Etude numérique d'interpolations polynomiales dans une méthode Galerkin discontinue pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires 1D

(1)

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méthode Galerkin discontinue pour la résolution

numérique des équations de Maxwell instationnaires 1D

Joseph Charles, Loula Fezoui, Stephane Lanteri

To cite this version:

Joseph Charles, Loula Fezoui, Stephane Lanteri. Etude numérique d’interpolations polynomiales dans

une méthode Galerkin discontinue pour la résolution numérique des équations de Maxwell

instation-naires 1D. [Rapport de recherche] RR-7177, INRIA. 2010, 70 p. �inria-00448242v3�

(2)

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

0

2

4

9 -6

3

9

9 IS

R

N

IN

R

IA

/R

R

--7

1

7

7 --F

R

+

E

N

G

Thème NUM

Etude numérique d’interpolations polynomiales

dans une méthode Galerkin discontinue

pour la résolution numérique

des équations de Maxwell instationnaires 1D

J. Charles, L. Fezoui et S. Lanteri

N° 7177

(3)

(4)

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis

pour la résolution numérique

des équations de Maxwell instationnaires 1D

J. Charles, L. Fezoui etS. Lanteri

ThèmeNUMSystèmesnumériques

ProjetNa hos

Rapportdere her he n° 7177Janvier201070pages

Résumé: Cesdernièresannées,lesméthodesGalerkindis ontinuesontfaitl'objetdeplusieurstravauxvisant

àleur mise au point pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires. Dans la grande

majoritéde estravaux,les omposantesdu hampéle tromagnétiquesontappro héesauseinde haqueélément

dumaillageparuneinterpolationpolynomialed'ordreélevé.Diérentesformesd'interpolationpolynomialeont

été onsidéréesmaisau uneétude omparativen'aétémenéejusqu'i i.Onprésentedans erapportlesrésultats

d'unetelleétuderéaliséedansle adredelarésolutionnumériquedeséquationsdeMaxwell1D.

(5)

for the numeri al solution

of the 1D unsteady Maxwell equations

Abstra t: Theselastyears,dis ontinuousGalerkinmethodshavebeena tivelystudiedanddevelopedinview

of their appli ation to thesolution of theunsteady Maxwell equations. Inthe great majorityof these works,

the omponentsof the ele tri and magneti elds are approximatedwithin ea h mesh element using a high

order polynomial interpolation method. Various forms of polynomial interpolation havebeen onsidered but

theyhavenotbeen ompared olle tivelysofar.Inthisreport,wepresenttheresultsof su hastudythathas

beenrealizedinthe ontextofthenumeri alsolutionofthe1Dmaxwellequations.

(6)

Table des matières

1 Introdu tion 4

2 Leséquations de Maxwell 5

2.1 EquationsdeMaxwell3D . . . 5

2.2 Dis ontinuitésdu hampéle tromagnétiqueet onditionsauxlimites . . . 8

2.3 Formulation onservative. . . 10

2.4 Hyperboli itédusystème deMaxwell. . . 12

2.5 Redimensionnement . . . 12

2.6 Conditionsauxlimiteset initiales. . . 13

3 Dis rétisationparune méthode Galerkindis ontinue 14 3.1 EquationsdeMaxwell3D . . . 14

3.1.1 Formulationfaible . . . 14

3.1.2 Traitementnumériquedes onditionsauxlimites . . . 16

3.1.3 Formulationmatri ielle . . . 17

3.2.1 Formulationfaible . . . 19

3.2.2 Traitementnumériquedes onditionsauxlimites . . . 21

3.2.3 Formulationmatri ielle . . . 22

4 Interpolation polynomialeen 1D 22 4.1 Préambule . . . 23

4.2 Fon tionsdebasedeLagrange . . . 24

4.3 Fon tionsdebasedeBernstein . . . 25

4.4 Fon tionsdebasedeLegendre . . . 27

4.5 Fon tionsdebase anoniques . . . 29

4.6 Fon tionsdebasedetypeTaylor . . . 31

5 Intégration en temps 33 5.1 Présentationdess hémas . . . 35

5.1.1 S hémasdetypesaute-mouton . . . 35

5.1.2 S hémadetypeRunge-Kutta . . . 36

5.2 Etudedestabiliténumérique . . . 36

6 Résultatsnumériques 37 6.1 Propagationdumodefondamental . . . 37

6.2 Propagationd'unpulse. . . 47

(7)

1 Introdu tion

L'éle tromagnétismenumérique estaujourd'huiune dis iplineenplein essor.Outre desappli ationsmilitaires

ommelafurtivitéradaroulavulnérabilitédesystèmesd'arme,le hampd'appli ationdel'éle tromagnétisme

numérique on erne un large spe tre d'appli ations industrielles et so iétales. La simulation numérique de

problèmes réalistes dans es domaines met en jeu des géométries omplexes et des milieux de propagation

hétérogènes. La modélisation mathématique de e type de problème repose sur le système des équations de

Maxwellinstationnairesasso iéàdes onditionsinitialesetauxlimitesappropriées.Larésolutionnumériquedes

équationsdeMaxwellestunproblèmedi ile.Plusieursfamillesdeméthodesontétéproposéesetdéveloppées

depuislandesannées60(diéren esnies,volumesnis,élémentsnis).Toutes esméthodespossèdentleurs

avantagesetin onvénientsetau unen'estparfaitementadaptéeàtouteslessituationsren ontréesenpratique.

Laméthodenumériqueidéaledevraitposséderdiérentes ara téristiques:

êtreexiblevis-à-visdeladis rétisationdegéométries omplexesetnotammentpermettreunranement

lo al(éventuellementadaptatif)pourlapriseen ompte dedétailsousingularitésgéométriques;

êtreexiblevis-à-visdeladis rétisationdemilieuxdepropagationhétérogènes(làen ore,leranement

lo aljoueunrleimportant);

avoirune pré isiond'ordrearbitrairementélevé(sipossible,présenterune onvergen eexponentielle

sui-vantl'ordred'approximation ommedanslesméthodesspe trales);

autoriser une non- onformité de la dis rétisation (i.e. permettre la prise en ompte de maillages ave

n÷udsottants)et del'approximation(i.e.permettreunordred'approximationvariabledéniauniveau

de haqueélémentdumaillage);

êtrerelativementsimpleàmettreen÷uvreendeuxettroisdimensionsd'espa e,etde oûtsentempsde

al ul eto upationmémoireraisonnables.

Ré emment, des méthodes d'éléments nis dis ontinus (méthodes Galerkin dis ontinues) en maillages

sim-plexes ou non, sont apparues qui semblent être une alternative prometteuse aux méthodes existantes et qui

présentent de nombreux atouts en regard des ara téristiques énumérées i-dessus, notamment pour e qui

on ernela onstru tiondeméthodesdepré isionarbitraireetlagestiondelanon- onformitéde

l'approxima-tionetdeladis rétisation[HW02℄-[FLLP05℄-[CFP06℄.LesméthodesGalerkindis ontinuessontassezsimilaires

aux méthodes d'éléments nis lassiques, la prin ipale diéren e étant la relaxation de la ontinuité globale

de l'approximation.Le plussouvent, leurmise en ÷uvre reposesur une approximationpolynomiale par

mor- eauxdes omposantesdu hampéle tromagnétique.LaméthodeGDDT étudiéedans[FLLP05℄est baséesur

uneinterpolationpolynomialenodaled'ordrearbitrairementélevé(interpolation

P

p

)detypeLagrangesurdes maillagestriangulaires( asà2dimensionsd'espa e-2D)outétraédriques ( asà3dimensionsd'espa e-3D)

non-stru turés.L'intégrationen tempsest obtenueaumoyend'un s hémadetypesaute-mouton pré isau

se- ondordre.Globalement, lapré isionde laméthode GDDT-

P

p

résultante est limitéeau se ond ordre dufait dus hémad'intégrationentempsadopté.

Le hoixd'uneméthoded'interpolationpolynomialedoits'appuyersurplusieurs ritèresparmi lesquelsle

a-ra tère nodal ou modal de l'interpolation, la né essité de formules de quadrature pour le al ul d'intégrales

élémentaires, le ara tére lo al ou non des al uls mettant en jeu unsimplexe de dimension inférieure

(typi-quement, dans les al ul d'intégrales sur la frontièredu simplexe primal) et le ara tère hiérar hique ou non

de l'interpolationen vue defa iliter la mise en÷uvre d'une méthodeoù l'ordred'approximationest variable

enespa e.Eventuellement,onpeutaussisouhaiterquel'approximationpréservedespropriétésliéesaumodèle

d'équationsdiérentielles résolu omme lapositivitéde ertainesquantités physiques.Un premierobje tif de

laprésenteétudeestd'évaluerendétaildiérentesméthodesd'interpolationpolynomialeenasso iationave la

formulationGDDT-

P

p

proposée[FLLP05℄.

L'obtentiond'uneméthodeGDDT-

P

p

d'ordrearbitrairementélevéné essitel'utilisationd'uns héma d'intégra-tion en temps de pré ision ompatible ave l'ordre de l'approximation enespa e. Le se ond obje tif de ette

étudeestdon detraiterde ettequestionenévaluantl'apportdes hémastemporelsdetypesaute-moutondu

quatrièmeordreet detypeRunge-Kutta.

Pour ha unedesproblématiques onsidérées,ilexistedenombreusesoptions.Nousenétudionsi i ertainesdans

le adredelarésolutionnumériquedeséquationsdeMaxwellmonodimensionnelles.Toutefois, etteétude

s'ins- ritdansunedémar heplusglobalequiviseledéveloppementd'uneméthodeGDDT-

P

p

d'ordrearbitrairement élevéen maillages tétraédriquespour lasimulation numériquede problèmes depropagation tridimensionnels.

(8)

(

h

-ranement)dansleszonesdemoindrerégularitédelasolutionave unenri hissementdel'ordre d'approxi-mation(

p

-enri hissement)làoùlasolutionest régulière.Dans e ontexte,il estsouhaitabled'opterpourune méthoded'interpolationqui fa ilitelamiseen÷uvred'unestratégie

p

-adaptative.

La suite de e rapport est organisée omme suit : la se tion 2 traite de la modélisation mathématique du

problème onsidéré.Onyrappellel'origineetl'expressiondeséquationsdeMaxwelletonpré iseles onditions

initialeset auxlimites. Lase tion3présente laformulationGalerkin dis ontinueàlabasede ette étude.Les

diérentesméthodesd'interpolation onsidéréesdans etteétudesontprésentéesdanslase tion4.Lase tion5

est onsa réeàl'intégrationentemps.Enn,lesrésultatsnumériquesdansle adredelarésolutiondeséquations

deMaxwell1Dsontprésentésetdis utésdanslase tion6.

2 Les équations de Maxwell

Nousrappelonsi i lesquatreéquationsfondamentales, appelées équationsdeMaxwellouen oreéquationsde

Maxwell-Lorentz,qui dé rivent omplètement les hamps éle triques et magnétiques et leur interdépendan e

dansle adredelaphysique lassique.Ces équationstraduisentsousformelo alediérentsthéorèmes(Gauss,

Ampère,Faraday)quirégissaientl'éle tromagnétismeavantqueMaxwellnelesréunissesousformed'équations

intégrales. Nous présenterons dans un premier temps la théorie mi ros opique fondamentale qui donne les

équationsdeMaxwelldanslevideenprésen edesour es,quipeuventêtredes hargespon tuelleset/ouleurs

ourantséle triquesmi ros opiquesasso iéssi es hargessontenmouvementdansleréférentield'étude;puis

onaborderalathéoriema ros opiquené essitantl'introdu tiondes hamps DetH.

2.1 Equations de Maxwell 3D

Equation de Maxwell-Gauss

Cetteéquationlo aledonneladivergen edu hampéle triqueenfon tiondeladensitédela hargeéle trique:

div

(E) =

ρ

ε

0 .

(1)

L'équationlo aledeMaxwell-Gaussestidentiqueenrégimevariableouenstatique.LethéorèmedeGauss qui

en dé oule a don un ara tère universel et permet de lier le ux du hamp éle trique àtraversune surfa e

ferméeàla hargeintérieureà ettesurfa e:

I

S

E.dS =

Q

int

ε

0 ,

où

S

estune surfa eferméearbitraire,appelée surfa edeGauss,

Q

int

estla hargeéle triquetotale intérieure à ettesurfa eet

ε

0

est lapermittivitééle triqueduvide.

Equation de Maxwell-Thomson

Cetteéquationlo aledonneladivergen edu hampmagnétiqueenfon tiondutermedesour e,i i

identique-mentnul:

div

(B) = 0.

(2)

Elle traduit le fait expérimental suivant : il n'existe pas de monople magnétique, 'est à dire une sour e

pon tuelle de hamp magnétique, analogue de la harge éle trique pon tuelle pour le hamp éle trique. Le

hamp d'indu tion magnétique peut toutefois être dé rit en termes de ourants et l'équivalent d'un diple

magnétique serait une bou le inniment petite. L'absen e de harge magnétique entraîne la nullité du ux

d'indu tionmagnétiqueàtraverstoutesurfa efermée

S

:

I

S

B

.dS = 0.

L'équationdeMaxwell-Thomsonestvalablepourtouslesrégimesetpourtouslesmilieuxetindiquesimplement

(9)

Equation de Maxwell-Faraday

Cette équation lo ale qui est valable pour tous les régimes et pour tous les milieux, traduit le phénomène

fondamental d'indu tionéle tromagnétiquedé ouvertparFaraday:

rot

(E) =

−

∂B

∂t

.

(3)

On voit que les variations temporelles du hampmagnétique B sontné essairement liéesà la présen e d'un

hampéle triqueE. SaformeintégraleestlaloideFaraday:

e =

₋

∂Φ

∂t

,

où

e

désignelafor eéle tromotri ed'indu tiontraversantun ir uitfermé

Γ

et

Φ

leuxmagnétiqueàtravers e même ir uit

Γ

.Cetteloiestlepilierdel'indu tionéle tromagnétiquequistipulequelesvariationstemporelles duuxmagnétique àtraversun ir uitinduisentl'apparitiond'unefor eéle tromotri equi engendredansun

ir uitfermé des ourantsappelés ourantsinduits.

Equation de Maxwell-Ampère

Onretrouvelelienentrele hampmagnétiqueet sessour esdansl'équationdeMaxwell-Ampère:laprésen e

du hampmagnétiqueBestdueàl'existen ede ourantséle triques(densitéde ourantj)etàladépendan e

entempsdu hampéle triqueE:

rot

(B) = µ

0 j

+ ε

0 µ

0 ∂E

∂t

,

(4)

où

µ

0

orrespondàlaperméabilitémagnétiqueduvide.L'équationdeMaxwell-Ampèrepeutêtreréé ritedela manièresuivante :

rot

(B) = µ

0 (j + j

D

)

ave

j

D

= ε

0 ∂E

∂t

,

où

j

D

représente la densité de ourant de dépla ement, ourant tif qui traduit une équivalen e ave les variations temporelles du hamp éle trique. Le bilan ma ros opiquede l'équation lo ale de Maxwell-Ampère

nousdonnelethéorèmed'Ampère généraliséselonlequelleux du hampmagnétiqueB àtraversun ontour

fermé

Γ

est égalàlasommedesintensitéstraversant

Γ

:

I

Γ

B.dl = I + I

D

,

où

I

est l'intensité du ourant véritable et

I

D

elle du ourant de dépla ement àtraversle ontourfermé

Γ

. Cethéorèmemontrequelessour esdu hampmagnétiqueB sontles ourantéle triquesvéritableset euxde

dépla ement, esderniersrésultantdesvariationstemporellesdu hampéle trique.

Milieux diéle triques

Al'ex eptionduvide,touslesmilieuxmatérielsdanslesquelspeuventsepropagerdesondeséle tromagnétiques

sontdispersifs.Nousdistinguonsessentiellementtroistypesdemilieux:

les ondu teurs(prin ipalementlesmétaux),

lesplasmasquisontdesgazsionisés( omportantdon desionspositifset deséle trons),

lesdiéle triques(onappelleainsidesmilieuxisolantstelsqueleverreet denombreuxplastiques).

Dans un ondu teur,les hargeséle triquessont libresde sedépla erdans lematériau. Dans lesmétaux, es

hargessontdeséle tronsdes ou hesexternesdesatomesqui formentungazd'éle tronslibres.Nous savons

qu'un hampéle tromagnétiquevariable nepénètre quefaiblement(sur unedistan e inmeappelée épaisseur

depeau)danslemétaletsedisperse.Dansun ondu teurparfait,la ondu tivitéestinnie,l'épaisseurdepeau

estalorsnulleet l'ondenepeutpassepropagerdanslemilieu.

Danslesplasmas,la ondu tivitééle triqueest plusfaiblequedanslesmétaux;elleestessentiellementliéeau

mouvementdeséle trons,les ationsbeau oup pluslourdsétantmoinsmobiles.lepassaged'uneonde

éle tro-magnétiquedansunplasmavaengendrerlemouvementdeséle tronsetdes ations, réantainsides ourantsqui

vonteux-mêmes modier le hampéle tromagnétiquein ident. Lapropagation d'uneondeéle tromagnétique

(10)

Lorsque le milieu onsidéré est un diéle trique, il n'existe pas de harges éle triques libres sus eptibles de

se dépla er de façon ma ros opique,mais des hargesliées qui peuvent s'é arter légèrement de leur position

d'équilibre.Lesmilieux diéle triquessont euxpourlesquels lesatomesnepeuventpaslibérer de hargesqui

parti ipentàla ondu tion du ourantéle trique.

Lapolarisation

Dansunmilieumatériel,les hargesenprésen eappartiennentàdesstru tures omplexes :atomes,molé ules

d'un gaz, d'un liquide ou d'un solide. Sous l'inuen e d'une ex itation éle trique extérieure, elles réagissent

olle tivement :onditquelemilieusepolarise.Bienquelesdiéle triques,matériauxisolants,nepossèdentpas

de hargesde ondu tion,l'appli ationd'un hamp

E

extérieuraboutitàla réationde hargesdepolarisation parladéformationdesrépartitionsdes hargesàl'intérieurdesdiéle triques.Pluspré isement,undiéle trique

polarisé a quiert un moment dipolaire éle trique qu'on peut dé rire ma ros opiquement par une densité

vo-lumique

P

, appelée ve teur polarisation, telle que dans tout volume élémentairedu diéle trique apparaissele momentélémentaire:

dp = Pdτ

[C.m].

Lamatièrediéle triquepolariséepeutêtre onsidérée ommeduvidesièged'unedensitéde ourantvolumique

tif. On parlede ourants liés, paropposition aux ourants véritables, dits libres. Cettedensité de ourants

liés présenteentout pointdelamatièrediéle triquepolarisées'é rit:

j

p

=

∂P

∂t

,

ave

P

ve teurpolarisation.

Demanièresimilaire,lamatière diéle triquepolariséepeutêtre onsidérée ommeduvidesièged'unedensité

volumiquede harges tives.Onparlede hargesliées,paroppositionaux hargesvéritables,diteslibres.Cette

densité de hargesliées présenteentoutpointdelamatièrediéle triquepolarisées'é rit:

ρ

p

=

−

div

(P).

Onvamodéliserlemilieudiéle triqueparduvidedanslequelontétéintroduiteslesdensitésde ourant

j

p

=

∂P

∂t

etde harges

ρ

p

=

−

div

(P)

. LeséquationsdeMaxwell(1-4)s'é riventalors:











rot

(B)

= µ

0 (j + j

p

) + ε

0 µ

0 ∂E

∂t

,

rot

(E)

=

−

∂B

∂t

,

div

(E)

=

ρ + ρ

p

ε

0 ,

div

(B)

= 0.

(5)

Seules les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère sont modiées. Si l'on fait intervenir le ve teur

polarisation

P

,ellesdeviennent:











div

(E) =

ρ

₋

div

(P)

ε

0 ,

rot

(B) = µ

0 (j +

∂P

∂t

) + ε

0 µ

0 ∂E

∂t

⇒











div

(ε

0 E

+ P) = ρ

rot

(B) = µ

0 (j +

∂

∂t

(ε

0 E

+ P))

Propriétés diéle triques

Quand on applique un hampéle trique dans unmatériau diéle trique, les harges subissent don une for e,

mais sont retenues par les for es de ohésion internes de l'atome ou de la molé ule, et ne peuvent don se

dépla erque légèrementpar rapport àleur positiond'équilibre.Il yaalorsformationde diplesinduits dans

lematériau, qui réentun hampde polarisationfon tiondu hampéle triqueappliqué. Leseetséle triques

sontreprésentésparun hamp dedépla ement qu'ondénit ommesuit:

(11)

LeséquationsdeMaxwellprennentalorslaforme:











rot

(B) =

µ

0 (j +

∂D

∂t

),

rot

(E)

=

−

∂B

∂t

,

div

(D)

=

ρ,

div

(B)

=

0.

(6)

Dans le vide, et approximativement aussi dans l'air, il n'y a pas de polarisation

P

, et on a par onséquent

D

= ε

0 E

.

Propriétés magnétiques

Lespropriétésmagnétiques desmatériauxrésultentd'unepropriétéquantiquedel'éle tronquel'on appellele

moment magnétiquede spin,qui peutêtrepositifounégatif.Danslagrandemajoritédeséléments,lenombre

despinspositifsestégalà eluidesspinsnégatifs:leurseetsse ompensentexa tementetlemilieu onsidéré

nepossèdepasdepropriétésmagnétiques.Dans ertainsmatériauxdetransition, ditsferromagnétiques, ilya

desnombresdiérentsd'éle tronsàspinpositifet àspinnégatif.Larésultanten'estplusnulleet donnelieuà

uneaimantationM.Ondénitle hampmagnétiqueHaumoyendelarelation:

H

=

1 µ

0 (B

_{− M).}

Danslevide,l'airetlesmatériauxnonferromagnétiques,l'aimantation

M

estnulleounégligeableetonadans e as

B

= µ

0 H

.

Forme lo aleou diérentielle

Entout pointdel'espa equin'estpassituésurunesurfa edeséparationentre deuxmilieux,leséquationsde

Maxwellspé ientque:











rot

(H) =

∂D

∂t

+ j,

rot

(E)

=

−

∂B

∂t

,

div

(D)

=

ρ,

div

(B)

=

0.

(7)

Sous ette forme, dite lo ale oudiérentielle,on remarque un omportement symétriquedes quatre hamps.

Seulel'absen edesour esmagnétiquesrompt ettesymétrieetl'introdu tiond'unedensitévolumiquede ourant

magnétique

m

ainsi que d'une densitéde harge magnétique libre

̺

permettraitde symétriser totalement le système de Maxwell. Toutefois la dé ouverte d'une telle harge aété annon ée àmaintes reprises,pour être

haquefoisdémentiepeuaprès.Dans etteétude,nousadmettronsdon quela hargemagnétiquelibren'existe

pas.

2.2 Dis ontinuités du hamp éle tromagnétique et onditions aux limites

Dans les équations de Maxwell n'apparaissent que les densités de harges ou de ourants réparties dans un

volume.Lorsquelemodèledessour esdu hampimposeque es hargesou ourantsnesoientprésentsquesur

des ourbesoudessurfa es,leséquationsdeMaxwelldoiventêtrerempla éespardesrelationsditesde passage

qui exprimentladis ontinuité du hampéle tromagnétiqueàlatraverséede tellessingularités. L'é rituredes

équationsdeMaxwellausensdesdistributions permetalorsd'expli iterdemanièregénéraleles onditionsaux

limitesoud'interfa easso iéesà etypedeproblème.

Equationsau sens des distributions

Soitunedistribution

T

A

de

R

3

asso iéeau hampdeve teur

A

dérivableausensdesfon tionsve toriellesdans le omplémentaired'unesurfa ededis ontinuité

S

orientéeet denormale

n

. Onrappellequeladivergen eet lerotationneld'unedistributionve torielle

T

A

s'é rivent:

(12)







div

(T

A

)

=

div

(A) + n.[A]

S

δ

S

,

rot

(T

A

)

=

rot

(A) + n

× [A]

S

δ

S

,

où

δ

S

estladistributiondeDira surlasurfa e

S

et

[A]

S

lesautde

A

àtraverslasurfa e

S

.Si onsesert de esrelationsainsiquedesdistributionsasso iéesauxgrandeursintervenantdansleséquationsdeMaxwell,on

aboutità:











∂D

∂t

−

rot

(H)

− n × [H]

S

δ

S

=

−j − j

S

δ

S

,

∂B

∂t

+

rot

(E) + n

× [E]

S

δ

S

= 0,

div

(D) + n.[D]

S

δ

S

= ρ + ρ

S

δ

S

,

div

(B) + n.[B]

S

δ

S

= 0.

(8)

oùladensitéde harge

ρ

priseelleaussiausensdesdistributions peutsedé omposer ommelasommed'une densitévolumiqueetd'unedensitésuper iellerépartiesurlasurfa e

S

:

T

ρ

= ρ + ρ

S

δ

S

.Onpeutalorsdéduire de(8) paridenti ation,lesrelationsde sautsnormauxet tangentielsenseservantdeséquationsde Maxwell

prisesausensdesfon tions:











n

_{× [H]}

S

=

j

S

,

n

_{× [E]}

S

=

0,

n.[D]

S

=

ρ + ρ

S

δ

S

,

n.[B]

S

=

0.

(9) Conditionsd'interfa e

Nousvenonsdedé rireles onditionsd'interfa eàtraversunesurfa ededis ontinuitéquipeutéventuellement

porterdessour esde ourants.En l'absen e de ourants,les omposantes tangentielles des hamps éle trique

etmagnétique sont ontinuesàtraverstoutesurfa ed'aprèslesrelations:







n

_{× [H]}

S

=

0,

n

_{× [E]}

S

=

0.

(10)

Onremarqueraquelesrelations(10)sonttoujoursvériéesy omprislorsquel'onestenprésen edematériaux

diérents d'indi es quel onques. En revan he, les deux autres relations montrent que même en l'absen e de

harges,les omposantesnormalesdes hamps éle triqueet magnétiquenesontpasengénéral ontinues:







n.[εE]

S

= 0,

n.[µH]

S

= 0.

(11)

Ce typede relationss'applique égalementpour la dénition des onditions aux limites, notamment pour les

bordsmétalliques.

Conditionsaux limitespour une frontière métallique parfaitement ondu tri e

Nous assimilerons tout au long de ette étude les parois métalliques au modèle idéal et tif du ondu teur

parfait.Nous onsidéronsdon quele hampéle tromagnétiqueestnulàl'intérieurdumétal.Soient

E

S

et

H

S

les hampséle triqueetmagnétiquesur lasurfa eextérieurdumétal.Lesrelationsdesaut(9)deviennent:











n

_{× H}

s

=

j

S

,

n

_{× E}

S

=

0,

n.E

S

=

ρ

S

ε

,

n

.H

S

=

0.

(12)

(13)

Onendéduitenparti ulierqu'àlasurfa ed'un ondu teur parfait,le hampéle triqueestnormalet le hamp

magnétiquetangent.

Conditionsaux limitespour une frontière arti ielle

Numériquement, nous devons nous restreindre à un domaine de al ul borné alors que les ondes

éle troma-gnétiquessepropagentdansundomaineinni. Denombreux auteursont her héàdénirdesproblèmesaux

limites asso iés bien posés. Des onditionsauxlimites totalementabsorbantes(outransparentes, i.e.ne

géné-rantau uneondeparasiteàlafrontièrearti ielle)ontétéétabliesmaispeuventdi ilementêtreimplémentées

numériquement arellesnesontpaslo alesàlafoisentempsetenespa e.Cependant,unesériede onditions

auxlimitesabsorbantesquisontuneapproximationdes onditionstransparentessontmaintenantbien onnues

pourl'équation des ondes et lesystème de Maxwell. Nousutilisons i i la onditionabsorbante d'ordreun de

Silver-Müllerpourunefrontièrepla éedanslevide:

n

_{× E}

S

=

−z

0 n

× (n × H

S

),

où

z

0

représente l'impédan e ara téristiqueduvidedéniepar:

z

0 =

r

_µ

0 ε

0

.

2.3 Formulation onservative

Uneformulation onservative lassiquedeséquationsdeMaxwellenfon tiondesquatre hampsdeve teur

E

,

H

,

D

et

B

estdonnéepar(7).Nousallonsutiliseruns héma onservatifenparti ulierpourletraitementdes dis ontinuitésdes hamps.Anderésoudrenumériquement esystème,nousdevonsprendreen ompteleslois

onstitutivesdesmatériauxdontlaformelaplusgénérale estdonnéepar:

D

= ε

0 E

+ P

B

= µ

0 (H + M)

J

= σ(E).

Lapolarisation

P

etl'aimantation

M

dépendentdes hampséle triqueetmagnétique.Dansle asleplusgénéral, on ades fon tions

P(E, H)

et

M(E, H)

, et on parlede milieux hiraux, bi-isotropes et bi-anisotropes. Dans les milieux ouramment ren ontrés en éle trote hnique, les relations prennent la forme plus habituelle

P

(E)

et

M

(H)

. Les dépendan es peuvent être omplexes et non linéaires. Heureusement, beau oup de matériaux ouramment utilisés ont des propriétés pratiquement linéaires et des modèleslinéaires simplessusentpour

dé rireleurspropriétés.

Dans le as d'unmilieu linéaire,isotrope, et éventuellementhétérogène ( adre onsidérédans ette étude),la

polarisationPestdon unefon tionlinéairede

E

et,demême,l'aimantation

M

estdire tementproportionnelle à

H

.Onpeutdans e asé rireque:







D

= ε(x)E,

B

= µ(x)H.

(13)

Lesfon tions

ε

et

µ

delavariabled'espa e

x

sonts alaires.Dansl'ensemblede etteétude,nousne onsidérerons enfaitquedesinterfa esentredesmatériauxisotropesethomogènes(i.e.

ε

et

µ

onstantsparmor eaux).Nous avonssouvent omispar la suitela dépendan e en fon tionde la variable d'espa e dela permittivité et de la

perméabilitéand'allégerl'é riture.

Notons que les lois de Gauss éle trique et magnétique div

(D) = ρ

et div

(B) = 0

sont redondantes dans le modèle ontinu (7) pour une donnéeinitiale vériant es ontraintes et en onsidérant de plusl'équation de

onservationdela harge:

ρ

t

+

div

(j) = 0.

On peut ainsi ne onsidérer que lesdeux premièreséquations de (7) qui s'é rivent alors pourla formulation

onservativeenfon tiondu hampéle tromagnétique

t

_{(E, H)}

:











ε

∂E

∂t

−

rot

H

=

−j,

µ

∂H

∂t

+

rot

E

=

0.

(14)

Considéronsunouvert

Ω

,bornéetrégulier deIR

3

,defrontière

Γ = ∂Ω = Γ

a

∪ Γ

m

(ave

Γ

a

∩ Γ

m

_{= ∅}

) omme

représentésurlagure1.

Fig.1Domainede al ul

Onpeutdévelopperlesystème(14)souslaformesuivante:











ε

∂E

∂t

+ N

x

∂H

∂x

+ N

y

∂H

∂y

+ N

z

∂H

∂z

=

−σE,

µ

∂H

∂t

− N

x

∂E

∂x

− N

y

∂E

∂y

− N

z

∂E

∂z

=

0,

ave :

E

=





E

x

y

E

z





et

H

=





H

x

y

H

z



 ,

oùonasupposéquelemilieudepropagationest ondu teur ave

j

= σE

,etoùlesmatri es(antisymétriques)

N

x

,

N

y

et

N

z

sontdonnéespar:

N

x

=





0

1

0 _{−1 0}





,

N

y

=





0

0 −1

0

1

0

0 



,

N

z

=





_{−1 0 0}

0

1

0

0 

 .

Sionnote:

G

l

=

0 3×3

N

l

−N

l

0 3×3

ave

l

∈ x, y, z,

alorsuneé rituredeséquationsdeMaxwell(14)sousformeve torielle onduità:

∂

t

(QW) + G

x

∂

x

W

+ G

y

∂

y

W

+ G

z

∂

z

W

+ KW = 0,

(15) ave :

Q =

ε

0

0 µ

, W =

E

H

, K =

σ

0

0 ,

soitsousforme ondensée:

QW

t

+

∇ · F (W) + KW = 0,

(16) ave :

F (W) =





F

x

y

(W)

F

z

(W)



 ,

où:

(15)

F

x

(W) =

0 3×3

N

x

−N

x

0 3×3

W

=







0 H

z

−H

y

0 −E

z

E

y







,

F

y

(W) =

0 3×3

N

y

−N

y

0 3×3

W

=







−H

z

0 H

x

E

z

0 −E

x







,

F

z

(W) =

0 3×3

N

z

−N

z

0 3×3

W

=







H

y

−H

x

0 −E

y

E

x

0 





.

2.4 Hyperboli ité du système de Maxwell

Le ara tèrehyperboliqueest intrinsèqueau systèmede Maxwellet aune interprétation physique. Lesondes

et l'énergie asso iée sepropagent en temps ni suivant desdire tions parti ulières. La prin ipale appli ation

de ettepropriétéest la onstru tiondes hémasdé entrés,pré isàlafoisentempsetenespa e,quitiennent

naturellement ompte de la dire tion de propagation des ondes. Toutefois, le dé entrage du ux introduit

malheureusementdeladiusionnumérique,etpar onséquentlasolutionestaltéréeaprèsunnombredepasde

tempssigni atif.Ainsi,pourpermettreàl'energiedese onserver,nous feronsle hoixdans ette étuded'un

s hémareposantsuruneformulationàux entrés.

Rappelonsquele hampéle tromagnétique

W

vériel'équationsuivante:

∂

t

(QW) + G

x

∂

x

W

+ G

y

∂

y

W

+ G

z

∂

z

W

+ KW = 0.

Si onnote par

G

n

= n

x

G

x

+ n

y

G

y

+ n

z

G

z

oùndésigneunve teurnon-nul deIR

3

,le faitquelesystème des

équationsdeMaxwell(14)esthyperboliquesigniequelamatri edeux

G

¯

n

= G

n

Q

−1

estdiagonalisabledans

IR

6

etona:











¯

G

n

= T

n

Λ

n

T

n

−1

,

¯

G

±

n

= T

n

Λ

±

n

T

n

−1

,

Λ

+

n

=

diag

(max(Λ

n,k

, 0)),

Λ

−

n

=

diag

(min(Λ

n,k

, 0)),

(17)

où

Λ

n,k

,

k = 1, . . . , 6

désignentlesvaleurspropresdelamatri edeux

G

¯

n

.

2.5 Redimensionnement

Ilest lassiqued'exprimerlespermittivité etperméabilitédesmatériauxenfon tionde elles duvide:

ε(x) = ε

0 ε

r

(x)

et

µ(x) = µ

0 µ

r

(x).

On obtient alors desquantités relatives

ε

r

et

µ

r

sansdimension adaptéesaux al uls numériques. La vitesse relativedelalumièreestmaintenantnotée:

(16)

c

r

=

1 √

_ε

r

µ

r

.

Enparti ulier,ona

ε

r

= µ

r

= c

r

= 1

danslevide.

Onpro èdeauredimensionnementdeséquationsdeMaxwellenee tuantles hangementsdevariablessuivants:







˜

t = c

0 t,

˜

H = z

0 H,

(18) où

c

0 = 1/√ε

0 µ

0

,

z

0 =

p

µ

0 /ε

0 = µ

0 c

0

étantl'impédan eduvide.

Aprèsredimensionnement,onobtientlesystèmedeséquationsdeMaxwellsuivantoù,poursimplierles

nota-tions,onaomisle

˜

surlesquantitésredimensionnées:











ε

∂E

∂t

−

rot

H

=

−z

0 σE,

µ

∂H

∂t

+

rot

E

=

0,

(19)

où

ε

et

µ

dénissentdesquantités relatives.

2.6 Conditions aux limites et initiales

Surlafrontière

Γ

,onimposeles onditionsauxlimitessuivantesoù

n

désignelanormalesortanteà

Γ

:

(

-sur

Γ

m

_{: n}

_{× E = 0,}

-sur

Γ

a

_{: n}

× E + zn × (n × H) = n × E

∞

_{+ zn}

× (n × H

∞

_),

(20) où

z =

r

µ

ε

et

t

_(E

∞

_{, H}

∞

₎

estun hampin identdonné.Lapremièrerelationdénitune onditionderéexion

totale (le hamp

E

nepénètrepaslafrontière

Γ

m

ommedansle as d'unmétalparfait).Lase onderelation

est la ondition absorbante de Silver-Müller qui est une approximation du premier ordre de la ondition de

rayonnementendomaineinni.

Enn,on omplètelaformulationduproblème ontinuparladonnéede onditionsinitiales:

E

0 (x) = E(x, 0)

et

H

0 (x) = H(x, 0) ,

∀x ∈ Ω.

And'obteniruneversion1DdeséquationsdeMaxwell(19)nous onsidérons ommedire tiondepropagation

k

= (k, 0, 0)

t

ave une polarisation du ve teur hamp éle trique telle que

E

= (0, 0, E

z

)

t

. La polarisation

du ve teur hampmagnétique se déduit du produit ve toriel

k

× E

menant à

H

= (0, H

y

, 0)

t

. De plus, nous

supposonsque

E

z

et

H

y

sontfon tionsde

x

et

t

.Pourplusde larté,nousallégeonslesnotationsenremplaçant

E

z

par

E

et

H

y

par

H

.LeséquationsdeMaxwell1Dsontalorsdonnéespar:











ε

∂E

∂t

−

∂H

∂x

=

−z

0 σE,

µ

∂H

∂t

−

∂E

∂x

= 0.

(21)

Cesystème peutêtreréé ritsouslaforme:

QW

t

+ ∂

x

F (W) + KW = 0,

(22) où

W

=

E

H

,

W

t

=

∂W

∂t

,

∂

x

F (W) =

∂F (W)

∂x

et:

Q =

ε

0

0 µ

, K =

z

0 σ

0

et

F (W) =

−H

−E

= AW

ave

A =

0 −1

−1

0 .

(17)

3 Dis rétisation par une méthode Galerkin dis ontinue

Commedanslase tionpré édente,on ommen e pardétailler laméthodededis rétisationpourleséquations

deMaxwell3Dpuisontraitedu as1D.

3.1.1 Formulationfaible

Ledomaine

Ω

estsupposédis rétiséparunetriangulation

T

h

=

N

[

i=1

τ

i

,oùles

τ

i

sontdestétraèdresdansle as présent. Onnote

ϕ

une fon tiontest s alaire.Onsuppose

j

= 0

poursimplierla présentation.La prin ipale diéren eentreuneméthodeGalerkin lassique(méthodeélémentni ontinue-EF)etuneméthodeGalerkin

dis ontinue(GD)résidedanslarelaxationdela ontinuitéglobaledel'approximation.Commedansuneméthode

EF,l'approximationesttoutd'aborddénielo alement(auniveaudesélémentsdelatriangulation)surlabase

d'une représentation polynomiale. Ensuite, par e que l'on ne her he pas à imposer la ontinuité globale de

l'approximation,ondénitune fomulationfaible auniveaud'unélément

τ

i

. Onmultiplie(16)par

ϕ

, onintégresur

τ

i

et onintègreparparties:

(

16

)

⇒

Z

τ

i

QW

t

ϕ dx +

Z

τ

i

(

_{∇ · F (W)) ϕ dx = 0}

⇔

Z

τ

i

QW

t

ϕ dx

−

Z

τ

i

∇ϕ · F (W)dx +

Z

∂τ

i

(F (W)

_{· n) ϕ dσ = 0.}

(23) Soit

P

i

= P

p

i

[τ

i

]

l'espa edesfon tionspolynomialesdedegréauplus

p

i

sur

τ

i

.Lesdegrésdelibertélo auxsont notés

W

ij

∈

IR

6

.Soit

φ

i

= (ϕ

i1

, ϕ

i2

,

· · · , ϕ

id

i

)

une baselo alede

P

i

et

W

i

laproje tion

L

2

-orthogonalede

W

sur

P

i

:

W

i

(x) =

d

i

X

j=1

W

ij

ϕ

ij

(x).

(24)

En inje tant

W

i

dans les intégrales volumiques de (23) et en tenant ompte de la linéarité de

F (W)

nous obtenons:

(

23

)

⇒

Z

τ

i

Q(W

i

)

t

ϕ dx

−

Z

τ

i

∇ϕ · F (W

i

)dx

+

Z

∂τ

i

(F (W)

_{· n) ϕ dσ = 0,}

⇔

Q

i

Z

τ

i

(W

i

)

t

ϕ dx

−

Z

τ

i

∇ϕ · F (W

i

)dx

+

X

j∈V

i

Z

a

ij

(F (W)

_{· n}

ij

) ϕ dσ

+

Z

∂τ

i

∩Γ

(F (W)

_{· n) ϕ dσ = 0,}

(25) où:

Q

i

=

ε

i

I

3×3

0 3×3

µ

i

I

3×3

.

Lesquantités

ε

i

et

µ

i

sontdesvaleursdesparamètreséle tromagnétiques onstantessurl'élément

τ

i

.Dans(25),

V

i

=

{j|τ

i

∩ τ

j

6= 0}

estl'ensembledesélémentsvoisinsde

τ

i

et

a

ij

= τ

i

∩ τ

j

estlafa e ommuneentre

τ

i

et

τ

j

;

n

ij

estleve teurnormalsortantà

a

ij

dirigéde

τ

i

vers

τ

j

.Puisquelareprésentationlo alede

W

estdis ontinue d'un élément àunautre, untraitementparti ulier doitêtre introduit pour l'évaluationde l'intégrale debord

surlafa e

a

ij

. Dansle ontextedesméthodes volumesnis,on parlede uxnumérique.Nous utilisonsi iun ux numérique basésuruns héma entré:

F (W)

_|

a

ij

≈

F (W

i

) + F (W

j

)

(18)

Parsuite:

(

25

)

⇒ Q

i

Z

τ

i

(W

i

)

t

ϕ dx

−

Z

τ

i

∇ϕ · F (W

i

)dx

+

1

2 X

j∈V

i

Z

a

ij

(F (W

i

)

· n

ij

) ϕ dσ

+

1

2 X

j∈V

i

Z

a

ij

(F (W

j

)

· n

ij

) ϕ dσ

+

Z

∂τ

i

∩Γ

(F (W)

_{· n) ϕ dσ = 0,}

⇔

Q

i

Z

τ

i

(W

i

)

t

ϕ dx

−

Z

τ

i

3 X

k=1

∂

x

k

ϕ F

x

k

(W

i

)

!

dx

+

1

2 X

j∈V

i

Z

a

ij

3 X

k=1

n

x

k

ij

F

x

k

(W

i

)

!

ϕ dσ

+

1

2 X

j∈V

i

Z

a

ij

3 X

k=1

n

x

k

ij

F

x

k

(W

j

)

!

ϕ dσ

+

Z

∂τ

i

∩Γ

(F (W)

· n) ϕ dσ = 0,

(27) ave

n

ij

=

t

_(n

x

1 ij

, n

x

2 ij

, n

x

3 ij

)

et

x

1 ≡ x

,

x

2 ≡ y

et

x

3 ≡ z

.Enposant:

G

x

k

=

0 3×3

N

x

k

−N

x

k

0 3×3

,

onobtientnalement:

(

27

)

⇒ Q

i

Z

τ

i

(W

i

)

t

ϕ dx

−

Z

τ

i

3 X

k=1

∂

x

k

ϕ G

x

k

W

i

!

dx

+

1

2 X

j∈V

i

Z

a

ij

G

ij

W

i

ϕ dσ

+

1

2 X

j∈V

i

Z

a

ij

G

ij

W

j

ϕ dσ

+

Z

∂τ

i

∩Γ

(F (W)

_{· n) ϕ dσ = 0,}

(28) où:











G

n

=

3 X

k=1

n

x

k

_G

x

k

=

0 3×3

N

n

−N

n

0 3×3

,

G

ij

=

G

n

ij

,

N

n

=

3 X

k=1

n

x

k

_N

x

k

,

N

ij

=

N

n

ij

.

(29)

(19)

3.1.2 Traitementnumérique des onditionsaux limites

Les onditionsauxlimites (20)sontprises en ompte dans laformulation faible (28) en évaluantle terme de

bordportantsurlesfa es

f

de

∂τ

i

tellesque

f

∈ ∂τ

i

∩Γ

parunuxnumériqueapproprié.On hoisiti id'utiliser un s héma entré (26) et pour ela, il est né essaire de dénir des états

W

j

arti iels appropriés. Ainsi, es fa essontaussi(abusivement)référen éespar

a

ij

où

τ

j

est unélément tif.

Frontières métalliques. Notons

F

m

l'ensemble desfa es frontièresmétalliquesdumaillage

T

h

et

F

i

m

l'en-sembledesfa esmétalliquesdutétraèdre

τ

i

.Si

a

ij

∈ F

i

m

alorsnousposons:

W

j

=

−I

3×3

0 3×3

I

3×3

W

i

.

et

W

|a

ij

=

W

i

+ W

j

2

esttelque:

W

_|a

_ij

=

0 3×3

I

3×3

W

i

.

Frontières absorbantes. Notons

F

a

l'ensemble desfa es frontièresabsorbantes dumaillage

T

h

et

F

i

a

l'en-sembledesfa esabsorbantesdutétraèdre

τ

i

.Si

a

ij

∈ F

i

a

alorsnousposons:

W

j

=

0 3×3

z

i

N

ij

−z

i

−1

N

ij

0 3×3

W

i

+

I

3×3

−z

i

N

ij

z

i

−1

N

ij

I

3×3

W

∞

_i

.

où

W

∞

i

est laproje tionde

W

∞

sur

τ

i

. Alors,

W

|a

ij

=

W

i

+ W

j

2

esttelque:

W

_|a

_ij

=

1

2 I

3×3

z

i

N

ij

−z

−1

i

N

ij

I

3×3

W

i

+

1

2 I

3×3

−z

i

N

ij

z

i

−1

N

ij

I

3×3

W

_i

∞

.

Apartirdemaintenant,nousdésignonspar

F

i

l'ensembledesfa esde

τ

i

etona

F

i

₌

_F

i

d

S

F

i

a

S

F

i

m

où

F

i

d

,

F

i

a

et

F

i

m

représententrespe tivementl'ensembledesfa esinternes,absorbantesetmétalliquesdutétraèdre

τ

i

. Onaalors:

X

j∈V

i

Z

a

ij

G

ij

W

j

ϕ dσ =

X

a

ij

∈F

d

i

Z

a

ij

G

ij

W

j

ϕ dσ +

X

a

ij

∈F

a

i

Z

a

ij

G

ij

W

j

ϕ dσ +

X

a

ij

∈F

m

i

Z

a

ij

G

ij

W

j

ϕ dσ.

Le al uldesux internes(i.e.destermes debordpour

a

ij

∈ F

i

d

)est immédiat.Ensuite:

pour

a

ij

∈ F

i

a

:

G

ij

W

j

= G

ia

0 3×3

z

i

N

ia

−z

i

−1

N

ia

0 3×3

W

i

+ G

ia

I

3×3

−z

i

N

ia

z

i

−1

N

ia

I

3×3

W

∞

_i

=

−z

i

−1

N

ia

2

0 3×3

−z

i

N

ia

2 W

i

+

z

−1

i

N

ia

2 N

ia

−N

ia

z

i

N

ia

2 W

∞

_i

≡ P

ia

W

i

+ P

i∞

W

∞

i

.

où l'onaintroduit lanotation

ia

pourrappeler quelafa e

a

ij

esti i une fa e

f

∈ ∂τ

i

∩ Γ

a

. Ainsi,dans

l'expressionde

N

ia

,

n

ia

désignelanormaleàlafa e

f

extérieureà

τ

i

.

pour

a

ij

∈ F

i

m

:

G

ij

W

j

= G

im

−I

3×3

0 3×3

I

3×3

W

i

=

0 3×3

N

im

N

im

0 3×3

W

i

≡ P

im

W

i

.

oùl'onaintroduitlanotation

im

pourrappeler quelafa e

a

ij

est i iunefa e

f

∈ ∂τ

i

∩ Γ

m

.Ainsi,dans

(20)

A estade,uneremarques'impose on ernantletraitementdestermesdebordasso iésauxfa esabsorbantes.

LesystèmedeséquationsdeMaxwellé ritsousforme onservative:











ε

∂E

∂t

− rot(H) = 0,

µ

∂H

∂t

+ rot(E) =

0,

(30)

ave

D

= εE

et

B

= µH

,est hyperbolique.Parsuite,lamatri e:

¯

G

n

= G

n

Q

−1

=







0 3×3

N

n

µ

−

N

_ε

n

0 3×3





 ,

estdiagonalisableetonmontrequel'onaladé ompositionsuivante:

¯

G

n

=

G

¯

+

n

+ ¯

G

−

n

=

c

2 −N

2 n

z

−1

N

n

−zN

n

−N

n

2 +

c

2 N

n

2 z

−1

N

n

−zN

n

N

n

2 .

ave

c =

1 √

_εµ

.Onendéduit :











¯

G

±

n

= G

±

n

Q

−1

,

G

+

n

=

1

2 −z

−1

_N

2 n

N

n

−N

n

−zN

n

2 ,

G

−

n

=

1

2 z

−1

N

n

2 N

n

−N

n

zN

n

2 .

On onstate don que

P

i∞

W

∞

i

= 2G

−

n

i∞

W

∞

i

est un terme qui traduit l'information entrante à la frontière arti ielle

Γ

a

issuedu hampin ident

W

∞

i

.Ilestaussiintéressantdefairelelienentreleux entré:

G

ij

W

i

+ W

j

2 ,

etla onditiondeSilver-Müller(se onderelation(20))enutilisantlesmatri es

G

±

ij

.

3.1.3 Formulationmatri ielle

Commençonsparintroduirelesnotationssuivantes:











Φ

i

=

Z

τ

i

t

_φ

i

φ

i

dx,

Φ

x

k

i

=

Z

τ

i

t

_(∂

x

k

φ

i

) φ

i

dx,

Φ

ii

=

Z

a

ij

t

_φ

i

φ

i

dσ,

Φ

ij

=

Z

a

ij

t

_φ

i

φ

j

dσ.

où:

φ

i

= (ϕ

i1

, ϕ

i2

,

· · · , ϕ

id

i

)

(

φ

i

estunve teur

d

i

× 1

),

Φ

i

estune matri e

d

i

× d

i

symétriquedéniepositive,

Φ

x

k

i

est unematri e

d

i

× d

i

,

(21)

Φ

ij

est aprioriune matri ere tangulairequel onque si

d

i

6= d

j

(

Φ

ij

est unematri e

d

i

× d

i

symétrique positivesi

d

i

= d

j

).

Posons

E

i

= (E

i1

, E

i2

,

· · · , E

id

i

)

,

H

i

= (H

i1

, H

i2

,

· · · , H

id

i

)

(

E

i

et

H

i

sontdesmatri esre tangulaires

3 × d

i

). Sidans(28)

ϕ

estrempla éepar

ϕ

ij

pour

1 ≤ j ≤ d

i

alorsnousobtenons:

∀τ

i

∈ T

h

:











Q

ε,i

(E

i

)

t

Φ

i

−

3 X

k=1

N

x

k

H

i

t

_Φ

x

k

i

+

1

2 X

a

ij

∈F

i

N

ij

H

i

t

Φ

ii

+

1

2 X

a

ij

∈F

d

i

N

ij

H

j

t

Φ

ij

+

X

a

ij

∈F

m

i

N

im

H

i

t

Φ

ij

−

X

a

ij

∈F

a

i

z

_i

−1

N

2 ia

E

i

t

Φ

ij

=

₋

X

a

ij

∈F

a

i

z

_i

−1

N

ia

2 E

∞

i

+ N

ia

H

∞

i

t

_Φ

ij

,

Q

µ,i

(H

i

)

t

Φ

i

+

3 X

k=1

N

x

k

E

i

t

_Φ

x

k

i

−

1 ₂

X

a

ij

∈F

i

N

ij

E

i

t

Φ

ii

−

1

2 X

a

ij

∈F

d

i

N

ij

E

j

t

Φ

ij

+

X

a

ij

∈F

m

i

N

im

E

i

t

Φ

ij

−

X

a

ij

∈F

a

i

z

i

N

ia

2 H

i

t

Φ

ij

=

₋

X

a

ij

∈F

a

i

−N

ia

E

∞

i

+ z

i

N

ia

2 H

∞

i

t

_Φ

ij

.

Les in onnues étant habituellement sous forme de ve teurs, nous réé rivons es équations en ve torisant les