ARTheque - STEF - ENS Cachan | Préparation aux ENIAM : Mouvement circulaire uniforme d'un point.

P r é p a r a t i o n a u x E . N . I . A . M .

M ouvement circulaire uniforme

d'un

point

L'enseignement de la mécanique est particulièrement délicat et, faute d'un langage rigoureux, on risque d'inculquer des notions fausses aux élèves. C'est ainsi que la considération de la soi-disant force centrifuge, très répandue dans certains livres élémentaires, est à proscrire rigoureusement. Peut-être permet-elle des explications très simples de certains phénomènes, mais ce n'est pas une raison pour laisser croire que la force centrifuge est une force, au sens classique du mot. Bien entendu, il faut parler de la force d'inertie centrifuge, conformément aux indications du programme, mais on ne doit pas en abuser dans un cours élémentaire dont le rôle essentiel est de préciser les notions fondamentales de la mécanique, et en particulier celle de force.

On trouvera ci-dessous un exposé de la leçon qui correspond essentiellement aux applications de ce que l'on désigne souvent à tort sous le nom de force centrifuge.

I.

Etude dynamique du mouvement circulaire uniforme.

Considérons un point matériel M, de masse m, qui se déplace sur une circonférence de rayon R avec une vitesse algébrique constante égale à v (fig. 1). On sait que le mobile est soumis à une accélération qui se réduit à l'accélération nor-male y n ; elle est dirigée vers le centre, et son module est égal à v-, En tenant compte de la vitesse

r 7

angulaire w , on peut écrire : y„ — w- R.

La force (ou d'une façon plus générale, la résul-t a n résul-t e des forces) qu'il f a u résul-t appliquer au mobile pour lui communiquer un mouvement circulaire a pour intensité : F = m y» = m co2 _R.

Elle a même direction que l'accélération, et est p a r suite constamment dirigée vers le centre O de la trajectoire ; aussi l'appelle-t-on parfois force

cen-tripète.

On remarquera que cette force est indépendante du sens de parcours sur la circonférence.

Cette force a pour but d'obliger le mobile à décrire la trajectoire circulaire ; si elle cesse d'exis-ter, d'après le principe de l'inertie, le mobile prend un mouvement - rectiligne uniforme dont la trajec-toire est la direction de la., vitesse à l'instant où la force est supprimée, c'est-à-dire la tangente à la courbe ; le sens de parcours est celui de la vitesse, et la vitesse a la valeur v.

Etude, de la réalisation matérielle du mouvement circulaire uniforme.

Pour obliger le mobile M à décrire la circonfé-rence, on peut réaliser divers dispositifs ; exemples : corps de petites dimensions glissant à l'intérieur d'un tube circulaire, curseur glissant le long d'un fil circulaire de section constante, corps attaché à l'extrémité d'un fil inextensible (cas d'une fronde). Reprenons ce dernier exemple, et faisons tourner rapidement le corps M de façon à ce que l'on puisse

Fig. 1 Fig. 2

négliger l'influence de la pesanteur (fig. 2). Dans ces conditions, le corps M est soumis à la seule

forc e de liaison qui l'oblige à décrire la circonfé-rence, c'est-à-dire à la tension du fil T (1).

D ' a p r è s la loi f o n d a m e n t a l e de la d y n a m i q ue qui f a i t intervenir a u m ê m e t i t r e les forces de liaison et les forces actives, on a : T — m y .

L a tension du fil est donc c o n s t a m m e n t dirigée vers le p o i n t O et a pour intensité m to2 _{R I elle}

est égale à la f o r c e centripète définie p r é c é d e m m e n t . ' On peut être étonné de la seule présence de cette force, puisque le mobile ne se r a p p r o c h e p a s ^ du centre ; m a i s on n'oubliera p a s que le mobile n'est p a s en équilibre et qu'il a t e n d a n c e à quitter la t r a j e c t o i r e circulaire par suite de son inertie et de sa vitesse.

II. — APPLICATION S QUALITATIVES D U M O U V E M E N T CIRCULAIRE U N I F O R M E

D a n s l'expérience précédente, le corps M est m a i n t e n u s^r la t r a j e c t o i r e g r â c e à la tension du fil. Mais si celle-ci est i n f é r i e u r e à la valeur mto2 _R,

le corps v a s ' é c a r t e r de la t r a j e c t o i r e . Ainsi, si l'on f a i t t o u r n e r à la m a i n u n corps a t t a c h é p a r u n fil de caoutchouc, on constate que celui-ci s'allonge d ' a u t a n t plus que la vitesse de r o t a t i o n est plus g r a n d e . L o r s d'une a u g m e n t a t i o n de vitesse, le. corps s'écarte de la circonférence qu'il décrivait, m a i s l'allongement causé e n t r a î n e u n accroissement de la tension du fil qui a t t e i n t la nouvelle valeur de w t o2 _{R. On conçoit que lorsqu'on a t t e i n t une}

cer-t a i n e valeur m cer-to 2 _{R supérieure à la c h a r g e}

né-cessaire pour r o m p r e le fil, il y a u r a r u p t u r e . D'une f a ç o n générale, q u a n d u n solide t o u r n e autour d ' u n axe, tout élément situé hors de l'axe doit être soumis à une f o r c e dirigée vers l'axe, n o r m a l e m e n t à cet axe, et égale à m to 2 _{R ; m}

désigne la m a s s e de l'élément, to la vitesse a n g u l a i r e et R la distance du p o i n t à l'axe. Si la f o r ce de cohésion appliquée à l'élément considéré est infé-rieure à m to 2 _{R, cet élément s ' é c a r t e de l'axe, le}

m é t a l subit une d é f o r m a t i o n de telle f a ç o n que la f o r c e . d e cohésion a u g m e n t e suffisamment pour réa-liser la valeur égale à m to 2 _{R. Au f u r et à m e s u r e}

que la vitesse croît, le m é t a l subit ainsi au voisi-n a g e d e l'élémevoisi-nt covoisi-nsidéré uvoisi-ne d é f o r m a t i o voisi-n élas-tique, puis u n e d é f o r m a t i o n p e r m a n e n t e . A p a r t i r d'une certaine vitesse, l'expression m to 2 _{R est telle}

que la forc e intérieure appliquée à l'élément est égale à la limite possible de la f o r c e de cohésion. Si cette vitesse est dépassée, il y a disjonction de l'élément vis-à-vis du reste du corps, l'élément dé-t a c h é p r e n d le mouvemendé-t d ' u n poindé-t p e s a n dé-t lancé obliquement d a n s le vide, si t o u t e f o is on peut né-gliger la résistanc e de l'air ; il décrit donc une

parabole qui, au point origine du mouvement, pré-sente une t a n g e n t e commune avec la circonférence décrite précédemmen t p a r l'élément.

Voici quelques applications de cette théorie : 1° Essoreuses. P o ur séparer un liquide d'un solide, il suffit de s o u m e t t r e l'ensemble à un mou-v e m e n t de r o t a t i on ; comme les forces de cohésion fixant le liquide sont faibles, celui-ci s'échappe aisé-m e n t . Ce principe e s t appliqué pour essorer la salade, le linge, les c r i s t a u x de sucre, c e r t a i n s précipités, etc... De même, d a n s les écrénieuses, le petit lait se sépar e de la crème. D a n s la coulée c e n t r i f u g e , le m é t a l est p r o j e t é à la périphérie du moule à cause du m o u v e m e n t de r o t a t i o n du moule. C e r t a i n s dispositifs de g r a i s s a g e utilisent un prin-cipe analogue.

A u t r e exemple : q u a n d on meule un outil, des p a r t i c u l e s de m é t a l se détachent, et il est facile de vérifier que les étincelles q u i t t e nt la meule t a n -gentiellement à la circonférence.

2° Construction des pièces tournant rapidement. D a n s les volants, les meules, les . r o t o r s des t u r b i n e s et des dynamos, etc., il est indispensable de donner une g r a n d e solidité a u x p a r t i e s voisines de la péri-phérie ; celles-ci doivent, en effet, ê t r e soumises à une force centripète élevée, et les f o r c es de cohésion du m é t a l r i s q u e n t d'avoir une valeur inférieure. E n particulier, une m a s s e soudée placée à la périphérie d'un volant risque de se détacher à g r a n d e vitesse. Il est nécessaire de limiter la vitesse de r o t a t i o n des meules, des poulies en fonte, etc. ; p a r contre, les pièces de m ê m e s dimensions réalisées en acier p r é s e n t a n t des f o r c e s de cohésion plus élevées peuven t s a n s inconvénient tourner plus vite.

3° Déplacement d'un voyageur dans un virage.

On sait que d a n s un v i r a g e imprévu, le v o y a g e u r est déporté du côté convexe de la t r a j e c t o i r e . P r é -cisons en supposan t que le voyageur se t i e nt debout ; les pieds, g r â c e à leur adhérence au plancher du véhicule, suivent la nouvelle t r a j e c t o i r e, t a n d i s que le centre de g r a v i t é du corps tend à continuer son déplacement s u i v a n t la t r a j e c t o i r e rectiligne pri-mitive.

Si le v o y a g e u r s'aperçoit de l'existence du virage, le déplacemen t n ' a p a s lieu, parce que le v o y a g e u r a u g m e n t e l'intensité de la force qui le relie a u véhicule g r â c e à une inclinaison convenable du corps.

4° Déformation d'un anneau circulaire. U n an-n e a u circulaire f a i t d'uan-ne lame d'acier t r è s mian-nce et dont la p a r t i e supérieure peut coulisser le long d'un axe vertical, s ' a p l a t i t suivant cet a x e sous l'influence d'un m o u v e m e n t de rotation suffisammen t rapide (fig. 3).

(1) Remarquons qu'il s'agit des conditions pour entretenir le mouvement et non pour le créer. O n ne peut pas amener le mobile M à une certaine vitesse V en laissant la main immobile (point O ) ; pour créer le mouvement, il faut faire décrire au point O une petite circonférence de façon à obtenir une composante tangentielle pour M, donc une certame vitesse. A u moment ou^ celle c a la valeu désirée on laisse la main (point O ) immobile, et on se trouve alors dans le cas voulu. E n toute rigueur. cette conclusion n es qu approchée, car notre théorie néglige le poids du corps, le frottement de l'air, et d'autre part, la corde n est pas rigoureusement inextensible et possède une certaine raideur.

Si le mouvement est lent, la force centripète est faible, et les forces de cohésion du métal sont suffisantes pour le réaliser sans déformation appa-rente.

il suffit que la résultante dés forces agissant sur lui ait une intensité m to 3 _{l sin z , et soit dirigée}

de B vers C.

Figure 3

Si le mouvement est rapide, la force centripète augmente, surtout dans le plan perpendiculaire à l'axe en son milieu où la vitesse est maximum. L'anneau se déforme jusqu'à ce que les forces inté-rieures élastiques appliquées à chaque élément d'anneau égalent la valeur de la force centripète actuelle.

L'aplatissement de la terre aux pôles s'explique de la même façon.

5° Feuille de papier en rotation. Une feuille de papier découpée en forme de disque est fixée à l'extrémité de l'arbre d'un moteur électrique. Quand celui-ci tourne, la feuille devient t r è s rigide, et peut scier une planche. Les actions des éléments de la feuille de papier les uns sur les autres prennent une valeur suffisante pour pouvoir égaler la force centripète, et le papier acquiert ainsi une grande résistance à la déformation.

III. — MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME D'UN POINT MATERIEL P E S A N T

Etudions quelques exemples.

Principe du régulateur à boule.

Une boule B est fixée à l'extrémité inférieure d'une tige OB mobile autour de l'axe horizontal O porté par un axe vertical Os (fig. 4). Quand on f a i t tourner l'axe Os d'un mouvement de rotation uniforme, la tige OB décrit un cône de demi-angle

au sommet a .

Si on néglige le poids de la tige OB, le solide mobile peut être assimilé à un point matériel. Celui-ci est soumis à l'action des deux forces suivantes :

a) Le poids mg dirigé verticalement vers le bas ; —>

b) La tension T exercée par la tige et dirigée de B vers O.

Pour que le mobile B ait un mouvement circu-laire uniforme de rayon CB — .1 sin a , il f a u t et

Dans le triangle BDT, x>n a : BD B P tg a. On en déduit :

m b)- l sin cl — mg tg z, soit cos ce —

DT tg a

c

Si ui croît, cos a décroît et, par suite, a croît. .Le régulateur à boules est constitué essentielle-ment par deux tiges OB et OB' symétriques par

rapport à l'axe Os ; quand la vitesse augmente, les tiges s'écartent de l'axe Os ; en même temps, elles soulèvent une douille mobile sur l'axe et reliée aux tiges par des tringles non représentées sur la figure ; le mouvement de la douille entraîne la f e r m e t u r e partielle du robinet d'arrivée de vapeur, ce qui a pour effet de diminuer la vitesse. Il en résulte que les tiges se rapprochent alors de l'axe Os en ouvrant davantage le robinet d'arrivée de vapeur. On conçoit ainsi que cet appareil permette de fixer la vitesse angulaire de l'arbre d'une machine à vapeur à une vitesse sensiblement constante.

Inclinaison des pistes de bobsleigh dans les courbes.

Soit un bobsleigh qui se déplace avec la vitesse constante de valeur v sur une piste courbe de rayon R et d'inclinaison a sur l'horizontale. Pour simplifier le problème, supposons que l'ensemble constitué par le bobsleigh et ses occupants soit équivalent à un point matériel confondu avec son centre de gravité G et dent la masse m est celle de l'ensemble (fig. 5).

Le point G est soumis à deux forces : a) le poids mg vertical ; b) la réaction du sol F qui est normale à la piste. Le mouvement est circu-laire uniforme si la résultante de ces deux forces est horizontale, dirigée de G vers la gauche, et égale à mv*. Un calcul analogue à celui relatif

au régulateur à boules conduit à la condition sui-vante :

mu-

. ,

o'

R = mg (g soit

Pour un bobsleigh qui aborde une courbe de 50 mètres de rayon à la vitesse de 90 km. à l'heure, on doit avoir (les calculs sont f a i t s dans le système M.K.S.) :

90.0002

t.g „ = = 1,28 ; i = 52°.

3.600= X 50 X 9,8

Pour permettre la réalisation de diverses vitesses, l'inclinaison de la piste, dans une courbe, croît .pro-gressivement de l'intérieur vers l'extérieur (fig. 6). Si, par exemple, la valeur réelle de tg jc est infé-rieure à la valeur v-, le mobile gagne une région

R 9 plus inclinée.

Fig. 5 Fig. 6

Si l'inclinaison était trop faible, le mobile quitte-rait la piste.

Les mêmes considérations s'appliquent pour

expliquer le relèvement des virages des routes, l'in-clinaison des pistes des vélodromes et des auto-dromes, et l'inclinaison des cyclistes qui veulent effectuer un virage sur un sol horizontal.

Cependant, dans ces derniers cas, il est néces-saire, de même que dans le cas du voyageur dans un véhicule, de f a i r e intervenir le f r o t t e m e n t ; de plus, l'approximation qui consiste à assimiler le mobile à u n point n'est plus permise si l'on veut effectuer une étude quantitative.

Le cas de l'inclinaison des voies de chemin de fer dans les courbes se rapproche du cas que nous venons de traiter, mais il est beaucoup plus complexe à étudier, parce que l'inclinaison de la voie a une valeur déterminée, et aussi parce que la réaction du rail sur les roues ne peut pas être considérée comme normale au sol à cause de la forme complexe des roues.

Mouvement circulaire d'un fil à plomb dans un plan vertical.

Soit un fil à plomb OM qui tourne autour du point O, la masse de plomb étant supposée équiva-lente au point matériel M (fig. 7). Les forces

appli-—>

quées à ce point sont le poids f , force verticale et

constante, et la ten-sion du fil T dirigée de M vers O.

/ S 1 \ Il est évident que

I L \ la résultante de ces

deux forces ne peut

\ ° / pas être centripète,

\ / c'est - à - dire dirigée

\ • / vers le centre O de

\ / la trajectoire (sauf

aux points A et B) : le mouvement ne peut

Ig_{' donc pas être}

uni-forme.

Cependant, plus la rotation est rapide, plus l'im-portance relative du poids décroît, et par consé-quent plus le mouvement se rapproche d'un mouve-ment uniforme.

Quand le mobile passe par la position la plus élevée A de la trajectoire, on a :

T + mg = m to - R, d'où : T = m to 2_{R — mg.}

Pour que le fil reste tendu, il f a u t que T soit

/ T

positif ; on en déduit : to > \ /

Il f a u t donc que la rotation soit suffisamment rapide, f a i t facile à constater expérimentalement. A cette étude, on r a t t a c h e r a celle de la

rota-tion d'un vase contenant de l'eau. On sait que l'on

peut imprimer à un seau plein d'eau un mouve-ment de rotation dans un plan vertical s a n s que le liquide tombe, à condition de réaliser une rota-tion suffisamment rapide. La réacrota-tion du fond du seau remplace la tension T précédente.

I V . — P O I D S D ' U N C O R P S

Considérons un fil à plomb M N en équilibre au voisinage de la terre, la masse de plomb é t a n t supposée réduite à un point matériel N (fig. 8).

La terre est approximativement une sphère de 6.37.0 km. de rayon, et elle tourne avec une vitesse angulaire constante to (2 tt radians par 24 heures) autour de l'axe Nord-Sud.

Le point N est soumis à deux forces : a) l'attrac-tion terrestre d'intensité A, dirigée de N vers le centre O de la terre ; b) la tension du fil d'inten-sité T, dirigée de N vers M suivant la direction de la verticale au point N.

Le mouvement du point N est un mouvement circulaire uniforme de vitesse a n g u l a i r e s , et dont la trajectoire est une circonférence de rayon r (r, distance du point M à la ligne des pôles est variable avec la latitude du lieu considéré). L a résultante des deux forces agissant sur N a pour intensité m bi -r, et est dirigée suivant la perpendiculaire

abaissée de N sur l'axe Nord-Sud. m u> - N*N' = A + T.

La tension du fil est égale et directement opposée au poids du corps P ; donc :

P = A m m - N N'.

Posons / = m 10 2 _{N' N ; le vecteur / est opposé}

au vecteur — m w 2 _{N N' ; il est donc dirigé vers}

l'extérieur de la' circonférence et a pour module m (o 2 _r.

Le poids d'un corps est la résultante de l'attrac-tion terrestre et de l'opposé f de la force centripète.

Pour un corps situé à la surface de la terre supposée sphérique, l'attraction terrestre est

cons-t a n cons-t e pour des corps de même masse ; par concons-tre, —»

/ croît régulièrement d'un pôle (/ est alors nul) à l'équateur.

D a n s ce cas, les direction, et l'on a : / OJ 2 r

vecteurs A et / ont même

g

10

La correction due au mouvement d e la terre est donc peu importante.

Pour les phénomènes de la mécanique usuelle, la considération du poids des corps tel que nous venons de le définir revient à tenir compte impli-citement de la rotation de la terre. On peut alors utiliser pour l'étude d'un mouvement, au lieu des axes liés au centre de la terre, des axes liés inva-riablement à la terre, en les considérant comme immobiles. C'est ce que nous avons f a i t dans tout ce chapitre.

L'approximation résultant de l'emploi de l'un ou l'autre de ces deux systèmes d'axes est la même ; nous pouvons donc énoncer ainsi la loi fondamen-tale de la dynamique terrestre :

Le principe fondamental de la dynamique s'ap-plique aux mouvements observés à la surface de la terre par rapport à des axes liés invariablement à la terre, à condition de remplacer l'attraction de la terre sur un corps, par le poids de ce corps, et de ne pas tenir compte de l'attraction des autres astres.

Cette loi approchée rend compte de tous les phénomènes observés à la surface de la terre, sauf des marées (où il f a u t tenir compte de l'attraction de la lune et du soleil) et de certaines expériences de haute précision.

V. FORCE D'INERTIE CENTRIFUGE

Expression de la loi fondamentale de la dynamique en fonction de la force d'inertie.

Si, dans l'expression fondamentale de la dyna-mique, on pose / = - m y , on peut écrire :

F + / = O.

Si on donne au vecteur f le nom de force

d'inertie, on voit que l'on peut énoncer ainsi la loi

fondamentale de la dynamique : à chaque instant,

il y a équilibre entre la résultante des forces appli-quées à un point matériel et la force d'inertie.

L'expression force d'inertie peut laisser croire qu'il s'agit d'une force particulière ; il n'en est rien ; cette dénomination résulte de ce que l'expres-sion -m y intervient au même titre qu'une force dans l'énoncé précédent. Une force d'inertie n'est pas une force au sens de la définition dynamique du mot (cause capable de modifier le mouvement . d'un corps) ; elle est la conséquence du mouvement, et en aucun cas la cause.

Cas du mouvement circulaire uniforme.

Reprenons l'exemple du mouvement de rotation d'un corps attaché à l'extrémité d'un fil (fig. 9). E n utilisant la notion de force d'inertie, on peut dire qu'à tout instant le mobile M est en équilibre sous l'influence, d'une p a r t _—» de la force réelle T et d ' a u t r e p a r t d'une force d'inertie f ; la condition d'équilibre entraîne : / . = — T. L a force d'inertie est donc égale et op-posée à la tension du fil, c'est-à-dire à la force c e n t r i p è t e . Aussi l'appelle - t - on force d'inertie centri-Fig. 9

luge. Elle se r e p r é s e n t e par un vecteur égal et

directement opposé à celui correspondan t à la ten-sion et appliqué au m ê m e point M (1).

Cette force d'inertie joue le rôle d'une force

si nous supposons qu'il y. a équilibre. D a n s l'exemple étudié, nous pouvons dire, ou bien que la tension du fil exercée sur le mobile M est équi-librée par la force d'inertie c e n t r i f u g e exercée sur le mobile M, ou bien que la tension du fil oblige le mobile à rester sur la circonférence.

Applications de la force d'inertie centrifuge.

Toutes les applications étudiées d a n s le p a r a -g r a p h e 2 p o u r r a i e n t s'expliquer a i s é m e n t à l'aide de la force d'inertie c e n t r i f u g e, m a i s nous décon-seillons f o r m e l l e m e n t cette méthode puisqu'elle f a i t intervenir une force fictive, alors qu'une explication basée s u r la considération des f o r c e s réelles est suffisante.

P a r contre, la considération de la force d'inertie c e n t r i f u g e est très utile pour des études quanti -tatives, car elle p e r m e t de r a m e n e r un problème de d y n a m i q u e à u n problème plus simple de statique. R e p r e n o n s p a r exemple le problème du r é g u l a t e u r à boule (§ 3). Nous écrirons que le mobile M est en équilibre sous l'action des. trois f o r c e s mg, T, et de la f o r ce d'inertie c e n t r i f u g e m 10 3 _{CB, dont}

l'intensité est égale à m w 2 _{1 sin a (fig. 10). On}

f 7

Fig. 10 m Cas

mg

r e m a r q u e r a que cette force d'inertie est représentée p a r un vecteur égal et directement opposé à celui relatif à la forc e centripète considérée précédem-m e n t . L a d é t e r précédem-m i n a t i o n de ol peut se f a i r e à p a r t i r du t r i a n g l e BDT (fig. 4), ou à p a r t i r des équations

de projections du système de forces en équilibre sur u n système d'axes r e c t a n g u l a i r es p a s s a n t p a r B, By é t a n t <|jpgé vers le h a u t :

m (o 3 _{1 sin 2 —T sin a = 0}

T cos 3 — mg = 0 VI. — EXERCICES D'APPLICATION

I. _ o n suppose la t e r r e sphérique de r a y o n 2

— X 10'-' CGS ; elle effectue un tour sur elle-meme en 86 164 s Au pôle, au niveau du sol, l'accélération de la p e s a n t e u r v a u t 982,3 C.G.S. - = 3,14159265... 1» Calculer la valeur de g au sol à l'équateur ; 2" Quelle devrait être la durée de la révolution de la t e r r e sur elle-même pour que g s'annule a l'équateur ? Quel s e r a i t d a n s ce cas l'angle du r a y o n t e r r e s t r e et de la direction du fil à plomb a la latitude 45° ?

XI. _ Une tige OABC en f e r m e de T (OA = AC — ci) t o u r n e d a n s u n p l a n vertical autour du point fixe O avec la vitesse a n g u l a i r e constante « (5 tours par seconde) (fig. 11). Un point matériel M de

a

t»

^ Figure I 1

3

p

m a s s e = 100 g mobile s a n s f r o t t e m e n t le long de la tige AB est m a i n t e n u p a r un fil CM de longueur a x/ 2 = 10 cm., dont la m a s s e est négligeable.

1" Calculer la tension du fil en fonction de 2, angle de OC avec la verticale ;

2° Le fil se r o m p t q u a n d sa tension a t t e i n t 1.100 g f . C a r a c t é r i s er le mouvement ultérieur du point M en indiquan t la g r a n d e u r et la direction de sa vitesse initiale.

(Réponse du 1" : 1.000 — 100 A/ 2 sin a g r a m

-mes-force.)

C. C H A U S S I N , Arts et Métiers, Àix.

(1) D'après le principe d'action et de réaction, le corps M exerce sur le fil une fpree F ' appliquée en M, d'intensité égale à T et dirigée en sens inverse de T . Cette force se représente par un vecteur confondu avec le vecteur f, mais elle en diffère en ce qu'elle est réelle et non fictive, et. appliquée non au corps, mais au fil.

Notons que les points d'application des forces T , î e t V ne sont confondus en M que si le corps est assimilé à un point matériel. Nous conseillons au lecteur de préciser la position des trois points d'application envisagés quand le corps a des dimensions finies.