L07 [V2-VàC] – Lois uniformes, lois exponentielles

(1)

9

Lois uniformes, lois exponentielles

7

Leçon

Niveau

Terminale S

Prérequis

Variable aléatoire, espérance, variance, fonctions exponentielles, formule de

Koe-nig

Références

[

14 ], [

16 ], [

17 ], [

18 ]

7.1 Lois uniformes

7.1.1 Loi uniforme discrète

Définition 7.1

On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur A si

X

(Ω) = A et P (X = a) =

1 card(A)

, a

∈ A.

En général, A

= [1, n]

N

= [1, n] ∩ N.

Exemple 7.2

On lance un dé non truqué. Soit X la variable aléatoire qui prend comme résultat le

numéro de la face indiqué par le dé. X suit la loi uniforme sur A

= [1, 6]

_N

.

Exemple 7.3

Un ordinateur est programmé pour donner en sortie un entier au hasard entre

1 et 20.

On note Y la variable aléatoire qui prend comme résultat l’entier sorti par l’ordinateur.

Y

suit la loi uniforme sur A

= [1, 20]

_N

.

Soit A

= {x

1

, . . . , x

n

}.

Théorème 7.4

_{Si X ∼ Unif(A) alors :}

E(X) =

1 n

n X i=1

xi

et

Var(X) =

1 n

n X i=1

x

2_i

+

1 n

n X i=1

xi

!2

.

Dans le cas où A

= [1, n]

_N

= [1, n] ∩ N :

Théorème 7.5

_{Si X ∼ Unif([1, n]}

_N

) alors :

E(X) =

n

+ 1

2 et

Var(X) =

n

2

_{− 1}

12 .

Dv

• Preuve Soit X ∼ Unif([1, n]N). On calcule son espérance :

E(X) = 1 n n X k=1 k= 1 n n(n + 1) 2 = n+ 1 2 .

(2)

10 Leçon no₇ _• _{Lois uniformes, lois exponentielles}

On peut ensuite calculer la variance avec la formule de Koenig :

Var(X) = 1 n n X k=1 k2₋ _n_{+ 1} 2 2 = n(n + 1)(2n + 1)₆ −(n + 1) 2 4 =(n + 1)(4n + 2) − (n + 1)(3n + 3)₁₂ =(n + 1)(n − 1)₁₂ = n2₁₂− 1.

Exemple 7.6

Calculons l’espérance et la variance de Y .

E(Y ) =

20 + 1

₂

=

21 ₂

Var(Y ) =

20

2

₁₂

− 1

= 400 − 112 =

399 ₁₂

.

7.1.2 Loi uniforme continue

Définition 7.7 — Loi uniforme continue.

La loi uniforme est la loi exacte des phénomènes continues

uniformément répartis sur un intervalle

[a, b] avec a < b, c’est-à-dire si sa densité de probabilité est

donnée par :

f

(x) =

(

Φ si x ∈ [a, b]

0 si x /

∈ [a, b]

.

Dv

• Preuve — Calcul deΦ. On cherche Φ tel que : Z b a Φ dt = 1 c’est-à-dire : [Φx]b a= 1 ⇔ (b − a)Φ = 1 ⇔ Φ = 1 b_{− a}.

La fonction de densité de probabilité est représenté par le graphique ci-dessous :

1

0

1

b−a

(3)

et sa fonction de répartition :

1

0 a

_b

R 7.8 La probabilité que X ∈ [α, β] avec α < β et α, β ∈ [a, b] vaut :

P(α ≤ β) = Z β α f(x) dx = Z β α dx b_{− a}= β− α b_{− a}.

Exemple 7.9

Dans la journée, un métro passe toutes les

6 minutes à la station n

o

14. Soit X le temps

d’attente d’une personne à cette station. On suppose que X suit la loi uniforme sur

[0 , 6].

Quelle est la probabilité que cette personne attende entre

3 et 5 minutes ?

P

(3 ≤ X ≤ 5) =

5 − 3

6 =

1

3 .

Théorème 7.10

_{Soit X ∼ Unif([a, b]).}

E(X) =

b

+ a

₂

et

Var(X) =

(b − a)

₁₂

2

.

Dv

• Preuve Calcul de l’espérance de X Par définition :

E(X) =Z +∞ −∞ xf(x) dx = Z a −∞ xf(x) dx + Z b a xf(x) dx + Z +∞ b xf(x) dx.

Or :R_−∞a xf(x) dx = 0 etR_b+∞xf(x) = 0 par définition de la loi uniforme continue, d’où :

E(X) =Z b a xdx b_{− a}= 1 b_{− a} Z b a xdx = 1 b_{− a} _x2 2 b a = b2− a2 2(b − a) =(b − a)(b + a)2(b − a) = b+ a 2 . Variance Par la formule de Koenig,

Var(X) =Z +∞ −∞ x2f(x) dx − E(X)2= Z b a x2 dx b_{− a}− _b_{+ a} 2 2 = 1 b_{− a} x3 3 b a − b+ a 2 2 = 1 b_{− a} b3− a3 3 − b+ a 2 2 .

(4)

12 Leçon no₇ _• _{Lois uniformes, lois exponentielles} Or : 1 b_{− a} _b3_{− a}3 3 =1 3(b2+ ab + a2) (b + a)2 4 =14(b2+ 2ab + a2) d’où : Var(X) = 1 b_{− a} _b3_{− a}3 3 − (b + a) 2 4 =(b − a)₁₂ 2.

Théorème 7.11

Si X est une variable réelle de fonction de répartition continue strictement croissante

F

et si U est une variable aléatoire de loi uniforme sur

[0 , 1], alors la variable aléatoire Y := F

−1

(U)

a même loi que X.

Ce théorème permet de réduire la simulation informatique de la loi de X à celle de U.

Dv

• Preuve Comme F est continue strictement croissante, c’est une bijection de R sur son image ]0 , 1[ (en raison de la stricte monotonie de F , les bornes0 et 1 ne sont pas atteintes). Par conséquent F−1_{: ]0 , 1[ → R}

est bien définie et vérifie :

∀u ∈ ]0 , 1[, ∀x ∈ R, F−1_{(u) ≤ x si et seulement si u ≤ F(x).}

Comme P(0 < U < 1) = 1, on en déduit que les événementsF−1_{(U) ≤ x} _{et {U ≤ F (x)} ont même}

probabilité. Pour obtenir la fonction de répartition de Y , on remarque alors que pour tout x ∈ R,

P(Y ≤ x) = P(F−1(U) ≤ x) = P(U ≤ F(x)) = L([0, F (x)])

L([0, 1]) = F (x)

où L([a, b]) correspond à la longueur de l’intervalle [a, b]. Ainsi Y a pour fonction de répartition F donc a même loi que X.

Exemple 7.12

La rotation d’une roue de loterie équilibrée et d’épaisseur constante, tournant sur un

cadran gradué régulièrement, les forces de frottement s’exerçant sur l’axe de rotation étant constantes,

lorsque l’on suppose que la roue ne s’arrête devant l’aiguille que selon une graduation, donne un

exemple concret de phénomène probabiliste suivant une loi uniforme. Si l’on a une ou deux dizaines

de graduations, on peut considérer être en présence de l’équiprobabilité d’apparition de certaines

graduations. En augmentant indéfiniment le nombre de graduations, on pourra même considérer des

intervalles de graduations, ainsi la probabilité d’une graduation donnée parmi un très grand nombres

de graduations va tendre vers

0. D’autre part, la probabilité que l’aiguille se présente entre deux graduations quelconques est

pro-portionnelle à la mesure du secteur que ces graduations délimitent.

7.2 Lois exponentielles

7.2.1 Définition

(5)

exponen-tielle de paramètre a si elle admet pour densité :

f

(t) =

(

a

e

−at

si x ≥ 0

0 si x ≤ 0

.

FIGURE

7.1 – Densité et fonction de répartition de loi

Exp(a)

7.2.2 Loi de durée de vie sans vieillissement

Soit X ∼ Exp(a). On dit que X est une loi de durée de vie sans vieillissement.

Définition 7.14

Soit T la variable aléatoire correspondant à la durée de vie d’un individu ou d’un

objet.

On dit que T suit la loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l’individu

(ou l’objet) soit vivant (ou fonctionne) à l’instant t

+ h sachant qu’il est vivant (ou qu’il fonctionne)

à l’instant t ne dépend pas de son âge t :

P

_{(T ≥t)}

(T ≥ t + h) = P(T ≥ h).

R 7.15 La loi de durée de vie sans vieillissement s’applique-t-elle aux humains ? Non, ce n’est pas un modèle pertinent à long terme. En effet, un bébé à la naissance peut raisonablement espérer vivre plusieurs dizaines d’années alors qu’on peut en dire autant d’un vieillard. Le modèle semble plus proche de la réalité lorsque

hest petit. Par exemple la probabilité de vivre encore une minute semble comparable indépendamment de

(6)

Proposition 7.16

Une variable aléatoire T suit la loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement

si elle suit une loi exponentielle.

Dv

• Preuve Supposons que T suive une loi exponentielle de paramètre λ ∈ R∗

+. Par définition d’une

probabilité conditionnelle, on a :

P_{(T ≥t)}(T ≥ t + h) = P((T ≥ t + h) ∩ (T ≥ t))

P(T ≥ t) .

Or, l’événement(T ≥ t + h) est inclus dans l’événement (T ≥ t) donc :

P((T ≥ t + h) ∩ (T ≥ t)) = P(T ≥ t + h) = e−λ(t+h). Par ailleurs, P(T ≥ t) = e−λt. D’où : P_{(T ≥t)}(T ≥ t + h) = e −λ(t+h) e−λt = e−λh= P (T ≥ h).

Réciproquement, soit T une variable aléatoire suivant une loi de durée de vie sans vieillissement. Alors, pour tout réel t de R, et tout réel h de R+:

P_{(T ≥t)}(T ≥ t + h) = P(T ≥ h) P(T ≥ t + h) = P(T ≥ h)P(T ≥ t).

Soit F la fonction de répartition de la variable aléatoire T . Notons ϕ la fonction définie sur R+par : ϕ(t) = 1 − F(t) = 1 − P(T ≤ t) = P(T > t) = P(T ≥ t).

Comme F est dérivable sur R+, ϕ l’est aussi et on a :

ϕ(0) = 1 − F(0) = 1 et ϕ(t + h) = ϕ(h)ϕ(t).

Autrement dit, ϕ vaut1 en 0 et transforme les sommes en produits. On en déduit qu’il existe un réel a tel que pour tout réel t de R+

ϕ(t) = eat.

Mais comme ϕ est en fait une probabilité, on a pour tout t ∈ R+: ϕ(t) ≤ 1 ⇔ eat

≤ 1 ⇔ at ≤ 0 ⇔ a ≤ 0. On pose λ= −a ∈ R+. Si a était nul, on aurait, pour tout réel t ∈ R+:

(7)

Donc on a bien λ ∈ R∗

+. D’où, pour tout t ∈ R+:

ϕ(t) = e−λt_{⇔ 1 − F (t) = e}−λt

et en dérivant :

−f(t) = −λe−λt_{⇔ f(t) = λe}−λt_.

La variable aléatoire T suit donc une loi exponentielle de paramètre λ.

Dv

• Preuve — Une autre preuve pour loi de durée de vie sans vieillissement implique loi exponentielle. Soit X une variable aléatoire dont la loi vérifie :

∀s ∈ R+, ∀t ∈ R+, P(X > t + s | X > t) = P(X > s) (7.1)

et G sa fonction de surviea_{Comme G}_{= 1−F, G est décroissante et continue à droite et tend vers 0 en +∞.} De plus, l’écriture de (7.1) suppose implicitement que G(t) > 0 pour tout t ≥ 0 car sinon P(· | X > t) ne serait pas définie. On a aussi :

P(X > t + s | X > t) = P(X > t + s) P(X > t) =

G(t + s)

G(t) . (7.2)

Grâce à (7.2), on voit que la propriété d’absence de mémoire (7.1) équivaut à :

∀s ∈ R, ∀t ∈ R+,G(t + s)

G(t) = G(s).

La fonction de survie G doit donc être une solution décroissante, continue à droite, tendant vers0 en +∞ et telle que0 < G(t) ≤ 1 de l’équation fonctionnelle :

∀s ∈ R+, ∀t ∈ R+, G(t + s) = G(t)G(s). (7.3)

En faisant s= t = t0 dans (7.3), on obtient G(0) = G(0)2_{et comme G(0) > 0, on a}

G(0) = 1. (7.4)

En faisant s= t dans (7.3), on obtient G(2t) = G(t)2_{, puis de proche en proche}

∀n ∈ N∗, _{∀t ≥ 0, G(nt) = G(t)}n. (7.5) En particulier pour t= 1/d, d ∈ N∗_: ∀n ∈ N∗_, _{∀d ∈ N}∗_, _G n d = G 1d n . (7.6)

Lorsque n= d, (7.6) donne G(1) = G(1/d)d_{d’où :}

∀d ∈ N∗, G 1_d = G(1)1/d. (7.7)

Nous connaissons maintenant G sur l’ensemble des rationnels positifs puisque (7.4), (7.5), (7.6) et (7.7) nous donnent

(8)

Soit x ∈ R+\ Q+, x est limite d’une suite décroissante(rn) de rationnels. Comme G est continue à droite, G(rn) converge vers G(x). D’autre part l’application y 7→ G(1)yest continue sur R. Ainsi, en appliquant

(7.8) à rnet en faisant tendre n vers l’infini, on obtient :

∀x ∈ R+, G(x) = G(1)x. (7.9)

A priori, la constante G(1) est dans ]0 , 1]. On peut écarter la valeur G(1) = 1 car sinon d’après (7.9), la limite en+∞ de G serait 1 alors qu’elle vaut 0.

Finalement, puisque0 < G(1) < 1, on peut poser G(1) = e−a_{pour un réel a >} _{0 (cela revient à}

prendre a= − ln G(1)). On peut alors réécrire (7.9) sous la forme ∀x ∈ R+, G(x) = e−ax.

La fonction de survie G est donc la même que celle de la loi exponentielle de paramètre a, donc X suit cette loi.

a. la fonction de survie d’une loi exponentielle est défini de la manière suivante : G(x) = P (X > x) = 1 − F(x) =

₁

si x ≤ 0 e−ax _{si x >}₀.

7.2.3 Un exemple

Exemple 7.17

On suppose que la durée de vie X d’une voiture suit une loi exponentielle de

para-mètre

0, 1.

1. Calculer la probabilité qu’une voiture dépasse

10 ans de durée de vie.

2. On sait qu’une voiture a duré déjà

10 ans. Quelle est la probabilité qu’elle dépasse 12 ans de

durée de vie ?

3. Comparer le résultat précédent avec la probabilité que la durée de vie de la voiture dépasse

deux ans.

Dv • Preuve — Solution. 1. P(X > 10) = 1 − P(X ≤ 10)1 − Z 10 0 0, 1e −0,1t_{dt =} 1 e. 2. P(X>10)(X > 12) = P_P(X > 12)_{(X > 10)} =e −0,1×12 e−1 = e−0,2' 0, 82. 3. P(X > 2) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − Z 2 0 0, 1e −0,1t_{dt = e}−0,2_{' 0, 82.}

(9)

Bibliographie

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[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :

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(10)

18

BIBLIOGRAPHIE

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