OPTIMAL REGULARITY FOR SQUARE ROOTS RÉGULARITÉ OPTIMALE DE RACINES CARRÉES
P.-L. LIONS AND C. VILLANI
Table des matières
1. Introduction 2
2. Démonstration du théorème 1 3
3. Démonstration du théorème 2 5
Résumé. Nous établissons un résultat de régularité sur les racines carrées de matrices symétriques positives.
We establish a regularity result for square roots of nonnegative symmetric matrices.
Abridged English Version : It is well-known that whenever a is a nonnegative function on R with bounded second-order derivatives, then √a has bounded rst-order derivatives. This result can be exten-ded to symmetric nonnegative matrices aij(x) depending on x ∈ Rp
(see [1,2]). More precisely, let a be a symmetric matrix function on Rp
with bounded second derivatives, then we have °
°Da1/2°°
L∞(Rp) ≤ CkD2ak 1/2 L∞(Rp),
where C depends only on N and P .
We shall show that this result extends in a natural way to the case when a has second-order derivatives in Lp, 1 < p ≤ ∞ : in particular,
we show, when P = 1, k(a1/2)0(x)k ≤ C£M(ka00k)¤1/2(x), a.e. x ∈ R,
where C depends only on N, and M(u) denotes the maximal function of u. This pointwise inequality will allow us to show that if D2a ∈ Lp
then Da1/2∈ L2p and kDa1/2k
L2p ≤ CkD2ak1/2Lp,where C depends only
on p, P and N.
Such results are useful for the study of the Fokker-Planck-Landau equation (see [3,4] and the references therein).
This theorem fails if p = 1, as can be seen from the following simple counterexample when P = N = 1 :
a(x) = x
(log 1/x)α, 0 < α < 1, x ∈ (0, 1/2).
Finally, we present an extension of the above estimations : let a be a symmetric N × N matrix function such that a ≥ 0 a.e., and a ∈ ˙Ws,p(RP), 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < s < 1, then a1/(1+s)∈ ˙W1,p(1+s).
1. Introduction
Rappelons tout d'abord le fait suivant bien connu : si a est une fonc-tion positive sur R, de dérivée seconde bornée, alors√aa sa dérivée pre-mière bornée. Ce théorème peut être étendu aux matrices symétriques positives dépendant d'un paramètre réel x, ou de x ∈ Rp (voir [1,2] par
exemple). Plus précisément, soit a une fonction matricielle symétrique sur Rp, de dérivées secondes bornées, alors
°
°Da1/2°°
L∞(Rp) ≤ CkD 2ak1/2
L∞(Rp),
où C ne dépend que de N et P .
Le résultat qui suit est une extension naturelle de ce fait. Dans cet énoncé, C désigne diverses constantes positives indépendantes de a. Théorème 1. Soit a une fonction sur RP, à valeurs dans l'espace des
matrices N × N symétriques réelles, telle que a ≥ 0 (p.p. x). Alors, (i) Si P=1,
k(a1/2)0(x)k ≤ C£M(ka00k)¤1/2(x) p.p.
(ii) Si D2a ∈ Lp(RP), 1 < p ≤ ∞, alors D(√a) ∈ L2p(RP) et
kDa1/2kL2p ≤ CkD2ak1/2Lp.
(iii) Si α, β et p vérient 1/α + 1/β = 2/p, α ≥ 1, β > 1, alors kDakLp ≤ Ckak1/2Lα kD2ak1/2
Lβ.
(iv) Si b = b(x) est une matrice N ×N, symétrique réelle, alors, sous les mêmes hypothèses qu'en (i) et (iii) respectivement,
[T r(a0b)]2 ≤ C M (ka00k) T r(bab) kT r(a0b)k
Lp ≤ Cka00k1/2
Lβ kT r(bab)k 1/2 Lα.
Ici M(u) est la fonction maximale de u, (1) M(u) = sup r>0 µ 1 2r Z x+r x−r |u(y)| dy ¶ .
Signalons que ces résultats sont utiles pour l'étude de l'équation de Fokker-Planck-Landau, où l'on est naturellement amené à considérer des matrices symétriques positives vériant des estimations analogues à celles présentées ci-dessus (Cf [3,4] et les références incluses).
Remarque : L'estimation (i) montre que dans le cas p = 1, Da1/2 ∈
L2,∞ si D2a ∈ L1. En revanche, le résultat n'est plus vrai avec L2
comme le montre l'exemple simple suivant, où P = N = 1 : a(x) = x
(log 1/x)α, 0 < α < 1;
En eet, on vérie sans peine que alors a00 ∈ L1(0, 1/2) mais (√a)0 6∈
L2(0, 1/2).
Enn nous établissons une extension du Théorème 1 dans les espaces de type ˙Ws,p. On note ˙Ws,p (0 < s < 1, 1 ≤ p < ∞) l'espace des
fonctions u ∈ Lp
loc telles que
Z Z
RP×RP
|u(x) − u(y)|p
|x − y|P +sp dx dy < ∞,
et ˙W1+s,p l'espace des fonctions u ∈ W1,p
loc telles que Du ∈ ˙Wlocs,p.
Théorème 2. Soit a une fonction sur Rp, à valeurs dans l'espace des
matrices N × N symétriques réelles, telle que a ≥ 0 (p.p. x), a ∈ ˙
Ws,p(RP), 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < s < 1, alors a1/(1+s)∈ ˙W1,p(1+s).
Notons enn que ces résultats sont bien sûr locaux. 2. Démonstration du théorème 1
Un raisonnement élémentaire de densité permet de ne considérer que le cas où a est régulière et dénie positive.
Nous commençons par le cas où a est une fonction positive sur R. On écrit, pour tous x, y ∈ R,
0 ≤ a(x + y) = a(x) + ya0(x) + y2
Z 1
0
a00(x + sy)(1 − s) ds.
Interprétant cette inégalité comme la positivité d'un trinôme en y, et remarquant que R01|a00(x + sy)| ds ≤ 2Rx+|y|
x−|y| |a00(x + z)|/(2|y|) dz ≤
2M[a00](x), nous obtenons
Sachant que (√a)0 = a0/(2√a), nous en déduisons immédiatement (i)
dans le cas N = P = 1. Les points (ii) et (iii) du Théorème 1 s'ob-tiennent alors facilement grâce au célèbre théorème de Hardy-Littlewood (et aux inégalités de Hölder dans le cas de (iii)).
Nous passons maintenant au cas où x varie dans RP : en appliquant
les résultats précédents aux restrictions de a à Ri = x + Rei (ei la base
canonique), on obtient immédiatement (ii) ; en ce qui concerne (iii) on a, en réappliquant l'inégalité de Hölder,
k∂iakpLp(Ri) ≤ C kak p/2 Lα(Ri)kD2ak p/2 Lβ(Ri) Z k∂iakpdxidx0i ≤ C Z dx0i µZ |a|αdxi ¶p/(2α)µZ |D2a|βdxi ¶p/(2β)
ce qui prouve notre résultat (nous notonsRdx0
i pour l'intégration selon
les variables autres que xi).
Passons au cas où a est une matrice N × N, positive sur R. Comme dans [1], nous introduisons les fonctions
φ±(x) = aii(x) ± 2aij(x) + ajj(x) = (ei± ej, a(x)(ei ± ej)) ≥ 0.
Grâce au résultat monodimensionnel, nous obtenons |φ0
±|2 ≤ CM (kD2ak) φ±. Or aij(x) = 14[φ+(x) − φ−(x)], donc (3) |a0(x) ij| ≤ C M (kD2ak)1/2[φ+(x)1/2+ φ−(x)1/2] ≤ C M (kD2ak)1/2{a ii(x) + ajj(x)}1/2.
Par Hölder nous avons |a0
ij|2 ≤ C kD2ak1/2Lβ kaii + ajjk1/2Lα, et aussitôt
(iii) dans le cas général.
Nous allons maintenant établir (i) dans le cas général. On prend P = 1. Nous pouvons supposer que a est diagonale en x ∈ RP; alors
√
al'est aussi, et, puisque a0(x) = a1/2(x) (a1/2)0(x) + (a1/2)0(x) a1/2(x),
nous avons (a1/2)0(x) ij = a0 ij(x) (aii(x))1/2+ (ajj(x))1/2 . Combinant cette formule avec (3), nous obtenons
|(a1/2)0(x)
ij| ≤ CM (ka00k)1/2(x),
d'où (i) en tenant compte de toutes les composantes, et (ii). Nous pouvons aussitôt généraliser (ii) au cas général (P quelconque).
Nous allons enn établir (iv). On commence par le cas P = 1. En tout point x où a est diagonale, d'après (3),
³X a0 ij(x) bij(x) ´2 ≤ N2X(a0 ij(x))2(bij(x))2 ≤ CM (|D2a|)(x) X (aii+ajj)b2ij(x).
Comme Paiib2ij = T r(bab), le résultat est vrai au point x ; il l'est
partout par invariance de la trace sous les rotations.
Le cas général se déduit du cas P = 1 comme précédemment. 3. Démonstration du théorème 2
Nous allons démontrer le Théorème 2 dans le cas où p < ∞, le cas p = ∞ se traitant d'une manière analogue. Comme dans la démons-tration du Théorème 1, il sut de considérer le cas où a est régulière et dénie positive pour tout x ∈ RP.
Commençons par le cas où N = P = 1. On écrit, pour x, y ∈ R, 0 ≤ a(x + y) = a(x) + ya0(x) + Z y 0 (a0(x + z) − a0(x)) dz ≤ a(x) + ya0(x) + C b(x)|y|1+s en notant b(x) = µZ R |a0(x + z) − a0(x)|p |z|1+sp dz ¶1/p . En particulier, nous avons, pour x, y ∈ R, y 6= 0,
|a0(x)| ≤ 1
|y|a(x) + C |y|
sb(x), d'oú nalement (4) |a0(x)| ≤ C a(x)1+ss b(x)1+s1 , ∀x ∈ R. En particulier, on en déduit (5) ¯ ¯ ¯ ¯ ³ a1+s1 ´0¯¯ ¯ ¯ ≤ C b 1 1+ssur R,
ce qui achève la démonstration dans le cas où N = P = 1.
Toujours dans le cas N = 1, l'extension au cas P ≥ 1 peut se faire comme suit. Tout d'abord, on déduit du cas P = 1 l'inégalité suivante, valable pout tout ω ∈ SP −1 :
Z RP ¯ ¯ ¯ω · Da1+s1 ¯ ¯ ¯(1+s)p dx ≤ C Z Z Rp×R |Da(x + zω) − Da(x)|p |z|1+sp dx dz.
On conclut alors la démonstration en intégrant par rapport à ω ∈ SP −1
et en remarquant que Z Z RP×RP |ϕ(x + zω) − ϕ(x)|p |z|P +sp dx dz = Z SP −1 dω Z Z RP×[0,∞[ |ϕ(x + rω) − ϕ(x)|p |r|P +sp dx dr
= 1 2 Z SP −1 dω Z Z RP×R |ϕ(x + rω) − ϕ(x)|p |r|P +sp dx dr.
Démontrons enn le Théorème 2 dans le cas où N ≥ 1, P = 1, l'extension au cas général se faisant exactement comme ci-dessus. En raisonnant comme dans la démonstration du Théorème 1, on obtient
(6) |a0 ij| ≤ C (aii+ ajj) s 1+sb 1 1+s sur R où b = µZ R ka(x + z) − a(x)kp |z|1+sp dz ¶1/p .
Pour estimer (a1/(1+s))0 : on xe x
0 ∈ Ret sans restreindre la généralité
on peut supposer que a est diagonale en x0. En notant σ = a1/(1+s), on
démontre que l'on a
(7) σ0 ij(x0) = a0ij(x0) µ a1+s1 ii (x0) − a 1 1+s jj (x0) ¶ ¡ aii(x0) − ajj(x0) ¢−1 .
Cette relation se vérie aisément dans le cas où 1+s ∈ Q, le cas général s'en déduisant par densité.
En combinant (6) et (7), on obtient alors
(8) kσ0(x 0)k ≤ C ¡ b(x0) ¢ 1 1+s,
il sut en eet d'observer que
sup α,β>0 Ã α1+s1 − β1+s1 α − β ! (α + β)1+ss < ∞.
Références bibliographiques
[1] D.W. Stroock et S.R.S. Varadhan, Multidimensional Diusion Processes (pp. 73-74 et 131-132). Springer-Verlag, 1979.
[2] O.A. Oleinik. Alcuni resultati sulle equazioni lineari e quasi lineari ellitico-paraboliche a derivate parziali del second ordine. Rend. Classe. Sci. Fis. Mat., Nat. Acad. Naz. Lincei, Ser. 8, 40 : 775-784, 1966.
[3] P.-L. Lions, On Boltzmann and Landau Equations, Phil. Trans. R. Soc. Lond., 346 A : 191-204, 1994.
[4] C. Villani. On the Cauchy problem for Landau equation : sequential stability, global existence. Adv. Di. Eq., 1 (5) : 793816, 1996.
Ceremade, Université Paris-Dauphine, Place du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75775 Paris Cedex 16.
École Normale Supérieure, DMA, 45 rue d'Ulm, 75230 Paris Cedex 05, FRANCE. e-mail villani@dmi.ens.fr