3. Exercices et corrig ´es
. N°61p.208
Trouvez les valeurs exactes du cosinus et du sinus des nombres donn´es. Vous pouvez commencer par placer les points sur un cercle trigonom´etrique.
(a) 4π 3 (b) 71π 3 (c) −97π 3
. Corrig ´e du N°61p.208
(a) 4π 3 = π + π 3, donc cos 4π 3 = − 1 2, et sin 4π 3 = − √ 3 2 (b) 71π 3 = 24π − π 3, donc cos 71π 3 = 1 2, et sin 71π 3 = − √ 3 2 (c) −97π 3 = −32π − π 3, donc cos"− 97π 3 = 1 2, et sin"− 97π 3 = − √ 3 2. N°2p.197
Sur le cercle trigonom´etrique C ci-dessous, on a plac´e le point M associ´e `a x.
1) Placez sur C les points associ´es `a :
3π + x 5π − x 5π 2 − x x− π 2. 2) Simplifiez l’expression : sin 5π 2 − x
+ sin(3π + x) + cos(5π − x) + cosx−π 2
. Corrig ´e du N°2p.197
1) 2)sin"5π 2 − x = cos x ; sin(3π + x) = − sin x ; cos(5π − x) = − cos x ; cos"x −π 2 = sin x, donc : sin 5π 2 − x+ sin(3π + x) + cos(5π − x) + cosx−π 2
= 0
. N°63p.208
(O;~i;~j) est un rep`ere orthonorm´e direct et C le cercle trigonom´etrique de centre O. Les points N, P, Q sont d´efinis `a partir de M comme indiqu´e sur la figure ci-dessous.
1) Quels sont les r´eels de [0, 2π] associ´es `a N, P et Q respectivement ? 2) Simplifiez les ´ecritures suivantes :
a) cos x + cos"x +π 2 + cos(x + π) + cos "x + 3π 2 b) sin x + sin"x +π 2 + sin(x + π) + sin "x + 3π 2
. Corrig ´e du N°63p.208
1) N est associ´e `a x +π2; P est associ´e `a x + π ; Q est associ´e `a x + 3π
2.
2.a) cos x + cos"x +π
2 + cos(x + π) + cos "x + 3π
2 = cos x − sin x − cos x + sin x = 0
2.b) sin x + sin"x +π
2 + sin(x + π) + sin "x + 3π
2 = sin x + cos x − sin x − cos x = 0
. N°64p.208
On donne cos x = 3
4, et x ∈− π 2; 0.
1) Sur un cercle trigonom´etrique, placez le point M associ´e `a x. 2.a) Quelle est la valeur exacte de sin x ?
2.b) D´eduisez-en les valeurs exactes de : cos"π 2 − x sin(π + x) sin"π 2 + x cos(π − x)
. Corrig ´e du N°64p.208
1) 2.a) sin2 x= 1 − 9 16 et x ∈− π 2; 0 ; donc sin x = − √7 4 . 2.b) cos"π 2 − x = sin x = − √7 4 sin(x + π) = − sin x = √7 4 sin"π 2 + x = cos x = 3 4 cos(π − x) = − cos x = −3 4 122. N°5p.198
R´esolvez dans R les ´equations suivantes : a) cos x = cos2π 3 b) sin x = sin 5π 4 c) sin x = sin"−5π 6 d) cos x = cos5π 6
. Corrig ´e du N°5p.198
a) cos x = cos2π 3 donc x = 2π 3 + 2kπ ou − 2π 3 + 2kπ. b) sin x = sin5π 4 donc x = 5π 4 + 2kπ ou − π 4 + 2kπ. c) sin x = sin"−5π 6 donc x = − 5π 6 + 2kπ ou 11π 6 + 2kπ.(dans le second cas, la mesure principale est −π 6 d) cos x = cos5π 6 donc x = 5π 6 + 2kπ ou − 5π 6 + 2kπ.
. N°68p.208
1) A l’aide d’un cercle trigonom´etrique C , trouvez les r´eels x de l’intervalle [0; 2π[ tels que : a) cos x = √3 2 b) sin x = √ 2 2 c) cos x = − √ 3 2
2) Trouvez les r´eels x de l’intervalle [−π; π[ tels que : a) sin x = −√2 2 b) cos x = √ 3 2 c) sin x = − √ 3 2
. Corrig ´e du N°68p.208
1.a) cos x =√3 2 = cos π 6 ; S = { π 6; 11π 6 } 1.b) sin x = √2 2 = sin π 4; S = { π 4; 3π 4 } 1.c) cos x = −√3 2 = cos 5π 6 ; S = { 5π 6 ; 7π 6 } 2.a) sin x = −√2 2 ; S = {− π 4; − 3π 4 } 2.b) cos x =√3 2 ; S = {− π 6; π 6} 2.c) sin x = −√3 2 ; S = {− π 3; − 2π 3}On n’´ecrit pas le ”modulo 2π” dans cet exercice car on travaille dans un intervalle pr´e-d´etermin´e.
. N°71p.209
Donnez `a l’aide de la calculatrice une valeur approch´ee en radians `a 10−3 pr`es des solutions de l’´equation dans
l’intervalle I indiqu´e. a) I = [0; π] ; cos x = 0, 6. b) I = [−π 2; π 2] ; sin x = − 2 5.