Low complexity decoding schemes for MIMO systems

(1)

HAL Id: pastel-00682392

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Submitted on 25 Mar 2012

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Abdellatif Salah

To cite this version:

Abdellatif Salah. Low complexity decoding schemes for MIMO systems. Information Theory [cs.IT].

Télécom ParisTech, 2010. English. �pastel-00682392�

(2)

présentée pour obtenir le grade de do teur

de TELECOM ParisTe h

Spé ialité : Éle tronique et Communi ations

Abdellatif SALAH

S hémas de dé odage MIMO à

Com-plexité Réduite

soutenu le 12, juillet 2010 devant le jury omposé de

Pr. Dirk Slo k Rapporteurs

Dr. Cong Ling

Pr. Mérouane Debbah Examinateurs

Dr. Ahmed Saadani

Pr. Hi hem Besbes

Dr. Ghaya Rekaya-Ben Othman Dire teurs de thèse

(3)

(4)

TELECOM ParisTe h

Communi ations and Ele troni s department

Digital ommuni ations group

Abdellatif SALAH

Low Complexity De oding S hemes for

MIMO Systems

Defense date: 07, 12 2010

Committee in harge:

Pr. Dirk Slo k Reporters

Dr. Cong Ling

Pr. Mérouane Debbah Examiners

Dr. Ahmed Saadani

Pr. Hi hem Besbes

Dr. Ghaya Rekaya-Ben Othman Advisors

(5)

(6)

during the progress of this work. I dedi ate this thesis to my wife Manel for her

suggestions and support and to our babyMalik. Thanks for all. My beloved brothers and

(7)

(8)

A knowledgment

This thesis bears my name on the over, but it is the result not only of my work, but

also that of many others who have helped or supported me along the way. Without

them, the present work would not have been possible. This thesis would not have been

possiblewithoutthekindsupport, thetren hant ritiques,theprobingquestions,andthe

remarkable patien e of my thesis advisor Dr. Ghaya Rekaya Ben Othman. I amheartily

thankful to her for hisen ouragement,guidan e and supportfrom the initialtothe nal

level enabled me to develop an understanding of the subje t. I am also grateful to my

advisorPr. Jean-ClaudeBelorewho provided mede isiveandenergeti supportandfor

hisassistan e and willingness todis uss ideas.

I wish tothank TELECOM ParisTe h for openingtheir doors tome, and for making

alltheirresour esavailablesothatmywork ouldbedevelopedunderthebest onditions.

I would like to thank Pr. Dirk Slo k, Dr Cong Ling, Pr. Mérouane Debbah, Dr.

Ahmed Saadani, Pr. Hi hem Besbes, for a epting to be the jury at my thesis defen e.

I'mgratefultomyfriendsinFran eandinTunisiafortheir supportanden ouragements.

I am espe ially thankful to my son Malik for being the ultimate reason for nishing

my thesis and to my wife Manel for his love and understanding. I am indebted to my

parents: Sassi and Fattoum,my brothers: Mondher, Hou ine,Omar, my sister Zohrafor

en ouraging me and being patient. I would like to express ma gratitude to my family

in-law for their are. Last, but not least, I'm thankful to my olleagues Rim Ouertani,

MireilleSarkiss, SamiMekki, MayaBadr,Eri Bouton...I wouldliketothank alsoRediet

Geta hew for histimespent readingmythesis and histhoughtful ommentswhi hledto

great improvements.

Lastly,Ioermyregardsandblessingstoallofthosewhosupportedmeinanyrespe t

(9)

(10)

Résumé

L'utilisationdes antennes MIMO est une te hnique qui permet d'exploiterde façon très

e a e ladiversité spatialeettemporelleprésentedans ertainssystèmesde

ommuni a-tion, dont le anal sans l. Le prin ipalavantage de ette te hnique est une très grande

e a ité spe trale. De nos jours, oùle anal radio-mobileest de plus en plusutilisé pour

transmettretouttyped'information,lesméthodespermettantuneutilisationpluse a e

du spe tre éle tromagnétiqueont une importan efondamentale.

Les algorithmes de ré eption onnus aujourd'hui sont très omplexes, même en e

qui on erne les systèmes MIMO ave les odes espa e-temps les plus simples. Cette

omplexitéreste l'un des obsta les prin ipauxà l'exploitationréelle.

Cette thèse présente une étude très détaillée de la omplexité, la performan e et les

aspe ts les plus intéressants du omportement des algorithmes de la ré eption pour le

dé odageMIMO,étude quiprésenteun moyen rapidepourune éventuelle on eptiondes

ar hite tures adaptées à e problème.

Parmilessujetsprésentés dans ettethèse,uneétudeapprofondiedelaperforman eet

la omplexitéde esalgorithmesaétéréalisée,ayantpourobje tifd'avoirune onnaissan e

susante pour pouvoir hoisir, parmi le grand nombre d'algorithmes onnus, le mieux

adaptéà haque système parti ulier. Des améliorationsauxalgorithmes onnusontaussi

(11)

(12)

Abstra t

The use of MIMO antennas is a te hnique that allows to exploit in a very ee tive way

the spatial and temporal diversity in ertain systems of ommuni ation, of whi h the

wireless ommuni ationsystems. Themainadvantageofthis te hnique isagoodspe tral

e ien y. Nowadays, themobileradio hannelisin reasinglyusedtotransmitalltypeof

informationandmethodsallowingamoreee tiveuseofthespe trumhaveafundamental

importan e.

Today, the well-known re eption algorithms are very omplex, even as regards the

MIMO systems with the simplest spa e-time odes. This omplexity remains one of the

main obsta les in the real exploitationof this te hnique.

This thesis presents a detailed study of the omplexity, the performan e and the

most interesting aspe ts of the behaviorof the re eption algorithmsfor MIMO de oding.

This study presents aqui k mean fora possible ar hite tural on eption adapted to this

problem.

Amongthesubje tspresented inthisthesis,anin-depthstudy oftheperforman eand

the omplexity of these algorithms was realized, having for obje tive to a quire enough

knowledge to be able to hoose, among the large number of known algorithms, the best

adapted to every parti ular system. Improvements in the known algorithms were also

(13)

(14)

Contents A knowledgment i Résumé ii Abstra t iii Contents v List of Figures ix

List of Abbreviations xiii

List of Notations xvi

Résumé en Français 1

0.1 CanalMIMO etModélisationdu Systeme . . . 1

0.1.1 S hemas de Transmission . . . 1

0.1.2 Modulationand Demodulation . . . 4

0.1.3 LesTe hniques de diversité . . . 5

0.1.4 Dénitionde Latti e etses propriétés . . . 9

0.2 Dé odage MIMO . . . 11

0.2.1 Introdu tion . . . 11

0.2.2 Du modèle anal vers ledesign de Latti e . . . 12

0.2.3 Dé odeurs MIMO : Prin ipes de base et stru tures . . . 12

0.2.4 Les lasses des dé odeurs MIMO . . . 13

0.3 Dé odeur par Sta k àbornes sphériques dur et souple . . . 21

0.3.2 Dé odeur par Sta k à bornes sphériques . . . 21

0.4 Rédu tion de la omplexitéde l'algorithme de dé odage par sta k . . . 24

0.4.2 Dé odage par Sta k parallèle. . . 24

(15)

1 MIMO Channel Des ription and Information Theory notions 31

1.1 MIMO Channel and System Modeling . . . 31

1.1.1 Transmission S heme . . . 31

1.1.2 Modulationand Demodulation . . . 36

1.1.3 Fading Channels . . . 37

1.1.4 Diversity Te hniques . . . 38

1.1.5 Latti e Denitionand Properties . . . 41

1.2 Some Mathemati alToolsfor MIMO De oding . . . 43

1.2.1 QRDe omposition . . . 43

1.2.2 Cholesky fa torization . . . 44

1.2.3 SVD De omposition . . . 47

1.3 InformationTheory . . . 48

1.3.1 Mutual Informationand MIMOChannel Capa ity . . . 48

1.3.2 OutageProbability . . . 53

1.3.3 MultiplexingGain . . . 53

1.3.4 Diversity MultiplexingTradeo . . . 54

1.4 Spa eTime Codes . . . 55

1.4.1 Spa e Time Codes Constru tionCriteria . . . 56

1.4.2 Spa e Time Blo kCodes . . . 58

1.4.3 Linear Dispersion Spa e Time Codes . . . 58

1.5 Con lusion . . . 59

2 MIMO De oding 61 2.1 Introdu tion . . . 61

2.2 From aChannel Modelto alatti e design . . . 61

2.3 MIMO De oders : Basi Prin iplesand Stru tures . . . 61

2.4 MIMO De oder Classes . . . 63

2.4.1 Sub-OptimalMIMO De oders . . . 63

2.4.2 Latti e MIMO De oders . . . 66

2.4.3 Sequential MIMO De oders . . . 74

2.4.4 SoftMIMO De oders . . . 84

2.5 Pre-pro essing Te hniques . . . 89

2.5.1 Left Pre-pro essing :MMSE-GDFE . . . 89

2.5.2 RightPre-pro essing . . . 93

2.5.3 MinkowskiRedu tion . . . 94

2.5.4 Korkine-Zolotare Redu tion . . . 95

2.5.5 LLL Redu tion . . . 95

2.6 The Diversity MultiplexingTradeo of MIMO De oders. . . 96

2.7 Con lusion . . . 97

3 Hard and Soft Spheri al-Bound Sta k de oder for MIMO systems 99 3.1 Introdu tion . . . 99

3.2 Spheri al-BoundSta k de oder for MIMO systems. . . 99

(16)

3.2.3 Comparisonof the SB-Sta k De oder and the original Sta k De oder108

3.2.4 Comparisonof the SB-Sta k De oder and the Sphere De oder . . . 110

3.2.5 Sub-optimalSB-Sta k de oder . . . 114

3.3 SoftDe oding usingthe sta k de oder with Spheri al Bounds . . . 114

3.3.1 SoftSta k De oding Strategy . . . 114

3.3.2 SoftDe oders Comparison . . . 115

3.4 Con lusion . . . 120

4 On Redu ing Complexity of MIMO Sta k De oding 121 4.1 Introdu tion . . . 121

4.2 Parallel Sta k De oding . . . 121

4.2.1 New Latti e Representation . . . 122

4.2.2 Overview of Parallel De oding te hnique . . . 123

4.3 OptimizedSta k De oding Strategies . . . 125

4.3.1 Child -Sibling Sta k De oding Strategy . . . 125

4.3.2 Complex Sta k De oding Strategy. . . 128

4.4 EarlyTermination Sta k De oding . . . 131

4.4.1 ZF-DFEand K-BEST earlytermination for hard and soft de oding 131 4.4.2 Bias update forearly termination . . . 133

4.5 Con lusion . . . 135

Con lusions and perspe tives 135

(17)

(18)

List of Figures

1 Generi Ar hite ture of aDigitalCommuni ation System . . . 2

2 MultipathPropagation of Radio Signals . . . 3

3 Dierent antenna ongurations inspa e-time systems. . . 4

4 MIMO System representation onstituted of M transmit and N re eive antennas . . . 5

5 Example of a

Z

[i]

latti eof dimension 2. . . 6

6 SpatialRe eive Diversity . . . 7

7 SpatialTransmit Diversity . . . 8

8 Example of a

Z

[i]

9 OrthogonalProje tion of the re eived ve tor . . . 14

10 Linearand Non-LinearSub-OptimalDe oders Performan e and Complex-ity Comparisonfor

2 × 2

MIMOSystem using SpatialMultiplexingwith a 4-QAMConstellation . . . 17

11 Sphere De oding . . . 19

12 SESear hStrategy . . . 20

13 Performan e of a MIMO System using a SM with

M = N = 4

, obtained for dierent sear h regions . . . 23

14 Example of a Latti e dened in

Z

2

; the Sear h Region does not ontain the ML point . . . 23

15 Parallel pro essingprin iple . . . 26

1.1 Generi Ar hite ture of aDigitalCommuni ation System . . . 32

1.2 MultipathPropagation of Radio Signals . . . 33

1.3 Dierent antenna ongurations inspa e-time systems. . . 34

1.4 MIMO System representation onstituted of M transmit and N re eive antennas . . . 35

1.5 Example of a

Z

[i]

1.6 SpatialRe eive Diversity . . . 39

1.7 SpatialTransmit Diversity . . . 40

1.8 Example of a

Z

[i]

1.9 Diversity Multiplexing Tradeo for a Rayleigh Channel with M transmit and N re eiveantennas . . . 55

(19)

2.2 Linearand Non-LinearSub-OptimalDe oders Performan e and

Complex-ity Comparisonfor

2 × 2

MIMOSystem using SpatialMultiplexingwith a

4-QAMConstellation . . . 67

2.3 Sphere De oding . . . 68

2.4 SESear hStrategy . . . 71

2.5 SEzigzag Strategy . . . 73

2.6 SEand SD Performan e and Complexity Comparison . . . 75

2.7 Tree sear hfor a point with tree depth =4 . . . 76

2.8 Example of atree stru ture with adepth =4 . . . 76

2.9 Breadth-FirstSear h Strategy . . . 77

2.10 Depth-First Sear h Strategy . . . 77

2.11 Bran hand Bound . . . 79

2.12 Fano De oder . . . 80

2.13 Sta k managementfor the Sta k De oding algorithm . . . 82

2.14 Best-FirstSear hAlgorithm . . . 82

2.15 Flow hart of the sta k de oder . . . 83

2.16 Sta k De oding using bias : aComplexity-Performan e Tradeo . . . 85

2.17 SphereCenteredontheMLPointandtheSphereCenteredontheRe eived point . . . 88

2.18 Example of bases in

Z

2

. . . 93

3.1 Performan e of a MIMO System using a SM with

M = N = 4

, obtained for dierent sear h regions . . . 101

3.2 Example of a Latti e dened in

Z

2

; the Sear h Region does not ontain the ML point . . . 102

3.3 Flow hart of the Spheri al-Bound-Sta k de oder . . . 104

3.4 Performan eand omplexityoftheSB-Sta kde oderfora

2 ×2

anda

4 ×4

MIMO systems using aSM. . . 106

3.5 Complexity Comparison of the Sta k De oder and the Sphere De oder using dierent

QAM

Constellations, for a MIMO System with SM,

M =

N = 4

. . . 107

3.6 Comparison of the Sta k and the SB-Sta k de oding in terms of visited nodes for a

4 × 4

system with spatial multiplexing . . . 109

3.7 ComparisonoftheSta kandtheSB-Sta kde odingintermsofthenumber of multipli ationsfor a

4 × 4

system with spatial multiplexing . . . 111

3.8 Comparison of the SD and the SB-Sta k de oding in terms of the average numberof visited nodes foraMIMO systemwith spatialmultiplexingand with a64-QAM onstellation. . . 112

3.9 Comparison of the SD and the SB-Sta k de oding in terms of the average number of multipli ations for a MIMO system with spatial multiplexing and with a 64-QAM onstellation . . . 113

(20)

3.12 Comparisonof thePerforman e ofSoftDe odersfora

2 × 2

MIMOSystem withSpatialMultiplexing,16-QAM,

CC[133, 171]

O

,

R

c

= 1/2

,inaRayleigh

Channel . . . 118

3.13 Comparison of the Complexity of Soft De oders for a

2 × 2

MIMO Sys-tem with Spatial Multiplexing, 16-QAM,

CC[133, 171]

O

,

R

c

= 1/2

, in a RayleighChannel . . . 119

4.1 Parallel pro essingprin iple . . . 124

4.2 Parallel pro essing: Four dimension in two steps. . . 125

4.3 Parallel Pro essing Sta k De oding :estimation of s

4

and s

3

. . . 126

4.4 Parallel Pro essing Sta k De oding :estimation of s

1

and s

2

. . . 127

4.5 The Standard Sta k De oder Hardware Ar hite ture . . . 128

4.7 4-ASK order of visited symbols . . . 128

4.6 Parallel Sta k de oder hardware ar hite ture . . . 129

4.8 ComparisonofdierentSta kDe odingStrategiesintermsofvisitednodes for a

4 × 4

system with spatialmultiplexingand 16-QAM onstellation . . 130

4.11 16-QAM order of visited symbols . . . 130

4.9 ComplexSta k de oding :(a) Firststep:

x

4

symboldete tion,(b) Se ond step

x

3

symbol dete tion . . . 131

4.10 Complex Sta k de oding : ( ) Third step :

x

2

symbol dete tion , (d)(e) Fourth step

x

1

symbol dete tion . . . 132

4.12 EarlyTermination Controlfor hard de oding . . . 133

4.13 EarlyTermination Controlfor soft de oding . . . 133

4.14 Sta k de oding to ZFE-DFEtransition . . . 134

4.15 Sta k de oding to K-BEST transition(k=3) . . . 135

4.16 ComparisonofSphereDe odingwith lippingandSta kDe odingwith ZF-DFEearlyterminationwithamultipli ation omplexity onstraintof1700 operationsper odewordfora

2 ×2

MIMOsystemwithspatialmultiplexing and using a16-QAM onstellation. . . 136

(21)

(22)

List of abbreviations

AWGN AdditiveWhite GaussianNoise

BB Bran h and Bound

BeFS Best First Sear h

BrFS Breadth First Sear h

BER Bit Error Rate

BICM Bit Interleaved Coded Modulation

BLAST Bell-labsLAyered Spa e-Time

BPSK Binary Phase Shift Keying

BS Base Station

CCDF CumulativeComplementaryDensity Fun tion

CLPS Closest Latti e Point Sear h

CSIR Channel State Information atthe Re eiver

CSITR Channel State Information atthe Transmitter and atthe Re eiver

DAST Diagonal Algebrai Spa e-Time

DFE Diagonal Algebrai Spa e-Time

DFS Depth FirstSear h

DL Down Link

DSL Digital Subs riber Line

ECC Error Corre ting Code

GC Golden Code

IEEE Institute of Ele tri aland Ele troni s Engineers

LDPC Low-Density Parity Che k

LDSTC Linear DispersionSpa e-Time Code

LLR Log-LikelihoodRatio

LOS Line-Of-Sight

LSD List Sphere De oder

LSTC Layered Spa e-Time Code

MAP Maximum A Posteriori

MIMO Multiple-Input Multiple-Output

MISO Multiple-Input Single-Output

ML Maximum Likelihood

MMSE Minimum Mean SquaredError

MMSE-GDFE Minimum Mean SquaredError Generalized De ision Feedba k Equalization

(23)

NVD Non Vanishing Determinant

PER Pa ket Error Rate

PSK Phase-Shift Keying

OFDM Orthogonal Frequen y Division Multiplexing

OFDMA Orthogonal Frequen y-Division MultipleA ess

OSIC Ordered Su essive Interferen es Can ellation

OSTBC Orthogonal Spa e-TimeBlo k Code

QAM Quadrature AmplitudeModulation

QPSK QPSK Quadrature Phase ShiftKeying

QRD QR De omposition

SB-Sta k Spheri al Bound Sta k de oder

SE S hnorr-Eu hner

SER SymbolError Rate

SD Sphere De oder

SIC Su essive Interferen es Can ellation

SIMO Single-Input Multiple-Output

SISO Soft-Input Soft-Output

SSD Shifted Sphere De oder

SM Spatial Multiplexing

SNR Signal-to-Noise Ratio

SOVA Soft-Output Viterbi Algorithm

ST Spa e-Time

STBC Spa e-Time Blo k Code

SVD SingularValue De omposition

UL Up Link

UMTS Universal Mobile Tele ommuni ations System

WIMAX WorldwideInteroperability for Mi rowave A ess

WLAN Wireless lo alArea Network

(24)

List of Notations

Mathemati al Notations

E[a]

Mean of the randomvariable a

σ

2 a

Varian eof the randomvariable a

N (µ, σ

2 ₎

Normal distribution with mean

µ

and varian e

σ

2 ℜ(z)

Imaginary part of the omplex

z

ℑ(z)

Realpart of the omplex

z

v

Sta kingthe real part of

v

over itsimaginary part as:

v

=

Re

_(v)

Im

_(v)

Z

The set of all integers

R

The set of allreal numbers

C

The set of all omplex numbers ve (

A

) Ve torization of matrix

A

tr(

A

) Tra e of matrix

A

rank (

A

) Rank of matrix

A

det(

A

) Determinant of matrix

A

T

Transpose of matrix

A

H

Hermitian onjugateof matrix

A

−1

Inverse of

A

From omplex valued matrix

A

toreal valuedmatrix

A

as follows :

A

= Ψ(A) =

Re

_(A)

_−Im(A)

Im

_(A)

Re

_(A)

.

I

N

Identity Matrixof dimension

N

× N

A

_\i

Matrix omprising all olumns of

A

but the

i

th

A

j

_i

Matrix omprising olumns

i

through

j

of

A

jl

_ik

Matrix omprising rows

i

through

j

and olumns

k

through

l

of

A

_\ij

Matrix formed by removingthe

i

th

row and

j

th

olumn

(x)

+

=

a

if

x > 0

0

else

(25)

Propagation Channel

h(t,τ )

Impulse response of the linear lter modeling the propagation hannel

s(t)

Transmitted signal

n(t)

Noise

r(t)

Re eived signal

B

c

Channel oheren e band

B

s

Transmitted signal

s(t)

Bandwidth

(26)

Résumé en Français

Dans un premiertemps, on présente le fon tionnement générald'un système de

ommu-ni ation numérique. On se fo alise parti ulièrement sur les systèmes MIMO. D'abord,

on présente le modèle du anal pour un système MIMO. Ainsi,diérentes te hniques de

modélisationsont présentéesetquelques modèlesissus de lalittératuresont lassiés. On

introduit ensuite leste hniques de diversité etles propriétés de latti e.La probabilité de

oupure et le gain de multiplexage sont présentés. Le tradeo diversité-multiplexage est

aussi détaillé.

0.1 Canal MIMO et Modélisation du Systeme

0.1.1 S hemas de Transmission

Un diagramme pour un système de ommuni ation radio sans ls est présenté dans la

gure (1.1). Dans ette gure, la sour e d'information pourrait être de la voix, de la

vi-déo oudes données. Le odeur sour e traite l'informationet la formate en une séquen e

binaire bits

∈ {±1}

. L'obje tif du odage sour e est de supprimer la redondan e non stru turée de lasour e. Le odage anal ajoute de laredondan e stru turéedans l'ob

je -tif de protéger l'informationde la distorsionet du bruit du anal grâ e á ette diversité.

Lemodulateurvamapperlaséquen e des bits odésen ondesradio onvenantes pourune

transmissionátravers le anal.L'amplitudedu signaldé roit á ausede ladistan e entre

l'émetteur et le ré epteur. C'est la perte de propagation. A ause des obsta les,

l'ampli-tude du signal est atténué, 'est e qu'on appelle shadowing. Finalement, à ause de la

propagation multi-trajets entre l'antenne émettri e et l'antenne ré eptri e, le signal est

déformé. L'évanouissement multi-trajets peut être onstru tifou destru tif.Le ara tère

onstru tifoudestru tifdel'évanouissementdu analdépend delafréquen eporteusedu

signal etainsi appelé anal séle tif en fréquen e. En plus des eets de propagation,vient

s'ajouter un bruit auniveau du ré epteur dé orrelé du signal transmis : bruit thermique

et interféren es o- analet issus des anaux adja ents.

(27)

« Front−End »

Radio

Frequency

Radio

Propagation

Channel

« Front−End »

Radio

Frequency

Channel

Demodulation

Digital

Modulation

Digital

Destination

Source

Coding

Decoding

Source

Channel

Coding

Decoding

Figure 1 Generi Ar hite ture of aDigital Communi ation System

Ainsi,lamodélisationdu anal de transmission est essentielle pour on evoir un système

de ommuni ation numérique performant, le modèle du anal dépend ainsi de

l'environ-nement et du modèle de propagation. Comme montré dans la gure (1.2), le ré epteur

déte telesdiérentesversionsdusignal.L'é hode emêmesignaln'estautreque

l'intera -tion de l'ondeave l'environnementde propagationréel : dira tion,réexion, dispersion

(2).

Lareprésentationmathématiquesimplepourun analde ommuni ationestla

repré-sentationave un ltrelinéairedonts'ajouteun bruit additif.Lesignaltransmisest ainsi

orrompu par le bruit additif(3).

Figure (1.3) illustre les diérentes ongurations d'antennes utilisées pour pour

dé-nir des systèmes spatio-temporels. Single-input single-output (SISO) est le modele sans

lleplus onnu,single-inputmultiple-output(SIMO) utilisesuneseule antennede

trans-mission et plusieurs en ré eption. Multiple-input single-output (MISO) utilises plusieurs

antennes en transmission et une seule en ré eption. Considérons un système MIMO ave

M

antennesde transmission et

N

antennes en ré eption. Ainsile signal en blo k reçu:

Y

N ×T

= H

N ×M

· X

M ×T

+ W

N ×T

,

(1)

Ave

H

est lamatri edu analave desentrées omplexes

h

ij

représentantles oe ients d'évanouissement entre le

i

me

antenne de ré eption etle

j

me

antenne de transmission, et

sontmodéliséespar des variables gaussiens indépendantsde moyenne zéro etde varian e

(28)

000000000000000

111111111111111

000

111

111 Diffusion

Line Of Sight

Diffraction

Reflection

Figure2 MultipathPropagation of Radio Signals

Le anal MIMO

H

peut être représentéà un instant donné par une matri e de taille

N

_{× M}

H

N ×M

=







h

11 h

12 · · · h

1M

h

21 h

22 · · · h

2M

. . . . . . . . . . . .

h

N 1

h

N 2

· · · h

N M







,

(2)

La gure (1.4)représente e système.

X

M ×T

est leblo du signal transmissur un T périodessymboleetunematri ededimensions

M

×T

.

T

estladimensiontemporelle, 'est ainsilenombred'utilisations anal(u ).

W

N ×T

∈ N (0,σ

2 _.I)

estunbruitadditifgaussien.

Le anal est supposé onstant durant la transmission d'un blo ( applé aussi des fois :

trame)et hanged'un blo à un autre.Le analest supposé aussi sans mémoireentre les

blo s: ainsi les matri esasso iés auxdiérents blo ssont statistiquement indépendants.

Ce analest onnu ommeun analplat en fréquen e,un anal àévanouissement lentou

tout simplement un anal à évanouissement par blo . Ces ara téristiques sont typiques

dans des appli ationssans lsxes (WiFi...),ouun hangement lentdu anal est prévu:

un exemple seraun environnement bureautiqueoules genspeuventbougeren mar hant.

La matri e

H

est supposé de rang plein. Ce i étantjustié ar la probablilitéde generer une matri ealéatoirementprésentant deslignes oudes olonnes non-indépendantest très

pro he de zero. En pratique, ela veut dire que les antennes de ré eption ou d'émission

(29)

Tx

Rx

SISO

SIMO

MISO

MIMO

Figure3 Dierent antenna ongurations in spa e-time systems.

gigahertz et don la séparation requise serait de quelques entimètres. Chaque ré epteur

est supposé voirestimé

H

parfaitementàtravers l'utilisationde ertainspro édés appro-priés, telle qu'une séquen e d'apprentissage transmis à haque blo . Cette situation est

souventdé ritedans lalittérature ommeleré epteur ayantune onnaissan eparfaite de

l'état du anal (CSI).

Les entrées

|h

ij

|

sont supposés avoir une distribution de Rayleigh. Les entrées de la ma-tri e de anal

H

sont omplexesetgaussiens. Chaque omposant dénitun gaussienréel etune partie imaginairegaussiennede moyenne nulleet de varian eégale à0,5. Ainsi,le

anal

H

est onsidéré omme un anal de Rayleigh.

0.1.2 Modulation and Demodulation

Modulation et la démodulation sont utilisées dans de nombreux types de transmission

de données analogique et numérique. Le hoix d'un type de modulation est basé sur la

bande passante et le rapport signal bruit. Dans la modulation numérique, une porteuse

analogique est modulée par un train de bits numériques. Les pro édés de modulation

numériques peuventêtre onsidérés omme onvertisseur numérique-analogique, etla

dé-modulation omme onvertisseur analogique-numérique. Les hangements dans le signal

de porteusesont hoisisparmiun nombre nide symboles (l'alphabetde modulation).Si

l'alphabetse omposede 2

N

b

symboles, haque symbolereprésenteun message onstitué

de

N

b

bits. Habituellement,pournos simulations,nous allons utiliserlaQuadrature Am-plitude Modulation(QAM). La modulation QAM est tout simplement une ombinaison

de modulationd'amplitude et de modulationpar dépla ement de phase.Ses pointsde la

onstellationsontgénéralementorganisés dansunegrille arréeave unespa ement

verti- alethorizontalégale.L'ensembledespointsdes onstellationsest unsous-ensemblenal

(30)

M transmit antennas

X

H

Y

N receive antennas

Figure 4 MIMO System representation onstituted of M transmit and N re eive

an-tennas

binaires, le nombre de points dans la grilleest généralement une puissan e de 2 (2, 4, 8

...). Quelques exemplesde onstellations

q

− QAM

ave

q =

4,8,16 sont présentées dans lagure (1.5).

Enpassantàune onstellationd'ordresupérieur,ilestpossibledetransmettreplusdebits

par symbole. Toutefois, si l'énergiemoyenne de la onstellation reste lamême, lespoints

doiventêtrerappro hésetsontdon plussensiblesaubruit;ilen résulteuntauxd'erreur

binaire plus élevé et d'ordre supérieur QAM peut fournir des données moins able que

d'ordreinférieur QAM, pour une énergie moyenne onstante.

0.1.3 Les Te hniques de diversité

Leste hniquesdediversitéfon tionnentsurladimensiontemps,fréquen eouespa e,mais

l'idée de base est la même. En envoyant des signaux qui transportent la même

informa-tionpar des voiesdiérentes, multiplesindépendammentatténués. Plusieursrépliquesdu

signalsontobtenuesauniveauduré epteuretuneplusabledéte tionpeutêtreatteinte.

Il yatrois types de s hémas de diversité dans les ommuni ations sans l

la diversité temporelle : Dans e as, les répliques du signal émis sont fournis dans le

(31)

tempo-00

01

10

11 ₁₀₁

₁₁₁

₀₁₁

₀₀₁

110

010

000

100 1000

1010

0010

0000

0001

0011

1011

1001

0101

0111

1111

1101

1100

1110

0110

0100

(a) 4−QAM

(b) 8−QAM

(c) 16−QAM

Figure5 Example of a

Z

[i]

latti e of dimension 2

anal doit fournir susamment de variations dans le temps. Elle est appli able dans le

as où le temps de ohéren e du anal est faible par rapport à la durée d'entrela ement

désirée de symbole. Dans un tel as, nous sommes assurés que le symbole entrela é est

indépendantdusymbolepré édent.Ce i lerend unerépliquetout àfait nouvelledu

sym-bole d'origine.

diversité fréquentielle : Ce type de diversité ore des répliques du signal original dans

ledomainefréquentiel.Ce i estappli able dansles as oùlabandede ohéren e du anal

est faiblepar rapport à labande passante du signal. Cela nous assure que lesdiérentes

parties du spe tre verront des évanouissementsindépendants.

La diversité spatiale : Elle est également appelé la diversité de l'antenne et est elle un

moyen e a e de lutte ontre l' évanouissement multi-trajets. Dans e as, les répliques

du même signal transmis sont prévues dans diérentes antennes du ré epteur. Ce i est

(32)

Fondamentalement, l'e a ité de tout s héma de diversité réside dans le fait que, au

ré epteurondoitfournir desversionsindépendantessdu signaltransmis.Dansuntel as

nous sommesassurésque laprobabilitéque deux signaux ouplus en ourentun

évanouis-sement profond sera très faible. Les ontraintes qui pèsent sur le temps de ohéren e,

la bande de ohéren e, et la distan e de ohéren e le onrme. Le s héma de diversité

doit don ombiner de façon optimale les formes d'onde reçues diversiées de manière à

maximiserla qualité du signal qui en résulte.

Nouspouvons également lasserla diversité en diversité d'émission et de ré eption.

diversité de ré eption : Maximum Ratio Combining est un s héma de diversité souvent

appliqué dans lesré epteurs pour améliorerlaqualité du signal. Dans lestéléphones

el-lulaires, ildevient oûteuse et lourde àdéployer. C'est une des raisons prin ipales que la

diversité d'émission est devenue populaire,puisque la diversité d'émission est plus fa ile

à mettreen Åuvre auniveau de la station de base.

Tx

x2

Rx

Scatterers

x

x1

x’

Figure6 Spatial Re eiveDiversity

Diversité de tranmission Dans e as, nous introduisons de la redondan e ontrlée

au niveau de l'émetteur, qui peut être ensuite exploité par des te hniques de traitement

de signal appropriées au niveau du ré epteur. En général, ette te hnique né essite une

onnaissan e parfaite du anal au niveau de l'émetteur. Maisave l'invention du odage

espa e-temps, ommelesystèmeAlamouti(4), ilest devenu possiblede mettreen oeuvre

ladiversitédetransmissionsans onnaissan edu anal.Cefutl'unedesraisons

fondamen-talespour lesquellesleMIMOindustriel ommen eà prendre essort.Codes espa e-temps

pour latransmissionMIMOexploiteàlafoisladiversitéd'emissionetde re eption equi

aboutit àune bonne qualité en re eption.

Par onséquent,enMIMO,nous parlonsbeau oupdeladiversitéde ré eptionou

d'émis-sion. En diversité de ré eption, le ré epteur qui a plusieurs antennes reçoit plusieurs

répliques du signal transmis même, en supposant que le la transmission est venu de la

(33)

Scatterers

x1

x2

x

Tx

Rx

x’

x21

x11

Figure7 Spatial Transmit Diversity

extrêmementpeuprobablequetouslesautres heminssontaussienévanouissement.Sile

nombre d'antennes de ré eptiontend vers l'inni,ladiversitétend vers l'innietle anal

tend vers un analà bruit blan gaussienadditif(AWGN)(5).

Dans la atégorie de la diversité spatiale, il ya deux types de diversité en plus que nous

devons examiner.Ce sont :

diversité de polarisation : Dans e type de diversité de polarisation horizontale et

ver-ti ale, les signaux sont transmis par deux antennes polarisées diéremment et reçues

respe tivement par deux antennes polariséesdiéremmentau niveau du ré epteur.

Dié-rentes polarisations assurent qu'il n'yait pas de orrélation entre les données, sans avoir

à sesou ier de la distan e de ohéren e entre lesantennes.

Diversité d'Angle Cela s'applique à des fréquen es porteuses de plus de 10 GHz. À es

fréquen es,les signauxtransmissont hautement dispersésdans l'espa e. Dans un tel as,

le ré epteur peut avoir deux antennes très dire tivesfa e dans des dire tions totalement

diérentes. Ce i permet au ré epteur de déte ter deux é hantillons du même signal, qui

sont totalement indépendantes les unes des autres.

Considérant un système MIMO

N

× M

, le gain de diversité maximal possible est égal à

N

× M

. À haut SNR, la probabilité d'erreur

P

e

diminue à

d

me

en puissan e de SNR,

orrespondant à une pente de

−d

dans la ourbede probabilité d'erreur (en é helle dB / dB).

P

e

∝

1 SNR

d

(3)

Ainsi,la diversité est

d =

_{− lim}

SN R→∞

log(P

e

)

(34)

don la probabilité d'erreur diminue si nous envoyons des informations sur

d

hemins indépendants.

0.1.4 Dénition de Latti e et ses propriétés

Un latti e

Λ

est un sous ensemble de rang

p

; pour

p < n

, de

R

n

.

Λ

est ainsi un latti e de dimension

p

etil existe

p

ve teurs

v

1 ,v

2 , . . . ,v

p

∈ R

n

de dimension

n

telque :

Λ = Λ(S) =

{a

1 v

1 + a

2 v

2 + . . . + a

p

v

p

: a

i

∈ Z}

(5) ave

S

= [v

1 ,v

2 , . . . ,v

p

]

est une matri e de dimensions

n

× p

. L'ensemlbe des ve teurs olonnes

{v

1 ,v

2 , . . . ,v

p

}

etlamatri e

S

sontappelés respe tivement labase etlamatri e de base de

Λ

. Ainsi,un latti eest une ombinaison linéaireentière des ve teurs de base. Dans lereste de do ument, un latti e ayant

S

ommematri ede base sera noté

Λ

S

. Considérons ainsi quelques dénitions utiles, (voir gure(1.8)):

•

La matri ede Gram d'un latti e

Λ

S

est

G

= S

T

_S

.

•

Lelatti e équivalent

Soit

Q

dansM

n

(R)

,de telle sorte que

QQ

T

_{= I}

n

.

Les deux latti es

Λ

S

et

Λ

S.Q

sont équivalents(même latti e).

•

volume fondamental d'un latti e

lavolumefondamentaled'unlatti e

Λ

S

ayantunebase

{v

1 ,v

2 , . . . ,v

p

}

dans

R

n

est donné

par :

V

=

_{{x ∈ R}

n

_{\x = a}

1 v

1 + a

2 v

2 + . . . + a

p

v

p

, 0

≤ a

i

< 1, i = 1 . . . p

}

(6) Géométriquement,ledeterminant

det (Λ)

d'unlatti e

Λ

estdéni ommeétantle ontenu du parallélépipède engendré par les bases du latti e. Généralement,un latti epeut avoir

plusieursbases possiblesmais toujours le même déterminant.

•

Cellule de Voronoï

La ellulede Voronoï d'un point

u

dans un latti e

Λ

est la régiondéni par

v(u) =

_{{x ∈ R}

n

_{\kx − uk ≤ kx − yk,y ∈ Λ}}

(7)

Ainsi, la ellule de Voronoï est une stru ture où haque interieur d'une ellule onsiste

en tous les points pro hes d'un point parti ulier du latti e que tout autre point dans le

latti e. Comme le latti e est uniforme, toutes les ellules de Voronoï sont identiques. Le

volume fondamentald'un latti e est égale au volume d'une ellule de Voronoï. La

repré-sentation des systèmes MIMO omme latti e et les dé oder ave un dé odeur latti e a

(35)

Lattice Point

Lattice Base

Voronoï Cell

Fundamental Parallelotope

(V1,V2)

V2

V1

Figure8 Example of a

Z

[i]

latti e of dimension 2

représentation en latti e du modèle du anal.

0.1.4.1 Pour le as du système non odé

I i, on suppose que

T

, la dimension temporelle, est égale à

1

. Soit le mapping inversible

Ψ : C

M

_{→ R}

M

du ve teur omplexe

v

en empilant la partie réelle du ve teur

v

sur la partie imaginaire,déni par

v

= Ψ(v) =

Re

_(v)

Im

_(v)

,

(8) Où

M = 2M

. Où

N

6= 1

, le mapping

Ψ : C

N ×M

_{→ R}

N

×M

and

N = 2N

d'une matri e omplexe

A

à une matri ereelle

A

est denit ommesuit :

A

= Ψ(A) =

Re

_(A)

_−Im(A)

Im

_(A)

Re

_(A)

.

(9)

Ainsi,on peut réé rirel'équation(1.5)en séparantla partieréelle etla partieimaginaire

omme suit :

y

N

= H

N ×M

x

M

+ z

N

.

(10)

Commelamatri e

H

N ×M

estderangplein,lamatri e

H

N ×M

est ainsiderangplein.On obtient don une représentation en latti e du système MIMO non odé. Les dimensions

du latti e sont

N

× M

et lamatri e génératri eest

H

N ×M

.

(36)

0.1.4.2 Pour le as du système odé

Dans e as

X

n'est plus un ve teur symbole omme dans le as d'un système non odé. Mais, il représente plutt la matri e mot de ode à envoyer. Le mot de ode reçu reste ommedé ritdansl'équation(1.5).Deuxétapesdoivent êtresuivies pour avoirune représentation en latti e du système MIMO odé :

1) représenter le système ode omme un système non ode,

2) séparer les parties imaginaires et réelles. Premier pas onsiste dans la ve torisation.

Ainsi,l'équation (1.5) devient

y

_{N ·T}

=







H

N ×M

0

. . .

0 H

N ×M





 ·







φ

11 . . .

φ

1,M ·T

. . . . . . . . .

φ

_{M ·T,1}

. . . φ

_{M ·T,M·T}







|

{z

}

φ

M ·T ×M ·T

· 





x

1

. . .

x

_{M ·T}







|

{z

}

x

M ·T

+







z

1

. . .

z

_{N ·T}





 ,

Ave Commeresultat, onobtient unsystème equivalent à (1.5)

y

_{N ·T}

= H

1,N ·T ×M ·T

· φ

M ·T ×M ·T

· x

M ·T

+ z

N ·T

= H

N ·T ×M ·T

· x

M ·T

+ z

N ·T

(11)

Laséparation delapartie réelleetimaginaireestappliquéeàl'équationpré édente ommepour l'équation(1.15),etlesystème odé devient

y

N ·T

= H

N ·T ×M ·T

· x

M ·T

+ z

N ·T

(12)

Oùon denit par

H

N ·T ×M ·T

lamatri eéquivalente génératri e du latti e.

0.2 Dé odage MIMO

0.2.1 Introdu tion

Dans ette partie, on présente l'etat de l'art des algorithmes de dé odage MIMO existant en littérature.Ondis uteradansunpremiertemps,lesde odeurssous-optimaux, ommelede odeur de For age àZero(Zero For ing :ZF), l'algorithmede meminimisation del'erreur quadratique

(MinimumMean Square Error :MMSE),etlesalgorithmes à retourde dé ision, et .

On présente ensuite, les dé odeurs MIMO optimaux, eton se fo alisera en parti ulier sur eux baséssurunereprésentationenlatti eetsurlesalgorithmesséquentiels. Ondistingueainsideux

ategories,lesde odeursutilisantlastratégiedePohst ommeleSphèreDé odeuretle S hnorr-Eu hner,algorithmesutilisantslastratégiedeDijkstra(ex:best-rst-sear h) ommelede odage parsta ketlede odage deFano.Onmontreraque ettedernière atégorieoriraun ompromis

(37)

0.2.2 Du modèle anal vers le design de Latti e

La théorie de Latti e est appliquée e a ement pour en oder et dé oder l'information dans la transmissionnumériqueave antennesmultiples.Lathéoriedelatti eestunoutil mathématique puissantpourreprésenterle analgéométriquement et omprendreson omportementdans

l'ob-je tif dedesigner unbonmodulateur etunbondémodulateur.

0.2.3 Dé odeurs MIMO : Prin ipes de base et stru tures

Dans ettethèse,less hémasMIMO étudiéssont less hémasspatio-temporels.Ainsi,ilest pos-sibledereprésenterlesystème ommeunsystèmenon- odé équivalent.Pourguise desimpli ité, on onsidérera le s hémas de transmissionnon odé.Don , les algorithmes de dé odage étudiés

etproposés pour la suite reste valable pour un système odé, seulement les dimensionsdu sys-tème vont hanger. Rappelons, l'equation quirepresentelesystème MIMO ave Mantennes de transmissionetN antennes de ré eption.Soit lamatri e motde ode

X

de dimension

M

× T

et lesigna reçu

Y

de dimensions

N

× T

vériant :

Y

= HX + W

(13)

Apres ve torisation,lesystème peutêtre é ritsous ette forme:

y

_eq

= H

eq

s

+ w

eq

(14)

Où

y

eq

et

w

eq

sont les ve teurs olonnes omposés de

N T

éléments obtenus de

Y

et

W

.

s

est le ve teur omposé de

p

symboles en odés ave la matri e mot de ode

X

. La matri e du analéquivalente

H

eq

dedimensions

N T

× p

in lutlaréponsedu analetl'opérationdu odage spatio-temporel. Dans lasuite, pour simplier les notations, on va plus mentionner l'indi e

eq

. Soitaussi

n = N T

.Commerésultat, lesnouveaux dimensionsdu systèmesont

n

× p

.

On suppose aussi une transmission ohérente (matri e anal onnu à l'émission). Le system

devient ainsi:

y

= H

_{· s + w,}

(15)

L'obje tif derrière la transmission MIMO est de trouver l'estimation du ve teur transmis. Le de odage optimalestlemaximumde vrairessemblan e (maximumlikelihood:ML).Il s'agitde trouverleve teur leplus pro he

s

qui minimise lamétrique

ˆ

s

= arg min

s

∈C

s

ky − H · sk

(16)

Où

C

s

est l'ensemble formé par les ve teurs de la onstellation. Le ré epteur ML her he dans tous les ve teursde la onstellation,le ve teur signal leplus probablement transmis. En analy-sant lastru ture desdé odeurs, on peutdéduire que troisphases peuvent êtredistinguées dans

la onstru tion. Chaquedé odeurpeutin lurequelquesphasesoutoutes lesphases.Ce i dépen-dra du ompromis ompexité-performan e re her hé. Les dé odeurs in luant toutes les phases oriront une estimation plusoptimale maissouriront néanmoinsd'une énorme omplexité.

(38)

Le prétraitement est une phaseoptionnelle. Etant donné unproblème de re her he, laphasede prétraitement estutilepour améliorerl'e a ité dudé odage.Leprétraitementpeutêtreséparé endeuxétapesindépendantes:leprétraitement àgau he etleprétraitement àdroite. Cesdeux

étapesseront détaillésplus tard.

Phase deux : Un premier point

Cette phasepermetd'obtenir une première estimation. L'avantage est d'obtenir rapidement un premier résultat qui n'est pasfor ement optimal. Quelques fois,le ré epteur abesoin d'obtenir

une estimation rapide. Dans e as, ette phase peutetre susante puisqueelle ore une om-plexité très réduite même si le résultat n'est pas optimal. Ce premier point peut être amélioré en utilisantd'autres phases,mais a rendra le outde la omplexité plusimportant.

Phase deux : un meilleur Point

Le premier point obtenu pré édemment seraamélioré pour avoir une estimation plus able. Ce premierpointestgénéralementutilisé ommeinitialisation pour ladeuxièmephasepour trouver

un point plusable. Cette phasene peutpasêtre indépendantede lapremière phase.

0.2.4 Les lasses des dé odeurs MIMO

0.2.4.1 Les dé odeurs MIMO sous-optimaux

Ledé odeurZFLeré epteurZFestunré epteurlinéaire.Ilse omporte ommeunltrelinéaire

F

et il sépare les ux des datas pour dé oder ainsi indépendamment haque ux. On suppose quele matri edu anal

H

estinversibleeton estime leve teur transmis ommesuit :

ˆ

s

= H

H

−1

Hs

= H

†

s

(17)

où

†

représente lepseudo-inverse.Puisque l'inverse de

H

ne peut existerque si les olonnesde

H

sont independents, ilest supposéqueles elementsde

H

sont i.i.d.Ainsi:

F

ZF

= H

H

−1

_H

(18)

et

F

ZF

· y = s + F

ZF

· w.

(19)

Ainsi,unesimpledéte tionpermettrad'estimer

s

ˆ

enutilisantunequanti ationdansla onstel-lationQAMgrâ e àlafon tion

Q

QAM

:

ˆ

s

= Q

_QAM

_{F

ZF

· y}

(20)

Le dé odage ZF peut être vu omme une proje tion orthogonale du ve teur reçu sur la base onstitué desve teurslignes delamatri e

H

.Figure(2.1) montre unexemple de proje tion en dimension2.Silabasen'estpasorthogonal,laproje tionde

y

génèreuneerreurdedé odage.Si labaseestorthogonale, laproje tion n'induitpasune erreurde dé odage etlasolution obtenue estbien lasolutionML.

En pratique, la matri e du anal n'est pas orthogonale. Plusieurs travaux dans la littérature permettent d'obtenir des bases équivalentes omposées desve teurs les plus ourtes etles plus orthogonales possibles, este hniquessont appeléesleste hniquesde rédu tion(43).Ainsi,

(39)

apl-(b)

e

y

e

2

1

1 y’

y’

2

1 (a)

random H

Orthogonal H

Figure9 Orthogonal Proje tion of the re eived ve tor

dé odage pré-ML enterme de performan e.

A lasoritedu lter ZF,lebruit résultant est

w

˜

= F

ZF

· w

.La matri e de ovarian e est déni par

R

w

_˜

w

˜

= E

( ˜

w)

· ( ˜

w)

H

= σ

2 H

H

_{· H}

−1

= σ

2 G

−1

.

(21)

Par onséquen e, le bruit n'est pas blan ,

R

w

˜

w

˜

6= R

ww

= σ

2 _I

. En plus, si on applique la de omposition SVD de la matri e de Gram

G

,on obtient

G

= U

· D · V

H

, où

U

et

V

sont desmatri esunitaireset

D

estunematri ediagonale ontenant lesvaleurssingulières de

G

.En utilisant la proprieté que les valeurs singulières de la matri e de Gram sont égalesau arré des valeurspropres de

H

,noté

λ

1 ,λ

2 , . . . ,λ

n

,la matri ede ovarian e

w

˜

estdonné par

R

w

˜

w

˜

= σ

2 V

· 





√

λ

1 −1

· · ·

0

. . . . . . . . .

0 _{· · ·}

√

λ

n

−1





 · U

H

(22)

Ainsi, le problème onnu de forçage à zeroest l'ampli ation dubruit provoqué par l'inversion desvaleurspropres de

H

.Ces valeurspropres sontgrandes pourune matri e mal- onditionnée. Ledé odeuràretourdede ision:ZF-DFE L'idéegénéraledudé odeurZF-DFEestdetraiterle

ve teurreçu

y

pourestimerleve teurtransmis

s

enestimant haque omposante

s

k

,uneparune, enannulantleseetsde essymbolesdéjàdé odés,etannulant euxdéjàin onnus.Enpratique, si un symbole

s

ˆ

k

est estimé, ledé odeur exploite ette dé ision pour estimer

s

ˆ

k−1

,

s

ˆ

k−2

,

. . .

,

s

ˆ

1

.

Ainsi, e dé odeur non linéaire est appelé un dé odeur à retour de dé ision ( DFE : De ision Feedba k Equalization).Le dé odeurTheZF-DFEutilise le ritère ZFpour dé oderlesymbole

ˆ

s

k

.LeDFEin lutunltrefeedforward quiopèresurlesignalreçupour supprimerl'interféren e inter-symbolesISI,unltredefeedba kquiopèresurlessymbolesdéjàdéte téspoursupprimer l'ISI.LeDFEestgénéralementplusperformantquelel'égaliseurlinéairetraditionnel.Etpuisqu'il s'agit d'unedéte tionsu essive,ladé ompositionQRest très utile.

y

= H

_{· s + w}

= QR

_{· s + w}

(23)

Dans l'obje tif d'exploiter la stru ture triangulaire supérieurede la matri e

R

, onmultiplie les deuxparties del'équation (2.11) du oté gau he parle transposé de

Q

.

y

₁

= Q

T

y

(40)

Comme

R

est triangulairesupérieure, pourla premièreitération, ledé odeurestime lesymbole

s

n

enutilisant ette équation

ˆ

s

n

= Q

QAM

y

1,n

r

nn

(25)

Pour de oder le symbole d'information

s

k

, le dé odeur utilise les symboles

s

ˆ

j

,

j = k + 1, . . . ,n

pré édemment estimés, enutilisant ette équation

ˆ

s

k

= Q

QAM







1 r

kk



y

1,n

−

n

X

j=k+1

r

kj

· ˆs

j











, 1

_{≤ k ≤ n}

(26)

Malheureusement, ZF-DFE performan e est entravée par lapropagation des erreurs. La degra-dationdanslesperforman esdudé odeurDFEsurvientquandunedéte tionerronéeestinje tée

dansle ltre feedba k. Ainsi, au lieu de supprimer l'ISI, leDFE peutamplier l'ISI. La propa-gation d'erreur peut induire des erreurs de dé ision et augmenter ainsi la probabilité d'erreur binaire et symbole. Le dé odeur MMSE Le ré epteur ZF élimine l'interféren e maisamplie le bruit. Ce i, peut être pas trop signiant pour des hauts SNR, mais pour des SNR faibles, il

serapratique dedesignerunltre quimaximise lerapportglobalsignalsurbruitetinterféren e (SINR). Une possibilité sera de minimiser le bruit total résultant, i.e. trouver le ltre optimal

F

M M SE

quiminimise l'erreur quadratiquemoyenne :

F

M M SE

= arg min

F

(E

{kˆs − sk})

= arg min

F

(E

{kF · y − sk})

(27)

Ainsi, leltre MMSEpeutêtre é rit ommesuit :

F

M M SE

= H

H

· H

H

+

σ

2 σ

2 s

I

−1

,

(28) où

σ

2 s

représente la puissan emoyenne des omposantes duve teur

s

,i.e

E

ss

H

= σ

2 _s

I

_p

.

Le ritèreMMSEa desperforman es meilleurqueleForçageàZeropour desSNRfaibles, mais

ave un désavantage : le ré epteur doit onnaitre la varian e du bruit. Aussi, pour des SNR élevés, leMMSEetleZFsont équivalents.

Le ré epteur MMSE ore un bon ompromis entre la suppressiond'interféren e et larédu tion dubruit.PourunSNRélevé,leré epteurMMSEdevientunré epteurZF.PourlesSNRfaibles,

leré epteur MMSEdevient similaireà unltre adapté:

F

M M SE

=

(

F

ZF

ifSNR ishigh

σ

2 σ

2 s

H

ifSNR islow

Comparaison des dé odeurs sous-optimaux Dans lagure (3.13), on ompare les performan es et les omplexités des diérents dé odeurs sous-optimaux présentés ultérieurement. Ainsi, on onsidère un système MIMO

2 × 2

ave un multiplexage spatial. On utilise simplement une onstellation4-QAM.Le analestRayleighquasi-statique.L'e a ité spe traleestde 4b/s/Hz. Les performan es sont al ulés en termede BER en fon tion du SNR.Le SNR est al ulé ave ette équation:

SN R = 10log

10 n

P

p

_i=1

E

s

i

2 P

p

_i=1

log

2 (q) N

0

dB

(41)

où

E

s

i

estl'énergiemoyenne pardimension del'information omplexe appartenant àun

onstel-lation

q

− QAM

et

σ

2 _{= 2N}

0

.

Dans la gure (3.13), on montre aussila omplexité des dé odeurs sous-optimaux en terme de

nombre de multipli ations par mot de ode. Pour tous es dé odeurs, les opérations sont des opérations matri ielles appliquéesau signal reçuet omplètement indépendantes de lavarian e du bruit.Cequi peutexpliquela omplexité onstanteave leSNR.

Mêmesitouslesdé odeurssous-optimauxorentune omplexité faibleet onstanteâquiest

trèsutiledansles implémentationspratiques- ilsne permettentpasdesbonnesperforman es et ne protent pasde ladiversitéoertepar les systèmesMIMO.

D'unautre oté,l'utilisationdesdé odeurssous-optimauxpeutêtretrèsintéressantesilenombre

desantennesderé eptionestgrand omparéaunombred'antennesdetransmission aronprote deladiversitéderé eptionélevé.Mais,anderé upérerladiversitétotaleoerteparlessystèmes MIMO etles odesespa e-temps, nousdevrionsnous on entrer sur lesdé odeurs optimales.

(42)

5

10

15

20

25

10 −3

10 −2

10 −1

10

0 SNR (dB)

BER

ZF

ZF−DFE

MMSE

5

10

15

20

25

0

50

100

150

200

250

300 SNR (dB)

Complexity (Multiplications/Codeword)

MMSE

ZF−DFE

ZF

Figure10LinearandNon-LinearSub-OptimalDe odersPerforman eandComplexity

Comparison for

2 × 2

MIMO System using SpatialMultiplexing with a4-QAM Constel-lation

(43)

0.2.4.2 Les de odeurs MIMO pour latti e

Le maximum likelihood (ML) onduit à la meilleure performan e en terme de taux d'erreur, maisil estextrêmement exigeantes entermes de omplexité.Pour les onstellations, de taille

q

, ledé odageML onsiste à her herparmi

q

p

andidatspossibles. Ce iestabordablequand

q

et

p

sont petits, maispaspour lessystèmes à grande e a ité spe trale. La omplexité roissante est ausée par la re her he dans toutes les ombinaisons possibles ,bien que beau oup d'entre

eux sont probablement pas le bon andidat : en raison de la distribution gaussienne du bruit, des mots de ode qui sont loin du ve teur reçu sont beau oup moinsprobable que des mots de ode pro he du ve teur reçu. Le dé odage par Latti e permet une rédu tion signi ative de la

omplexité omparé auML exhaustif,d'abord 1) a évitelebesoin d'un ontrle ompliqué des bornes (44) et 2 ) permet une utilisation plus e a e des algorithmes des prétraitements (ex., l'algorithmeLLL(43))quisont onnuspouravoirorirunerédu tionsigni ativede omplexité. Lare her he dupointlepluspro hed'unpointdonnéaététrèslargement étudiédanslathéorie

delatti e.Engénéral,l'algorithmedere her heoptimaldoitexploiterdanslastru turedelatti e. Pour leslatti esengénéral,quin'ontpasunestru tureparti ulière,leproblèmeestNP-di ile.

Une appro he ommune auproblèmedupointlepluspro heestd'identier unerégion dans

lequellepointoptimaldelatti edoitexister,etaprèsétudiertouslespointsdelatti edans ette région,etetéventuellementderéduiresatailledynamiquement.Engénéral,ledéveloppementdes algorithmesdupointlepluspro hesuiventdeuxbran hesinspiréespardeuxarti lesfondateurs:

Phost(45)en1981 aexaminélespointsdelatti equiappartiennent àunhyper sphère,Kannan (49) en 1983 a utilisé un parallélépipède re tangulaire. Lesdeux papiers apparaissent plus tard

dans des versions étendus :Pohst (48) et Kannan ( en suivant les travaux de Helfri h (47)) et (46). En (45), ependant, Pohst a proposé une stratégie e a e pour énumérer tous les points du réseau intérieur d'une sphère ave un ertain rayon. Bien au pire des as, la omplexité est exponentielle en

q

, ette stratégie a été largement utilisé dans plusieurs problematiques de re her he de points en raison de son e a ité dans de nombreux s énarios (voir (52) pour un examenexhaustif desouvrages onnexes).

La stratégie d'énumération de Pohst a été initialement introduite en ommuni ation

numé-riqueparViterboetBiglieri(50).Dans(51),ViterboetBoutrosl'ontappliquépourladéte tion ML pour les onstellations multi-dimensionnelles transmis sur un anal évanouissant à une an-tenne etdonnent le diagramme d'une éventuelle implémentation. Agrell et al. (52) ont propose

l'utilisation d'unranement S hnorr-Eu hner(53) del'énumération dePohstdanslare her he du point le plus pro he. Algorithme du dé odeur par Sphère L'algorithme de dé odeur par sphère a été initialement développé dans les années 1980, mais a ré emment attiré beau oup

d'attention dans la ommunauté MIMO grâ e à sa performan e similaire au dé odeur ML ex-haustive à une omplexité raisonnable. L'idée prin ipale est de limiter la re her he parmi les andidatspossibleslo alisés dans unsphère de rayon

√

C

entrésur leve teur reçu (voir gure (2.3)). Dans ette partie onsuppose un systèmeMIMO symétrique,

M = N

.En appliquant un mapping du système omplexe versun système réellede l'équation (2.3) ommedé rit dansles équations (1.13) et(1.14),on obtient

(44)

Après, on onsidère la dé omposition QR de la matri e

H

= QR

. Après la multipli ation de deux otés de l'équation(2.17) par

Q

T

,lesystème devient

y

₁

= Q

T

_{· y}

= R

_{· s + w}

1 .

(30)

Q

estorthogonaleetlamultipli ationpar

Q

T

ne hangepaslesystèmepré édent.Lesystèmeest dedimension

2n

puisque

M = N

etpuisqu'onestpasséàlareprésentationdansledomaine réel. Maintenant,trouverlepoint leplus pro he danslesphèreestéquivalentà résoudrel'inéquation suivante:

min

s

∈C

s

ky

1 − R · sk

2 _{≤ C}

(31)

C

y

0

1

0

1

0

1

0

1

00

11

0

1

00

11

00

11

0

1

0

1

00

11

0

1

0

1

0

1

0

1

00

11

00

11

0

1

0

1

00

11

0

1

00

11

00

11

00

11

00

11

0

1

0

1

Figure11 Sphere De oding

L'algorithme de dé odage S hnorr-Eu hnerL'algorithme de S hnorr-Eu hner nous étudions i iaétéprésentédans(52).Ilaétéutilisédansdesappli ationsde ryptographie.Cetalgorithme alemême prin ipe queleSD:lare her he du point lepluspro he.Cetalgorithmeestbasésur

deux étapes. La première étape onsiste à re her herle point de Babai (BP), e qui représente une première estimation, maisn'est pas né essairement le point le plus pro he. Trouver le BP nous donne une borne sur l'erreur. Dans la deuxième étape, nous modions le BP jusqu' à e

que lepoint le pluspro he est atteint. Nouszigzagons autour de haque omposant BPen vue de onstruire lepoint leplus pro he( ontrairement ausphère dé odeur, iln'yapasde minimum etmaximumpour haque omposantedu BP).Letemps né essairepourtrouverlepoint leplus

pro heestétroitement liéeàBP, equisignieétroitementliéeauSNR.Enfait,sileBPesttrès loin du point le plus pro he, 'est à dire pour les rapports signal sur bruit faible, l'algorithme prendbeau oupplusdetemps à onverger.Toutefois,sileBPestpro hedepointlepluspro he,

(45)

Figure 12 SESear h Strategy

L'idée lefestde voirle latti e ommeune superposition deshyperplansetpuis ommen er lare her he pour lepoint lepluspro he dansl'hyperplan (voir gure2.4).

Rappelons l'équation (2.18). La forme triangulaire supérieure de

R

permet de voir le latti e ommeplusieurs ou hes. Ainsi, lamatri e

R

peutêtreé rit ommesuit

R

=

R

1 r

2n

,

(2.30)

Où

R

1

est une matri e

(2n

− 1) × 2n

Composée du top

2n

− 1

lignes de la matri e

R

. La matri e

R

est triangulaire, le ve teur

r

2n

= (0,,0,r

2n,2n

)

est orthogonal à l'espa e généré par la matri e

R

1

. Maintenant, l'algorithme de re her he dans le latti e de dimension

2n

va être détaillé ré ursivement omme un nombre ni de

2n

− 1

opérations dimensionnelles. Le latti e

Λ

R

peut etrevu ommeune superposition inni d'hyperplansde dimension

2n

− 1

générés par lamatri e

R

1

:

Λ

R

=

∪ {c + t

2n

r

2n

/c

∈ Λ

R

1 ,t

2n

∈ Z} .

(2.31)

Uneproje tion su essivesurlesdiérentshyperplansdulatti epermetdetrouverunepremière

estimation du point le plus pro he. C'est le 'Babai point' et il orrespond au point ZF-DFE (55).Une fois e point est trouvé, il onstitue le point de départ pour visiter les autres points. L'obje tif est de trouver le point le plus pro he, il n'est don pas né essaire de onsidérer les

points ayant une distan e supérieure au 'Babai point'. Ainsi, le S hnorr-Eu hner (SE) est un algorithme dans une sphère entre sur le point reçu ave omme rayon initial la distan e entre lepoint reçuetleBP.