Échantillonnage dépendant de l'état: une approche par cartographie basée sur des LMIs

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Échantillonnage dépendant de l’état: une approche par

cartographie basée sur des LMIs

Christophe Fiter

To cite this version:

Christophe Fiter. Échantillonnage dépendant de l’état: une approche par cartographie basée sur des

LMIs. 4èmes Journées Doctorales MACS (JDMACS ’11), Jun 2011, Marseille, France. �inria-00602569�

par artographie basée sur des LMIs

Christophe Fiter 1 1

Laboratoired'Automatique, Génie Informatiqueet Signal (CNRS FRE 3303) É ole Centrale de Lille,59651Villeneuve d'As q, Fran e

hristophe.fiter entralien s-li lle. org

RésuméL'émergen e dessystèmesembarquéset des sys-tèmes ommandés au travers de réseaux requiert la ré-du tion de l'utilisationdes harges des pro esseurs et des réseaux. Dans e travail, nous présentons un algorithme qui permet de hoisir le pas d'é hantillonnage en fon -tion de l'état.Cet algorithme maximise les temps d'inter-é hantillonnaged'une ommandeparretourd'étatlinéaire. Nous onsidérons dessystèmes linéairesinvariantsdans le tempset garantissonsla stabilitéexponentielledel'origine pour un taux de onvergen e

α

hoisi. La preuve de l'

α

-stabilité est basée sur une fon tion de Lyapunov quadra-tique al ulée grâ e à des LMIs dans le but d'optimiser ertains ritèresde performan esurles intervalles d'inter-é hantillonnage. Une artographie de l'espa e d'état est alorsréalisée hors-ligne:elleasso ie à haqueétat de l'es-pa e d'étatlepasd'é hantillonnageadmissiblemaximal, e quipermetderéduirelenombredemisesàjourde l'a tion-neurpendantle ontrledusystèmeentemps-réel.

Mots- lés Systèmes embarqués, systèmes ommandés au travers de réseaux, é hantillonnage dépendant de l'état, self-triggered ontrol,inégalitématri iellelinéaire,polytope onvexe

I. Préambule

Ce travail a été réalisé sous la dire tion de Messieurs Jean-Pierre Ri hard et Wilfrid Perruquetti, Professeurs à l'É ole Centrale de Lille,et sousl'en radrementde Mon-sieur Laurentiu Hetel,ChargédeRe her heCNRS. Je les remer ie haleureusementpourlesoutienqu'ilsm'ont ap-portétoutaulongde etravail.

Cetravailaétésoutenunan ièrementparleMinistèrede l'Édu ationSupérieureetdelaRe her he,LeConseildela RégionNord-PasdeCalaisetFEDER,aumoyendu 'Con-tratdeProjetsÉtatRégion (CPER)2007-2013'.

La re her he menant à es résultats a reçu des fonds du Septième Programme de Travail de la Communauté Eu-ropéenne (FP7/2007-2013) sous l'a ord n257462 : HY-CON2 Network of Ex ellen e "Highly-Complex and Net-workedControlSystems".

II. Introdu tion

Cesdernièresdé ennies,unegrandeattentionaété por-téeauxsystèmesembarquésetauxsystèmes ommandésau traversde réseaux [14℄.Ces systèmes présententde nom-breux avantages tels qu'un âblage réduit, des outils de "plugandplay",ainsiqu'uneagilitéetunefa ilitéde main-tenan e a rues. Cependant du point de vue du ontrle ils amènent de nouveaux dés, es systèmes devant très

tées. En pratique, ela engendre des u tuations du pas d'é hantillonnage, e qui peut avoirun eetdéstabilisant silephénomènen'estpas orre tementpris en ompte.

De nombreuses études sur la stabilité robuste par rap-portauxvariationsdupasd'é hantillonnageontétéfaites (voir[4℄,[11℄,[6℄,[5℄,et[2℄).Desre her hesintensivesont aussiété onduitespouradapterdefaçondynamiquelepas d'é hantillonnage dans le but d'assurer les performan es de ontrlesouhaitées. Onren ontre deux prin ipales ap-pro hesdanslalittérature:

Le ontrle"Event-triggered" ([12℄,[7℄,[9℄),danslequelles apteurs n'envoient leurs informations au ontrleur que lorsque ertainsévènementssontréalisés(i.e.le roisement d'unefrontièredel'espa ed'état,ouduniveaud'une fon -tionde Lyapunov).Le prin ipalin onvénientde ette ap-pro he est qu'elle requiert en général un hardware dédié pour surveiller l'état du système et regardersi les ondi-tionsdestabilitéétabliessonttoujoursvériées.

Le ontrle "Self-triggered" ([10℄, [13℄), dans lequel à haque instant d'é hantillonnage on al ule un minorant du pro hain plusgrand pas d'é hantillonnage admissible, and'émulerle ontrleevent-triggeredsansavoirre ours à un hardware supplémentaire. Cependant, dans es tra-vaux,le al ul despro hainspasd'é hantillonnageestfait enligne.Deplus,laplupartdestravauxdanslalittérature né essitentl'utilisation d'unefon tion deLyapunov,mais au uneméthoden'estdonnéepour al ulerunetelle fon -tiongarantissantlastabilitédusystèmetoutenoptimisant un ritèredeperforman esurlespasd'é hantillonnage.

Dans e papier,nous on evonshors-ligneune fon tion d'é hantillonnagedépendantdel'étatquimaximiselespas d'é hantillonnagesous ertaines onditionsdestabilité de Lyapunovexponentielles.L'appro heestbaséesurune ar-tographie de l'espa e d'état dénissant les pas d'é han-tillonnage. En utilisant des résultats ré entsde onstru -tionpolytopiquepourdesmatri espolynomiales[8℄,nous proposonsuneméthodebaséesurdesLMIspour al ulerla fon tiondeLyapunovadéquate,danslebutdemaximiser laborne inférieuredelafon tiond'é hantillonnage.

Le papier est organisé omme suit. Tout d'abord,nous introduisons les notations utilisées, Se tion III, et le pro-blème étudié, Se tion IV. Ensuite, les Se tions V et VI dé riventlaméthode proposéeet les performan es garan-ties.Enn,quelquesrésultatsdesimulationssontmontrés,

L'exposant '

T

' représente la transposition matri ielle.

M

n

(R)

est l'ensemble des matri es

n

× n

, et la nota-tion

P

≻ 0

(resp.

P

 0

) pour une matri e symétrique

P

∈ M

n

(R)

signieque

P

estdéniepositive(resp. semi-dénie positive). Le spe tre de la matri e

M

∈ M

n

(R)

sera noté Sp(

M

). Nous notons

⌊x⌋

lapartie entière de

x

(i.e. le plusgrand entier

n

vériant

x

− 1 < n ≤ x

). En-n, les notations

k.k

et

k.k

∞

seront utiliséespourdé rire la norme Eu lidienne et la norme innie respe tivement. Nousrappelonsquepourunefon tionbornée

f

: R

p

_{→ R}

q

,

kf k

∞

=

Sup

x∈R

pkf (x)k

.

IV. Énon é duproblème

On onsidèrelesystèmelinéaireinvariantdansletemps

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), ∀t ∈ R

+

x(t) = x

0

,

∀t ≤ 0,

(1) où

x

: R → R

n

et

u

: R → R

m

représentent l'état et la ommandedu système, et où lesmatri es

A

et

B

sont onstantesetdedimensionsappropriées.La ommandeest dénie ommeunretourd'état onstantparmor eaux

u(t) = −Kx(t

k

)

,

∀t ∈ [t

k

; t

k+1

),

(2)

où

K

est xée telle que

A

− BK

est Hurwitz et où

0 =

t

0

< t

1

<

· · · < t

k

<

· · ·

sontlesinstantsd'é hantillonnage vériant

lim

k→∞

t

k

= ∞

et dénispar

t

k+1

= t

k

+ τ (x(t

k

))

,

∀k ∈ N,

(3)

ave unefon tiond'é hantillonnagedépendantdel'état

τ

:

R

n

_{→ R}

₊

.

Problème Général : Étant donné le système (1) et la ommande par retour d'état (2), trouver la fon tion d'é hantillonnage dépendant de l'état

τ

qui maximise les pasd'é hantillonnagetoutenassurantlastabilité exponen-tielle del'originedusystèmepouruntauxde onvergen e

α

hoisi, aussi appelée

α

-stabilité (i.e. telle qu'il existe un s alaire

β

pour lequel toutes les traje toires vérient

kx(t)k ≤ β

e

−αt

_kx

0

k

quelle que soit la ondition initiale

x

0

).

Avant de al uler la fon tion d'é hantillonnage dépen-dantdel'état,ilnousfautdé iderquelsoutilsutiliserpour vérierla stabilité exponentielle dusystème. Dans e do-maine, lathéorie de stabilité deLyapunovse montre très e a e. Pour garder les hoses simples et fa iles à lire, nous travaillerons dans e papier ex lusivement ave des fon tionsdeLyapunovquadratiques.Nousutilisonsla pro-priété bien onnue:

Proposition 1: Soit

V

: R

n

_{→ R}

+

une fon tion de Lyapunov andidate quadratique satisfaisant

V

(x) =

x

T

_{P x,}

_{∀x ∈ R}

n

,ave

P

= P

T

_{≻ 0}

.Si la ondition

˙

V

(x) + 2αV (x) ≤ 0

(4)

est satisfaite pour toutes les traje toires de (1), pour un s alaire

α >

0

donné,alorsl'originedusystèmeest globa-lement

α

-stable.

Toutaulongde etravail,nousnous on entreronssurla résolutiondedeuxproblèmesprin ipaux.Lepremierporte surle al uldelafon tiond'é hantillonnage:

mandeparretourd'état (2),et unefon tiondeLyapunov

V

(x(t))

, trouver la fon tion d'é hantillonnage dépendant

de l'état

τ

satisfaisant la ondition de stabilité (4) de la Proposition 1qui maximise le pas d'é hantillonnage

τ(x)

pourtout

x

∈ R

n

.

On peut voir dans ette formulationque lafon tionde Lyapunovestsupposéedonnée, equimèneàsedemander s'il existe une manière intelligente de la hoisir. Puisque l'obje tifestd'é hantillonnerlemoinssouventpossible,on her heraaussiàassurerquelepasd'é hantillonnage mini-malestaussigrandquepossibleenrésolvantleproblème: Problème 2 : Étantdonné le système (1) et la om-mandeparretourd'état(2),trouverunefon tionde

Lyapu-nov

V

(x(t))

qui assurel'existen e d'unefon tion

d'é han-tillonnage

τ

satisfaisantla onditiondestabilité (4) de la Proposition1etpourlaquellelepasd'é hantillonnage mi-nimal

τ

= inf

x

∈R

n

τ(x)

estmaximal.

V. Unepropriété destabilité générique L'obje tifde ettese tionestdeproposerdes onditions de stabilité vériablesenpratique àpartirde elles de la Proposition 1. Dans e but, nous démontrons le Lemme suivant,quiserautilisé ommeune basedurantl'étude:

Lemme2: Soituns alaire

α >

0

.Siilexisteunematri e

P

= P

T

_{≻ 0 ∈ M}

n

(R)

etunefon tionbornée

τ

: R

n

_{→ R}

+

tellesquepourtout

x

∈ R

n

et

σ

∈ [0; τ (x)]

:

x

T

Φ

P,α

(σ)x ≤ 0,

(5) ave

Φ

P,α

(σ) =



_Λ(σ)

I



T



A

T

_P

+ P A + 2αP

−

P BK

−

K

T

_B

T

_P

0

 

_Λ(σ)

I



(6) et

Λ(σ) = I +

Z

σ

0

e

sA

_{ds(A − BK),}

(7) alorsl'originedusystème(1),(2)estglobalement

α

-stable pourune fon tiond'é hantillonnagevariantdansletemps

˜

τ

: R

+

× R

n

→ R

+

quel onque, dénissant des instants d'é hantillonnageparlaloi

t

k+1

= t

k

+ ˜

τ(t

k

, x(t

k

)), k ∈ N

et satisfaisant

0 < ˜

τ(t, x) ≤ τ (x)

pour tout

t

∈ R

+

et

x

∈ R

n

.

Preuve: Soit

α >

0

donné.Soit

P

= P

T

_{≻ 0 ∈ M}

n

(R)

et

V

(x) = x

T

_{P x}

lafon tionquadratiqueasso iée.Pourle systèmeétudié,la onditiondestabilité(4)dela Proposi-tion 1 peut être réé rite omme : pour tout

k

∈ N

, pour tout

t

∈ [t

k

; t

k+1

)

,

 x(t)

x(t

k

)



T

A

T

_P

_{+ P A + 2αP}

_{−P BK}

−K

T

_B

T

_P

₀

  x(t)

x(t

k

)



≤ 0.

Prenons maintenant une fon tion bornée

τ

: R

n

_{→ R}

+

et une fon tiond'é hantillonnage

τ

˜

: R

+

× R

n

_{→ R}

+

dé-nissant des instants d'é hantillonnage par la loi

t

k+1

=

t

k

+ ˜

τ(t

k

, x(t

k

)), k ∈ N

et satisfaisant

0 < ˜

τ(t, x) ≤ τ (x)

pourtout

t

∈ R

+

et

x

∈ R

n

. Pourunetraje toiredonnée de (1),

k

∈ N

, et pour

t

∈ [t

k

; t

k+1

)

, en utilisant les no-tations

x

= x(t

k

)

et

σ

= t − t

k

≤ ˜

τ(t

k

, x(t

k

)) ≤ τ (x(t

k

))

, on peut é rire

x(t) = Λ(σ)x

, ave

Λ(σ)

déni en (7), de

é rites omme:pourtout

x

∈ R

n

,pourtout

σ

∈ [0; τ (x)]

,

x

T

_Φ

P,α

(σ)x ≤ 0

,ave

Φ

P,α

(σ)

dénien(6).

Remarque 1 : Puisque le système linéaire invariant dans le temps (1) est supposé asymptotiquement stable

ave

u(t) = −Kx(t)

,onpeutmontrerqu'ilexisteun ouple

deparamètres

α

,

P

satisfaisant

Φ

P,α

(0) = (A − BK)

T

_P

₊

P

(A − BK) + 2αP ≺ 0

etque,pourdetelsparamètres,on

peuttrouverdesfon tionsd'é hantillonnage

τ

vériantles onditionsdestabilité duLemme2qui sontminoréespar uns alairestri tementpositif,évitantdon toutproblème dephénomènedeZénon.

Remarque 2 : Si une fon tion d'é hantillonnage dé-pendantde l'état

τ

: R

n

_{→ R}

+

satisfaitles onditionsdu Lemme2,pourun

P

et un

α

donnés,alorslesystèmesera globalement

α

-stable quelle que soit la loi d'é hantillon-nage variable

τ

k

= t

k+1

− t

k

vériant à haque instant d'é hantillonnage

0 < τ

k

≤ τ (x(t

k

))

. En parti ulier, si

τ

est minorée par une onstante

τ

∗

,

τ(x) ≥ τ

∗

_,

_{∀x ∈ R}

n

, l'originedusystèmeseraglobalement

α

-stablepourunpas d'é hantillonnagevariablequel onquebornépar

τ

∗

. Remarque 3 : Pourunquel onque état

x

6= 0

donné, les onditionsdestabilitéduLemme2sontlesmêmespour

tout état

y

= λx, λ ∈ R

∗

.Par onséquent,il sut de tra-vaillerave desfon tionsd'é hantillonnage(dépendant de l'état)homogènesdedegré

0

(i.e.satisfaisant

τ(λx) = τ (x)

pour tout

x

∈ R

n

,

λ

∈ R

∗

) et de vérier les onditions de stabilité du Lemme 2 sur la

n

-sphère unité quand on her heàrésoudreleProblème1.

Remarque4: Lemêmetypede onditionsdestabilité peutêtreobtenugrâ eàdesfon tionsde type Lyapunov-Razumikhin [3℄ou desfon tions deLyapunov-Krasovskii. Dans esdeux as,seulelafon tionmatri ielle

Φ(.)

hange. Le Lemme 2 donne des onditions de stabilité prélimi-nairespourunsystème ommandéparretourd'étatave un é hantillonnage dépendant de l'état. Cependant, on peut remarquer qu'il y a une innité d'inégalités à vérier à ausedesdépendan estemporelleetspatialede es ondi-tions.

VI. Uneméthodenumérique pour obtenirun nombre finide onditions destabilité I i, nous proposons une méthode en deux temps pour obtenir unnombre ni de onditionsde stabilité àpartir duLemme2:

Enveloppement onvexesuivantletemps:Lafon tion ma-tri ielle

Φ

P,α

estrempla éeparunnombrenidematri es onstantesquienveloppentdefaçon onvexe[8℄ ette fon -tion :pour ela, undéveloppementde Taylorde

Φ

P,α

est utilisé.

Dis rétisation de l'espa e : Enn, l'espa e d'état est di-viséenrégions oniquesdanslebutde on evoirune fon -tion d'é hantillonnage (dépendant de l'état) de sorte que les onditionsduLemme2soientsatisfaites.

Un nombre ni de onditions de stabilité LMI seront alorsé ritespour al ulerlafon tiondeLyapunov

V

(x) =

x

T

_{P x}

résolvantleProblème2etpour onstruirehorsligne la fon tiond'é hantillonnage dépendant del'état asso iée

τ

résolvantleProblème1.

Dans ette partie, l'obje tif est d'obtenir un nombre ni de onditions de stabilité susantes pour satisfaire

x

T

_Φ

P,α

(σ)x ≤ 0, ∀σ ∈ [0; σ]

pourunétat

x

,un s alaire

σ

etdesparamètres

P

,

α

et

τ

donnés,danslebut derendre les onditionsde stabilité duLemme 2 indépendantes du temps.

L'idéesous-ja entel'enveloppement onvexeestd'utiliser notre onnaissan edusystème pourprédirel'évolutionde l'étatdanslebutde onstruireunpolytope onvexeautour de la fon tion

Φ

P,α

(.)

et ainsi obtenir un nombre ni de onditions de stabilité sur les sommets. La méthode est proposée ommesuit:

Théorème 3: Soient des s alaires

α >

0

,

σ >

¯

0

et des entiers

N

≥ 0

,

l

≥ 1

donnés.

Si il existe une matri e

P

= P

T

_{≻ 0 ∈ M}

n

(R)

et une fon tion bornée

τ

: R

n

_{→ R}

+

satisfaisant

kτ k

∞

≤ ¯

σ

et telles que pourtout

x

∈ R

n

, pour tout

i

∈ {0; · · · ; N }

et pourtout

j

∈ {0; · · · ; ⌊

τ(x)l

¯

σ

⌋}

, les onditions

x

T

_Φ

i,j

x

≤ 0

sontsatisfaites,ave

Φ

i,j

= ˆ

Φ

i,j

+ νI,

(8)







ˆ

Φ

i,j

=



P

i

k=0

L

k,j

σ

¯

_l

k



si

j <

⌊

τ(x)l

¯

σ

⌋,

ˆ

Φ

i,j

=



P

i

k=0

L

k,j

τ(x) −

j¯

_l

σ

k



sinon

,

(9)































L

0,j

= Π

T

3,j

Π

1

Π

3,j

− Π

T

3,j

Π

2

− Π

T

2

Π

3,j

,

L

1,j

= Π

T

4,j

(Π

1

Π

3,j

− Π

2

) + (Π

T

3,j

Π

T

1

− Π

T

2

)Π

4,j

,

L

k≥2,j

= Π

T

4,j

(A

k−1

₎

T

k!

(Π

1

Π

3,j

− Π

2

)

+(Π

T

3,j

Π

T

1

− Π

T

2

)

A

k−1

k!

Π

4,j

+Π

T

4,j



P

k−1

i=1

(A

i−1

₎

T

i!

Π

1

A

k−i−1

(k−i)!



Π

4,j

,

(10)



Π

1

= A

T

P

+ P A + 2αP

,

Π

2

= P BK,

Π

3,j

= I + M

j

(A − BK)

,

Π

4,j

= N

j

(A − BK),

(11)

M

j

=

Z

j

¯

σ

_l

0

e

As

_ds

,

N

j

= AM

j

+ I,

(12) et

ν

≥

max

σ

′

_{∈ [0;}

σ

¯

l

]

r

∈ {0; · · · ; l − 1}

max

λ∈

Sp

(

Φ

P,α(

σ

′

+r

¯

σ

l

)

− ˆ

Φ

P,α,N,r

(σ

′

)

)

λ

!

,

(13) ave lafon tion

Φ

ˆ

P,α,N,r

déniesur

[0;

¯

σ

l

]

par

ˆ

Φ

P,α,N,r

(σ

′

) =

N

X

k=0

L

k,r

σ

′k

,

(14)

alorsl'originedusystème(1),(2)estglobalement

α

-stable pourune fon tiond'é hantillonnagevariantdansletemps

˜

τ

: R

+

× R

n

→ R

+

quel onque, dénissant des instants d'é hantillonnageparlaloi

t

k+1

= t

k

+ ˜

τ(t

k

, x(t

k

)), k ∈ N

et satisfaisant

0 < ˜

τ(t, x) ≤ τ (x)

pour tout

t

∈ R

+

et

x

∈ R

n

.

Lapreuve,qui dé rit leprin ipe endétail,setrouveen Annexe. Par rapport au Lemme 2, le Théorème 3 réduit le nombre de onditions d'

α

-stabilité. Elles reposent sur unnombre nide matri es

Φ

ˆ

i,j

représentantles sommets du polytope onvexe onstruit autour de l'approximation

polynomialedelafon tion

Φ

P,α

(.)

,etsuruns alaire

ν

qui borne l'erreurd'approximation.Il est possiblede al uler uneestimation de etteborne

ν

enutilisantunmaillage.

Lenombrede onditionsd'

α

-stabilitéàsatisfaireadon étéréduit,maisilyatoujoursuneinnitéde onditionsà vérierparrapportàl'état

x

.

B. Résultat prin ipal

Nous rappelonsque lorsque l'ons'atta he àrésoudre le Problème1,ilest susantdetravaillerave desfon tions d'é hantillonnage (dépendantde l'état)homogènesde de-gré

0

(voirRemarque3). Par onséquent,pourobtenirun nombre ni de onditions, il devient naturel de vouloir diviser l'espa e d'état en un nombre ni de sous-espa es

R

s

dénis pardes régions oniques entrées sur l'origine, et d'essayer de al uler pour haque sous-espa e son pas d'é hantillonnagemaximaladmissible

τ

s

, ommelemontre laFigure1pourunsystème à2dimensions.

Fig.1. Divisiondel'espa ed'étatensous-espa es oniques Lethéorèmequisuitdonneunnombrenide onditions permettantderésoudre eproblème.

Théorème4: Soientunematri e

P

= P

T

_{≻ 0 ∈ M}

n

(R)

, dess alaires

α >

0

et

σ >

¯

0

et desentiers

N

≥ 0

et

l

≥ 1

donnés.

Ondivisel'espa ed'étatenunepartitionde

q

sous-espa es oniques

R

s

, s

∈ {1; · · · ; q}

,dénispourtout

s

∈ {1; · · · ; q}

par

R

s

= {x ∈ R

n

_{, x}

T

_Q

s

x

≥ 0}

, ave

Q

s

= Q

T

s

∈

M

n

(R)

, et on dénit des pas d'é hantillonnage pour es sous-espa es,

τ

1

,

· · · , τ

q

, satisfaisant

τ

s

≤ ¯

σ

pour tout

s

∈ {1; · · · ; q}

, et une fon tion bornée

τ

: R

n

_{→ R}

+

vé-riant

τ(x) = τ

s

pourtout

x

∈ R

s

,

s

∈ {1; · · · ; q}

.

Si il existe des s alaires

ε

s,i,j

≥ 0

tels que les ondi-tions LMI

Φ

i,j,s

+ ε

s,i,j

Q

s

 0

sontsatisfaites pour tout

i

∈ {0; · · · ; N }

,

s

∈ {1; · · · ; q}

et

j

∈ {0; · · · ; ⌊

τ

s

l

¯

σ

⌋}

,ave

Φ

i,j,s

= ˆ

Φ

i,j,s

+ νI,

(15)







ˆ

Φ

i,j,s

=



P

i

k=0

L

k,j

σ

¯

_l

k



si

j <

⌊

τ

s

l

¯

σ

⌋,

ˆ

Φ

i,j,s

=



P

i

k=0

L

k,j

τ

s

−

j¯

_l

σ

k



sinon

,

(16)

ave les

L

k,j

et

ν

dénis par les équations (10) à (14), alorsl'originedusystème(1),(2)estglobalement

α

-stable pourunefon tiond'é hantillonnagevariantdansletemps

˜

τ

: R

+

× R

n

→ R

+

quel onque, dénissant des instants d'é hantillonnageparlaloi

t

k+1

= t

k

+ ˜

τ(t

k

, x(t

k

)), k ∈ N

et satisfaisant

0 < ˜

τ(t, x) ≤ τ (x)

pour tout

t

∈ R

+

et

x

∈ R

n

. Preuve: Soit

x

∈ R

n

. Il existe un sous-espa e

R

s

=

{x ∈ R

n

_{, x}

T

_Q

s

x

≥ 0}

,

s

∈ {1; · · · ; q}

,

Q

s

= Q

T

s

, telque

x

∈ R

s

et

τ(x) = τ

s

. En utilisant la version sans perte

de la S-pro edure [1℄, on établit quequels quesoient

i

∈

{0; · · · ; N }

et

j

∈ {0; · · · ; ⌊

τ

s

l

¯

σ

⌋}

la ondition

x

T

_Φ

i,j,s

x

≤

0, x ∈ R

s

estsatisfaitesietseulementsiilexisteuns alaire

ε

s,i,j

≥ 0

telque

Φ

i,j,s

+ ε

s,i,j

Q

s

 0

. Par onséquent,si la ondition

Φ

i,j,s

+ ε

s,i,j

Q

s

 0

est satisfaite pour tout

i

∈ {0; · · · ; N }

, pourtout

s

∈ {1; · · · ; q}

et pour tout

j

∈

{0; · · · ; ⌊

τ

s

l

¯

σ

⌋}

,alorsles onditionsdestabilitéduThéorème 3sontsatisfaitespourtout

x

∈ R

n

, equia hèvelapreuve. Corollaire 5: Soientdes s alaires

α >

0

et

σ >

¯

0

etdes entiers

N

≥ 0

et

l

≥ 1

donnés.On dénitunpas d'é han-tillonnage

τ

∗

_{≤ ¯}

_σ

pour tout l'espa e d'état : la fon tion d'é hantillonnage

τ

: R

n

_{→ R}

+

satisfait

τ(x) = τ

∗

pour tout

x

∈ R

n

.

Si il existe une matri e

P

= P

T

_{≻ 0 ∈ M}

n

(R)

telle queles onditionsLMI

Φ

i,j

 0

sontsatisfaitespourtout

i

∈ {0; · · · ; N }

et

j

∈ {0; · · · ; ⌊

τ

∗

_l

¯

σ

⌋}

, ave

Φ

i,j

déni par leséquations(8)à(14),alorsl'originedusystème(1)ave le ontrle (2) est globalement

α

-stable pour tout é han-tillonnagevariablebornépar

τ

∗

.

Preuve: LapreuvevientnaturellementduThéorème 4entravaillantave unseulsous-espa e:

R

n

même. C. Algorithmegénéral

Le Théorème 4et le Corollaire 5sontles solutionsdes Problèmes1et2respe tivement.AlorsqueleCorollaire5 donneunmoyende al ulerleparamètre

P

delafon tion deLyapunovmaximisantlaborneinférieure

τ

∗

dela fon -tiond'é hantillonnage

τ

sousles onditionsdestabilitéde la Proposition 1, le Théorème 4 permet de maximiser la fon tiond'é hantillonnagesurdesrégionsdonnéesde l'es-pa ed'état pourun

P

donné.Laméthodepourappliquer late hniquequenousproposonsestlasuivante:

- Tout d'abord, utiliser le Corollaire 5 ave

ν

= 0

en premier lieu, et al uler leparamètre

P

de lafon tionde Lyapunovdonnantuneapproximation

˜

τ

∗

duplusgrand

τ

∗

admissible.

-Ensuite, al ulerlavariable

ν

orrespondantàla fon -tion de Lyapunov ainsi obtenue. Ilest possible, bien que elanesoitpasné essairepourl'algorithme,de al ulerla vraieborneinférieure

τ

∗

vériantles onditionsdestabilité duCorollaire5enutilisantle

P

etle

ν

al ulés.

-Enn, utiliserles onditionsLMI duThéorème4ave les valeurs al ulées de

P

et

ν

pour trouver le fon tion d'é hantillonnage dépendant de l'état

τ

maximale. Il est possible de résoudre les LMIs pour maximiser les pas d'é hantillonnage

τ

s

sous-espa eparsous-espa e.Lan erla re her hedespasd'é hantillonnagesmaximumadmissibles

τ

s

enayantdebonnesestimations(obtenuesparexempleen utilisantleThéorème3et unmaillagesurl'espa ed'état) peutrendrelare her heplusrapide.

VII. Exemple numérique On onsidèrele lassique doubleintégrateur:

˙x(t) =

0 1

₀

₀



x(t) −

0

₁



Kx(t

k

),

K

= 2 3
.

Onrègleledegrédel'approximationpolynomiale

N

= 5

, le nombre de subdivisions polytopiques

l

= 100

, et le nombrederégions

q

= 1000

.Onpeutalorsobtenirune ar-tographie de l'espa e d'état donnantle pas d'é hantillon-nage admissiblemaximal pour haqueétat, pour untaux de onvergen e

α >

0

donné, grâ e au Corollaire 5et au Théorème4.Lesfon tionsd'é hantillonnagedépendantde l'étatobtenueshorsligneassurantlastabilitéexponentielle del'originedusystèmepourdiérentstauxde onvergen e

α

sontprésentéesFigure2,enutilisantl'angle

θ

des oor-donnéessphériquesdel'état.

−3

−2

−1

0

1

2

3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

θ

(rad)

τ

max

(s)

α

=0

α

=0.2

α

=0.4

α

=0.6

α

=0.8

α

=0.9

Fig.2. Fon tiond'é hantillonnage

τ

dépendantdel'état(sonangle) pourdiérentstauxde onvergen e

α

.

Notonsquepourdespasd'é hantillonnages onstants su-périeursà

T

max

= 0.67s

,lamatri edetransitiondumodèle dis retn'estplusS hur,etdon lesystèmeestinstable. Ce-pendant,on peut observerqu'ave late hnique proposée, pour ertainssous-espa esdel'espa ed'état,onpeutaller plusloinque ettelimite

T

max

.

LaFigure 3montredes résultatsobtenus ensimulation ave

α

= 0

etunétatinitial hoisialéatoirement.Lagure montre tout d'abord les pas d'é hantillonnage (en bleu), ave le minimum (en rouge)de la fon tion d'é hantillon-nage al uléehorsligne,et la "limitedeS hur"

T

max

(en magenta), avant de montrer la fon tion de Lyapunov dé- roissante et la ommande. On remarque qu'en moyenne lepasd'é hantillonnageestsupérieuràlalimite deS hur

T

max

.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

1

2

τ

(x(t

k

))

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

20

40

V(x(t))

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

−20

0

20

t

u(t)

Fig.3. Tempsd'inter-é hantillonnage

τ

(x(t

k

))

,évolutiondela fon -tiondeLyapunov

V

(x) = x

T

_{P x}

,et ommande

u

(t)

pouruntaux de onvergen e

α

= 0

.

VIII. Con lusion

Nousavonsintroduitune méthodebasée surdes ondi-tionsdestabilitédeLyapunovpour onstruireunefon tion d'é hantillonnagedépendantde l'état

τ

assurant la stabi-lité exponentielle globale ave un taux de onvergen e

α

hoisi pourdessystèmes àretourd'étatlinéaire.Elle pré-sentedeuxavantagesprin ipaux.

Lepremieravantageestquelaméthodepermetde maxi-miser le pas d'é hantillonnage minimal

τ

∗

de la fon tion d'é hantillonnage dépendant de l'état

τ

, et de al uler la fon tiondeLyapunovquadratiqueasso iée.

Le se ond avantage est que la méthode permet de onstruire hors ligne une artographie de l'espa e d'état ave un pas d'é hantillonnage admissible maximal pour haquesous-espa e.Lenombred'opérationsdevantêtre ef-fe tuéenligneestalorsréduitauminimumpuisqu'à haque instantd'é hantillonnage

t

k

ilsutde al ulerles oordon-néessphériquesdel'état

x(t

k

)

,regarderetmémoriserlepas d'é hantillonnageasso ié

τ(x(t

k

))

déterminéhorsligne,et a tualiserla ommande

u(t) = −Kx(t

k

)

.

Nosaxesdere her hea tuelsportentsurl'extensionde esrésultatsauxsystèmesnonlinéairesetperturbés.

IX. Annexes

Preuve du Théorème 3: Pour prouver le Théorème 3, nous avons d'abord besoin d'introduire deux Lemmes importants.

Lemme6: (Démontrédans[8℄)On onsidèrelafon tion matri iellepolynomiale

L(σ) = L

0

+ L

1

σ

+ · · · + L

N

σ

N

tellequelavariable

σ

estpositivebornée:

0 < σ < σ

. Alors,onpeuttrouverunpolytope onvexeformépar

N

+1

sommetsquienveloppelafon tionmatri iellepolynomiale

L(σ)

,i.e.il existeunefamilleindexée

µ

i

(σ) > 0

,

i

= 0..N

,

vériant

N

X

i=1

µ

i

(σ) = 1

,ettelle que

L(σ) =

N

X

i=1

µ

i

(σ)U

i

oùlesmatri es

U

i

représententlessommetsdupolytopeet sontdonnéespourtout

i

= 0..N

par

U

i

=

i

X

k=0

σ

k

L

k

.

Lemme7: On onsidère un état

x

∈ R

n

, des s alaires

¯

σ >

0

,

0 < σ ≤ ¯

σ

, des entiers

N

≥ 0

,

l

≥ 1

, et des paramètres

α >

0

,

P

= P

T

_{≻ 0 ∈ M}

n

(R)

. Si les ondi-tions

x

T

_Φ

i,j

x

≤ 0

sontsatisfaitespourtout

i

∈ {0; · · · ; N }

et

j

∈ {0; · · · ; ⌊

σl

¯

σ

⌋}

, ave lesmatri es

Φ

i,j

dénies parles équations(8)à(14)(ave

σ

remplaçant

τ(x)

dansles équa-tions), alors pour tout

σ

∈ [0; σ]

,

x

T

_Φ

P,α

(σ)x ≤ 0

, ave

Φ

P,α

(σ)

dénipar(6).

PreuveduLemme7: Soit

x

∈ R

n

,

σ >

¯

0

,

0 < σ ≤ ¯

σ

,

N

≥ 0

,

l

≥ 1

,

P

= P

T

_{≻ 0 ∈ M}

n

(R)

et

α >

0

.Lapreuve duLemmeestdiviséeenquatreétapes.

1. Toutd'abord, ondivisel'intervalle de temps

[0; ¯

σ]

en

l

sous-divisions et on prend un temps

σ

≤ σ

dans une de

es sous-divisions. Le but de ette étape est de préparer le terrain pour al uler une estimation pré ise de

Φ

P,α

(.)

en onstruisant

l

petits polytopes onvexes autour de la fon tion au lieu d'en onstruire un seul gros (voirFigure 4).

2. Ensuite, on al ule une approximation polynomiale de

Φ

P,α

(.)

pourlasous-division onsidérée.

3. Après, onbornel'erreurrésiduellede ette approxima-tionpolynomialeave unterme onstant.

4. Enn,on onstruitunpolytope onvexeautourde l'ap-proximationpolynomialeenutilisantlaméthodeproposée dans [8℄ (voir Lemme 6), pour obtenir le nombre ni de onditionsdésiré.

Fig.4. Constru tiondessous-divisionspolytopiques Étape1: Ondivisel'intervalledetemps

[0; ¯

σ]

en

l

sous-divisions

[j

¯

σ

l

; (j + 1)

¯

σ

l

]

,ave

j

∈ {0; · · · ; l − 1}

.Prenons

σ

∈

[0; σ]

.Ilexiste

j

∈ {0; · · · ; ⌊

σl

¯

σ

⌋}

telque

j

¯

σ

l

≤ σ ≤ (j + 1)

¯

σ

l

. On dénit alors

σ

′

_{= σ − j}

¯

σ

l

(

σ

′

_{∈ [0; χ]}

, ave

χ

=

¯

σ

l

si

j <

⌊

σl

_σ

_¯

⌋

,et

χ

= σ −

j¯

σ

l

sinon).

Étape2: Pouravoirdeséquationspluslégères,ondénit

Π

1

= A

T

P

+ P A + 2αP

et

Π

2

= P BK

. A partir des

équations(6)et (7),ondéduitque

Φ

P,α

(σ) = Λ(σ)

T

Π

1

Λ(σ) − Λ

T

(σ)Π

2

− Π

T

2

Λ(σ).

(17)

Pourobteniruneexpressionutilede

Λ(σ)

ommefon tion de

σ

′

,onutiliselarelationsuivante,obtenueaprèsquelques al ulsélémentaires:

Z

a+b

0

e

As

_ds

₌

Z

a

0

e

As

_ds

₊

Z

b

0

e

As

_ds



A

Z

a

0

e

As

_ds

_{+ I}



,

qui estsatisfaitepourtouts alaires

a

et

b

,pourobtenir

Λ(σ) = I +



M

j

+

R

σ

′

0

e

As

_dsN

j



(A − BK)

= Π

3,j

+

R

σ

′

0

e

As

_dsΠ

4,j

,

(18) ave

M

j

=

R

j

σ

¯

l

0

e

As

_ds

,

N

j

= AM

j

+ I

,

Π

3,j

= I + M

j

(A −

BK)

,et

Π

4,j

= N

j

(A − BK)

.Onnotealorsque

Z

σ

′

0

e

As

_ds

₌

∞

X

i=1

A

i−1

i!

σ

′i

.

(19)

En ombinantleséquations(17),(18)et(19),onpeuté rire

Φ

P,α

(σ) =

∞

X

k=0

L

k,j

σ

′k

,

(20)

ave les

L

k,j

dénispar(10).Ilestalorspossibled'exprimer une approximationpolynomiale d'ordre

N

de

Φ

P,α

sur la sous-divisiontemporelle

[j

¯

σ

l

; (j + 1)

¯

σ

l

]

par

ˆ

Φ

P,α,N,j

(σ

′

) =

N

X

k=0

L

k,j

σ

′k

, σ

′

∈ [0;

¯

σ

l

].

Étape 3 : Notons le résidu de l'approximation

R

P,α,N,j

(σ

′

) = Φ

P,α

(σ) − ˆ

Φ

P,α,N,j

(σ

′

)

. Si on peut al u-ler une borne ave un s alaire

ν

indépendant de

σ

′

telle que

R

P,α,N,j

(σ

′

_{)  νI}

,alorsla ondition

x

T

_{( ˆ}

_Φ

P,α,N,j

(σ

′

)+

νI)x ≤ 0

entrainera

x

T

_Φ

P,α

(σ)x ≤ 0

. Pourun

σ

′

donné, puisque

R

P,α,N,j

(σ

′

_{) = Φ}

P,α

(σ) − ˆ

Φ

P,α,N,j

(σ

′

)

est symmé-trique,alorssionnote

λ

σ

′

laplusgrandevaleurproprede

R

P,α,N,j

(σ

′

)

,ona

R

P,α,N,j

(σ

′

_{)  λ}

σ

′

I

. Par onséquent, on peut é rire

R

P,α,N,j

(σ

′

_{)  νI}

ave

ν

une onstantedéniepar(13).

Étape 4 : Puisque la fon tion

Φ

ˆ

P,α,N,j

(.) + νI :

[0; χ] → M

n

(R)

est polynomiale, on peut utiliser le

po-lytope onvexe présenté dans le Lemme 6 pour prouver que si

x

T

_Φ

i,j

x

≤ 0

pourtout

i

∈ {1; · · · ; n}

, ave

Φ

i,j

=



P

i

k=0

L

k,j

χ

k



+ νI

,alors

x

T

_{( ˆ}

_Φ

P,α,N,j

(σ

′

) + νI)x ≤ 0

,et don

x

T

_Φ

P,α

(σ)x ≤ 0

, e qui a hèvelapreuveduLemme

7.

LapreuveduThéorème 3est obtenueen implémentant les onditionsdu Lemme7 pour satisfaire

x

T

_Φ

P,α

(σ)x ≤

0, ∀σ ∈ [0; ¯

σ]

dansleLemme2ave

σ

¯

≥ kτ k

∞

et

σ

= τ (x)

, pourtout

x

∈ R

n

.

Référen es

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