Etude théorique d'un problème de contact avec frottement entre deux corps piézoélectriques.

(1)

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Superieur et de la

Recherche Scientifique

UNIVERSITÉ HAMMA LAKHDAR D’EL OUED

FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES

Mémoire de fin d’étude

MASTER ACADEMIQUE

Domaine: Mathématiques et Informatique

Filière: Mathématiques

Spécialité: Mathématiques fondamentales

Thème

Présenté par: Ammari Nacereddine.

Bariki Alaeddine

Sous la supervision de:

Hadj Ammar Tedjani

.

Année universitaire 2016 – 2017.

Etude théorique d'un problème de contact

avec frottement entre deux corps

piézoélectriques

N° d’ordre :

(2)

Remerciement

Nous remercions tout d’abord Allah le tout puissant qui nous a donné a puissance et la volonté pour achever ce travail.

Nous vifs remerciement vont également à notre encadreur Dr.Hadj Ammar Tedjani qui nous a guidé durant ce semestre et qui ses conseils et remarque étaient trés util pour

réaliser ce mémoire.

Nous remercions encore, Dr.Azeb Ahmed Abdel Aziz qui ont accepté d’examiner ce travail.

Nous remerciement vont également à nous familles de leurs aides morals et materiels tout au long nous scolarité.

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Table des matières

Introduction 1

Notations générales 4

1 Préliminaires 7

1.1 Formulation mathématique d’un problème de contact . . . 7

1.1.1 Cadre physique . . . 7

1.1.2 Modèle mathématique . . . 8

1.1.3 Loi de comportement piézoélectrique . . . 9

1.1.4 Conditions aux limites . . . 11

1.1.5 Formulation mathématique des problèmes de contact . . . 14

1.2 Rappels d’analyse . . . 15

1.2.1 Rappels sur les espaces de Hilbert . . . 15

1.2.2 Espaces de Sobolev . . . 16

1.2.3 Espaces fonctionnels . . . 17

1.2.4 Rappels d’analyse non linéaire dans les espaces de Hilbert . . . 20

1.2.5 Lemmes de Gronwall . . . 24

2 Problème de contact avec adhésion en Thermo-électro-viscoélasticité avec mémoire longue et endommagement 26 2.1 Formulation du problème . . . 27

(4)

Table des matières

2.2 Formulation variationnelle . . . 32 2.3 Existence et unicité de la solution . . . 37

Conclusion générale 53

(5)

Introduction

Introduction generale

De puis la nuit des temps, l’homme s’est intéressé aux problèmes de contact entre deux corps. Ces problèmes de contact, avec ou sans frottement, entre deux corps déformables ou entre un corps déformable et une fondation rigide, abondent en industrie et dans la vie de tous les jours. Le simple contact du sabot de frein avec la roue, d’une roue de voiture avec la route, du piston avec la chemise, l’enfoncement progressif dans un pouf ou un fauteuil lors d’une posture assise, les multiples frottements entre plaques tectoniques ou encore l’écoulement de la lave lors d’une éruption volcanique, ne sont que quelques exemples qui font partie d’une liste non exhaustive de problèmes de contact. Vu l’importance du phénomène, des é¤orts considérables ont été consacrés à la modélisation, l’analyse ainsi que l’approximation numérique des processus physiques provenant des contacts entre des corps déformables. Par conséquent, une théorie mathématique générale de la mécanique du contact (Mathematical Theory of Contact Mechanics: MTCM) a fait récemment un progrès impréssionant, voir par exemple [[19], [27]] et les références qui y sont incluses.

L’objectif de Cet mémoire est de proposer une certaine contribution à l’étude d’un prob-lèmes aux limites en mécanique du contact. Nous considérons un loi de comportement pour des matériaux ayant des propriétés mécaniques ainsi que des propriétés électriques (matéri-aux piézoélectriques), prenant en considération l’in‡uence de l’endommagement interne du matériau. L’adhésion entre les surfaces de contact, lorsqu’une colle est ajoutée pour éviter aux surfaces un mouvement relatif.

Le sujet de l’endommagement est extrêmement important dans les conceptions en in-génierie puisqu’il y in‡uence directement sur la vie usuelle de la structure où la composante conçue. Il existe une littérature très riche sur ce sujet. Les modèles prenant en considéra-tion l’in‡uence de l’endommagement interne du matériau sur le processus de contact ont été étudiés mathématiquement. L’analyse mathématique des problèmes unidimentionnels peut être trouvée dans [14]. Les premiers modèles de l’endommagement mécanique provenant des considérations thermodynamiques sont apparus dans [24] . Des modèles généraux ré-cents dans [21] sont issus du principe de la puissance virtuelle. Dans tous ces travaux, l’endommagement du matériau est décrit par une fonction d’endommagement, ayant des valeurs entre zéro et un. Lorsque = 1, il n’y a pas d’endommagement dans le matériau,

(6)

Introduction

lorsque = 0, le matériau est complètement endommagé et lorsque 0 < < 1, il y a un endommagement partiel et le système a une capacité réduite. Certains problèmes quasista-tiques de contact avec endommagement ont été étudiés dans [27].

Les matériaux piézoélectriques sont extêmement utilisés comme interrupteurs et actua-teurs dans beaucoup de systèmes d’ingénierie, en radioélectronique, l’électroacoustique et la mesure des équipements. Ils sont caractérisés par le couplage des propriétés mécaniques et électriques. Ce couplage conduit à l’apparition d’un potentiel électrique suite à une déforma-tion mécanique et, inversement, une déformadéforma-tion mécanique est générée lorsqu’un potentiel électrique est appliqué. Les matériaux piézoélectriques, pour lesquelles les propriétés mé-caniques sont élastiques, sont appelés îmatériaux électroélastiquesîet ceux pour lesquelles les propriétés mécaniques sont viscoélastiques sont appelés îmatériaux électroviscoélastiquesî. Des modèles généraux pour des matériaux élastiques ayant un e¤et piézoélectrique peuvent être trouvés dans [26] et plus récemment dans [3]. Des problèmes de contac statiques avec frottement pour des matériaux électroélastiques ont été étudiés dans [17], sous l’hypothèse que la fondation est isolante. Un problème de contact avec îSlip-dependantî pour les matéri-aux éléctro-élastiques a été étudié dans [17] et des problèmes pour les matérimatéri-aux électro-viscoélastiques ont été considérés dans [25]. Actuellement, un intérrêt considérable est porté aux problèmes de contact avec frottement impliquant les matériaux piézoéléctriques (voir par exemple [23] et les références qui y sont incluses). Cependant, il n’existe virtuellement pas de résultats mathématiques à propos des problèmes de contact pour de tels matériaux et on a besoin de développer la théorie mathématique du contact mécanique (MTCT) pour inclure le couplage entre les propriétés mécaniques et électriques.

Les processus d’adhésion sont importants en industrie lorsque des parties, souvent non métaliques, sont collées ensemble. Pour cette raison, le contact adhésif entre les corps, lorsquèune colle est ajoutée pour empêcher les surfaces d’un mouvement relatif, a récem-ment reçu, de plus en plus, une grande attention dans la littérature. Des modèles généraux avec adhésion peuvent être trouvés dans [[27], [21]]. Des résultats sur l’analyse mathéma-tiques de plusieurs problèmes de contact avec adhésion peuvent être trouvés dans [[24],[26]]. Récemment, les matériaux composites ont atteint le sommet, puisqu’ils sont très solides

(7)

Introduction

et très légers, et par conséquent, une importance considérable en aviation et en industrie automobile. Cependant, les matériaux composites peuvent subir, sous des contraintes, une délamination dans laquelle plusieurs couches se décollent et se déplacent relativement les unes par rapport aux autres. Pour modéliser le processus lorsque le collage n’est pas permanant et un décollage peut avoir lieu, nous avons besoin de décrire l’adhésion et le contact ensemble. Un nombre de publications récentes traîte de tels modèles, voir par exemple [[18], [3], [20]] et les références comprises. L’idée est d’introduire une variable de surface interne, le champ d’adhésion _{2 [0; 1] , qui décrit la densité fractionnelle des} adhésifs actifs sur la surface de contact. En un point de la surface de contact adhésive, lorsque = 1, l’adhésion est complète et tous les adhésifs sont actifs ; lorsque = 0 tous les adhésifs sont inactifs, sévères et il n’y a pas d’adhésion. Lorsque 0 < < 1 l’adhésion est partielle et seulement une fraction des adhésifs est active.

Ce mémoire comporte deux chapitres et est structurés de la manière suivante :

Dans le premier chapitre, le but est d’introduire les éléments nécessaires pour une bonne compréhension de la suite du problème traité. Nous commençons par décrir le cadre physique dans lesquels nous travaillons ainsi que le modèle mathématique correspondant, tout en donnant la loi de comportement et conditions aux limites qui apparaissent dans mémoire. Ensuite, nous aborderons le cadre fonctionnel permettant l’analyse mathématique des prob-lèmes ainsi considérés. Nous terminerons ce chapitre en passant en revue quelques résultats fondamentaux d’analyse fonctionnelle concernant les in’quations variationnelles, équations et inéquations variationnelles d’évolution et en…n les lemmes de Gronwall.

Dans le deuxième chapitre, est consacré à l’étude d’un problème de contact sans frotte-ment pour des matériaux électro-viscoélastiques avec mémoire longue et endommagefrotte-ment dans un processus dynamique. Le problème se formule par un système qui comporte une équation varitionnelle par rapport au champ de déplacement, une inéquation variationnelle du type parabolique par rapport au champ d’endommagement, une équation

variationnelle par rapport au champ électrique et une équation di¤érentielle déordre un par rapport au champ d’adhésion. On établit un résultat d’existence et d’unicité de la solution. La démonstration est basée sur des arguments d’équations variationnelles, un résultat classique concernant les inéquations paraboliques et des arguments de point …xe.

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Notations générales

Notations diverses

N Ensemble des entiers naturels, R Ensemble des nombres réels,

c Constante réelle strictement positive, i.e C’est à dire,

@i La dérivée partiellede parrapport à la ieme composante x : @i = _@x@ _i;

r Gradientde l’application :_{r = (@}1 ; :::; @d ) ;

Div Divergencede l’application, : Div = @1 + ::: + @d ;

@ Sous-diérentiel de l’application ; (x; y) Paire d’un espace produit X Y; Sd

Espace des tenseurs symetriques du seconde ordre sur Rd

: Sd

= Rd d s ;

: _{Produit scalaire sur R}d _{ou S}d; j:j La norme euclidienne sur Rd

ou Sd_;

k:kX La norme sur l’espace X,

h:; :iX Le produit scalaire sur l’espace X,

h:; :iX0 _X Le produit dual entreX0 et X;

p:p: Presque partout,

`

Ouvert de Rd_{, parfois domaine Lipchitzien,} ` _{L’adhérence de} `_;

` _{La frontière de} `_; `

i Les parties de frontière `; (i = 1; 2; 3) ;

(9)

d `_i Mesure super…cielle sur ` i; ` _{Normale extérieure unitaire à} `_;

v`_{; v}` _{Les composantes normales et tangentielles du champ vectoriel v}` _{dé…ni sur} `_;

C1 ` L’espace des fonctions réelles continûment di¢ rentiables sur `;

D ` _{L’espace des fonctions réelles indé…niment di¤érentiables et à support compact,}

D0 ` Espace des distributions sur `;

L2 ` _{Espace des fonctions u}` _{mesurables sur} ` _{telles que} R

` u` 2dx < +1;

k:kL2₍ `_{) La norme de L}2 ` dé…nie par u` _L2₍ `₎ =

R

` u` 2d ` 1 2

; L1 ` _{Espace des fonctions u}` _{mesurables sur} `

telles que 9c > 0 : u` _{< c; p:p:;} _sur `_;

H12 ` L’espace de Sobolev d’ordre 1

2 sur `_; H ` L’espace H 1 2 ` d ; H 12 ` L’espace dual de H 1 2 ` ; h:; :i 1 2; 1

2; ` Le produit de dualité entre H 1 2 ` et H 1 2 ` ; k:k_H 1 2( `₎ La norme de H 1 2 ` dé…nie par k k H 12( `₎= sup 2H12( `₎ h ; i 1 2; 12; ` k k H12₍ `₎ ;

H0` L’espace dual de H `; i.e, H0` = H 1 2 `

d

:

Si de plus [0; T ] un intervalle de temps, k 2 N et 1 p +_{1; on note par} C (0; T ; H) L’espace des fonctions continues de [0; T ] dans H;

C1_{(0; T ; H)} _{L’espace des fonctions continûment dérivables sur [0; T ] dans H;}

Lp_{(0; T ; H)} _{L’espace des fonctions mesurables sur [0; T ] dans H;}

k:kLp_{(0;T ;H)} La norme de Lp(0; T ; H) ;

Wk;p_{(0; T ; H)} _{L’espace de Sobolev de paramètres k et p;}

(10)

Notations en élasticité

1_; 2 _{Les domaines occupés par les corps déformables,} ` _{La frontière de} ` _: `_{= @} `_;

`

1; `2; 3 Les parties de ` = `1[ `2[ 3;

3 L’interface de contact entre les corps 1; 2;

u` _{Vecteurs des déplacements dans le domaine} `_; _{on écrit u}` i

les composantes du vecteur dans la base canonique,

` _{Tenseur des contraintes correspondant au déplacement u}`_; _{on écrit} ` i

les composantes du tenseur dans la base canonique, '` _{Valeurs des potentiels électriques dans le domaine} `_;

Vecteurs d’adhésion sur la surface de contact 3;

D` Valeurs des déplacements électriques dans le domaine `; _u`_{; •}_u` _{Les dérivées première et seconde de u}` _{par rapport au temps,}

" u` _{Tenseur linéarisé des déformations:} _{" u}` ij =

1 2 @iu

`

j + @ju`i ; `_:u` _{Produit tensoriel (matriciel) de u}` _par ` _: `_:u`

i = ` ij:u`j;

` _{Composante normale des contraintes à la frontière du domaine:} ` ₌ ` ` _: `

où ` est la normale unitaire sortante sur le bord du domaine `;

` _{Vecteur composante tangentielle des contraintes à la frontière du domaine,}

u` Composante normale du déplacement u`sur le bord du domaine: u` = u`: `; u` ` _{Vecteur composante normale du déplacement u}`_{: u}`_: `

i = u `_: `

i;

(11)

Chapitre 1

Préliminaires

Dans ce chapitre, on commence par dé…nir le cadre physique, une loi de comportement d’un matériau électro-élasto-viscoplastique, les conditions aux limites ainsi que la formulation électro-mécanique de problème à étudier. Ensuite, nous passons en revue quelques résultats concernant les espaces fonctionnels, les équations et inéquations variationnelles, les lemmes de Gronwall et quelques théorèmes qui seront d’une grande utilité pour les démonstations.

1.1 Formulation mathématique d’un problème de

con-tact

1.1.1 Cadre physique

Dans cette section, nous allons introduire le cadre physique et une modèle mathématique de problème utilisés dans ce mémoire. Ensuite, nous indiquerons les formulations mathé-matiques pour le problème de contact avec adhésion et endommagement entre deux corps électro-élasto-viscoplastiques.

Nous considérons deux corps matériels déformables qui occupent des domaines bornès

`

Rd _{(` = 1; 2; d = 2; 3) ;} _{avec une frontière régulière} ` _{= @} `_{;partitionnée en trois}

parties mesurables `

1; `2; `3, correspondant aux conditions aux limites mécaniques, d’une

part, et en deux parties mesurables `

(12)

1.1. Formulation mathématique d’un problème de contact

électriques, d’autre part, telles que mes `

1 > 0 ,mes `a > 0: On note par v` la normale

unitaire sortante a `_: _{Le corps} ` _{est encastre sur} `

1 dans une structure …xe. Sur `2

agissent des tractions surfaciques de densite f`

2 et agissent des forces volumiques de densite

f₀` et des charges électriques de densité volumiques q0:Nous supposons que f2` et f0` varient

très lentement par rapport au temps. Les corps sont soumis à l’action de potentiel nul sur la partie 3 et ils sont en contact avec adhésion sur 3:Soit T > 0 et soit [0; T ] l’intervalle de

temps en contact avec une fondation sur la partie 3. Les mathériaux peut être endommager

durant le contact.

1.1.2 Modèle mathématique

Notons que le point au-dessus d’une fonction représentent la dérivation par rapport au temps, i.e: _u` = du ` dt ; •u ` ₌ d 2_u` dt2 :

Les fonctions inconnues du problème sont les champs des déplacements _u` : ` [0; T ]_! Rd_{et les champs des contraintes} ` _: ` _{[0; T ]}

! Sd_{; ` = 1; 2:Notons la densité de la masse} ` _: `

! R+ et la densité des forces volumiques f0` : ` [0; T ]! Rd l’évolution du corps

est décrite par l’équation du mouvement de cauchy:

Div `+ f₀` = `u•` dans ` [0; T ]; (1.1.1)

où •u` représente l’accélération et _u` la vitesse du corps.

Les processus d’évolution modelés par l’équation précédente s’appellent processus dy-namiques. Dans certaines situation, cette équation peut encore se simpli…er: par exemple dans le cas où _u` _{= 0;}_{il s’agit d’un problème d’équilibre (processus statiques), ou bien dans}

le cas où le champ des vitesse _u` _{varie très lentement par rapport au temps, c’est-à-dire que}

le terme `u•` peut être négligè (processus quasistatiques). Dans ces deux cas l’équation du mouvement devient:

Div `+ f₀` = 0 dans ` [0; T ]: (1.1.2)

L’équation équivaut à d relation scalaires, et mathématiquent cette équation ne su¢ t par à modéliser le problème d’équilibre du corps car, par exemple les d composantes u`i du

(13)

A celles-ci se rajoutent les inconnues électriques du problème, à savoir le champ de déplacement électrique les potentiels électriques '` _: ` _{[0; T ]}

! R et les champs des déplacements électriques D` _: ` _{[0; T ]}

! Rd_{. L’évolution du corps piézoélectrique est}

décrite par l’équation d’équilibre pour le champ de déplacements électriques:

div D` q₀` = 0 dans ` [0; T ]; (1.1.3)

où "div" est l’opérateur de divergence pour les vecteurs, div D` _{= D}`

i;i , et q`0 représente

la densité des charges électriques volumiques sur `_:

1.1.3 Loi de comportement piézoélectrique

Nous considérons deux corps piézoélectriques qui occupent des domaines bornés `

Rd

(` = 1; 2; d = 2; 3)avec une surface frontière régulière et de Lipschitz ` _{subdivisée en trois}

parties mesurables `1; `2 et `3 d’une part et de deux parties mesurables `a et `b , telles

que mes `

1 > 0 ,mes `a > 0:et `3 `b: Soit T > 0 nous étudions l’évolution du corps

due à l’application de force de volume et de tractions de surfaces dans l’intervalle de temps [0; T ]. Dans ce qui suit, pour simpli…er les notations, nous n’indiquons pas explicitement la dépendance des fonctions par rapport à x `

[ `

,et t 2 [0; T ]:

Les lois de comportement sont des relations entre le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations et leurs dérivées. C’est toute une série d’essais qu’il faut imaginer et réaliser pour établir une loi de comportement. Les expériences physiques pour les matéri-aux unidimensionnels constituent le point de départ dans l’établissement des lois de com-portement.Voici quatre exemples classiques d’essais sur les solides [1] : essais de chargement monotone, essais de charge-décharge, essais de ‡uage et essais de relaxation.

Dans la description des phénomènes purement électro-mécanique, par loi de comporte-ment (ou loi constitutive) nous comprenons dans la suite une relation entre le tenseur des contraintes `_{, le tenseur des déformations in…nitésimales "}` _{et leurs dérivées temporelles}

_` et _"`. Cette d’énition se modi…e légèrement dans la description des phénomènes élec-tromécaniques, car ici nous devons aussi prendre en considération le champ de déplacement électrique D` _{= D}`

i ainsi que le champ électrique E` = r'`: Nous présentons par la

(14)

Loi de comportement des matériaux électro-élastiques.

Nous considérons ici une catégorie de matériaux où le tenseur des contraintes ` _{et le vecteur}

des déplacements électriques D` _{sont reliés par la loi de comportement:}

8 > > > < > > > : ` ₌ A`_{" u}` E` _E`_; D` ₌ E`_{" u}` _{+ B}`_E`_; E` ₌ r'`_; (1.1.4) où A` _: ` Sd

! Sd _{est l’opérateur d’élasticité non linéaire, E}` ₌

r'` _{est le champ}

électrique, E` _{= (e}`

ijk) est le tenseur piézoélectrique qui traduit la proportionnalité entre la

charge et la déformation à champ constant ou nul et B` = (B_ij`) est le tenseur diélectrique à déformation nulle qui constitue un tenseur symétrique dé…ni positif. Par ailleurs E` ₌

(e`_ijk) où (e`ijk) = e`kij , dénote le transposé du tenseur E` tel que:

E` `:v = `: _E` v`; ₈ ` _{2 S}d; v` _{2 R}d (1.1.5) Lois de comportement des matériaux électro-viscoélastiques.

Un matériau est dit électro-viscoélastique si sa loi de comportement est de la forme: 8 < : ` ₌ A`_{" _u}` ₊ G`_{" u}` E` _E`_; D` =_E`" u` + B`E`; (1.1.6)

dans laquelle interviennent l’opérateur de viscosité A` _: `

Sd

! Sd_{, l’opérateur d’élasticité}

G` , non linéaires.

Nous présentons maintenant la loi de comportement des matériaux électro-viscoélastiques avec endommagement . Dans ce cas la loi de comportement est donnée par:

8 < : `₌ A`_{" _u}` ₊ G` _{" u}` _; `_; ` E` _E`_; D` =_E`" u` + B`E`: (1.1.7)

La température est dé…nie par une équation parabolique, que représente la conservation de l’énergie comme suit:

` _{" u}` _; `_; ` _{+ q}` _{= _}` _k` 0

(15)

où ` est une fonction constitutive non linéaire qui représente la chaleur engendrée par les forces intérieures. Ici et ci-dessous k`

0est une constante strictement positive et q`une donnée,

qui représente la source de chaleur du volume.Où ` est une variable internes d’état dé…nie dans ` [0; T ], avec 0 ` 1: L’évolution du champ d’endommagement utilisée au deuxième chapitre est modélisée par l’inclusion du type parabolique donnée par la relation:

S` " u` ; `; ` _{2 _}` k` `+ @ _k` ` dans ` [0; T ] ; (1.1.9)

où k est une constante positive, S est la fonction source de l’endommagement, @ k` est le

sous-di¤érentiel de la fonction indicatrice k` et K` est l’ensemble des endommagements

admissibles défni par:

K` = _{2 H}1 ` ; 0 1; p:p dans ` :

Loi de comportement des matériaux électro-viscoélastiques avec mémoire longue.

Dans ce cas la loi de comportement est donnée par: 8 < : ` ₌ A`_{" _u}` ₊ G` _{" u}` _; `_; ` ₊RT 0 M `_(t _{s) " u}`_{(s) ds} E` _E`_; D`=_E`" u` + B`E`; (1.1.10) où M` _{= (M}`

ij) est un tenseur de relaxation. Si M` = 0, on retrouve la loi électrovisco

élastique donnée par (1:1:7)-(1:1:9).

1.1.4 Conditions aux limites

D’énissions maintenant les conditions aux limites sur chacune des trois parties de `:

La condition aux limites de déplacement

Le corps est encastré dans une position …xe sur la partie `

1 [0; T ], le champ des

déplace-ments u` est par conséquent nul:

(16)

La condition aux limites de traction.

Une traction surfacique de densité f`

2 agit sur `2 [0; T ] et par conséquent le vecteur des

contraintes de Cauchy ` ` _satisfait:

` ` _{= f}` 2, sur

`

2 [0; T ] : (1.1.12)

Les conditions aux limites électriques.

Ces conditions sont déterminées à partir des deux équations:

'` = 0, sur `_a [0; T ] ; (1.1.13)

D`: ` = q₂`, sur `_b [0; T ] : (1.1.14)

Conditions contine aux limites de contact .

On dé…nit le déplacement normal relatif d’un corps par rapport à l’autre sur la zone de contact 3 par [u ] = u1 + u2; où ` est la normale unitaire extérieure à `.

La continuité des contraintes sur l’interfaces 3se traduit par :

1 ₌ 2 _; 1 ₌ 2 _; _sur

3 (1.1.15)

Les conditions de contact avec compliance normale et adhésion.

.On va décrire la condition de contact avec compliance normale et adhésion sur 3 [0; T ] ;

on introduit une variable interne d’état dé…nie sur 3 [0; T ], qui représente l’intensité

d’adhésion sur la surface de contact, telle que 0 1 . Quand = 1 à un point x₂ 3 ,l’adhésion est complète et tous les liens sont actifs, quand = 0tous les liens sont

désactivés et il n’ya pas d’adhésion, et quand 0 < < 1c’est le cas d’une adhésion partielle et mesure la fraction des liens. Pour plus détails sur ce section, on renvoit par exemple [9]. On suppose que la contrainte normale satisfait la condition de compliance normale avec adhésion:

(17)

où est le déplacement normal, est un coe¢ cient positif, p : 3 R ! R+ est une

fonction donnée appelée fonction de compliance normale, et la fonction R : R ! R+ est

l’opérateur de troncature donné par:

R (s) = 8 > > > < > > > : L si s < L; s si L s 0; 0 si s > 0; (1.1.17)

Ici L > 0 est longeur caractéristique des liens. La condition (1:1:16) indique que chaque corps exerce une action sur l’autre corps en fonction de sa pénétration [u], où le deuxième terme de l’égalité est la contribution de l’adhésion à la tension de surface. Notons que la condition de compliance normale avec adhésion (1:1:16) a été déjà utilisée dans [[8], [13], [28]].

Quand le champ d’adhésion est nul, (1:1:16) devient:

= p ([u ]) sur 3 [0; T ] ; (1.1.18)

qui représente la condition de compliance normale.

On suppose que la contrainte tangentielle satisfait la condition suivante:

= p ( ) R ([u ]) sur 3 [0; T ] ; (1.1.19)

où p : 3 R ! R+ est la fonction de contact tangentiel et R : Rd! Rd+ est l’opérateur

de troncature donné par:

R (v) = 8 < : v _{si kvk < L;} L v kvk si kvk > L; (1.1.20)

La diversité des matériaux a conduit les chercheurs à utiliser le collage des composites comme étant un moyen universel d’assemblage de matériaux de natures dié¤rentes. Pour modéliser les phénomènes d’adhésion, il est nécessaire d’ajouter le processus d’adhésion à la description du contact.

L’évolution du champ d’adhésion est décrite par une équation dié¤rentielle de la forme:

(18)

(0) = 0 sur 3; (1.1.22)

où ; et "asont coe¢ cients d’adhérence positifs, et [u ] = u1+u2;le déplacement tangent

relatif de corps 1_{par rapport l’autre corps} 2 _{sur la zone de contact, et}

0 l’adhésion

initiale, tel que:

0 0 1; p:p sur 3: (1.1.23)

Sous les conditions (1:1:21)-(1:1:23), on a la remarque suivante :

Remark 1.1.1 Nous remarquons que sous les trois conditions précedentes le champ d’adhésion vérié…e la restriction 0 1. En e¤et, puisque _ 0 donc 0 1. En

outre, si = 0quand t = t0; donc _ = 0 pour tout t t0, et d’où = 0pour tout t t0,

p:p:x₂ 3. Alors, nous concluons que 0 1pour tout t 2 [0; T ] p:p:x 2 3:

1.1.5 Formulation mathématique des problèmes de contact

On considère ici le problème mécanique qu’on va étudier dans le chapitre 2 .

ProblèmeP (Problème de contact avec adhésion en électro-viscoélasticité avec mémoire longue).

Pour ` = 1; 2, Trouver le champ de déplacement u` _: ` _{[0; T ]}

! Rd_{, le champ de} contrainte ` _: ` _{[0; T ]} ! Sd_; _{le potentiel électrique '}` _: ` _{[0; T ]} ! R; le champ de déplacement électrique D` _: ` _{[0; T ]} ! Rd_;_{le champ d’endommagement} ` : ` _{[0; T ]} ! R; le champs de temperature ` : ` _{[0; T ]} ! R; et le champ d’adhésion : 3 [0; T ]! R; tels que: ` ₌ A`" _u` +_G` " u` ; `; ` + Z t 0 M`(t s) " u`(s) ds + _E` _5'` dans ` [0; T ] ; D` =_E`" u` B`_5'` dans ` [0; T ] , ` _{" u}` _; `_; ` _{+ q}` _{= _}` _k` 0 ` _dans ` _{[0; T ] ;} S` " u` ; `; ` _{2 _}` k₁` `+ @ k` ` dans ` [0; T ] ; `_u_•` _{= Div} `_{+ f}` 0 dans ` [0; T ] ; q₀` = div D` dans ` [0; T ] ; u` = 0 sur `₁ [0; T ] ;

(19)

1.2. Rappels d’analyse ` `_{= f}` 2 sur ` 2 [0; T ] ; 8 < : 1 ₌ 2

= p ([u ]) + 2_{R ([u ])} sur 3 [0; T ] ;

8 < : 1 ₌ 2 = p ([ ]) R ([u ]) sur 3 [0; T ] ;

_ = (R ([u ]))2 + _{jR ([u ])j}2 "a ₊ sur 3 [0; T ] ;

k`₀@ ` @ ` + c ` = 0 sur ` [0; T ] ; @ ` @ ` = 0 sur ` _{[0; T ] ;} '`= 0 sur `a [0; T ] ; D`: ` = q`₂ sur `b [0; T ] ; u`(0) = u`₀; _u`(0) = v₀`; `(0) = `₀ dans `; (0) = 0 sur 3;

1.2 Rappels d’analyse

1.2.1 Rappels sur les espaces de Hilbert

Soit H un espace vectoriel réel et (:; :)H un produit scalaire sur H c’est-à-dire (:; :)H :

H H _{! R est une application bilinéaire symétrique et dé…nie positive.} On note par k:kH l’application de H ! R+ dé…nie par:

kukH = (u; u)

1 2

H; (1.2.1)

et on rappelle que k:kH est une norme sur H qui véri…e l’inégalité de Cauchy-Schwartz:

(u; v)H kukHkvkH , 8u; v 2 H: (1.2.2)

(20)

1.2. Rappels d’analyse

Soit H0 _{l’espace dual de H c’est à dire l’espace des fonctionnelles linéaires et continues}

sur H muni de la norme:

k kH = sup v2H f0g

h ; viH0 H

kvkH

;

où (:; :)_H0 _H représente la dualité entre H0 et H.

1.2.2 Espaces de Sobolev

On commence par un bref rappel de quelques résultats sur l’espase de Sobolev H1( )dé…ni par:

H1( ) = u_{2 L}2( ) @iu2 L2( ) i = 1; :::; d :

D’abord, on note par ru le vecteur de composante @iu. On a ru 2 L2( )d pour tout

u_{2 H}1_{( ) :}

On sait qui H1_{( )} _{est un espase de Hilbert pour le produite scalaire:}

(u; v)_H1_{( )} = (u; v)_L2_{( )}+ (@iu; @iv)_L2_{( )}; et la norme associée: kukH1_{( )} = (u; v) 1 2 H1_{( )}; et on écrit kuk 2 H1_{( )} =kuk 2 L2_{( )}+kruk 2 L2_{( )}d:

On a les résultats suivants:

C1 est dense dans H1( ) :

Theoreme 1.2.1 (Rellich )

H1( ) L2( ) avec injection compacte.

Theoreme 1.2.2 (trace de Sobolev)

Il existe une application linéaire et continue : H1_{( )}

! L2_{( ) telle que u = u}

j pour tout u 2 C1 _:

Remark 1.2.1 L’espase L2_{( )} _{ci-dessus represénte l’espase de fonctions réelles sur}

qui sont L2 _{pour la mesure super…cielle dT. L’applications} _{s’appelle application de trace;}

elle est dé…nie comme le pronlongement par densite de l’appliication u ! u j dé…nir pour u_{2 C}1 _:

(21)

remark 1.2.1 On note que l’application de trase : H1_{( )}

! L2_{( ) est un opérateur}

compacte.

1.2.3 Espaces fonctionnels

On introduit dans cette section les espaces de type Sobolev utilisés en mécanique et associés aux opérateurs divergence et déformation, on montre leurs principales propriétés, notam ment les théorèmes de trace. On rappelle aussi quelques espaces de fonctions dé…nies sur un intervalle réel et à valeurs dans l’espace de Hilbert. Toutes les notations ainsi que les espaces fonctionnels utilisés dans ce memoire sont introduits dans cette section. Nous désignons par Sd

l’espace des tenseurs symétriques d’ordre deux sur Rd

,(d = 2; 3), (:; :) et j:j représentent le produit scalaire et la norme euclidienne sur Rd

et Sd_{, respectivement. Ainsi,} u:v = ui:vi; jvj = (v; v) 1 2 _;_{8u; v 2 R}d_; : = ij: ij; j j = ( ; ) 1 2 _;_{8 ; 2 S}d_:

Introduisons les espaces de Hilbert suivants, associés aux inconnues mécaniques v` _et `_:

8 > > > > > < > > > > > : H` _{= v}` _{= v}` i ; vi` 2 L2 ` = L2 ` d ; H₁` = v` = v_i` ; v_i` _{2 H}` ` = H1 ` d; H` ₌ ` ₌ ` ij ; `ij = `ji 2 L2 ` = L2 ` d d ; H` 1 = ` = `ij ; ij` 2 H` ` ; div ` 2 H` : (1.2.3) Les espaces H`_{; H}`

1;H`;H`1;sont des espaces réels de Hilbert munis des produits calaires

donnés par: ₈ > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > : u`_{; v}` H` = Z ` u`_:v`_dx; u`_{; v}` H` 1 = Z ` u`_:v`_{dx +} Z ` ru`_: rv`_dx; `_; ` H` = Z ` `_: `_dx; `_; ` H` 1 = Z ` `_: `_{dx +} Z ` div `_{: div} `_dx: (1.2.4)

(22)

" et div sont les opérateurs de déformation et de divergence, dé…nis par:

ru` = u`_i;j ; " u` = "i;j u` ; "i;j u` =

1 2 u

`

i;j + u`j;i ;8u` 2 H1`;

div ` = `_ij;j ; ₈ ` _{2 H}₁`: Les normes sur les espaces H`_{; H}`

1;H`;H`1; sont notées par k:kH`;k:k_H`

1;k:kH`;k:kH`1;

respectivement. Puisque la frontière ` est Lipschitzienne, le vecteur normal extérieur à la frontière est dé…ni p.p. Pour tout champ de vecteur v`

2 H`

1 nous utilisons la notation v`

pour désigner la trace de v` sur ` et nous notons par v` et v` les composantes normales et tangentielles de v` _{sur la frontière données par:}

v` = v`: `; v` = v` v`: `;

Soit H0` est un dual de H ` = H 1

2 ` d et soit (:; :) 1 2;

1

2; ` désigner l’appariement de dualité

entre H0

` et H `. Pour chaque élément ` 2 H`₁, soit ` ` est un élément H0` donne par:

` `_{; v}` 1 2; 1 2; ` = `; " v` H` + div `_{; v}` H`

Désigne par v` _{et v}` _{la trace normale et la trace tangential de} `

2 H`

1 , respectivement.

Si ` _{est continûment di¤érentiable sur} `

[ `_; _{tel que:} ` = ` ` : `; ` = ` ` `: `; ` `_{; v}` 1 2; 1 2; ` = Z ` ` `_:v`_da; pour tous v` 2 H`

1, où da est un élément de mesure de surface. Pour obtenir la formulation

variationnelle du problème (2:1:1)-(2:1:17), nous introduisons pour la domaine de lient de l’ensemble:

Z = # 2 L1 0; T; L2( 3) ; 0 # (t) 1;8t 2 [0; T ] ; p:p; sur 3 :

l’espace des déplacements admissibles V` _{est un sous-espace fermé de H}`

1 dé…ni par:

(23)

Puisque mes `

1 > 0;l’inégalité de Korn s’applique sur V il existe une constante ck> 0

dépendant uniquement de ` _et ` _{telle que:}

" v` H` ck v ` H` 1 ; _8v` _{2 V}`: (1.2.5) Sur V` nous considérons le produit scalaire donné par:

u`; v` _V` = " u

` _{; " v}`

H`;8u

`_{; v}`

2 V`; (1.2.6) et soit k:kV` la norme associée, i.e.

" v` H` = v ` H` 1 ; _8v`_{2 V}`: (1.2.7) Par l’inégalité de Korn, il vient que k:kV` et k:k_H` sont des normes équivalentes sur V`

et ainsi V`_;

k:kV` est un espace de Hilbert réel. En outre, par le théorème de trace de

Sobolev, il existe une constante c0 > 0, dépendant uniquement de ` , `1 et 3 telle que:

v` _L2₍ 3)d c0 v ` V`; 8v ` 2 V`: (1.2.8) Pour le potentiel électrique et le champ de déplacement électrique nous utilisons les espaces:

E₀` = L2 ` ; E₁` = H1 ` ;

W` = ` _{2 H}1 ` ; `= 0 sur `_a ;

W` = D` = D_j` ; D_j` _{2 L}2 ` ; div D` _{2 L}2 ` : respectivement. Puisque mes `

a > 0; l’inégalité de Friedrichs-Poincaré montre qu’il

existe une constante c`F > 0 dépendant uniquement de ` et `a telle que:

r ` _L2₍ `₎d c ` F ` H`₍ `₎; 8 ` 2 W`: (1.2.9) Sur léespace W` _{nous considérons le produit scalaire donné par:}

'`; ` _W` =

Z

`

r'`:_r`dx;

et soit k:kW` la norme associée. En utilisant (1:2:9) on peut véri…er que k:k_H`₍ `_{) et k:k}_W`

sont deux normes équivalentes sur W`_{. Il en résulte que W}`_;

(24)

réel. En outre, par le Sobolev trace théorème, il existe une constante c0; ne dépendant que

de `_; ` a et 3 telle que: ` L2₍ 3) c0 ` W`; 8 ` 2 W`: (1.2.10) L’espace W` est un espace de Hilbert réel avec le produit scalaire:

D`; E` W` = Z ` D`:E`dx + Z ` div D`: div E`dx; où div D` _{= D}`

i;i ;, et la norme associée k:k_W`.

A…n de simpli…er les notations , nous dé…nissons les espaces produits:

V = V1 V2; H = H1 H2; H1 = H11 H 2 1; H = H 1 H2; H1 =H11 H 2 1; E0 = E01 E 2 0; E1 = E11 E 2 1; W = W1 W2; _{W = W}1 _W2;

les espaces V ,E1, W; W sont des espaces de Hilbert réel dotés des produits scalaires

canon-iques notée (:; :)V; (:; :)E1; (:; :)W,(:; :)W;. Les normes associés seront désignés par k:kV ;k:kE1;

k:kW ; k:kW; respectivement. On rappelle les principaux résultats sur les fonctions dé…nies

sur un intervalle de temps et à valeurs dans un espace de Banach réel. Nous notons par C([0; T ]; X) et C1_{([0; T ]; X)} _{les espaces des fonctions continues et continûment}

di¤éren-tiables sur [0T ] avec valeur sur X , respectivement, avec les normes:

kfkC([0;T ];X) = max t2[0;T ]kf (t)kX; kfkC1_{([0;T ];X)} = max t2[0;T ]kf (t)kX + max t2[0;T ] _ f (t) X :

Nous notons par Cc([0; T ]; X)l’ensemble des fonctions continues à support compact dans

[0; T ] à valeurs dans X .

De…nition 1.2.1 _{Une fonction f : [0; T ] ! X est dite mesurable s’il existe un sous} ensem-ble E [0; T ] de mesure nulle et une suite (fn)n2N de fonctions appartenant à Cc([0; T ]; X)

(25)

1.2.4 Rappels d’analyse non linéaire dans les espaces de Hilbert

I- Opérateurs fortements monotones

De…nition 1.2.2 _{Soient A : H ! H un opérateur non linéaire. On dit que l’opérateur A} est:

1. monotone si

(Au Av; u v)H 0; 8u; v 2 H;

2. fortement monotone s’il existe m > 0 tel que

(Au v; u v)H mku vk2_H; 8u; v 2 H;

3. Lipschitz s’il existe L > 0 tel que

kAu Av_k_H _ku v_k_H; _{8u; v 2 H;} 4. hémicontinu si

8u; v 2 H; l’application t ! A(u + tv) : R ! H0 est continue. Theoreme 1.2.3 (Théorème du point …xe de Banach):

Soit K une partie non vide et fermé de l’espace de Banach X et soit : K _{! K une} contractante, i.e,9k 2]0; 1[ tel que :

k (u) (v)_k_X _ku v_k_X; _{8u; v 2 X:}

Alors il exists un unique élément u 2 K tel que (u) = u; i.e, possè de un point …xe unique dans K.

Nous allons ainsi utiliser une version du théorème de point …xe de Banach que nous présentons ci-dessus.

Pour cela, nous rappelons que les puissances de l’opérateur sont dé…nies récursivement par n₌ ₍ n 1₎ _{pour n} _2:

Theoreme 1.2.4 Sous les mêmes conditions du Théorème 1:2:1, on suppose que n est une contractante pour un certain entier n 2. Alors admet un point …xe unique dans K.

(26)

De…nition 1.2.3 Une forme bilinéaire a : H H _{! R est continue s’il existe un réel} M > 0 tel que:

ka (u; v)kH MkukH kvkH; 8u; v 2 H:

De…nition 1.2.4 Une forme bilinéaire a : H H _{! R est dite coercive s’il existe une} constante m > 0 telle que:

a (u; u) m_kuk2_H; _{8u 2 H:} Theoreme 1.2.5 (Théorème du Lax-Milgram):

Soit X un espace de Hilbert, a : X X _{! R une forme bilinéaire continue et coercive.} Soit l : X ! R une forme linéaire continue.Alors, il existe une solution unique u 2 X qui satisfait:

a (u; v) = l (v) ; _{8v 2 X:} (1.2.11) De plus, si a(:; :) est symétrique, alors u est caractérisé par la propriété:

1

2a (u; u) hu; uiH 1

2a (v; v) hv; viH; 8v 2 H: (1.2.12) II- Sous dié¢ rentiabilité

Nous considérons dans tout cette section que X est un espace de Hilbert et K un sousensem-ble de l’espace X .

De…nition 1.2.5 On appelle fonction indicatrice de K, la fonction K dé…nie par:

K(u) = 8 < : 0 si u_{2 K;} +_{1 si u =}_{2 K:} (1.2.13) De…nition 1.2.6 _{Soit une fonction j : X ! R et u un élément de l’espace X tel que} j(u)_{6= 1. Le sous-di¢ rentiel de la fonction j en u, noté @j(u) est l’ensemble dé…ni par:} @j(u) =_fu0 _{2 X}0_jj(v) j(u) + (u0; v u) _{8v 2 X g :} (1.2.14) Le crochet (.,.) désignant la dualité entre X0_{et X .}

Tout élément u0 _{de léensemble @j(u) est appelé sous-gradient de la fonction j en u. La}

fonction j est dite sous-di¤érentiable en u si @j(u) 6= 0. Elle est dite sous-di¤érentiable si elle l’est en tout point u de l’espace X .

(27)

Nous pouvons caractériser le sous-di¤érentiel @ K d’une fonction indicatrice K d’un

ensemble convexe non vide:

@ K =fu0 2 X0j(u0; v u) 0 8v 2 X g : (1.2.15)

III- Équation di¤érentielle ordinaire

Theoreme 1.2.6 (Théorème de Cauchy- Lipschitz):

Soit F (t; :) : X ! X est un véritable espace de Banach et soit F (t; :) : X ! X un opérateur dé…ni p:p: sur [0; T ] qui satisfait les propriétés suivantes :

8 > > > > > < > > > > > :

(a) il existe LF > 0 tel que

kF (t; x) F (t; y)_k_X LF kx ykX; 8x; y 2 X; p:p:t 2 [0; T ] ;

(b) il existe 1 p _{1 tel que} F (t; :)_{2 L}p([0; T ]; X); _{8x 2 X:}

Alors, pour tout x0 2 X, il existe une fonction unique, x 2 W1;p([0; T ]; X) tel que

_x(t) = F (t; x(t)) ,p:pt_{2 [0; T ] ;} x(0) = x0:

De…nition 1.2.7 _{S’il est l’inclusion de (V; k:k}_V)dans (H;_k:k_H) est continue et V est dense dans H , le triplet

V H V0;

s’appele le triplet de Gelfand, où V0 _{l’espace dual de V:}

VI- Équation aux dérivées partielles d’évolution

Theoreme 1.2.7 Soit V H V0 _{un triplet de Gelfand. Soit A : V ! V}0 _{un opérateur}

hemicontinu et monotone satisfaisant :

(Av; v)_V _V0 wkvk

2

V + ; 8v 2 V; (1.2.16)

(28)

pour des constantes w > 0, C > 0 et _{2 R. Etant donné u}0 2 H et f 2 L2([0; T ]; V0), il

existe une fonction unique u qui satisfait:

u_{2 L}2([0; T ]; V )_{\ C}1([0; T ]; H); _u_{2 L}2([0; T ]; V0); _u (t) + Au (t) = f (t) ; p:p:t_{2 [0; T ] ;} u(0) = u0: De…nition 1.2.8 Soit u` 2 H` 1. Alors u` = 0 si u` 2 R`, i.e R` = u` _{2 H}₁`= u` = 0 : (1.2.18) Theoreme 1.2.8 (inégalité de Korn ):

Soit V` _{un sous-espace fermé de H}`

1 tel que :

V`\ R` =_{f0g :} (1.2.19) Alors l’négalité de Korn est véri…ée sur V`_; _{c’est à dire existe C > 0 ne dépendant que} ` et V` _{tel que:} u` H` C u ` H` 1 ; _8u` _{2 V}`: (1.2.20) V- Inéquation variationnelle d’évolution

Theoreme 1.2.9 Soit V H V0 _{est un triplet de Gelfand, K est un sous-ensemble}

fermé non vide et convexe de V , et soit a : V V0 _{! R est une forme bilinéaire symétrique}

et continue qui satisfait

il existe c1 > 0 et c0 tel que a (u; v) + c0kvk2_H c1kvk2_V ; 8v 2 V:

Alors, pour tout u0 2 K et f 2 L2([0; T ]; H), il existe une unique fonction u qui satisfait:

u_{2 H}1([0; T ]; H)_{\ L}2([0; T ]; V ); u (t)_{2 K; 8t 2 [0; T ] ;} ( _u (t) ; v u (t))_V0 V + a (u (t) ; v u (t))

(f (t) ; v u (t))_H; _{8u 2 K; t 2 [0; T ] ;} u(0) = u0:

(29)

1.2.5 Lemmes de Gronwall

Nous rappelons ici les lemmes classiques du type Gronwall qui interviennent dans de nom breux problèmes de contact, en particulier pour établir lèunicité de la solution.

Lemma 1.2.1 _{Soient m; n 2 C([0; T ]; R) telles que m(t)} 0 et n(t) 0 pour tout t ₂ [0; T ], a 0 uneconstante, et _{2 C([0; T ]; R):} 1. Si: (t) a + Z t 0 m(s)ds + Z t 0 n(s) (s) ds;_{8t 2 [0; T ] ;} alors (t) a + Z t 0 m(s)ds exp Z t 0 n(s)ds ,_{8t 2 [0; T ] .} 2. Si (t) m(t) + a Z t 0 (s) ds;_{8t 2 [0; T ] ;} alors _Z t 0 (s) ds eaT Z t 0 m(s)ds;_{8t 2 [0; T ] ;} Pour le cas particulier m = 0 la partie (1)de ce lemme devient.

corollary 1.2.1 _{Soit n 2 C([0; T ]; R) telle que n(t)} 0 pour tout t_{2 [0; T ] et soit a} 0:Si ’ 2 C([0; T ]; R) est une fonction telle que:

(t) a + Z t 0 n(s) (s) ds;_{8t 2 [0; T ] ;} alors (t) a exp Z t 0 n(s)ds ,_{8t 2 [0; T ] .}

Lemma 1.2.2 _{Soient m; n 2 C([0; T ]; R) telles que m(t)} 0 et n(t) 0 pour tout t ₂ [0; T ], a 0 .Si _{2 C([0; T ]; R) est une fonction telle que:}

1 2 2_(t) 1 2a 2₊ Z t 0 m(s) (s) ds + Z t 0 n(s) 2(s) ds;_{8t 2 [0; T ] ;} j (t)j a + Z t 0 m(s)ds exp Z t 0 n(s)ds ,_{8t 2 [0; T ] .}

(30)

Chapitre 2

Problème de contact avec adhésion en

Thermo-électro-viscoélasticité avec

mémoire longue et endommagement

Dans ce chapitre, on considère un problème de contact sans frottement avec compliance nor-male et adhésion dans un processus dynamique. Le matériau est électro-viscoélastique avec mémoire longue et endommagement. Le processus d’adhésion sur la surface de contact est modélisé par une variable interne de surface appellée champ d’adhésion. L’endommagement causé par les déformations élastiques du matériau est modélisé par une variable interne du corps appellée champ d’endommagement.

Le problème est formulé par un système d’équations et d’inéquations aux dérivées par-tielles contenant l’équation de mouvement ou d’équilibre du corps, la loi de comportement du matériau avec endommagement, une inclusion du type parabolique modélisant le champ d’endommagement, une équation di¤érentielle modélisant le champ d’adhésion et les condi-tions aux limites auxquelles il est soumis.

Ce chapitre est divisé en trois sections. Dans la première section, nous présentons le problème mécanique, puis nous indiquons les hypothèses sur les données. Dans la deuxième section, nous décrivons la formulation variationnelle du problème mécanique. En…n, dans la troisième section, nous étudions l’existence et l’unicité d’une solution faible du problème mécanique.

(31)

2.1. Formulation du problème

Les techniques employées sont basées sur les résultats des équations variationnelles et la théorie des opérateurs monotones, suivi par les arguments du point …xe les inéquations.

2.1 Formulation du problème

ProblèmeP. Pour ` = 1; 2, Trouver le champ de déplacements u` _: ` _{[0; T ]}

! Rd_{, le}

champ de contrainte ` _: ` _{[0; T ]}

! Sd_; _{le potentiel électrique '}` _: ` _{[0; T ]}

! R; le champ de déplacement électrique D` : ` [0; T ] _{! R}d; le champ d’endommagement

` _: ` _{[0; T ]} ! R; le champ de temperature ` : ` _{[0; T ]} ! R; et le champ d’adhésion : 3 [0; T ]! R; tels que: ` ₌ A`" _u` +_G` " u` ; `; ` + Z t 0 M`(t s) " u`(s) ds + _E` _5'` dans ` [0; T ] ; (2.1.1) D` =_E`" u` B`_5'` dans ` [0; T ] , (2.1.2) ` " u` ; `; ` + q` = _` k₀` ` dans ` [0; T ] ; (2.1.3) S` " u` ; `; ` _{2 _}` k₁` `+ @ k` ` dans ` [0; T ] ; (2.1.4) `_u_•` _{= Div} `_{+ f}` 0 dans ` _{[0; T ] ;} _(2.1.5) q₀` = div D` dans ` [0; T ] ; (2.1.6) u` = 0 sur `1 [0; T ] ; (2.1.7) ` `_{= f}` 2 sur ` 2 [0; T ] ; (2.1.8) 8 < : 1 ₌ 2 = p ([u ]) + 2R ([u ]) sur 3 [0; T ] ; (2.1.9) 8 < : 1 ₌ 2 = p ([ ]) R ([u ]) sur 3 [0; T ] ; (2.1.10)

_ = (R ([u ]))2+ _{jR ([u ])j}2 "a ₊ sur 3 [0; T ] ; (2.1.11)

k`₀@ ` @ ` + c ` = 0 sur ` [0; T ] ; (2.1.12) @ ` @ ` = 0 sur ` _{[0; T ] ;} _(2.1.13)

(32)

'`= 0 sur `_a [0; T ] ; (2.1.14)

D`: ` = q`₂ sur `_b [0; T ] ; (2.1.15)

u`(0) = u`₀; _u`(0) = v₀`; `(0) = `₀ dans `; (2.1.16)

(0) = 0 sur 3; (2.1.17)

Les équations (2:1:1) et (2:1:2) représentent la loi de comportement du corps avec mé-moire longue où M = (Mij) est le tenseur de la relaxation. L’équation (2:1:3) représente la

conservation d’énergie où ` est une fonction non linéaire constitutive qui représente la tem-perature générée par le travail des forces internes et q` _{est une source de chaleur volumique}

donnée . L’évolution du champ d’endommagement est modelisée par l’inclusion du type parabolique donnée par la relation (2:1:4) où S` _{est la fonction source de l’endommagement.}

L’équation (2:1:5)représente l’équation du mouvement, la relation (2:1:6) représente l’équation de conservation de la charge, tandis que les conditions (2:1:7)et (2:1:8)sont respectivement, des conditions aux limites de déplacement traction. Les conditions (2:1:9) et (2:1:10) et (2:1:11)représentent les conditions aux limites de contact avec compliance normale et adhé-sion, (2:1:12) représente respectivement une condition de frontière de Fourier pour la tem-pérature et une condition de frontière de Neumann homogène pour le champ de dommage sur ` _{, la relation (2:1:13) représente la condition de Newmann,} @

`

@ ` représente la dérivé

normale de `: Les équations (2:1:14)et (2:1:15) sont les conditions aux limites électriques et pour …nir (2:1:16) et (2:1:17) représentent les conditions initiales.

On considère maintenant les hypothèses suivantes: L’opérateur de viscosité A` : ` _Sd_{! S}d satisfait: 8 > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > : (a)Il existe MA` 1 ; MA ` 2 > 0 tels que A`_{(x; ")} _MA` 1 j"j + MA ` 2 ;8" 2 Sd; p:p:x2 `:

(b) Il existe m_A` > 0 tels que

A`(x; "1) A`(x; "2) : ("1 "2) mA`j"₁ "₂j2;8"₁; "₂ 2 Sd; p:p:x2 `:

(c) _A`_{(:; ")} _{est Lebesgue mesurable sur} `

pour tout " 2 Sd_:

(d)_A`(x; :) _{est continu sur S}d; p:p:x₂ `:

(33)

2.1. Formulation du problème L’opérateur d’élasticité G` _: ` Sd R R ! Sd _satisfait: 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > :

(a) Il existe M_G` > 0 tels que

G`_{(x; "}

1; 1; 1) G`(x; "2; 2; 2) M_G`(j"₁ "₂j + j ₁ ₂j + j ₁ ₂j)

8"1; "2 2 Sd; 8 1 2 2 R; 8 1 2 2 R; p:p:x 2 `:

(b) _G`_{(:; "; ; )} _{est Lebesgue mesurable sur} `

pour tout " 2 Sd , 2 R et 2 R: (c) _G`(:; 0; 0; 0)_{2 H}`: (2.1.19) Le tenseur diélectrique B` _{= (B}` ij) : ` Rd! Rd satisfait : 8 > > > > > < > > > > > : (a) B`_{(x; E) = (B}` ij(x)Ej); 8E = (Ej)2 Rd; p:p:x2 `: (b) B_ij` = B_ji` _{2 L}1 ` ; 1 i; j d:

(c) Il existe MB` 0telle que B`E:E M_BljEj2;

8E = (Ej)2 Rd; p:p:x2 `: (2.1.20) Le tenseur piézoélectrique E` _{= e}` ijk : ` Sd ! Rd véri…e: 8 < : (a) _E`_{(x; ) = e}` ijk(x) jk ; 8 = ( jk)2 Sd; p:p:x2 `: (b) e`_ijk= e`_ikj _{2 L}1 ` ; 1 i; k; j d: (2.1.21)

La fonction constitutive non linéaire `: `

Sd R R ! R satisfait: 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > :

(a) Il existe M ` > 0 tels que

`_{(x; "}

1; 1; 1) `(x; "2; 2; 2) M `(j"₁ "₂j + j ₁ ₂j + j ₁ ₂j)

8"1; "2 2 Sd; 8 1; 2 2 R; 8 1; 22 R; p:p:x 2 `:

(b) `(:; "; ; ) est Lebesgue mesurable sur `

, pour tout " 2 Sd

, 2 R et 2 R: (c) `(:; 0; 0; 0)_{2 L}2 ` _:

(2.1.22) La fonction source d’endommagement S` _: `

Sd R R ! R satisfait: 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > :

(a) Il existe M_S` > 0 tels que

S`_{(x; "}

1; 1; 1) S`(x; "2; 2; 2) M_S`(j"₁ "₂j + j ₁ ₂j + j ₁ ₂j)

8"1; "2 2 Sd; 8 1; 2 2 R; 8 1; 2 2 R; p:p:x 2 `:

(b) _S`_{(:; "; ; )} _{est Lebesgue mesurable sur} `_;

pour tout " 2 Sd

, 2 R et 2 R: (c) _S`(:; 0; 0; 0)_{2 L}2 ` :

(34)

La fonction de compliance normale p : 3 R ! R+ satisfait:

8 > > > > > < > > > > > :

(a) _{Il existe M > 0 tels que jp (x; r}1) p (x; r2)j M (jr1 r2j)

8r1; r2 2 R; p:p:x 2 3:

(b) p (:; r) est Lebesgue mesurable sur 3 pour tout r 2 R:

(c) p (x; r) = 0 _8r 0; p:p:x₂ 3:

(2.1.24)

La fonction de contact tangentiel p : 3 R ! R+ satisfait:

8 > > > > > > > > < > > > > > > > > :

(a) _{Il existe M > 0 tels que jp (x; r}1) p (x; r2)j M (jr1 r2j)

8r1; r2 2 R; p:p:x 2 3:

(b) Il existe m 0_{tels que jp (x; r)j} m _{;8r 2 R; p:p:x 2} 3:

(c) p (:; r) est Lebesgue mesurable sur 3 pour tout r 2 R:

(d) p (:; 0) _{2 L}2₍ 3) :

(2.1.25)

Le tenseur de la relaxation M` = (M_ij`) satisfait:

M` _{2 C (0; T ; H)} (2.1.26) La densité de masse ` _{satisfait :}

`

2 L1 ` ; il existe `₀ > 0 telle que `(x) `₀; p:p:x₂ `:` = 1; 2: (2.1.27) On suppose que les forces volumiques f`

0 et les tractions surfaciques f2` ,et les charges

électriques volumiquesont q`

0 et surfaciques q2` ont les régularités:

f₀`_{2 L}2(0; T ; H) ; f₂` _{2 L}2 0; T ; L2 `₂ d ; (2.1.28) q₀` _{2 L}2 0; T ; L2 ` ; q₂` _{2 L}2 0; T ; L2 `_b ; (2.1.29) q₂`(t) = 0 sur 3, 8t 2 [0; T ] : (2.1.30)

Les coe¢ cients d’adhésion , et "a véri…ent:

; _{2 L}1( 3) ; "a2 L2( 3) ; "a; ; 0; p:p: sur 3: (2.1.31)

Le champ initial des déplacements satisfait:

(35)

et le champ initial d’adhésion satisfait :

0 2 L2( 3) ; 0 0 1; p:p: sur 3: (2.1.33)

En…n, le champ initial d’endommagement véri…e:

` 0 2 K

`_: _(2.1.34)

Nous énonçons maintenant quelques dé…nitions qu’on utilise dans la suite de ce chapitre. D’abord, nous dé…nissons la forme bilinéaire a : H` ` _H` `

! R : 8 > > > > > < > > > > > : a ( ; ') = k`R `r :r'dx; a0( ; ') = 2 P l=1 k` 0 R `r `_: r'`_{dx +}P2 l=1 cR ` `_:'`_da; a1( ; ') = 2 P l=1 k` 1 R `r `_: r'`_dx: (2.1.35)

Nous utiliserons le produit scalaire mode…é sur H = L2 ` d _{donné par :}

((u; v))H = 2 X l=1 ` u`; v` _H`; 8u ` ; v`_{2 H;} (2.1.36) et soit jk:kjH la norme associée, c’est-à-dire:

jkvkjH = ((v; v))H = 2 X l=1 `_v`_{; v}` 12 Hl`; 8v 2 H:

De (2:1:27) il vient que jk:kjH et k:kH sont des normes équivalentes sur H . D’autre part,

l’application d’inclusion de (V; k:kV)dans (H; k:kH) est continue et dense. Nous notons par

V0 _{le dual de V . Identi…ant le dual de H avec lui même, donc, nous pouvons écrire le triplet}

de Gelfand

V H V0:

La notation (:; :)_V0 V désigne le produit de dualité entre V0 et V , nous notons par k:kV0

la norme sur V0 _{, nous avons}

(u; v)V0 _V = ((u; v))_H; 8u 2 H ; 8v 2 V: (2.1.37)

On dé…nit la fonction f (t) 2 V0 _par

(f (t) ; v)V0 V = 2 X `=1 Z ` f₀`(t) :v`dx + 2 X `=1 Z ` 2 f₂`(t) :v`da_{, 8v 2 V; t 2 [0; T ] ;} (2.1.38)

(36)

2.2. Formulation variationnelle et la fonction q : [0; T ] ! W par (q (t) ; )W = 2 X `=1 Z ` q`₀(t) : `dx 2 X `=1 Z ` b q₂`(t) : `da_{, 8 2 W; t 2 [0; T ] ;} (2.1.39) Les conditions(2:1:28) et (2:1:29) impliquent

f _{2 L}2(0; T ; V0) ; q _{2 C (0; T ; W ) :} (2.1.40) Soit Jad : L1( 3) V V ! R la fonctionnelle d’adhésion

Jad( ; u; v) = Z 3 p ([u ]) : [v ] da + Z 3

2_{R ([u ]) : [v ] + p ( ) R ([u ]) : [v ] da;}

(2.1.41) conditions(2:1:24) et (2:1:25) entrainant que l’intégrale (2:1:41) est bien dé…nie.

2.2 Formulation variationnelle

A l’aide des formules de Green on voit directement que si u, et sont des fonctions su¤e samment régulières qui satisfont (2:1:5),(2:1:7), (2:1:9) et (2:1:10) avec (2:1:41) pour tout t_{2 [0; T ] on déduit que:} `_{; " v}` H`+ Div `_{; v}` H` = Z ` ` `_:v`_da; 8v` 2 H1`: On a Z ` `_{" v}` _{dx +} Z ` Div `:v`dx = Z ` 1 ` `_:v`_{da +} Z ` 2 ` `_:v`_{da +} Z ` 3 ` `_:v`_da; 8v` 2 V`: La formule de Green pour ` = 1 :

Z 1 1 " v1 dx+ Z 1 Div 1:v1dx = Z 1 1 1 1 :v1da+ Z 1 2 1 1 :v1da+ Z 1 3 1 1 :v1da _{, 8v}1 _{2 V}1: (2.2.1) La formule de Green pour ` = 2 :

Z 2 2_{" v}2 _dx+ Z 2 Div 2:v2dx = Z 2 1 2 2_:v2_da+ Z 2 2 2 2_:v2_da+ Z 2 3 2 2_:v2_da , 8v2 2 V2; (2.2.2)

(37)

2.2. Formulation variationnelle à addition (2:2:1) et (2:2:2) 2 X `=1 Z ` `_{" v}` _{dx +} 2 X `=1 Z ` Div `:v`dx = 2 X `=1 Z ` 1 ` `_:v`_{da +} 2 X `=1 Z ` 2 ` `_:v`_{da +} 2 X `=1 Z ` 3 ` `_:v`_da , 8v` 2 V`; d’aprés (2:1:5), et (2:1:7)-(2:1:10)on a: 2 X `=1 Z ` ` " v` dx + 2 X `=1 Z ` ` • u` f₀` :v`dx = 2 X `=1 Z ` 2 f₂`:v`da + 2 X `=1 Z ` 3 ` ` :v`da _{, 8v}` _{2 V}`: Alors: 2 X `=1 `_{; " v}` H`+ 2 X `=1 Z ` `_u_•`_:v`_dx 2 X `=1 Z ` f₀`:v`dx = 2 X `=1 Z ` 2 f₂`:v`da + 2 X `=1 Z ` 3 ` `_:v`_da , 8v` 2 V`: Donc: 2 X `=1 `_{; " v}` H`+ 2 X `=1 `_u_•`_{; v}` H` 2 X `=1 Z ` f₀`:v`dx = 2 X `=1 Z ` 2 f₂`:v`da + 2 X `=1 Z ` 3 ` `_:v`_da , 8v` 2 V`; d’aprés les dé…nition de produit scalaire on a:

2 X `=1 ` • u`; v` _H` = ((•u; v))H` = (•u; v)_V0 V ; 8•u 2 H; 8v 2 V: Donc: 2 X `=1 ` ; " v` H`+ (•u; v)_V0 V = 2 X `=1 Z ` f₀`:v`dx + 2 X `=1 Z ` 2 f₂`:v`da + 2 X `=1 Z ` 3 ` `_:v`_da; 8v` 2 V`; d’aprés (2:1:38) (f (t) ; v)V0 V = 2 X `=1 Z ` f₀`(t) :v`dx + 2 X `=1 Z ` 2 f₂`(t) :v`da.

(38)

2.2. Formulation variationnelle En suite: 2 X `=1 ` ; " v` H` + (•u; v)_V0 V = (f (t) ; v)V0 V + 2 X `=1 Z 3 ` ` :v`da _{, 8v}` _{2 V}`: On calcule 2 P `=1 R 3 ` `_:v`_{da =?} _: 2 X `=1 Z 3 ` `_:v`_{da =} Z 3 1 1_:v1_{da +} Z 3 2 2_:v2_da = Z 3 v1 v2 da + Z 3 v1 v2 da = Z 3 [v ] da + Z 3 [v ] da = Z 3 p ( ) R ([u ]) : [v ] da + Z 3

2_{R ([u ])} _{p ([u ]) : [v ] da;}

alors: 2 X `=1 Z 3 ` ` :v`da = Jad( ; u; v) : Donc: 2 X `=1 `_{; " v}` H`+ (•u; v)_V0 V + Jad( ((t)) ; u (t) ; v) = (f (t) ; v)V0 V , 8v 2 V; (2.2.3) et de (2:1:1), on obtient: (•u; v)_V0 V + 2 X `=1 A`" _u` ; " v` H`+ 2 X `=1 G` " u` ; `; ` ; " v` H`+ 2 X `=1 Z t 0 M`(t s) " u`(s) ds; " v` H` + 2 X `=1 E` 5'`; " v` H`+ Jad( ((t)) ; u (t) ; v) = (f (t) ; v)V0 V; 8v 2 V: (2.2.4)

En utilise la formule de Green pour les inconnues électrique du problème ainsi que les conditions (2:1:6), (2:1:15) et la dé…nition (2:1:39) on a: D`;_r ` H`+ Div D `_; ` H` = Z ` D` `: `da; ₈ `_{2 H}₁`;

(39)

2.2. Formulation variationnelle Z ` D`:_r `dx + Z ` Div D`: `dx = Z ` a D` `: `da + Z ` b D` `: `da; ₈ `_{2 H}₁`: La formule de Green pour` = 1

Z 1 D1:_r 1dx + Z 1 Div D1: 1dx = Z 1 a D1 1: 1da + Z 1 b D1 1: 1da; ₈ 1 _{2 H}₁1: (2.2.5) La formule de Green pour` = 2

Z 2 D2:_r 2dx + Z 2 Div D2: 2dx = Z 2 a D2 2: 2da + Z 2 b D2 2: 2da; ₈ 2 _{2 H}₁2: (2.2.6) Pour ` = 1; 2, on a d’aprés (2:1:14) : Z ` a D` `: `da = 0; à addition (2:2:5) et (2:2:6) on a: 2 X `=1 Z ` D`:_r `dx + 2 X `=1 Z ` Div D`: `dx = 2 X `=1 Z ` b D` `: `da: On a d’aprés (2:1:6) et (2:1:15) : 2 X `=1 Z ` D`:_r `dx + 2 X `=1 Z ` q₀2: `dx = 2 X `=1 Z ` b q`₂: `da; 2 X `=1 D`;_r ` H` + 2 X `=1 Z ` q₀2: `dx 2 X `=1 Z ` b q₂`: `da = 0: On a d’aprés (2:1:39) : 2 X `=1 Z ` q₀2: `dx 2 X `=1 Z ` b q₂`: `da = (q (t) ; )_W: Donc: 2 X `=1 D`;_r ` H`+ (q (t) ; )_W = 0: De (2:1:2) , on obtient: 2 X `=1 B`_5'`(t) ;_r ` _H` 2 X `=1 E`" u`(t) ;_r ` _H` = (q (t) ; )_W;_{8 2 W; t 2 [0; T ] :} (2.2.7)

(40)

2.2. Formulation variationnelle

En…n, pour tout t 2 [0; T ] et de (2:1:3) et (2:1:12), on obtient: _`_{(t); v}` L2₍ `₎ K ` 0 ` (t); v` _L2₍ `₎ c ` (t); v` _L2₍ `₎ = ` _{" u}`_{(t) ;} `_{(t) ;} `_{(t) ; v}` L2₍ `₎+ q `_{(t); v}` L2₍ `₎;8v ` 2 V`; en utilisant la formule de Green avec et (2:1:35), on trouve:

_`_{(t); v}` L2₍ `₎ a0( (t); v)L2( `) = ` " u`(t) ; `(t) ; `(t) ; v` _L2₍ `₎+ q `_{(t); v}` L2₍ `₎;8v ` 2 V`: (2.2.8) En…n, soit `(t)_{2 K}`

et pour tout t 2 [0; T ]. De la dé…nition (1:2:15) de @ K` ` et

de (2:1:4), on obtient: _`_(t); ` `_(t) L2₍ `₎ K ` 1 `_(t); ` `_(t) L2₍ `₎ S` " u`(t) ; `(t) ; `(t) ; ` `(t) _L2₍ `₎;8 ` 2 K`; en utilisant la formule de Green avec (2:1:13) et (2:1:35), on trouve:

_`_(t); ` ` (t) L2₍ `₎ a1( (t); (t))L2( `) S` " u`(t) ; `(t) ; `(t) ; ` `(t) _L2₍ `₎;8 ` 2 K`: (2.2.9) De (2:2:4) ; (2:2:8) et (2:2:9), (2:1:11) et (2:1:16) ,(2:1:17), on obtient la formulation variationnelle du problème P.

Problème PV. Trouver le champ de déplacements u = (u1_{; u}2_{) : [0; T ]}

! V , le champ des contrainte = ( 1_; 2_{) : [0; T ]}

! H; le potentiel électrique ' = ('1_{; '}2_{) : [0; T ]}

! W; le champ de déplacement électrique D = (D1_{; D}2_{) : [0; T ]}

! W; le champ d’endommagement = 1; 2 : [0; T ]_{! H}1 ` ; le champs de temperature = 1; 2 : [0; T ]_{! H}1 ` ; et le champ d’adhésion : [0; T ]_{! L}2₍ 3) ;tels que: 8 > > > > > < > > > > > : (•u (t) ; v)_V0 V + 2 P `=1 A `_{" _u}`_{(t) ; " v}` H`+ 2 P `=1 G ` _{" u}`_{(t) ;} ` ; ` ; " v` H`+ 2 P l=1 Rt 0 M `_(t _{s) " u}`_{(s) ds; " v}` H` + 2 P `=1 E ` 5'`_{(t) ; " v}` H`+ Jad( ((t)) ; u (t) ; v) = (f (t) ; v)V0 V , 8v 2 V; t 2 [0; T ] ; (2.2.10)

(41)

2.3. Existence et unicité de la solution 8 > < > : _`_{(t); v}` L2₍ `₎ a0( (t); v)L2( `) = ` " u`_{(t) ;} ` (t) ; `(t) ; v` L2₍ `₎+ q `_{(t); v}` L2₍ `₎;8v ` 2 V`_; (2.2.11) 8 > < > : _`_(t); ` ` (t) L2₍ `₎ a1( (t); (t)) S` _{" u}`_{(t) ;} `_{(t) ;} `_{(t) ;} ` `_(t) L2₍ `₎;8 ` 2 K`_; (2.2.12) 8 > < > : 2 P `=1 B`_5'`(t) ;_r ` _H` 2 P `=1 E`_{" u}`_{(t) ;} r ` _H` = (q (t) ; )_W ;_{8 2 W; t 2 [0; T ] ;} (2.2.13) _ = (R ([u ]))2+ _{jR ([u ])j}2 "a ₊; p:p: t2 [0; T ] ; (2.2.14) u`(0) = u`₀; _u`(0) = v₀`; `(0) = `₀; `(0) = `₀; `(0) = `₀: (2.2.15)

2.3 Existence et unicité de la solution

Notre intêret principal dans cette section est d’obtenir un résultat d’existence et d’unicité pour le problème variationnel PV.

Theoreme 2.3.1 Sous les hypothèses (2:1:18)-(2:1:34), le problème PV admet une solution unique fu; ; '; ; ; ; Dg ayant la régularité suivante:

u_{2 H}1(0; T ; V )_{\ C}1(0; T ; H) ; u•_{2 L}2(0; T ; V0) ; (2.3.1) ' _{2 C (0; T ; W ) ;} (2.3.2) 2 H1(0; T ; E0)\ L2(0; T ; E1) ; (2.3.3)

2 H1(0; T ; E0)\ L2(0; T ; E1) ; (2.3.4)

2 W1;1 0; T ; L2( 3) \ Z: (2.3.5)

Les fonctions (u; ; '; ; ; ; D) qui satisfaisant (2:1:1)-(2:1:2) et (2:2:10) (2:2:15) s’appellent une solution faible du problème P . Nous concluons que sous les hypothèses

(42)

2.3. Existence et unicité de la solution

(2:1:18)-(2:1:34), le problème mécanique (2:1:1)- (2:1:17) a une solution faible unique qui satisfait (2:3:1)-(2:3:5). La régularité de la solution faible est donnée par (2:3:1)-(2:3:5) et en termes de contraintes:

2 L2(0; T ;_{H) ; Div} _{2 L}2(0; T ; V0) ; (2.3.6) D_{2 C (0; T ; W ) :} (2.3.7) En e¤et, de (2:2:10) et (2:2:13), il vient que `_u_•` _{= Div} `_{(t) + f}`

0(t) ; div D`(t) = q`0(t)

pour tout t 2 [0; T ], De la régularité (2:3:1)et (2:3:2) de u et ' combinée avec (2:1:1)- (2:1:2) et (2:1:18)-(2:1:29), on obtient (2:3:6) et (2:3:7) .

Preuve. La démonstration du théorème 2.3.1 sera faite en plusieurs étapes, elle est basée sur les résultats des inéquations variariationnelles, les opérateurs monotones et les arguments du point …xe. Nous supposons dans la suite de cette section que (2:1:18)-(2:1:34) sont vérié…s,C désigne une constante positive qui dépend de `_; `

1; 3; p ; p ; ; ;et L

dont la valeur peut changer d’un endroit à un autre.

Dans la première étape nous considérons le problème auxiliaire suivant pour le champ de déplacement, dans lequel _{2 L}2_{(0; T ; V}0₎_{est donné.}

Problème PVu .Trouver le champ des déplacements u = u1_{; u}2 _{: [0; T ]}

! V tels que: (•u (t) ; v)_V0 _V + 2 X `=1 A`" _u` (t) ; " v` H`+ ( (t) ; v)V0 V = (f (t) ; v)V0 V , 8v 2 V; p:p:t 2 [0; T ] ; (2.3.8) u` (0) = u`₀; _u`(0) = v`₀; sur `: (2.3.9)

Nous avons le résultat suivant d’existence et d’unicité.

Lemma 2.3.1 Il existe une unique solution du problème PVu qui satisfait (2:3:1).

Preuve. _{Nous dé…nissons l’opérateur A : V ! V}0 _par:

(Au; v)_V _V0 = 2 X `=1 A`" u` ; " v` H`; 8u; v 2 V: (2.3.10)