 0,23815ln k q / A = 0,91967 – 0,61863 / k ln (q / A) = –0,72274 + 0,35160ln k ln (q / A) = –0,032194 – 0,91496 / k Avec ces valeurs de paramètres, les quatre fonctions sont quasiment identiques. Un graphique des quatre ensembles de prédictions issus des régressions et des valeurs réelles sont présentés ci-dessous.. Exercice 2. Les résultats de la régression des différents modèles sont présentés ci-dessous (d est la variable muette égale à 1 pour les sept dernières années de la série de données. Les écarts-types des estimateurs des paramètres sont entre parenthèses).. © 2008 Pearson Education France.

(31) Chapitre 7 α β γ δ R Model 1:q/A = α + βlnk + γd + δ(dlnk) + ε .4524 .2381 .94355 (.00903) (.00932) .4477 .2396 .01900 .99914 (.00113) (.00117) (.000384) .4476 .2397 .02746 -.08883 .99915 (.00115) (.00118) (.0119) (.0126) Model 2: q/A = α – β(1/k) + γd + δ(d/k) + ε .9168 .6186 .94915 (.00891) (.0229) .9167 .6185 .01961 .99321 (.00331) (.00849) (.00108) .9168 .6187 .008651 .02140 .99322 (.00336) (.00863) (.0354) (.0917) Model 3: ln(q/A) = α + βlnk + γd + δ(dlnk) + ε -.7227 .3516 .94069 (.0137) (.0141) -.7298 .3538 .002881 .99918 (.00164) (.00169) (.000554) -.7300 .3540 .04961 -.02182 .99921 (.00164) (.00148) (.0171) (.0179) Model 4: ln(q/A) = α – β(1/k) + γd + δ(d/k) + ε -.03219 .9150 .94964 (.0131) (.0337) -.03665 .9148 .02572 .99629 (.00361) (.00928) (.00118) -.03646 .9153 .004290 .05556 .99632 (.00366) (.00941) (.0386) (.0999) 2. © 2008 Pearson Education France. e′e .00213 .000032 .000032. .001915 .000256 .000255. .004882 .000068 .000065. .004146 .000305 .000303. 31.

(32) 32. Économétrie. Le diagramme de dispersion est le suivant :. Les sept dernières années illustrent clairement le phénomène observé par Solow. Pour les quatre modèles, le test F de la troisième spécification contre la première est équivalent au test de Chow. Les statistiques sont : Modèle 1 : F = (0,002126 – 0,000032) / 2 / (0,000032 / 37) = 1 210,6 Modèle 2 : F =. = 120,43. Modèle 3 : F =. = 1 371,0. Modèle 4 : F =. = 234,64. La valeur critique de F pour 2 et 37 degrés de liberté est de 3,26. Ces résultats sont donc statistiquement significatifs. L’hypothèse que le même modèle s’applique aux deux souspériodes doit être rejetée.. © 2008 Pearson Education France.

(33) Chapitre 7. 33. Exercice 3 La statistique de F peut être calculée de la façon suivante : F = {[1 425 – (104 + 88 + ... + 211)] / (70 – 16)} / [(104 + 88 + ... + 211) / (570 – 70)] = 1,343. La valeur critique au seuil de 95 % pour la distribution F avec 54 et 500 degrés de liberté est de 1,363.. Exercice 4 En partant de l’indication donnée dans l’énoncé, on cherche à calculer c* qui est la pente sur d de la régression de q = y – cd – e sur y et d. Les coefficients de la régression sont −1. −1. ⎡ y'y y'd ⎤ ⎡ y' (y - cd - e) ⎤ ⎡ y'y y'd ⎤ ⎡ y'y - cy'd - y'e ⎤ ⎢d'y d'd ⎥ ⎢d' (y - cd - e) ⎥ = ⎢d'y d'd ⎥ ⎢d'y - cd'd - d'e ⎥ . On remarque que (y′y, ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ d′y)′ est la première colonne de la matrice inversée alors que c(y′d, d′d)′ est c fois la seconde. Une matrice inverse fois la première colonne de la matrice originale est la première colonne d’une matrice identité. Il en va de même pour la seconde. De même, étant donné que d était l’un des régresseurs originels dans (1), d′e = 0, et bien sûr, y′e = e′e. Si l’on combine tout cela, le vecteur de coefficients est : −1. −1. ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎡ y'y y'd ⎤ ⎛ e'e ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎡ y'y y'd ⎤ ⎛ 1 ⎞ −⎜ ⎟ − c⎜ ⎟ − ⎢ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ − c⎜ ⎟ − ⎢ ⎥ ⎥ ⎜ ⎟ e'e ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎣d'y d'd ⎦ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎣d'y d'd ⎦ ⎝ 0 ⎠. On s’intéresse au second coefficient. Le produit matriciel est e′e fois la première colonne de la matrice inverse, et on souhaite en calculer le second élément (en bas). Par conséquent, en rassemblant ce que l’on a calculé jusqu’à présent, on trouve que le coefficient souhaité est c* = -c – e′e fois l’élément non diagonal de la matrice inverse. L’élément non diagonal est : –d′y / [(y′y)(d′d) – (y′d)2] = –d′y / {[(y′y)(d′d)][1 – (y′d)2 / [(y′y)(d′d)]]} = –d′y / [(y′y)(d′d)(1 – ryd2 )] Par conséquent, c* = [(e′e)(d′y)] / [(y′y)(d′d)(1 – ryd2 )] – c (Les deux signes négatifs s’annulent). On peut encore simplifier l’équation. Puisque toutes les variables sont exprimées en écarts à leurs moyennes, e′e / y′y est (1 – R2) dans la régression complète. On peut donc montrer que d = P de telle sorte que : d′d = Σi (di – P)2 = nP(1-P). © 2008 Pearson Education France.

(34) 34. Économétrie. et d′y = Σi (di – P)(yi - y ) = Σi(di – P)yi = n1( y1 – y ) où n1 est le nombre d’observations pour lesquelles di = 1. En arrangeant ces termes une fois encore, on obtient : c* = {[n1( y1 – y )(1 – R2)} / {nP(1 – P)(1 – ryd2 )} – c Enfin, puisque P = n1 / n, cela simplifie encore davantage le résultat exigé dans l’exercice : c* = {( y1 – y )(1 – R2)} / {(1 – P)(1 – ryd2 )} – c Cela crée une difficulté par rapport à la théorie : dans le cadre, si c est négatif, ( y1 – y ) le sera sûrement aussi. Par conséquent, le signe de c* est ambigu.. Exercice 5 On. établit. tout. d’abord la distribution jointe des variables observées. ⎛ x *⎞ ⎛ y ⎞ ⎛ α ⎞ ⎡β 1 0 ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎢ ⎥ ⎜ ε ⎟ donc [y, x] suit une distribution normale jointe avec un ⎝ x ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎣1 0 1 ⎦ ⎜ ⎟ ⎝u ⎠. ⎛ µ *⎞ ⎛ y ⎞ ⎛ α ⎞ ⎡β 1 0 ⎤ ⎜ ⎟ ⎛ α + βµ * ⎞ vecteur de moyennes : E ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎢ ⎟ et une matrice de ⎥⎜ 0 ⎟ = ⎜ ⎝ x ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎣1 0 1⎦ ⎜ ⎟ ⎝ µ ∗ ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎡σ*2 0 0 ⎤ ⎡β 1 ⎤ 2 2 2 βσ*2 ⎤ ⎛ y ⎞ ⎡β 1 0⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎡β σ* + σε 2 0 0 covariance : Var ⎜ ⎟ = ⎢ σ 1 0 ⎢ ⎥. ε ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ σ*2 + σu2 ⎦ ⎝ x ⎠ ⎣ 1 0 1 ⎦ ⎢ 0 0 σ2 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎣ βσ* u⎦⎣ ⎦ ⎣. La limite de probabilité de la pente de la régression linéaire de y sur x est comme d’habitude, plim b = Cov[y, x] / Var[x] = β / (1 + σu2 / σ*2) < β. La limite de probabilité de la constante est : plim a = E[y] – (plim b)E[x] = α + βµ* – βµ* / (1 + σu2 / σ*2) = α + β[µ*σu / (σ*2 + σu2)] > α (en supposant que β > 0). Si, à la place, on régresse x sur y, on aura plim[b′] = Cov[y, x] / Var[y] = βσ*2 / (β2σ*2 + σε2). Ainsi, plim[1 / b′] = β + σε2 / β2σ*2 > β. Par conséquent, b et b′ encadrent le vrai paramètre (au moins dans leurs limites de probabilités). Malheureusement, sans informations supplémentaires sur σu2, on ne peut. © 2008 Pearson Education France.