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1ereS_Ex_Chapitre 10

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

3. Exercices et corrig ´es

. N°61p.208

Trouvez les valeurs exactes du cosinus et du sinus des nombres donn´es. Vous pouvez commencer par placer les points sur un cercle trigonom´etrique.

(a) 4π 3 (b) 71π 3 (c) −97π 3

. Corrig ´e du N°61p.208

(a) 4π 3 = π + π 3, donc cos 4π 3 = − 1 2, et sin 4π 3 = − √ 3 2 (b) 71π 3 = 24π − π 3, donc cos 71π 3 = 1 2, et sin 71π 3 = − √ 3 2 (c) −97π 3 = −32π − π 3, donc cos"− 97π 3  = 1 2, et sin"− 97π 3  = − √ 3 2

. N°2p.197

Sur le cercle trigonom´etrique C ci-dessous, on a plac´e le point M associ´e `a x.

1) Placez sur C les points associ´es `a :

3π + x 5π − x 5π 2 − x x− π 2. 2) Simplifiez l’expression : sin 5π 2 − x 

+ sin(3π + x) + cos(5π − x) + cosx−π 2 

. Corrig ´e du N°2p.197

1) 2)sin"5π 2 − x = cos x ; sin(3π + x) = − sin x ; cos(5π − x) = − cos x ; cos"x −π 2 = sin x, donc : sin 5π 2 − x 

+ sin(3π + x) + cos(5π − x) + cosx−π 2 

= 0

(2)

. N°63p.208

(O;~i;~j) est un rep`ere orthonorm´e direct et C le cercle trigonom´etrique de centre O. Les points N, P, Q sont d´efinis `a partir de M comme indiqu´e sur la figure ci-dessous.

1) Quels sont les r´eels de [0, 2π] associ´es `a N, P et Q respectivement ? 2) Simplifiez les ´ecritures suivantes :

a) cos x + cos"x +π 2 + cos(x + π) + cos "x + 3π 2  b) sin x + sin"x +π 2 + sin(x + π) + sin "x + 3π 2 

. Corrig ´e du N°63p.208

1) N est associ´e `a x +π

2; P est associ´e `a x + π ; Q est associ´e `a x + 3π

2.

2.a) cos x + cos"x +π

2 + cos(x + π) + cos "x + 3π

2  = cos x − sin x − cos x + sin x = 0

2.b) sin x + sin"x +π

2 + sin(x + π) + sin "x + 3π

2 = sin x + cos x − sin x − cos x = 0

. N°64p.208

On donne cos x = 3

4, et x ∈− π 2; 0.

1) Sur un cercle trigonom´etrique, placez le point M associ´e `a x. 2.a) Quelle est la valeur exacte de sin x ?

2.b) D´eduisez-en les valeurs exactes de : cos"π 2 − x  sin(π + x) sin"π 2 + x  cos(π − x)

. Corrig ´e du N°64p.208

1) 2.a) sin2 x= 1 − 9 16 et x ∈− π 2; 0 ; donc sin x = − √7 4 . 2.b) cos"π 2 − x = sin x = − √7 4 sin(x + π) = − sin x = √7 4 sin"π 2 + x = cos x = 3 4 cos(π − x) = − cos x = −3 4 122

(3)

. N°5p.198

R´esolvez dans R les ´equations suivantes : a) cos x = cos2π 3 b) sin x = sin 5π 4 c) sin x = sin"−5π 6  d) cos x = cos5π 6

. Corrig ´e du N°5p.198

a) cos x = cos2π 3 donc x = 2π 3 + 2kπ ou − 2π 3 + 2kπ. b) sin x = sin5π 4 donc x = 5π 4 + 2kπ ou − π 4 + 2kπ. c) sin x = sin"−5π 6  donc x = − 5π 6 + 2kπ ou 11π 6 + 2kπ.

(dans le second cas, la mesure principale est −π 6 d) cos x = cos5π 6 donc x = 5π 6 + 2kπ ou − 5π 6 + 2kπ.

. N°68p.208

1) A l’aide d’un cercle trigonom´etrique C , trouvez les r´eels x de l’intervalle [0; 2π[ tels que : a) cos x = √3 2 b) sin x = √ 2 2 c) cos x = − √ 3 2

2) Trouvez les r´eels x de l’intervalle [−π; π[ tels que : a) sin x = −√2 2 b) cos x = √ 3 2 c) sin x = − √ 3 2

. Corrig ´e du N°68p.208

1.a) cos x =√3 2 = cos π 6 ; S = { π 6; 11π 6 } 1.b) sin x = √2 2 = sin π 4; S = { π 4; 3π 4 } 1.c) cos x = −√3 2 = cos 5π 6 ; S = { 5π 6 ; 7π 6 } 2.a) sin x = −√2 2 ; S = {− π 4; − 3π 4 } 2.b) cos x =√3 2 ; S = {− π 6; π 6} 2.c) sin x = −√3 2 ; S = {− π 3; − 2π 3}

On n’´ecrit pas le ”modulo 2π” dans cet exercice car on travaille dans un intervalle pr´e-d´etermin´e.

. N°71p.209

Donnez `a l’aide de la calculatrice une valeur approch´ee en radians `a 10−3 pr`es des solutions de l’´equation dans

l’intervalle I indiqu´e. a) I = [0; π] ; cos x = 0, 6. b) I = [−π 2; π 2] ; sin x = − 2 5.

. Corrig ´e du N°71p.209

a) cos x = 0, 6 ; S = {0, 927} b) sin x = −2 5; S = {−0, 412} 123

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