Représentation et évaluation de structures argumentatives

Représentation et évaluation de structures

argumentatives

Résumé

Dans des domaines comme l’aéronautique, l’énergie, le médical ou encore les technologies de l’information en général, les besoins de formuler des arguments de sûreté, sécurité, confiden-tialité, etc. sont de plus en plus présents. Or, la représentation et l’évaluation de ces arguments n’est pas une chose aisée et fait l’objet de nombreux débats depuis les dix dernières années par-ticulièrement. Une structure argumentative est une modélisation d’un argument ayant comme but d’expliciter les liens (l’argument) reliant une affirmation modélisant une propriété d’un système aux preuves qui la supportent. Les deux principaux défis reliés aux structures argu-mentatives sont les langages de représentation et les méthodes permettant d’évaluer le niveau de confiance que l’on peut attribuer à l’argument modélisé.

S’intéressant à ces deux problématiques, ce mémoire investigue d’une part des langages per-mettant de représenter des structures argumentatives, et d’une autre part la théorie de l’évi-dence de Dempster-Shafer. En particulier, ce mémoire présente les langages GSN et TCL, la correspondance entre ces deux langages ainsi que de possibles extensions permettant d’en augmenter l’expressivité. La théorie de l’évidence de Dempster-Shafer y est aussi présentée et y fait l’objet d’une extension qui évite de traiter les cas limites comme des cas particuliers. La théorie de l’évidence de Dempster-Shafer permet de construire un modèle de confiance global à partir d’évaluations locales. Ces dernières sont obtenues en évaluant chaque composante d’une structure argumentative de façon indépendante.

Des approches de construction des structures argumentatives ainsi que d’évaluation de leurs éléments sont développées et appliquées dans le cas de deux exemples provenant de deux contextes différents : la conformité avec l’exemple de l’ISO-27001 et la sûreté avec l’exemple d’une pompe à perfusion.

Table des matières

Résumé iii

Table des matières v

Liste des tableaux vii

Liste des figures ix

Remerciements xi

1 Introduction 1

1.1 La problématique . . . 1

1.2 Les contributions . . . 2

1.3 L’organisation du mémoire. . . 3

2 Les langages de représentation des structures 5 2.1 Introduction. . . 5

2.2 Le modèle de Toulmin . . . 5

2.3 Le langage GSN . . . 6

2.4 Le langage TCL . . . 11

2.5 D’autres langages de représentation des structures . . . 13

2.6 Conclusion . . . 15

3 Les règles basées sur la théorie de Dempster-Shafer 17 3.1 Introduction. . . 17

3.2 La règle de combinaison de Dempster-Shafer . . . 20

3.3 La règle de combinaison de Yager . . . 24

3.4 La règle de combinaison d’Inagaki . . . 26

3.5 La règle de la moyenne . . . 28

3.6 Les règles utilisées dans la plate-forme Argevide NOR-STA . . . 30

3.7 Les règles de Jøsang . . . 35

3.8 Conclusion . . . 40

4 Une extension de la théorie de Dempster-Shafer 43 4.1 Introduction. . . 43

4.2 Une nouvelle règle de combinaison . . . 44

4.3 Conclusion . . . 49

5.1 Introduction. . . 51

5.2 Correspondance entre le langage TCL et le langage GSN . . . 51

5.3 Évaluation des éléments et règles de combinaison . . . 55

5.4 Méthodologie de construction d’une structure évaluée. . . 59

5.5 Conclusion . . . 61 6 Cas d’étude 63 6.1 Introduction. . . 63 6.2 La norme ISO-27001 . . . 63 6.3 La pompe à perfusion . . . 64 7 Conclusion 79 Bibliographie 81 Index 85 vi

Liste des tableaux

3.1 Combinaison des opinions des enquêteurs. . . 21

3.2 Combinaison de l’opinion d’un seul enquêteur.. . . 22

3.3 Évaluation des buts de la structure de la figure 3.1. . . 23

3.4 Comparaison entre les résultats de la règle de Dempster-Shafer et ceux de la règle de Yager. . . 26

3.5 Évaluation des buts de la structure de la figure 3.1. . . 27

3.6 Comparaison entre les résultats des règles de Dempster-Shafer, Yager et Inagaki. 28 3.7 Évaluation des éléments à la base de la structure. . . 38

3.8 Règles choisies pour combiner les évaluations. . . 39

3.9 Évaluations des liens entre les personnes.. . . 39

4.1 Évaluations des experts par rapport aux causes du crash d’avion. . . 46

4.2 Résultats des trois règles appliquées à la table 4.1. . . 46

4.3 Évaluations des experts par rapport aux éléments. . . 47

4.4 Résultats des deux règles appliquées à la table 4.3. . . 49

5.1 Table de correspondance. . . 52

6.1 Choix des règles de combinaison à utiliser. . . 72

6.2 Valeur de la qualité des preuves. . . 72

6.3 Valeur des buts non développés.. . . 72

6.4 Évaluation des éléments de la structure par l’expert e1.. . . 73

6.5 Évaluation des éléments de la structure par l’expert e2.. . . 74

6.6 Valeurs des liens données par l’expert e₁.. . . 74

6.7 Valeurs des liens données par l’expert e2.. . . 74

6.8 Évaluations combinées des éléments de la structure. . . 75

Liste des figures

2.1 Modèle de Toulmin [40]. . . 6

2.2 Éléments du langage GSN. . . 7

2.3 Élément précisant le manque de développement.. . . 7

2.4 Deux types de flèches utilisées dans le langage GSN. . . 8

2.5 Exemple d’une structure argumentative construite avec le langage GSN (adap-tation substantielle d’une structure tirée du site [31]). . . 9

2.6 Étapes de la méthode descendante [26]. . . 10

2.7 Étapes de la méthode ascendante. . . 11

2.8 Modèle Trust-IT tiré de [6]. . . 12

2.9 Exemple d’une structure argumentative construite avec le langage TCL [31]. . . 13

2.10 Éléments du langage CAE [32]. . . 14

3.1 Exemple de deux éléments alternatifs. . . 23

3.2 Valeurs de K utilisées par Inagaki. . . 26

3.3 Exemple de deux éléments complémentaires.. . . 29

3.4 Exemple de structure évaluée utilisant la justification [31] . . . 31

3.5 Échelles de confiance et de décision [6]. . . 33

3.6 Exemple d’une partie de la structure de la pompe à perfusion [31]. . . 34

3.7 Exemple d’une structure argumentative construite avec le langage TCL [31]. . . 35

3.8 Espace d’opinion décrit par Jøsang [22]. . . 35

3.9 Exemple d’une structure de confiance dans une entreprise. . . 38

5.1 Symbole d’une contre-stratégie. . . 52

5.2 Exemple montrant une des utilisations du nœud information [4]. . . 53

5.3 Exemple d’une structure argumentative construite avec le langage TCL. . . 54

5.4 Structure GSN+ résultant de la traduction de la figure 5.3. . . 54

5.5 Méthodologie de construction. . . 60

6.1 Structure de la décomposition du but B1. . . 65

6.2 Structure de la décomposition du but B2. . . 66

6.3 Pompe à perfusion . . . 66

6.4 Structure de la décomposition du but racine B1. . . 68

6.5 Structure de la décomposition du but B3. . . 69

6.6 Structure de la décomposition du but B19. . . 70

Remerciements

Je voudrais exprimer toute ma gratitude en premier lieu à mes directeurs de recherche, Jules Desharnais et Hans Bherer, pour le partage de leur savoir, pour leur rigueur et surtout pour leur patience.

Je voudrais remercier le CRSNG, le FRQNT et MITACS pour leur appui financier qui m’a permis de mener à bien mon projet de recherche. Je remercie aussi la compagnie ICRTech pour son appui financier et pour m’avoir accueilli durant mes trois mois de stage à Montréal. Je suis aussi très reconnaissant envers tous mes amis pour leur soutien, plus particulièrement, Gabrielle Magnin qui m’a permis de changer d’air à chaque fois que j’en ressentais le besoin. Finalement, je voudrais exprimer aussi toute ma gratitude aux membres de ma famille, surtout mes parents et ma petite sœur Zineb, pour leur encouragement et leur soutien inconditionnels.

Chapitre 1

Introduction

1.1

La problématique

Depuis plusieurs années, le besoin de montrer qu’un système satisfait certaines propriétés telles que la sûreté et la conformité augmente [33]. Dans plusieurs domaines, dont celui des systèmes critiques en particulier, c’est l’approche argumentative (argument based ou evidence based approach) qui est utilisée afin de convaincre qu’un système satisfait certaines propriétés comme la sûreté, la sécurité ou encore la conformité à des normes. Le concept de dossier de sûreté (safety case [39]) et plus généralement de dossier d’assurance (assurance case [20]) est utilisé pour décrire un corps de preuves qui fournit un argument convaincant et valide de la satisfaction des affirmations portant sur certaines propriétés.

L’utilité de la formalisation d’arguments a été établie dans des domaines tels que le droit, la philosophie ou les mathématiques [33]. Des textes sous plusieurs formes ont été utilisés dans ces domaines, comme la prose normale qui est la plus souvent utilisée, ou la prose structurée qui rajoute des restrictions à la prose normale en exigeant que les parties critiques de l’argument soient explicitement désignées.

Plus récemment, des langages de représentation d’arguments ont vu le jour tels que le langage GSN [9;10] et le langage TCL [6]. La représentation d’arguments à l’aide du langage GSN ou du langage TCL donne lieu à une structure argumentative ayant la forme d’un arbre. L’ob-jectif principal de toute structure argumentative est de montrer comment les éléments de la structure sont successivement décomposés en sous-éléments, jusqu’à atteindre un point où les sous-éléments peuvent être pris en charge par des preuves disponibles, permettant ainsi d’ex-pliciter les relations existantes entre les preuves et les éléments qu’elles supportent. Un dossier d’assurance, appel structure argumentative dans ce mémoire, doit ainsi communiquer une ar-gumentation claire, complète et défendable impliquant un certain degré d’accomplissement du but à la racine de la structure.

Il peut ainsi offrir une meilleure description des relations entre les composantes que sont les buts, les preuves ou les strategies. Le langage TCL [4] permet également la représentation des structures argumentatives. Il a été influencé par le modèle d’argumentation de Toulmin [40] et il comprend des éléments tels que les buts, les arguments, les hypothèses et les preuves. En somme, les langages de représentation graphique comme GSN et TCL permettent à l’utilisateur de construire une structure argumentative pour convaincre de l’exactitude de l’argumentaire et expliciter les lien entre les preuves et les affirmations qu’elles appuient.

Un champ de recherche actif concernant l’approche argumentative porte sur l’évaluation des structures argumentatives [5;14;41]. À travers l’évaluation des structures argumentatives, les chercheurs visent à quantifier le niveau de confiance que l’on peut accorder à une structure argumentative et du coup à l’argument présenté. Pour le moment, aucune méthode ne fait l’unanimité mais une approche basée sur la théorie de Dempster-Shafer [36] semble être pro-metteuse. Cette théorie, appelée aussi théorie de l’évidence, semble constituer un premier pas vers des méthodes d’évaluation basées sur des principes scientifiques [5;14;41] qui s’appuient principalement sur l’évaluation des preuves (evidence) [6]. L’évaluation consiste à associer un niveau de confiance, composé de croyance, non-croyance et d’incertitude, à certains éléments de la structure.

Dans le contexte de l’approche argumentative, la théorie de Dempster-Shafer permet, à l’aide de sa règle de combinaison, de combiner les évaluations des éléments inférieurs pour avoir une évaluation des éléments à la racine. Des règles de combinaison déduites de la théorie de Dempster-Shafer permettent d’avoir une manière d’utiliser les évaluations des éléments d’une structure argumentative pour construire un niveau de confiance dans l’affirmation à la racine. Ceci dit, il est difficile d’interpréter les niveaux de confiance obtenus par calcul dans des cas d’utilisation réels et d’identifier les actions à poser afin d’améliorer la confiance globale dans une structure argumentative, car il est difficile de prévoir l’impact d’un changement dans une structure sur le niveau de confiance globale.

1.2

Les contributions

La première contribution de ce mémoire est l’extension du langage GSN, appelée le langage GSN+. Cette extension définit des éléments à ajouter au langage GSN. Le langage GSN+ est plus adapté à la construction des structures argumentatives en conformité, le champ visé par notre recherche, que le langage GSN.

La deuxième contribution est l’utilisation, avec le langage GSN+, d’un formalisme mathé-matique servant à évaluer les éléments des structures argumentatives. Ce formalisme est la théorie de Demspter-Shafer et il est semblable à celui utilisé par l’outil employant le langage TCL. Malgré que la théorie de Dempster-Shafer soit perçue comme étant le formalisme de référence pour combiner les évaluations, la principale règle qui en découle présente une

malie connue qui est caractérisée par un haut niveau de croyance alors que les évaluations des éléments combinés sont contradictoires. Pour y remédier, plusieurs extensions ont vu le jour telles que les règles de Yager [45;46], Zadeh [47] et Jøsang [24;25], lesquelles font l’objet de comparaisons avec d’autres règles dans [35]. Pour donner une solution à cette anomalie tout en définissant une règle traitant correctement les cas limites, le chapitre4présente une extension de la théorie de Dempster-Shafer en définissant une nouvelle notion de « conflit spécifique » pour décrire une nouvelle règle de combinaison.

La troisième contribution présentée au chapitre5de ce mémoire est une nouvelle méthodologie de construction d’une structure argumentative évaluée. Cette méthodologie permet d’organi-ser les phases de construction et d’évaluation des structures argumentatives. Des exemples d’utilisation de cette méthodologie sont présentés au chapitre 6.

1.3

L’organisation du mémoire

Le chapitre 2 présente les deux langages de construction de structures argumentatives GSN et TCL ainsi que quelques autres solutions servant à la construction de ces structures. Le chapitre 3 présente la théorie de Dempster-Shafer, les bases qu’elle utilise ainsi que plusieurs extensions de cette théorie tirées de la littérature. Par la suite, le chapitre 4 présente une extension originale de la théorie de Demspter-Shafer avec des comparaisons entre les résultats donnés par cette extension et ceux donnés par quelques-unes des extensions présentées au chapitre 3. Le chapitre 5 présente une correspondance entre les éléments communs des deux langages TCL et GSN. L’inexistence d’une correspondance dans le langage GSN de certains éléments du langage TCL donne lieu à une extension du langage GSN nommée GSN+, pré-sentée au chapitre5du mémoire. Dans le même chapitre, les règles de combinaison adéquates pour les besoins des structures argumentatives construites avec le langage GSN+ sont définies. Le chapitre 5 présente une méthode de construction de structures argumentatives évaluées. Le chapitre 6 contient deux exemples de construction d’une structure argumentative évaluée en utilisant la méthodologie et les règles de combinaison décrites au chapitre 5. Ces deux exemples proviennent de deux contextes différents, la sûreté avec l’exemple d’une pompe à perfusion [42] et la conformité avec l’exemple de la norme ISO-27001 [19]. Enfin, ce mémoire est conclu au chapitre 7.

Chapitre 2

Les langages de représentation des

structures argumentatives

2.1

Introduction

En définissant une structure argumentative comme étant une représentation hiérarchique des arguments, il est clair que l’argument se trouve au cœur de l’information que doit véhiculer une structure argumentative. Ceci mène tout d’abord à définir la notion d’argument. Un argument est une série d’affirmations connectées destinées à soutenir une assertion globale. La représentation graphique des structures argumentatives est utilisée d’une part pour simplifier la représentation et la vérification des argumentations et d’autre part pour expliciter le point de vue des personnes, appelées experts, qui évaluent les structures argumentatives. Pour atteindre le but de représentation des arguments, plusieurs langages de représentation ont vu le jour. Les langages les plus utilisés sont le langage GSN «Goal Structuring Notation» [15; 28] et le langage TCL «Trust Case Langage» [4; 6], exposés respectivement dans la troisième et la quatrième section de ce chapitre. Ces deux langages sont basés sur le modèle de Toulmin [40] exposé quant à lui dans la deuxième section du chapitre. D’autres langages de représentation des structures argumentatives sont décrits dans la cinquième section.

2.2

Le modèle de Toulmin

Les deux langages de description de structures argumentatives GSN et TCL sont basés sur le modèle de Toulmin [40]. Illustré à la figure2.1, ce modèle est composé des éléments suivants :

1. but : affirmation pour laquelle une argumentation est faite ; 2. motifs, raisons ou preuves : motifs à l’appui du but ;

3. justification : affirmation explicitant la manière de raisonner reliant le but et la preuve ; 4. support : explication à l’appui de la justification ;

Motifs, raisons ou preuves Qualificatif But Réfutation Justification Support

Figure 2.1 – Modèle de Toulmin [40].

5. réfutation : élément affaiblissant le but ;

6. qualificatif : élément précisant les limites du but, de la justification ou encore de la réfutation.

Les éléments du modèle de Toulmin sont les bases à partir desquelles les éléments des langages GSN présentés dans la section2.3et TCL présentés dans la section 2.4sont tirés.

2.3

Le langage GSN

Le langage GSN, introduit par Tim Kelly [27] et qui a fait l’objet de plusieurs travaux comme ceux décrits dans les articles [15;28], est un langage permettant de représenter graphiquement des structures argumentatives. Ce langage peut être employé pour documenter les éléments de n’importe quelle argumentation et ainsi offrir une meilleure description des relations existantes entre ses composantes. Un des outils basé sur le langage GSN est Atego [2], utilisé pour construire des structures argumentatives.

2.3.1 Les types d’éléments utilisés dans le langage GSN

Les types d’éléments, illustrés à la figure2.2, employés dans le langage GSN sont comme suit :

1. but : exigence relative aux parties du système (correspond au but dans le modèle de Toulmin) ;

2. contexte : champ dans lequel l’élément doit être interprété (correspond au qualificatif dans le modèle de Toulmin) ;

3. hypothèse : support d’un élément en précisant sa validité ;

But Hypothèse A

Justification J

Contexte Stratégie Solution

Figure 2.2 – Éléments du langage GSN.

Figure 2.3 – Élément précisant le manque de développement.

4. stratégie : détails à propos d’une décomposition de but et explications de la relation entre le but et les sous-buts qui soutiennent ce but (correspond à la raison dans le modèle de Toulmin) ;

5. justification : explications et raisons de l’utilisation des éléments qui sont liés à une affirmation (correspond à la justification dans le modèle de Toulmin) ;

6. solution : élément satisfaisant directement le but, intuitivement la solution est une preuve supportant le but (correspond au support dans le modèle de Toulmin).

Le losange présenté dans la figure 2.3 est employé en dessous d’un élément afin de montrer que cet élément nécessite plus de développement. Un exemple de l’utilisation de ce symbole est donné à la section 2.3.3.

2.3.2 Les types de liens utilisés dans le langage GSN

Deux types de liens, présentés dans la figure 2.4, sont employés pour représenter la relation entre les éléments :

1. supporté par : la flèche à tête pleine précise le fait que l’élément supérieur est supporté par les éléments inférieurs ;

2. dans le contexte de : la flèche à tête creuse signifie que l’élément au bout de la flèche offre un cadre où l’élément à l’origine de la flèche peut être interprété.

Figure 2.4 – Deux types de flèches utilisées dans le langage GSN.

2.3.3 Exemple d’une structure argumentative construite avec le langage GSN

Dans l’exemple illustré à la figure 2.5 et tiré du rapport technique [42], le but B1 est la racine de la structure argumentant sur l’affirmation que la pompe à perfusion est sure pour l’utilisation. La stratégie St1 choisie est le traitement de tous les risques qui pourraient altérer le bon fonctionnement de la pompe à perfusion et présenter ainsi un risque pour l’utilisateur. La stratégie St1 n’est pas entièrement développée, c’est ce qui est montré avec l’utilisation du losange sous la stratégie. Aux fins de l’exemple, trois erreurs sont citées dans le contexte Ct1 même s’il peut y en avoir beaucoup d’autres. Les erreurs de programmation sont traitées dans le but B2 et les dysfonctionnements dans le but B30. Le but B2, traité dans le cadre d’un contexte Ct6 représentant des erreurs de saisie, possède une hypothèse H2 qui postule qu’il y a des erreurs qui peuvent être atténuées et d’autres qui ne le peuvent pas. Le but B2 est ainsi décomposé en deux autres buts B3 et B22 afin de traiter les erreurs de programmation selon le contexte Ct6 et l’hypothèse H2. Finalement les buts B30, B3 et B22 ne sont pas encore développés et ils devraient l’être pour que la structure argumentative puisse véhiculer la totalité de l’argumentation.

2.3.4 Construction d’une structure argumentative avec le langage GSN

La construction d’une structure basée sur le langage GSN, telle que celle présentée à la sec-tion 2.3.3, est difficile et aucun algorithme n’existe pour accomplir cette tâche. Mais il y a des heuristiques servant à la construction des structures argumentative avec le langage GSN comme les constructions descendante et ascendante.

Construction descendante

Dans sa thèse [27], Tim Kelly a défini une méthode de construction des graphes GSN appelée la méthode descendante, illustrée à la figure2.6.

La méthode descendante est constituée de six étapes :

• étape 1 : identifier le but à la racine pour lequel la structure argumentative est construite ainsi que les sous-buts découlant de la décomposition du but à la racine ;

• étape 2 : définir les contextes des éléments utilisés. Deux éléments clés composent cette étape

— identification des informations nécessaires reliées au système utilisé,

B1

La pompe à perfusion est sûre pour l’utilisation

St1

Argumentation sur tous les dangers connus pouvant

altérer un fonctionnement sûr de la pompe à perfusion Ct1 Dangers : programmation inexacte ; paramètres dangereux ; dysfonctionnement B2

Les erreurs de programmation de la pompe à perfusion (entrée de données) sont atténuées

B30 Les dangers dus aux

dysfonctionnements de la pompe à perfusion sont atténués

B3

La pompe à perfusion est programmée

avec précision

B22

Les paramètres programmés sont adaptés pour le patient

traité et le médicament à injecter Ct6

Erreurs de saisie d’un médicament,

d’une concentration, d’un VTBI ou des informations

du patient

H2

Il y a des erreurs qui peuvent être atténuées (par exemple, surplus de perfusion) et d’autres qui ne le peuvent pas (par exemple, mauvais

médicament prescrit)

A

Figure 2.5 – Exemple d’une structure argumentative construite avec le langage GSN (adap-tation substantielle d’une structure tirée du site [31]).

— identification des informations nécessaires pour la construction d’arguments, ces informations peuvent ne pas appartenir au système ;

• étape 3 : identifier la stratégie employée pour supporter chaque but. L’objectif de cette étape est de chercher des stratégies qui vont donner naissance à des buts plus faciles à prouver que les buts parents ;

• étape 4 : ajouter des éléments pour démontrer les raisons pour lesquelles une stratégie a été choisie. Les éléments à ajouter sont

— les hypothèses décrivant toutes les informations sur lesquelles se base la straté-gie et en rapport avec le système telles que le contexte, les utilisateurs ou encore l’environnement,

— les justifications faisant état des raisons pour lesquelles la stratégie a été choisie afin de supporter le but ;

Identifier les buts à supporter Étape 1 Définir les contextes des éléments Étape 2 Identifier la stratégie supportant chaque but Étape 3 Identifier les justifications décrivant les utilisations des stratégies Étape 4 Identifier les solutions Étape 6 Étape 5 Mettre en place la stratégie

Figure 2.6 – Étapes de la méthode descendante [26].

• étape 5 : mettre en place la stratégie expliquant les raisons qui lient les éléments entre eux. Cette stratégie donne lieu à de nouveaux buts ;

• étape 6 : identifier les solutions qui font référence le plus simplement possible aux preuves qui sont obligatoires pour soutenir le but.

Construction ascendante

L’approche de Tim Kelly décrite précédemment a été modifiée pour donner la méthode ascen-dante présentée dans la figure2.7tirée du livre du langage GSN [15]. La méthode ascendante est constituée de sept étapes :

• étape 1 : identifier les preuves servant de solutions pour une structure basée sur le langage GSN ;

• étape 2 : chercher des sous-buts qui peuvent être supportés par les solutions identifiées à l’étape 1 ;

Identifier les preuves Étape 1 Chercher des sous-buts supportés par les solutions Étape 2 Identifier les buts supportés par les sous-buts Étape 3 Décrire la stratégie Étape 4 Vérifier les informations du contexte Étape 5 Vérifier si la structure est complète Étape 6 Connecter la structure résultante à un but supérieur adéquat Étape 7

Figure 2.7 – Étapes de la méthode ascendante.

• étape 3 : identifier des buts qui peuvent être pris en charge par les sous-buts identifiés à l’étape 2 ;

• étape 4 : décrire la manière avec laquelle ces sous-buts satisfont l’élément supérieur qui est la stratégie ;

• étape 5 : vérifier si des informations qui donneraient des indications sur le contexte sont disponibles et les ajouter ;

• étape 6 : vérifier si la structure ainsi construite est complète ; • étape 7 : connecter la structure résultante à un but supérieur.

2.4

Le langage TCL

Utilisé dans la plate-forme web Argevide NOR-STA [31], le langage TCL a été introduit par Cyra dans sa thèse [4]. Il est composé des éléments du modèle Trust-IT présentés à la figure2.8:

Figure 2.8 – Modèle Trust-IT tiré de [6].

• but (claim) : exigence relative à un système ou partie d’un système. Il représente l’élé-ment à justifier ;

• la stratégie de l’argument (argument strategy) : idée supportant le but supérieur. Elle exprime une raison de décomposition du but supérieur en sous-buts ;

• la stratégie du contre-argument (counter-argument strategy) : idée affaiblissant le but supérieur. Comme la stratégie de l’argument, la stratégie du contre-argument expose une raison de décomposition du but supérieur en sous-buts. Ces derniers contribuent au support du but supérieur en passant par la stratégie ou la contre-stratégie ;

• justification (warrant ) : affirmation accompagnant en tout temps la stratégie de l’argu-ment et la stratégie du contre-argul’argu-ment. Cette affirmation met en évidence les raisons pour lesquelles l’utilisation de cette stratégie est nécessaire ;

• hypothèse (assumption) : élément accepté sans avoir besoin de plus de justifications ; • fait (fact ) : élément qui est soit visiblement vrai ou appuyé par des preuves ;

• référence (reference) : solution supportant l’élément auquel elle est liée.

Le modèle Trust-IT, présenté à la figure 2.8, est basé sur le modèle de Toulmin présenté précédemment et il peut être décrit comme suit : le but est supporté par la stratégie de l’argument ou au contraire affaibli par la stratégie du contre-argument. Les stratégies de l’argument et du contre-argument sont accompagnées par une justification explicitant la raison

Figure 2.9 – Exemple d’une structure argumentative construite avec le langage TCL [31].

de leur utilisation. Supportant la stratégie, qu’elle soit utilisée pour supporter ou ébranler le but supérieur, l’hypothèse est un élément accepté sans avoir besoin de justifications. Le but représente l’élément ayant toujours besoin de plus de développement pour être supporté. Le fait est un élément supposé vrai ou supporté par une preuve. Les trois éléments supportant la stratégie, à savoir l’hypothèse, le but et le fait, représentent la décomposition du but supérieur selon la stratégie choisie. La référence représente la preuve supportant l’hypothèse, le fait ou la justification. Un dernier élément composant le modèle Trust-IT est l’information. Apportant des explications, cet élément sert à améliorer la compréhension de la structure argumentative.

Exemple d’une structure argumentative construite avec le langage TCL

Dans l’exemple illustré à la figure 2.9 et tiré de [31], le but C19 est le but à la racine de la structure argumentant sur l’affirmation que l’expérience montre un faible taux tolérable d’erreur de saisie des paramètres. Ensuite la stratégie _S16 choisie est le traitement de l’en-registrement des erreurs et son analyse. La justification _R16 de la stratégie _S16 affirme que le journal est complet et surveillé. Suivant la stratégie _S16, le but C19 est décomposé en un but C20 qui postule que toutes les erreurs sont enregistrées dès qu’elles sont découvertes et un fait C21 qui dit qu’un examen régulier des problèmes de programmation montre un taux d’erreur moindre que E. Le fait C21 est utilisé suivant un contexte Ct5 postulant que le manuel des procédures de la pompe à perfusion précise qu’une infirmière en chef effectue des revues mensuelles ainsi que les mesures à prendre quand le taux d’erreur excède E. Enfin, les deux références Ev6_13 et Ev10_14 sont des solutions supportant le fait C21.

2.5

D’autres langages de représentation des structures

argumentatives

Plusieurs recherches ont été conduites et ont abouti à la définition d’autres langages de construction de structures argumentatives, comme EGSN [9] et CAE [32], ainsi que d’ou-tils informatiques permettant de les manipuler. Parmi ces oud’ou-tils on trouve AdvoCATE, décrit par Ewen Denney [9], et ASCE, mis en place par Adelard [1].

But Argument Sous-but Sous-but Preuve supporte est un sous-but de est un sous-but de est une preuve de

Figure 2.10 – Éléments du langage CAE [32].

2.5.1 Le langage EGSN utilisé dans l’outil AdvoCATE

L’outil AdvoCATE (Assurance Case Automation ToolsEt ) est présenté par Ewen Denney dans l’article [9]. AdvoCATE utilise le langage EGSN, qui est une extension du langage GSN. Le langage EGSN est construit de manière à pouvoir traiter différentes structures argumenta-tives du domaine de la sûreté et il est compatible avec le langage GSN. D’un autre côté, le métamodèle, duquel est tiré EGSN, est compatible avec le métamodèle d’argumentation ARM [32].

Ainsi AdvoCATE est un outil permettant de manipuler le langage EGSN afin de construire une structure argumentative dans le domaine de la sûreté. Il est offert sous forme de plug-ins pour Eclipse. Bien qu’Advocate ne propose pas de méthodes pour l’évaluation des structures argumentatives basées sur le langage GSN, certaines métriques [9] permettent d’évaluer une structure argumentative à partir de ses propriétés syntaxiques comme le nombre de nœuds. Toutefois, ces métriques se révèlent davantage utiles lors du processus de création de la struc-ture que lors de son évaluation finale par des experts par exemple.

2.5.2 Le langage CAE utilisé dans l’outil ASCE

L’outil ASCE (Adelard Safety Case Editor ) [11] est développé par Adelard pour représen-ter les structures argumentatives relatives à la sûreté. Cet outil utilise le langage CAE : Claim-Argument-Evidence illustré à la figure2.10. Les composantes du CAE sont les buts, les arguments et les preuves.

2.6

Conclusion

Le langage GSN est le langage le plus utilisé pour clarifier l’arrangement des éléments d’une structure argumentative et plus particulièrement pour expliciter les liens entre les affirmations et les preuves qui les supportent. Le langage TCL, conceptuellement similaire au langage GSN mais graphiquement très différent, permet de construire une structure argumentative basée sur le modèle Trust-IT. Manipulant le langage TCL, la plate-forme Argevide NOR-STA possède un formalisme mathématique permettant d’évaluer les éléments d’une structure argumentative. Le formalisme adoptée par la plate-forme est la théorie de Dempster-Shafer.

L’objectif de ce mémoire est d’élaborer un langage similaire au langage GSN combinant les points forts, en terme de modélisation d’arguments de conformité, tant du langage GSN (la présentation graphique) que du langage TCL (formalisme mathématique) et de définir un modèle mathématique basé sur la théorie de Dempster-Shafer, introduite dans le chapitre 3, devant permettre l’évaluation, en termes de croyance, de non-croyance et d’incertitude, de tous les éléments de la structure argumentative. Le chapitre 3 présente les fondements mathéma-tiques des fonctions utilisées dans cette théorie ainsi que quelques-unes de ses plus importantes extensions qui ont été proposées par la communauté scientifique jusqu’à présent pour remédier à une anomalie, décrite à la section 3.2.2, de l’utilisation de la règle de Dempster-Shafer.

Chapitre 3

Les règles d’agrégation basées sur la

théorie de Dempster-Shafer

3.1

Introduction

Pour construire des structures argumentatives, plusieurs langages et outils de présentation ont vu le jour tels que le langage GSN avec l’outil Atego, le formalisme CAE avec l’outil ASCE, le langage EGSN avec l’outil AdvoCATE et le langage TCL avec l’outil Argevide. Dans le dernier outil, une importante composante permettant l’évaluation des éléments de la structure a été ajoutée. Cette évaluation précise le niveau de confiance dans un élément.

Afin d’évaluer les structures argumentatives, plusieurs pistes ont été explorées telles que celle utilisant une approche bayésienne [30], celle utilisant les probabilités baconiennes [13; 43] ou encore celle utilisant la théorie de Dempster-Shafer [8]. L’idée à la base de l’approche d’évalua-tion consiste à obtenir une valeur générale dégagée par la structure argumentative exprimant le niveau de confiance en une propriété voulue. Pour cela on opte pour une évaluation locale des éléments de la structure argumentative. Ainsi ce qui est demandé est une évaluation des éléments de la structure au lieu d’une évaluation globale de toute la structure. Les évaluations locales sont par la suite combinées entre elles selon certaines règles pour remonter l’informa-tion jusqu’à la racine de la structure. Cette combinaison des évalual’informa-tions donne lieu à un flux d’information. Ainsi la valeur trouvée à la racine reflète le niveau de confiance dans la propriété pour laquelle la structure est construite.

Correspondant aux besoins d’évaluation des éléments d’une structure argumentative, la théorie de Dempster-Shafer est connue comme étant le formalisme mathématique à adopter pour trai-ter l’incertitude à propos des preuves. En plus d’introduire une manière d’évaluer les éléments des structures argumentatives, ce formalisme permet de combiner et d’agréger les évaluations pour arriver à une information générale dégagée par toute la structure.

Ce chapitre introduit les fondements mathématiques desquels la théorie de Dempster-Shafer s’inspire, puis les différentes règles de combinaison manipulant les fonctions de cette théorie sont définies. Il décrit également une anomalie issue de l’utilisation de la règle de combinaison de Dempster-Shafer.

3.1.1 Les fondements mathématiques

Soit θ un ensemble fini appelé un cadre de discernement (frame of discernment ) et 2θl’ensemble de tous les sous-ensembles de θ.

Probabilité

Soit S un ensemble de sous-ensembles de θ contenant θ, et fermé par complémentation et les unions dénombrables, mais pas nécessairement constitué de tous les sous-ensembles de θ. Une fonction de probabilité P : S → [0, 1] est une fonction qui satisfait les propriétés de Kolmogorov suivantes [17;29] :

— P (X) ≥ 0 pour tout X ∈ S ; — P (θ) = 1 ;

— P ((_{S i|i ∈ N : Xi})) = (_{P i|i ∈ N : P (X}i)), si les Xi sont deux à deux disjoints et s’ils

appartiennent tous à S.

Il est à noter que les quantifications ont la forme (quantificateur variable de quantification | restriction sur la variable : expression quantifiée). Voir par exemple [7]. S’il n’y a pas d’expres-sion entre « | » et « : », c’est qu’il n’y a aucune restriction sur la variable de quantification. La quantification (∃x | P : Q) se lit « il existe x tel que P et Q ». La quantification (∀x | P : Q) se lit « pour tout x, si P alors Q » ou encore « pour tout x, P implique Q ».

Mesures interne et externe de la probabilité

La fonction de probabilité P peut être définie dans S seulement, elle n’est pas nécessairement définie dans 2θ_{. La fonction de probabilité P est étendue à 2}θ _{en définissant deux fonctions}

comme étant la mesure interne de la probabilité (inner measure) (P∗) et la mesure externe

de la probabilité (outer measure) (P∗) induites par P [16; 17]. Ces fonctions peuvent être interprétées comme étant les meilleures estimations de la mesure précise de la probabilité P (Y ). Pour Y ⊆ θ, P∗ et P∗ sont définies comme suit :

— P∗(Y ) = sup{P (X)|X ⊆ Y et X ∈ S} ;

— P∗(Y ) = inf{P (X)|Y ⊆ X et X ∈ S}.

La mesure interne de la probabilité représente la plus petite probabilité qui majore la proba-bilité de X et la mesure externe de la probaproba-bilité représente la plus grande probaproba-bilité qui

minore la probabilité de X. Étant données les fonctions de mesures interne et externe de la probabilité, le résultat suivant peut être trouvé [17;34] :

Toute extension de P à 2θ doit satisfaire P∗(Y ) ≤ P (Y ) ≤ P∗(Y ) pour tout Y ∈ 2θ.

3.1.2 Fonctions de croyance et de plausibilité [17]

La fonction de croyance (Belief )

Une fonction de croyance Bel est une fonction Bel : 2θ → [0, 1] qui satisfait : — Bel(∅) = 0 ;

— Bel(Y ) ≥ 0 pour tout Y ∈ 2θ; — Bel(θ) = 1 ;

— Bel ((S i|1 ≤ i ≤ k : Yi)) ≥ P I|I ⊆ {1, . . . , k} ∧ I 6= ∅ : (−1)|I|+1· Bel((T i|i ∈ I : Yi)
.

Pour donner un exemple, prenons le cas de θ :

Bel(θ) = Bel(Y ∪ Y ) ≥ (−1)3· Bel(Y ∩ Y ) + (−1)2· Bel(Y ) + (−1)2· Bel(Y ), où Y est le complément de Y ∈ 2θ.

Puisque Bel(∅) = 0 et Bel(θ) = 1, alors

1 ≥ 0 + Bel(Y ) + Bel(Y ). Ce qui donne Bel(Y ) + Bel(Y ) ≤ 1.

La fonction de plausibilité

La fonction de plausibilité Pl est définie par Pl(Y ) = 1 − Bel(Y ). On peut facilement déduire que Bel(Y ) ≤ Pl(Y ) étant donné 1 = Bel(θ) = Bel(Y ∪ Y ) ≥ Bel(Y ) + Bel(Y ). L’intervalle défini par Bel(Y ) et Pl(Y ) peut être vu comme étant la meilleure des estimations de la mesure précise de la probabilité P (Y ). Comme expliqué dans l’article [17], les fonctions Bel et Pl agissent comme des mesures interne et externe de probabilité. Ainsi la fonction de croyance Bel correspond à la mesure interne de probabilité et la fonction de plausibilité Pl à la mesure externe de probabilité.

La fonction d’affectation de croyance de base [38]

Une fonction de masse m est une fonction définie de 2θ dans [0, 1]. Cette fonction est appelée fonction d’affectation de croyance de base (Basic Belief Assignment) (BBA) si et seulement si

X

Avec l’utilisation de cette masse, une fonction de croyance Bel : 2θ _{→ [0, 1] peut être définie}

par

Bel(∅) = 0 et Bel(Y ) =XY0|Y0 ⊆ Y ∧ Y0 6= ∅ : m(Y0) 

si Y 6= ∅.

Quand la masse m(∅) de l’ensemble vide est égale à 0, la fonction Bel est appelée fonction de croyance normalisée (normalized belief function) [38] (le cas où m(∅) ≥ 0 est traité dans [37]). La fonction de croyance normalisée est la fonction de croyance utilisée dans le livre de Sha-fer [36]. Une fonction de plausibilité Pl : 2θ → [0, 1] peut être définie par

Pl(Y ) =XY0|Y0⊆ θ ∧ Y0∩ Y 6= ∅ : m(Y0).

On montre que cette définition redonne bien Pl(Y ) = 1 − Bel(Y ).

3.1.3 Les fonctions de non-croyance et d’incertitude

D’autres fonctions basées sur les fonctions de croyance Bel et de plausibilité Pl sont définies pour décrire la non-croyance (disbelief ) et l’incertitude (uncertainty ) à propos d’un élément Y comme suit :

• la fonction de non-croyance (Dis) désigne la croyance dans le complément de Y : Dis(Y ) = 1 − Pl(Y ) = Bel(Y );

• l’incertitude (Unc) exprime le degré de doute par rapport à un élément Y :

Unc(Y ) = Pl(Y ) − Bel(Y ) =XY0|Y0 ⊆ θ ∧ Y0∩ Y 6= ∅ ∧ Y06⊆ Y : m(Y0). Il est à noter que la relation entre Bel, Dis et Unc à propos d’un élément Y est

Bel(Y ) + Dis(Y ) + Unc(Y ) = 1. (3.1)

3.2

La règle de combinaison de Dempster-Shafer

3.2.1 L’utilisation originale de la règle de Dempster-Shafer

Dans le cas où deux experts expriment leur opinion à propos d’un élément A, la règle de combinaison de Dempster-Shafer, basée sur le travail de Dempster [8], combine les opinions des experts. Ces opinions sont notées m₁(A) = m1({A}) pour l’opinion du premier expert et

m2(A) = m2({A}) pour l’opinion du deuxième expert. La combinaison de m1(A) et de m2(A)

est faite au moyen d’un opérateur binaire ⊕ défini comme suit : m(A) = m1(A) ⊕ m2(A) =

(P B, C|B ⊆ θ ∧ C ⊆ θ ∧ B ∩ C = A : m1(B) · m2(C))

1 − K , (3.2)

Table 3.1 – Combinaison des opinions des enquêteurs. Valeur m1(A1) = 0.5 m1(A2) = 0.4 m1(A3) = 0.1 m2(A1) = 0.2 m1(A1) · m2(A1) = 0.1 m1(A2) · m2(A1) = 0.08 m1(A3) · m2(A1) = 0.02 m2(A2) = 0.1 m1(A1) · m2(A2) = 0.05 m1(A2) · m2(A2) = 0.04 m1(A3) · m2(A2) = 0.01 m2(A3) = 0.7 m1(A1) · m2(A3) = 0.35 m1(A2) · m2(A3) = 0.28 m1(A3) · m2(A3) = 0.07 avec K 6= 1 et K = (P B, C|B ⊆ θ ∧ C ⊆ θ ∧ B ∩ C = ∅ : m1(B) · m2(C)).

Dans cette règle, le facteur K est le niveau du conflit entre les deux experts. Dans le cas où K = 1, la règle de combinaison de Dempster-Shafer ne peut plus être appliquée car le dénominateur de la règle se trouve égal à zéro. L’opérateur ⊕ est associatif et commutatif, ce qui permet de combiner les évaluations dans n’importe quel ordre.

Pour donner un exemple d’utilisation de cette règle, la table 3.1 résume les opinions données par deux enquêteurs à propos des ensembles de causes deux à deux disjointes d’un crash d’avion A qui sont A1 la rupture d’un élément de l’avion, A2 un défaut de fonctionnement

d’un élément de l’avion et A₃ une cause météorologique. Il est à noter que la masse de tout X différent de A1, A2 et A3 est nulle.

K = m1(A1) · m2(A2) + m1(A1) · m2(A3) + m1(A2) · m2(A1) + m1(A2) · m2(A3) + m1(A3) · m2(A1) + m1(A3) · m2(A2) = 0.05 + 0.35 + 0.08 + 0.28 + 0.02 + 0.01 = 0.79; m(A1) = m1(A1) ⊕ m2(A1) = m1(A1) · m2(A1) 1 − K = 0.1 1 − 0.79 = 0.1 0.21 ≈ 0.47; m(A2) = m1(A2) ⊕ m2(A2) = m1(A2) · m2(A2) 1 − K = 0.04 0.21 ≈ 0.19; m(A3) = m1(A3) ⊕ m2(A3) = m1(A3) · m2(A3) 1 − K = 0.07 0.21 ≈ 0.34.

Il est à noter que le conflit, terme utilisé pour montrer le désaccord, K des experts est une mesure du degré d’incertitude que ces experts ont à propos d’un sujet. Par exemple dans la table 3.1, l’enquêteur 1 croit que la cause du crash est soit l’élément A1 puisqu’il lui donne

m1(A1) = 0.5 soit l’élément A2 puisqu’il lui donne m1(A2) = 0.4 et il ne croit pas beaucoup

dans le fait que l’élément A₃ soit la cause du crash m₁(A3) = 0.1, tandis que l’enquêteur 2 croit

beaucoup plus que l’élément A3 est la cause du crash puisqu’il lui donne m2(A3) = 0.7 et il ne

croit pas beaucoup dans le fait que les éléments A₁ et A₂ soient les causes du crash et il leur donne respectivement les masses m₂(A1) = 0.1 et m2(A2) = 0.2. C’est ce genre de désaccord

que le conflit K caractérise mais on ne peut plus parler de désaccord quand il s’agit du même expert. Ce qui mène à parler d’incertitude dans le cas de la combinaison des évaluations du même expert. Ainsi la valeur de K correspond à l’incertitude si la règle de combinaison de Demspter-Shafer est appliquée pour combiner l’évaluation du même expert à propos du même

Table 3.2 – Combinaison de l’opinion d’un seul enquêteur.

Valeur m1(A1) = 0.5 m1(A2) = 0.4 m1(A3) = 0.1

m1(A1) = 0.5 m1(A1) · m1(A1) = 0.25 m1(A2) · m1(A1) = 0.2 m1(A3) · m1(A1) = 0.05

m1(A2) = 0.4 m1(A1) · m1(A2) = 0.2 m1(A2) · m1(A2) = 0.16 m1(A3) · m1(A2) = 0.04

m1(A3) = 0.1 m1(A1) · m1(A3) = 0.05 m1(A2) · m1(A3) = 0.04 m1(A3) · m1(A3) = 0.01

sujet. Un exemple d’utilisation de la règle de Dempster-Shafer dans le cas de la combinaison de l’avis d’un même expert est donné en utilisant les valeurs de la table3.2.

Les résultats de la combinaison des valeurs données à la table3.2, où l’avis d’un seul enquêteur est pris en compte, sont comme suit :

K = m1(A1) · m1(A2) + m1(A1) · m1(A3) + m1(A2) · m1(A1) + m1(A2) · m1(A3) + m1(A3) · m1(A1) + m1(A3) · m1(A2) = 0.2 + 0.05 + 0.2 + 0.04 + 0.05 + 0.04 = 0.58; m(A1) = m1(A1) ⊕ m1(A1) = m1(A1) · m1(A1) 1 − K = 0.25 1 − 0.58 = 0.25 0.42 ≈ 0.596; m(A2) = m1(A2) ⊕ m1(A2) = m1(A2) · m1(A2) 1 − K = 0.16 0.42 ≈ 0.380; m(A3) = m1(A3) ⊕ m1(A3) = m1(A3) · m1(A3) 1 − K = 0.01 0.42 ≈ 0.024.

Les résultats de cette combinaison sont totalement intuitifs puisque la combinaison d’une évaluation avec elle-même augmente la masse de l’élément ayant la meilleure A1 évaluation et

diminue la masse de l’élément ayant la pire évaluation A3.

3.2.2 L’utilisation de la règle de Dempster-Shafer dans les structures argumentatives

La règle de combinaison définie dans la section précédente est souvent appliquée pour com-biner des opinions différentes portant sur le même sujet, mais elle peut aussi être appliquée pour combiner les évaluations des éléments composant les structures argumentatives. Dans la figure 3.1, par exemple, les éléments G₁ et G₂ ont le même élément supérieur G₀. Ainsi les valeurs des deux éléments enfants peuvent être interprétées comme des opinions portées sur l’élément supérieur. On revient ainsi à des évaluations sur le même sujet.

Dans l’article [3], la règle de combinaison de Dempster-Shafer est appliquée pour combiner les évaluations des éléments d’une structure argumentative construite avec le langage GSN. Quand les éléments à combiner montrent un grand conflit K, le résultat de l’application de la règle de Dempster-Shafer donne lieu à une anomalie. Cette dernière a été le sujet de plusieurs articles, notamment par Zadeh [47].

Afin de donner un exemple de l’anomalie de Dempster-Shafer, les éléments G1et G2supportant

l’élément racine G0sont illustrés dans la figure3.1et un exemple de leurs valeurs sont données

G0 : En utilisant la pompe

à perfusion, le patient reçoit le traitement adéquat

G1 : La pompe à perfusion

reconnaît le patient et lui administre le bon traitement

G2 : Le personnel soignant programme

la pompe à perfusion pour donner le bon traitement au patient

Figure 3.1 – Exemple de deux éléments alternatifs.

Table 3.3 – Évaluation des buts de la structure de la figure 3.1. mG1(U ) mG1(S) mG1(I) mG1(∅) Valeur 0.01 0 0.99 0 mG2(U ) 0 0 0 0 0 mG2(S) 1 0.01 0 0.99 0 mG2(I) 0 0 0 0 0 mG2(∅) 0 0 0 0 0

dans la table 3.3. Soit U = {Suffisant, Insuffisant } le cadre de discernement et 2U = {∅, {Suffisant }, {Insuffisant }, U } l’ensemble des parties de U . Le fait qu’un élément de la structure est suffisant pour supporter l’élément parent est noté S = {Suffisant } ; le fait qu’un élément de la structure est insuffisant pour supporter l’élément parent est noté I = {Insuffisant } et le fait qu’un élément de la structure n’est ni suffisant ni insuffisant pour supporter l’élément parent est noté U = {Suffisant, Insuffisant }.

Pour un élément n de la structure, les masses mn(S), mn(I) et mn(U ) désignent respectivement

les degrés de croyance dans la suffisance, l’insuffisance et l’incertitude de l’élément n. La relation entre ces trois masses est la suivante : mn(S) + mn(I) + mn(U ) = 1.

Afin de faciliter la notation de la croyance, la non-croyance et l’incertitude d’un élément n, au lieu d’utiliser Bel_n(S), Disn(S) et Uncn(S) nous utilisons Bel(n) pour parler de la croyance en

la suffisance l’élément n, Dis(n) pour parler de la non-croyance en la suffisance en l’élément n et Unc(n) pour parler de l’incertitude sur la suffisance de l’élément n.

En appliquant les définitions des fonctions de croyance, non-croyance et incertitude définies dans les sections 3.1.2 et3.1.3, on peut dire que :

Beln(S) = mn(S) ;

• Unc(n) = Unc_n(S) = (P B|B ⊆ U ∧ B ∩ S 6= ∅ ∧ B 6⊆ S : m_n(B)) = mn(U ) ;

• Dis(n) = Disn(S) = 1 − Pln(S) = 1 − Beln(S) − Uncn(S) = 1 − mn(S) − mn(U ) = mn(I).

Les valeurs de la ligne et de la colonne «Valeur» données dans la table3.3correspondent aux évaluations des buts G1 et G2 par un expert. En appliquant la règle de Dempster-Shafer3.2,

les résultats suivants sont trouvés :

K = mG1(S) · mG2(I) + mG1(I) · mG2(S) = 0 + 0.99 = 0.99; mG0(S) = mG1(S) · mG2(S) + mG1(S) · mG2(U ) + mG1(U ) · mG2(S) 1 − K = 0 + 0 + 0.01 1 − 0.99 = 1; mG0(I) =

mG1(I) · mG2(I) + mG1(I) · mG2(U ) + mG1(U ) · mG2(I)

1 − K = 0 + 0 + 0 1 − 0.99 = 0; mG0(U ) = mG1(U ) · mG2(U ) 1 − K = 0 1 − 0.99 = 0.

Ces résultats montrent que le but G₀supporté par deux buts alternatifs, le but G₁affaiblissant le but G0 et le but G2 le renforçant, hérite d’une valeur totalement favorable c’est-à-dire que

le but G0 affiche une croyance complète dans sa suffisance. Ainsi l’utilisation de la règle

de Dempster-Shafer pour combiner les évaluations des éléments peut conduire à un résultat contre-intuitif. En effet, G1 amène surtout de l’insuffisance et G2 amène de la suffisance ce

qui devrait donner lieu à une augmentation de l’incertitude au lieu d’une augmentation de la suffisance. Plusieurs règles ont vu le jour pour remédier à cette anomalie, comme la règle de Yager définie à la section suivante. La règle de Yager produit, dans les mêmes conditions, une incertitude complète dans le but parent.

3.3

La règle de combinaison de Yager (règle de

Dempster-Shafer modifiée)

Afin de donner une solution à l’anomalie provoquée par des cas spéciaux de l’application de la règle de Dempster-Shafer, Yager distingue entre la BBA notée m (section3.1.2) et ce qui est maintenant appelé la masse de Yager mY, définie comme suit :

mY(∅) = 0, mY(A) = q(A) avec A 6= ∅ et A 6= θ, mY(θ) = q(θ) + q(∅),

où q est le ground probability assignment (GPA) [44]. La définition de q pour un élément A qui est un élément de l’ensemble des parties 2θ est comme suit :

q(A) = (PA1, . . . , An| (Ti | 1 ≤ i ≤ n : Ai) = A : (Qi | 1 ≤ i ≤ n : mi(Ai))); (3.3)

avec A_i ∈ 2θ _{et n le nombre d’experts.}

Un cas particulier de la définition de q est

q(A) =XB, C|B, C ∈ 2θ∧ B ∩ C = A : m₁(B) · m2(C)



. (3.4)

La règle de combinaison définie par Yager est mY(∅) = 0;

mY(A) = mY₁(A) ⊕Y mY₂(A) = q(A) si A 6= θ et A 6= ∅;

mY(θ) = mY₁(θ) ⊕Y mY₂(θ) = q(θ) + q(∅). (3.5)

La première différence entre les deux règles est que celle de Yager permet de donner une GPA non nulle à l’ensemble vide donc ce dernier peut avoir une GPA plus grande ou égale à zéro. La GPA de l’ensemble vide correspond exactement à la valeur du conflit K. Ainsi la GPA de l’ensemble vide est la suivante :

q(∅) = K =XB, C|B ∩ C = ∅ : m1(B) · m2(C)



. (3.6)

La seconde et la plus importante des différences entre la règle de Yager et celle de Dempster-Shafer est l’absence du facteur de normalisation 1 − K dans la règle précédente. Dans la règle de Yager, l’utilisation du conflit K est différente de son utilisation dans la règle de Dempster-Shafer. Le conflit K est ajouté à la masse de l’ensemble universel dans la règle de Yager tandis qu’on divise par 1 − K dans la règle de Dempster-Shafer.

Une attention particulière doit être accordée aux deux valeurs suivantes du conflit K : • si K = 0 alors les deux règles de combinaison, c’est-à-dire la règle de Demspter-Shafer

et la règle de Yager, conduisent au même résultat ;

• si K = 1 alors la règle de Dempster-Shafer ne peut plus être appliquée. Avec le même degré de conflit, la règle de Yager conduit à un résultat conforme à l’intuition, ce qui est illustré dans l’exemple suivant.

En prenant la structure de la figure 3.1 et les valeurs de la table 3.3, les résultats de la combinaison sont comme suit :

K = mG1(S) · mG2(I) + mG1(I) · mG2(S) = 0 + 0.99 = 0.99;

mY_G0(S) = mG1(S) · mG2(S) + mG1(S) · mG2(U ) + mG1(U ) · mG2(S) = 0 + 0 + 0.01 = 0.01;

mY_G0(I) = mG1(I) · mG2(I) + mG1(I) · mG2(U ) + mG1(U ) · mG2(I) = 0 + 0 + 0 = 0;

Table 3.4 – Comparaison entre les résultats de la règle de Dempster-Shafer et ceux de la règle de Yager.

Les résultats de la règle de Dempster-Shafer Les résultats de la règle de Yager

mG0(S) 1 0.01 mG0(I) 0 0 mG0(U ) 0 0.99 La règle de Yager La règle de Dempster-Shafer L’extra-règle d’Inagaki K 0 1 1−q(∅) 1 1−q(∅)−q(θ)

Figure 3.2 – Valeurs de K utilisées par Inagaki.

En comparant ces résultats avec ceux de la règle de Demspter-Shafer (table 3.4), on vérifie facilement que les résultats obtenus en appliquant la règle de Yager sont plus intuitifs que ceux obtenus en appliquant la règle de Demspter-Shafer. En effet, le résultat donné par la règle de combinaison de Dempster-Shafer donne une totale suffisance malgré que les deux évaluations sont entièrement contradictoires, tandis que le résultat donné par la règle de combinaison de Yager donne une incertitude quasi-totale ce qui est intuitif vu que la contradiction des évaluations combinées ne peut engendrer qu’un effet d’incertitude après combinaison.

3.4

La règle de combinaison d’Inagaki

Basée sur la GPA définie par Yager, la règle d’Inagaki [18] se propose comme une unification de la règle de Dempster-Shafer et de celle de Yager. Inagaki définit la règle de combinaison mU comme suit :

— mU_K(∅) = 0 ;

— mU_K(A) = mU_K,1(A) ⊕U mU_K,2(A) = [1 + Kq(∅)] · q(A) avec A 6= θ et A 6= ∅ ; — mU_K(θ) = mU_K,1(θ) ⊕UmU_K,2(θ) = [1 + Kq(∅)] · q(θ) + [1 + Kq(∅) − K] · q(∅) ; — 0 ≤ K ≤ _{1−q(∅)−q(θ)}1 .

Dans la règle d’Inagaki, trois valeurs de K (figure 3.2) comprises entre 0 et _{1−q(∅)−q(θ)}1 , re-quièrent une attention particulière.

Dans le cas où K = 0, la règle de Yager est obtenue. Dans le cas où K = _1−q(∅)1 , la règle de Dempster-Shafer est obtenue. Dans le cas où K = _{1−q(∅)−q(θ)}1 , une troisième règle est obtenue.

Table 3.5 – Évaluation des buts de la structure de la figure 3.1. mG1(U ) mG1(S) mG1(I) mG1(∅) Valeur 0.5 0.2 0.3 0 mG2(U ) 0.2 0.1 0.04 0.06 0 mG2(S) 0.4 0.2 0.08 0.12 0 mG2(I) 0.4 0.2 0.08 0.12 0 mG2(∅) 0 0 0 0 0

Cette dernière, appelée l’extra-règle, est représentée par mU_K

ext(A) = m

U

1 1−q(∅)−q(θ)

(A) et on montre facilement que :

— mU_K ext(∅) = 0 ; — mU_K ext(A) = m U 1 1−q(∅)−q(θ)

(A) = _{1−q(∅)−q(θ)}1−q(θ) q(A) avec A 6= θ et A 6= ∅ ; — mU_K ext(θ) = m U 1 1−q(∅)−q(θ) (θ) = q(θ).

Ceci montre que le résultat est pondéré par le degré d’incertitude (q(θ)) et le conflit entre les composants (q(∅)).

Pour donner un exemple de l’extra-règle, la structure de la figure 3.1 et les valeurs de la table 3.5sont utilisées.

La règle de Dempster-Shafer donne :

K = mG1(S) · mG2(I) + mG1(I) · mG2(S) = 0.08 + 0.12 = 0.2; mG0(S) = mG1(S) · mG2(S) + mG1(S) · mG2(U ) + mG1(U ) · mG2(S) 1 − K = 0.32 1 − 0.2 = 0.4; mG0(I) =

mG1(I) · mG2(I) + mG1(I) · mG2(U ) + mG1(U ) · mG2(I)

1 − K = 0.38 1 − 0.2 = 0.475; mG0(U ) = mG1(U ) · mG2(U ) 1 − K = 0.1 1 − 0.2 = 0.125.

Pour appliquer la règle d’Ingaki, il faut premièrement calculer les valeurs de q(U ) et q(∅) en employant l’équation3.4 comme suit :

q(U ) = mU_G1(U ) · mU_G2(U ) = 0.1; q(∅) = mU_G1(S) · mU_G2(I) + mU_G1(I) · mU_G2(S) = 0.08 + 0.12 = 0.2. Donc 1 − q(U ) 1 − q(∅) − q(U ) = 1 − 0.1 1 − 0.2 − 0.1 = 0.9 0.7.

Table 3.6 – Comparaison entre les résultats des règles de Dempster-Shafer, Yager et Inagaki. La règle de Dempster-Shafer La règle de Yager La règle d’Inagaki

mG0(S) 0.4 0.32 0.41

mG0(I) 0.475 0.38 0.49

mG0(U ) 0.125 0.3 0.1

Les résultats trouvés en appliquant l’extra-règle sont : mU_Kext,G0(S) = 1 − q(U ) 1 − q(∅) − q(U )· (m U G1(S) · mUG2(S) + mUG1(S) · mUG2(U ) + mUG1(U ) · mUG2(S)) = 0.9 0.7· (0.08 + 0.2 + 0.04) ≈ 0.41.

mU_Kext,G0(I) = 1 − q(U )

1 − q(∅) − q(U )· (m

U

G1(I) · mUG2(I) + mUG1(I) · mUG2(U ) + mUG1(U ) · mUG2(I))

= 0.9

0.7· (0.12 + 0.06 + 0.2) ≈ 0.49.

mU_Kext,G0(U ) = q(U ) = 0.1.

Afin de comparer les trois règles décrites, soit les règles de Dempster-Shafer, Yager et Inagaki, la table3.6contient les résultats de l’application des règles sur les valeurs dans la table 3.5. On remarque que les trois règles donnent lieu à la même interprétation. Dans les trois cas, la masse de l’insuffisance est plus grande que la masse de la suffisance et la masse de l’incertitude est la plus faible.

Dans cet exemple, les trois règles donnent quasiment le même résultat. L’apport de la règle d’Inagaki est l’unification des règles sans résoudre l’anomalie similaire à la règle de Dempster-Shafer dans le cas de l’utilisation de la valeur du conflit K = _1−q(∅)1 (dans ce cas la règle d’Inagaki donne la règle de Dempster-Shafer). Il existe d’autres cas où la règle d’Inagaki ne peut pas être appliquée comme celui où on choisit l’extra-règle et que q(U ) + q(∅) = 1 car on se retrouve avec une division par 0. Le choix du conflit à utiliser dans la règle d’Inagaki est une question de recherche [35].

3.5

La règle de la moyenne

Cette règle est une généralisation d’une règle appelée la moyenne des distributions de pro-babilité [12]. La règle de la moyenne pondère des éléments supportant un élément supérieur selon des poids wi. Elle est employée dans l’article [3], qui présente l’utilisation de la théorie

de Dempster-Shafer avec la structure argumentative construite à l’aide du langage GSN. La

G0 : Le personnel soignant est

formé et entraîné aux procédures de programmation de la pompe d’infusion G1 : Tout le personnel soignant a fait la formation G2 : Utilisation du matériel adéquat pour la formation

Figure 3.3 – Exemple de deux éléments complémentaires.

combinaison des m_i(A) avec 1 ≤ i ≤ n est faite au moyen d’un opérateur binaire > défini comme suit :

m(A) = m1(A)> · · · >mn(A) =

(P i|1 ≤ i ≤ n : wi· mi(A))

(P i|1 ≤ i ≤ n : wi)

. (3.7)

Utilisons la figure 3.3 pour donner un exemple de la règle de la moyenne. Les buts G1 et G2

sont, dans cet exemple, complémentaires pour supporter le but G₀, c’est-à-dire que chaque but parmi G1 et G2 supporte une certaine partie du but G0. Soit wG1 = 2 le poids du but G1

et wG2 = 1 le poids du but G2.

Les valeurs des évaluations des buts sont celles de la table3.3. Les résultats de la combinaison des deux buts avec cette règle sont :

mG0(S) = 2 · mG1(S) + mG2(S) 2 + 1 = 0 + 1 2 + 1 = 1 3; mG0(I) = 2 · mG1(I) + mG2(I) 2 + 1 = 1.98 + 0 2 + 1 = 1.98 3 ; mG0(U ) = 2 · mG1(U ) + mG2(U ) 2 + 1 = 0.02 + 0 2 + 1 = 0.02 3 . Avec wG1 = wG2 = 1, la règle de la moyenne donne :

mG0(S) = 1 2, mG0(I) = 0.99 2 , mG0(U ) = 0.01 2 .

En appliquant cette règle avec la même pondération pour les deux buts G1 et G2, le résultat

presque égal au niveau de non-croyance m_G0(I) avec une très petite valeur de l’incertitude. L’interprétation de ce résultat confirme l’impossibilité de se faire une idée précise sur le but G₀ puisqu’on reste toujours incertain en ayant une valeur de croyance mG0(S) et de non-croyance

mG0(I) très proches.

3.6

Les règles utilisées dans la plate-forme Argevide

NOR-STA

Dans la plate-forme Argevide NOR-STA plusieurs règles de combinaison sont utilisées afin de combiner les évaluations des éléments d’une structure argumentative construite avec le langage TCL. Plusieurs règles, expliquées ci-dessous, sont définies pour combiner les évalua-tions des éléments dépendamment des types d’arguments employés, c’est-à-dire, C-argument, A-argument, NSC-argument et SC-argument [6].

L’évaluation d’un élément A peut être exprimée avec un triplet E_A= (Bel(A), Dis(A), Unc(A)), où Bel(A) désigne la croyance en l’élément A, Dis(A) la non-croyance en l’élément A et Unc(A) l’incertitude en l’élément A et la relation entre ces trois éléments est, comme au chapitre 2, Bel(A) + Dis(A) + Unc(A) = 1. Les triplets des divers types d’arguments décrits par Cyra et Górski [6] sont considérés dans cette section.

3.6.1 L’argument complémentaire (C-argument)

Les arguments complémentaires (C-arguments) sont utilisés dans la situation où chacun des éléments à combiner supporte une partie de l’élément supérieur. La règle combinant les argu-ments complémentaires est comme suit :

Bel(A) = Bel(R) · (P i|1 ≤ i ≤ n : wi· Bel(Ai)) (P i|1 ≤ i ≤ n : wi)

,

Dis(A) = Bel(R) · (P i|1 ≤ i ≤ n : wi· Dis(Ai)) (P i|1 ≤ i ≤ n : wi)

,

Unc(A) = 1 − Bel(R) ·(P i|1 ≤ i ≤ n : wi· (1 − Unc(Ai))) (P i|1 ≤ i ≤ n : wi)

,

avec A l’élément supérieur, wi le poids de l’élément fils Ai, n le nombre de fils et R la

justifi-cation.

Cette règle est dérivée de la règle de la moyenne définie précédemment. La différence entre les deux règles est l’utilisation de la croyance envers la justification (Bel(R)) dans la règle du C-argument. On remarque dans l’expression de cette règle que la croyance en l’élément A est calculée en employant la règle de la moyenne et que le résultat est multiplié par la croyance en la justification. Comme elle représente l’opinion de l’expert à propos de l’argument, la croyance en la justification contrôle ainsi le flux d’agrégation des évaluations. Par contre, dès que la

Figure 3.4 – Exemple de structure évaluée utilisant la justification [31]

justification est supportée par une structure argumentative, le contrôle sur l’agrégation des évaluations est perdu dans des cas extrêmes comme celui de l’exemple de la figure 3.4. Dans cette dernière, la justification J0, qui exprime une opinion à propos de l’argument S0, permet d’agréger l’évaluation à l’élément supérieur. Dans le cas où l’expert n’est pas d’accord avec l’argument employé, il doit appliquer plusieurs changements dans la structure argumentative supportant la justification pour exprimer son désaccord. Dans l’exemple, l’expert doit appli-quer des changements dans la structure des buts C3 et C4 s’il veut modifier l’évaluation de la justification J0. Afin d’avoir l’impact souhaité sur le flux d’information, il faut aller modifier dans l’arborescence en dessous de la justification. Ces modifications consistent à faire plusieurs essais de valeurs de beaucoup d’éléments sans avoir de garanties que les valeurs choisies vont donner le résultat souhaité. Ainsi dans ce cas là, il s’avère très difficile de savoir quelles valeurs modifier pour pouvoir avoir l’impact souhaité sur le flux d’information.

3.6.2 L’argument alternatif (A-argument)

Les arguments alternatifs (A-arguments) sont utilisés dans la situation où plus d’un argument supporte l’élément supérieur. L’argument alternatif est employé pour exprimer la situation où un but est supporté par plusieurs arguments et que chacun de ces derniers peut supporter à lui seul le but. À ce moment-là une situation de choix prend place. La règle pour combiner deux arguments alternatifs est la suivante :

Bel(A) = Bel(A1) · Bel(A2) + Bel(A1) · Unc(A2) + Bel(A2) · Unc(A1),

Dis(A) = Dis(A1) · Dis(A2) + Dis(A1) · Unc(A2) + Dis(A2) · Unc(A1),

Unc(A) = 1 − Dis(A) − Bel(A),

avec A l’élément supérieur et A1, A2 les éléments fils. Cette règle est décrite dans le cas de

deux arguments, mais elle peut être généralisée pour n arguments vu qu’elle est tirée de la règle de Yager 3.3. La règle de l’alternative permet d’inférer de l’incertitude dans le cas où les éléments combinés présentent un grand niveau d’incertitude ou dans le cas où les éléments

combinés se contredisent entre eux. Pour mieux comprendre la règle de l’alternative les cas suivant sont donnés :

— dans le cas où l’incertitude Unc(A1) de l’élément A1et l’incertitude Unc(A2) de l’élément

A2 sont maximales alors l’incertitude de l’élément A est maximale ;

— dans le cas où l’incertitude Unc(A1) de l’élément A1et l’incertitude Unc(A2) de l’élément

A2sont minimales alors l’incertitude de l’élément A est Unc(A) = 1 − Bel(A1) · Bel(A2) −

Dis(A1) · Dis(A2) ;

— dans le cas où les deux éléments A1 et A2 se contredisent au maximum, par exemple

Bel(A1) = 1, Dis(A1) = 0, Bel(A2) = 0 et Dis(A2) = 1, alors l’incertitude de l’élément A

est maximale (Unc(A) = 1).

La règle de l’alternative infère de la croyance quand les éléments combinés présentent un grand niveau de croyance, tandis qu’elle infère de la non-croyance quand les éléments combinés présentent un grand niveau de non-croyance.

3.6.3 L’argument nécessaire et suffisant (NSC-argument)

La règle du type nécessaire et suffisant (NSC-arguments) est utilisée dans le cas où la croyance dans le but supérieur est nulle si et seulement si la croyance dans l’un des éléments fils est nulle. Ce résultat est accompagné d’un grand niveau de non-croyance dans le cas où Bel(R) a une valeur suffisamment grande. Quand Bel(R) a une petite valeur, le résultat présente une grande incertitude. Quand Bel(R) = 0, le résultat obtenu est une incertitude totale de l’élément A. La règle combinant les éléments nécessaires et suffisants est la suivante :

Bel(A) = Bel(R) ·Yi|1 ≤ i ≤ n : Bel(Ai)

 , Dis(A) = Bel(R) ·1 −Yi|1 ≤ i ≤ n : (1 − Dis(Ai))

 , Unc(A) = 1 − Dis(A) − Bel(A),

avec A l’élément supérieur, A_i les éléments fils, n le nombre de fils et R la justification.

3.6.4 L’argument suffisant (SC-argument)

L’argument suffisant (SC-Argument) est utilisé dans le cas où si la croyance dans l’un des éléments fils est nulle alors la croyance pour l’élément supérieur A est nulle et on déduit que l’incertitude est maximale. Quand Bel(R) = 0, le résultat obtenu est une incertitude totale de l’élément A peu importe les valeurs des croyances des éléments combinés. La règle combinant les arguments suffisants est la suivante :

Bel(A) = Bel(R) ·Yi|1 ≤ i ≤ n : Bel(Ai)

 , Dis(A) = 0,

Figure 3.5 – Échelles de confiance et de décision [6].

Unc(A) = 1 − Bel(A),

où A, A_i, n et R sont les mêmes que pour le NSC-Argument. Cette règle peut être déduite à partir de la règle du NSC-argument en mettant toutes les plausibilités à 1, c’est-à-dire en mettant la non-croyance à zéro. La différence entre la règle du type SC et la règle du type NSC est que dans le cas où les éléments combinés montrent un grand niveau de non-croyance (peu importe la valeur de la croyance et de l’incertitude) la première donne un grand niveau d’incertitude tandis que la deuxième donne un grand niveau de non-croyance.

3.6.5 Les échelles de confiance et de décision

Une structure construite avec le langage TCL permet d’utiliser quatre types de règles d’agré-gation correspondant à quatre types d’arguments : C-argument, A-argument, NSC-argument et SC-Argument. Dans l’article définissant ce langage, deux échelles sont définies (figure 3.5), la confiance et la décision. Elles permettent aux experts, habitués aux termes linguistiques, de donner un terme linguistique rattaché à une valeur numérique afin de calculer et propager les évaluations dans toute la structure. Employé par la plate-forme Argevide NOR-STA, le tri-angle illustre l’espace d’opinion tel que décrit par Jøsang [21] et présenté dans la figure3.8dans la section3.7. Ces échelles donnent lieu aux fonctions de confiance et de décision. Pour arriver à faire les calculs nécessaires, les auteurs se sont basés sur les fonctions de Dempster-Shafer, conduisant aux formules suivantes :

• la fonction Conf(A) ∈ [0, 1] désigne la confiance par rapport à un élément A : Conf(A) = Bel(A) + 1 − Pl(A) ou Conf(A) = Bel(A) + Bel(A) ; • la fonction Dec(A) ∈ [0, 1] désigne la décision prise à propos d’un élément A :

si Conf(A) 6= 0, alors

Dec(A) = _Conf(A)Bel(A) ; si Conf(A) = 0, alors Dec(A) = 1.