ARTheque - STEF - ENS Cachan | Algèbre de Boole et son application en technologie : Classes de 4ème et de 3ème

ALGEBRE DE BOOLE ET SON APPLICATION EN TECHNOLOGIE CLASSES DE 4ème ET DE 3ème

Nous publions ci-après la prem1ere partie d'un document annoncé dans notre bulletin nO II et réalisé au Régional de Strasbourg sous la direction de l·1onsieur HARSANY. Il s'agit d'une suggestion pour un sujet de recherche expérimentée en 1969 donc antérieurement aux direc-tives récentes que nous donnons par ailleurs dans le présent bulletin. En raison de sa longueur nous l'avons scindé en deux parties.

1ère Partie :

l - La variable booléenne :

On appellera variable booléenne toute variable. fonction mathématique, physique, mécanique. chimique ••• qui ne prend que deux valeurs ou états distincts, les états intermédiaires étant soit inexistants soit négli-geables.

Ces deux états étaient dans la formulation de Boole les réponses Vrai ou Faux aux propositions données. Nous allons par la suite les nommer états de travail ou de repos, et. leur affecter respectivement les valeurs

"1"

pour l'état de travail, "Olt pour l'état de repos quelque soit leur mesure réelle. (volts. mètres, newtons ••• ).

L'algèbre de Boole est parfaitement définie et étudiée sur le plan mathématique et les développements théoriques qui suivent n'ont pas la prétention d'être la théorie complète mais bien plutôt des rappels succints pour les besoins de la cause. Dans l'ensemble des définitions nous :-lvons volontairement opté pour le "repos prédominant".

La notion de variable bocléenne est liée à la théorie des ensembles par la notion de fonction caractéristique d'un ensemble inclus dans un "Univers" ou ensemble référentiel de la manière suivante :

fe'(j

=

,1

A

)

b{)l)

=

1

rn

R

/,/ t-

.

... A

c·

!

//1--)

=

0

/,

A

{!. "'<::: ;;r' 'li Figure

_{---_.-._--}

nO 1

La fonction égalité sera donc

J(

A

_-t-

₁

R

xf-A

')

..

=

0

8

'" {; ({J )

=

1

B

. î \ 1 . J (, LJ

_n

_r,

_C

8

4

·&lqJ= )

3

11-1

[1

I l apparaît de démonstration ici que

le premier tableau de vérité .qui sera le procédé . nous utiliserons aussi que nécessaire.

I I - La sonnne fonct i on OU a) Définition I r e .J -

I:}.

" ' ;

--0 0 0 0 1 1 ,.--. 1 0 1 - ,,-.-..

_---

1 1 1

Nous voyons qu'elle correspond à la fonction caractéristique de la réucion d'ensembles. S est variable booléenne, la somme arithmétique n'est donc pas respectée.

b) Propriétés de la logique :

=

Commutativité elle découle irmnédiacement de son tableau de vérité.

x + y

=

y + x

=

Associativité

x \' y l_z_1 x+y 1 y+z

1-.----..

membo

I_n ..

0 ---1-Q...-+---.Q--..

..

O ! 0 1

_!

l ' 0 ! 1 1 l 1 , t .. J o l • 1

O,!

1

-t--"l=---tr----.--:.l----ir---=---i

0 ; 1 ; 1 . 1 , t :

.

1 1 ! 0 i 0 1 0 1 : ₁

l

1 i 1 i ! ₁ r 1 1 ! O ! 1 1 1 1 l ' 1 , 0 1 1 1 1 1

J

1 i -;. 1 1 i 1 ex + y) + Z

=

x + (y + z)

fi)--/

1

n

• Constantes booléennes :

i) élément neutre de la somme logique

o

x +

e =

x

c s

1 0 1

0 0 0

ii) élément absorbant 1 x + 1

=

1

x C 8

1 1 1

0 1 1

c) Introduction en classe de 4èmé et de 3ème : elle sera envisagée dans ce qui suit comme si dans chaque cas les ne possédaient aucune initiation préalable.

En classe de quatrième :

Notions introduites variable booléenne fonction booléenne somme logique

On

étudie généralement la translation à partir de la targette. Celle-ci fera office de première variable booléenne à partir des définitions suivantes : la targette sera appelée x.

x position travail • porte bloquée

<

)

l

x position repos - porte libre ( ) 0

La porte doit être manifestement dans la position où elle accomplit sa fonction mécanique: de fermer un local.

Elle sera la première fonction booléenne : y • f (x)

Le tableau de vérité montrerait que nous avons ici à faire à une fonction égalité : y • X •

La somme logique :

Une porte est généralement munie d'une serrure et d'une targette de sécurité. Chacune fera office de variable booléenne ce qui entraîne le tableau de vérité de la somme logique. Ce tableau sera dressé avec les élèves en recensant toutes les possibilités.

targette

•

x

serrure

•

y

porte

•

z • f (x,y) • x + y

Les propriétés de la somme logique peuvent être mises en évidence à partir du tableau.

Remarque importante : A chaque variable booléenne correspond dans ce cas un élément mécanique bien défini et un seul. Les variables sont parfaitement indépendantes.

Les constantes et leurs propriétés seront mises en évidence par les propositions :

targette hors usage.

serrure fermée dont on a égaré la clé. Introduction en classe de3èoe

Elle sera faite ici en mêne temps que l'étude de l'électricité. L'algèbre de Boole permet en effet une étude et mise au point

rationnelle de tous les circuits électriques étudiés dans cette classe.

Le point de départ sera une lampe de poche ordinaire à pile. distinguons : le corps de la lampe .

le bouton de commande

le réflecteur avec l'ampoule.

manipulons le bouton de coomande et nous constatons que deux positions distinctes du bouton engendrent deux états différents de la lampe. Définissons et associons ces états :

Lampe

j

bouton

±

booléenne

_ .

i t i on __ __

I ______

....2

_ ... __ .

...

... .... _._. _. __

Distinguons l'élément bouton sur lequel nous pouvons agir et qui sera la variable de l'élément ampoule qui sera la fonction.

Nous écrivons : y - f (x) et le tableau des possibilités démontrera la fonction égalité.

P':mrsuivons l'étude de l'objet technologique: un premier démontage met en évidence : le boitier avec le bouton de commande

la pile l'ampoule

Notons les matériaux qui constituent l'ampoule et le boitier. Aucun démontage supplémentaire n'est nécessaire. L'observation donnera des éléments métalliques, plastiques, verre ••••• Chercher par quels éléments la lampe est en relation avec le boitier : les pièces métalliques. Chercher et dessiner leur enchaî nement.

Conclusions et introduction d'on vocabulaire: Les pièces métalliques forment une chatne par les contacts. Celle-ci peut être fermée

ou interrompue paf le bouton de commande. Les extrémités aboutissent aux bornes de la pile.

Générateur, conducteur, isolant

i) actionnons le bouton de commande alors que la pile est extraite du boitier Même expérience en la remplaçant par des pièces diverses en métal ••• Conclusion la pile est un générateur d'électricité.

ii) Reproduire un circuit analogue à celui de la lampe de poche en utilisant des objets divers : fourgette, bois, caillou, règles, bac de terre sèche, de terre humide, charbon ••• Conclusions: Certains corps conduisent bien l'électricité, ce seront

les conducteurs.

Certains la conduisent mal, ce seront les résistances.

Certains ne la conduisent "pas du tout" ce sont les isolants. Etude d'un câble électrique, d'une prise de courant, dangers, et

distinc-tion entre source de courant et générateur.

Schéma électrique d'une lampe de mise en évidence des variables boolêennes x : le bouton ou Interrupteur

y : l'ampoule ou la fonction

Tableau des possibilités et démonstration de la fonction égalité

l

INTERRUPTEUR - / _ _ __

Pile Lampe: y

=

(:E)

1

Problème: Imaginer et dessiner le schéma d'une installation d'alarme d'une banque comportant trois locaux. La sirène doit être mise en marche quel que soit le local où l'on pénètre. On ne s'occupera pas de l' endroi t où i l faut aller pour arrêter la sirène. Représen-· ter chaque dispositif de mise en marche de la sirène par un simple interrupteur.

Soient : x, y, z les interrupteurs placés dans les différentes pièces.

Schéma du système

x

y

z

Sirène

On met en évidence d'une part la somme logique et ses propriétés, d'autre part un élément de circuit important le circuit parallèle que l'on associera à la somme logique.

Les montages suivant donneront les propriétés des constantes booléennes.

l

T

T

III - La fonction complément de x

y

=

f (x)

=

x Tableau de défini tion

o

(elle ne sera pas intr.oduite cn classe de 4ème)

fonction NON

'X.

"'r

-A-/1

0

pour la fonction égalité le tableau ne peut comporter que deux lignes

Schéma électrique de détail: x et x correspondent à deux éléments de circuit distincts dont les états sont liés ce qui appara!t sur le schéma par une flèche en trait interrompu. A chacune des variables on associera une fonction (lampe) qui rendra visible

l'état de la variable.

B'

l

_A

_A'

En se servant pour ce montage d'un interrupteur double de labo-ratoire on pourra mettre en évidence le temps de réponse de cet instru-ment.

L'étude de ce premier montage amènera l'idée de réunir les points de raccordement A et A' ce qui fera découvrir un nouvel élément de circuit : le commutateur simple à deux positions

Nouveau schéma : ry. U

_.

---0·..s..:;)-'X

y

=

x commutateur

-

-y

=

x

T

Figure nO 10

---Propriété

\.+ \ -}

1 +1

-x "'" -x • l constante

'--_ _ _

J

IV - La fonction produit logique z ,. f (x, y) = x . y fonction ET a) tableau de définition : x y 1 x. • yI

--0 1 0 1 0 0 '1 1 1 --0 0 0

Elle correspond à la fonction caractéristique de l'intersection de deux ensembles. Elle obéit aux lois du produit arithmétique. Son élément neutre : l, 1:1 constante :

a

Le produit logique est commutatif et associatif. Un tableau de ven.-té à trois variables le montrerait. Il sera fait en temps opportun dans la suite du texte.

b) Introduction en classe de quatrième :

L'étude de la rotation est au programme de cette classe. Il est courant d'utiliser à ce sujet la roue de bicyclette, on peut donc sans encombres étendre cette étude au mécanisme entier :

pédalier et pignon de pédalier, chaine de transmission, pignon arrière et roue aotrice.

On adoptera les conveLtions suivantes

x y z=f(x,y)= x.y

-

-pédalier chaine pignon arriere

tourne=! fermée=! tourne=!

ouverte=O arrêté=O

._-On fera le tableau des possibilités d'où découlera le tableau de vérité du produit logique.

On remarquera qUG les états des différentes variables ne sont pas obligatoirement de même nature.

Remarqué importante : Les éléments mécaniques qui représentent les varia-bles nè sont plus mécaniquement mais en série c'est-à-dire qu'ils prennent appui les uns sur les autres.

c) introduction en classe de 3ème :

On peut utiliser le procédé de la redécouverte.

Problème : Le photographe veut que sa machine à tirer les clichés s'arrête quand la porte de sa chambre noire est ouverte. il veut aussi pouvoir arrêter sa machine sans être obligé d'ouvrir la porte. Imaginer le circuit de commande de la machine.

Recenser les variables et fonctions :

x l'élément de commande lié à la porte

y l'élément de commande lié à l'intérieur de la Chambre noire z la machine qui sera dans ce cas la fonction.

Recenser les possibilités :

1

-

-

solution

- -

-

-

autre

porte x y x y _{voulue z} x+y x+y x.y x.y

solution

- -

-

--

- --

- -,.

-_.

--

--ouverte 0 0 l l 0 0 l 0 l r---. _--

--

--_._-

---_._----

---

f - . - .-- -ouverte 0 l l 0 0 l l 0 0 fermée l l 0 0 l l 0 l 0 fermée l 0 0 l 0 l l 0 0

Le tableau qui précède permet d'introduire la notion de produit logique mais il exploite aussi toutes les autres notions que les élèves ont

déjà acquises en effet, on sera amené à comparer les différentes colonnes avec la solution logique que l'on aura trouvée par le recensement de toutes les possibilités.

De prime abord les colonnes des sommes logiques sont exclues et avec elles les circuits parallèles. Par contre la nouvelle colonne du produit logique répond entièrement à la solution.

Le schéma du circuit et sa réalisation pratique avec des instruments du laboratoire s'impose.

z.

___ -.JI

Un nouvel élément est à présent introduit avec le produit logique : le circuit série.

Afin d'exploiter à fond le_tab!eau des possibilités on peut trecer un parallèle avec le produit: x • y et montrer qu'avec des définitions

"semblables", on trouve une autre solution du problème dont le schéma pourrait être :

l

_-

-1

X

!:J

.r

_eX.

On mettra en évidence que se serait du gaspillage d'utiliser des commutateurs pour réaliser le circuit solution.

EXERCICES :

=========

Les élèves possèdent maintenant un certain nombre de

fonctions booléennes et leurs traductions en circnits électriques, il est bon maintenant de les habituer à passer de l'un à l'autre sans difficultés. Les exercices qui suivent ne donnés qu'à titre indicatif. i) L

=

x.y + Z solution

z

J

1

ii) x

-

z". 1 IX:. ...L sol. x.y + X.Z

=

L

Hi) L

=

x.y + x.y

-'T. .

H

•

•

'l: !.J

T

solution F. HARSANY (Strasbourg)