Contribution à l'analyse expérimentale et théorique des ruptures de structures composites en post-flambement par décollement de raidisseurs

THESE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

Discipline : Génie Mécanique

présentée et soutenue par :

Julien BERTOLINI

le 10 avril 2008

Contribution à l’analyse expérimentale et théorique des ruptures

de structures composites en post-flambement par décollement de

raidisseurs

Directeur de thèse : Jean-Jacques BARRAU Co-Directeur de thèse : Bruno CASTANIÉ Encadrement :

Jean-Philippe NAVARRO et Sébastien ALBY

M. Jean-Luc LATAILLADE Professeur à l’ENSAM (Bordeaux) Président M. Malk BENZEGGAGH Professeur à l’UTC (Compiègne) Rapporteur M. Donatien LE HOUEDEC Professeur à l’Ecole Centrale (Nantes) Rapporteur

M. Jean-Jacques BARRAU Professeur à l’UPS (Toulouse) Examinateur M. Bruno CASTANIE Maître de conférences à l’UPS (Toulouse) Examinateur M. Jean-Philippe NAVARRO Ingénieur Airbus France (Toulouse) Examinateur M. Jean-Luc LEON-DUFOUR Ingénieur Airbus France (Toulouse) Invité

Ce travail a été réalisé au sein du département « composites » d’Airbus France en collaboration avec le Laboratoire Génie Mécanique de Toulouse.

Tout d’abord, je voudrais remercier Monsieur Jean-Jacques BARRAU, mon directeur de thèse pour avoir su donner des orientations pertinentes à ce travail, pour ses conseils et pour m’avoir apporté une vision toujours très physique de la mécanique. Merci d’avoir pris le temps de me convaincre quand j’avais tort…

Je tiens également à remercier tout particulièrement Monsieur Bruno CASTANIÉ, co-directeur de cette thèse pour sa disponibilité et son investissement dans ce travail. Sa réactivité et sa forte implication dans les moments difficiles ont largement contribué à l’aboutissement de cette thèse.

J’exprime ma profonde gratitude envers Jean-Philippe NAVARRO pour m’avoir soutenu, conseillé ainsi que pour avoir contribué au bon déroulement de cette thèse et m’avoir assuré les meilleures conditions de travail.

J’adresse également mes remerciements à Sébastien ALBY sans qui ce travail n’aurait pas pu être effectué et pour tout le temps qu’il a consacré afin d’assurer le bon déroulement des travaux.

J’adresse mes vifs remerciements à Monsieur Jean-Luc LATAILLADE pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury de thèse.

Je tiens à remercier Monsieur Malk BENZEGGAGH et Monsieur Donatien LE HOUEDEC pour avoir aimablement accepté d’être rapporteurs, pour le temps qu’ils ont passé à l’évaluation de ce mémoire et pour leurs remarques pertinentes.

Je remercie Chantal FUALDES, Jean-Pierre CABANAC et Jean-Luc LÉON-DUFOUR pour m’avoir fourni tous les moyens nécessaires à l’aboutissement de ces travaux.

J’adresse également un grand merci à :

Serge CRÉZÉ, chef du Laboratoire Structures et Matériaux de l’ENSAE, Françis COLLOMBET et Matthieu MULLE pour leur soutien technique,

Caroline PETIOT du Centre Commun de Recherche de Suresnes pour sa participation active dans les projets en lien avec cette étude,

Enfin, je tiens à remercier tous les gens d’Airbus et du Laboratoire « Structures » de l’ENSAE avec qui j’ai passé ces trois dernières années et qui m’ont permis de passer de très bons moments à leurs côtés :

Merci Jean-mimi pour ton soutien actif entre midi et deux et pour ton sens de l’hospitalité, Merci Éric pour ton rire discret et communicatif ainsi que pour ta bonne humeur,

Merci Stéphane pour ton aide et pour m’avoir enseigné les multiples emplois d’un citron vert, Merci Laurent pour ta disponibilité et pour ta bonne humeur quotidienne,

Merci Emmanuel pour le plancha tour 2007,

Merci Émilie pour ta gentillesse et pour la touche féminine que tu as apportée,

Merci Estelle pour m’avoir fait croire pendant trois ans que tu t’intéressais aux voitures, Merci Juju et Jean-Gui pour toutes les fois ou vous avez perdu à Katapult,

Merci Georges de m’avoir déchargé d’une partie de mes tâches quotidiennes pendant l’écriture de ce rapport,

Merci Florent pour avoir partagé avec moi des passions communes,

Merci Christophe pour ta recherche pertinente sur les véhicules d’outre-atlantique, Merci Sam pour tous les services que tu m’as rendus,

Merci Javier d’avoir partagé avec moi la « pression hiérarchique »,

Merci Mimi de m’avoir appris à fabriquer des pièces en composite, ça m’a été bien utile, Merci Issam et Elias pour votre sympathie,

Merci Marc pour ton aide concernant les essais,

Merci à mes stagiaires, Florian, Chan et Vincent pour leur aide.

Merci également à tous mes amis qui m’ont soutenu et avec qui j’ai passé des moments inoubliables.

Pour terminer, j’adresse un grand merci à ma Lulu qui m’a suivie jusqu’ici ainsi qu’à ma Famille qui a toujours été là pour moi. Merci à tous pour tous les efforts que vous avez consentis durant ces nombreuses années d’études.

Table des matières

Chapitre I

1

INTRODUCTION GENERALE 1

I-1 Présentation des structures aéronautiques 1

I-2 Décollement de raidisseurs en post-flambement 2

I-3 Objectifs et plan de la thèse 4

Chapitre II

6

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE 6

II-1 flambement des structures aéronautiques 6

II-1.1

Phénomène de flambement des structures 6

II-1.1.1 Définition 6

II-1.1.2 Flambement général des structures simples 7

II-1.1.3 Influence des défauts initiaux 9

II-1.1.4 Flambements locaux et post-flambement des structures raidies 13

II-1.2

Analyse des structures raidies aéronautiques 15

II-1.2.1 Approches semi-empiriques 15

II-1.2.2 Méthodes éléments finis 24

II-1.3

Cas des panneaux raidis composites 30

II-1.3.1 Spécificité des composites par rapport au flambement 30

II-1.3.2 Méthode de Rayleigh-Ritz en composites 32

II-1.3.3 Modes de rupture spécifiques, décollement de raidisseurs 35

II-2 Décollements de raidisseurs 38

II-2.1

Technologies 38

II-2.1.1 Assemblage des raidisseurs en co-cuisson 38

II-2.2

Mécanique du décollement 40

II-2.2.1 Champs des contraintes locaux 40

II-2.2.2 Les phases du décollement 43

II-2.2.3 Paramètres influents 45

II-2.2.4 Propriétés des interfaces 46

II-2.3

Critères d’initiation 55

II-2.3.1 Critères de fissuration matricielle 56

II-2.3.2 Cas des adhésifs 58

II-2.4

Critères de propagation 60

II-2.4.1 Critères de délaminage 60

II-3 Modélisations relatives au décollement des raidisseurs en post-flambement 64

II-3.1

Obtention de l'état local 64

II-3.1.1 Approches analytiques 64

II-3.1.2 Approches globales 65

II-3.1.3 Approches global/local 66

II-3.2

Modélisation du collage 67

II-3.2.1 Ressorts, liens rigides et éléments volumiques 67

II-3.2.2 Mécanique de la rupture 68

II-3.2.3 Mécanique de l'endommagement 70

II-4 Conclusions 73

Chapitre III

75

ANALYSE EXPERIMENTALE ET THEORIQUE DU DECOLLEMENT AU NIVEAU

LOCAL 75

III-1 Introduction 75

III-2 Caractérisation des interfaces 75

III-2.1

Présentation des éprouvettes et des essais 75

III-2.2

Caractérisation en mode I 77

III-2.2.1 Essais normalisés à 0° 77

III-2.2.2 Influence de l'orientation des interfaces 79

III-2.2.3 Influence du joint de colle 81

III-2.3

Caractérisation en mode II 82

III-2.3.1 Essais sur interfaces orientées à 0° 82

III-2.3.2 Influence de l'orientation des interfaces et du joint de colle 84

III-3 Définition et validation du critère de décollement 87

III-3.1

Fabrication des éprouvettes 87

III-3.2

Description des essais 89

III-3.2.1 Montages d'essais et cas de charge 89

III-3.2.2 Déroulement typique d'un essai 90

III-3.3

Modélisation des essais 92

III-3.3.1 Matériau, maillages et conditions aux limites 92

III-3.3.2 Modélisation de la décohésion en mécanique de l'endommagement 93

III-3.3.3 Modélisation de la décohésion en mécanique de la rupture 96

III-3.4

Cas des éprouvettes co-cuites 97

III-3.4.1 Analyse des éprouvettes d'interface 0°/0° à bords droits. 97

III-3.4.2 Influence de l'épaisseur de semelle 102

III-3.4.3 Influence de l'orientation des fibres à l'interface 103

III-3.4.4 Influence du biseautage des semelles 105

III-3.4.5 Synthèse expérimentale et choix de la modélisation 106

III-3.5

Cas des éprouvettes collées 107

III-3.5.1 Analyse des éprouvettes d'interface 0°/0° à bords droits. 107

III-3.5.2 Influence de l'orientation des fibres à l'interface et du biseautage des semelles 109

III-3.6

Conclusions 111

III-4 Influence des conditions environnementales 111

III-4.1

Essais effectués 111

III-4.2

Influence de la température et du VH dans le cas de la co-cuisson 114

III-4.3

Influence de la température et du VH dans le cas du collage 115

III-5 Comportement en fatigue 116

III-5.1

Essais effectués 116

III-5.2

Modélisation associée 118

III-5.3

Résultats d'essais et comparaisons essais/calculs 121

III-5.3.1 Cas des éprouvettes co-cuites à bords droits 121

III-5.3.2 Comparaison avec éprouvettes co-cuites à bords biseautés et le collage 123

III-6 Conclusions 125

Chapitre IV

126

ANALYSE DU DECOLLEMENT AU NIVEAU STRUCTURAL 126

IV-2.1

Description des éprouvettes et des essais 127

IV-2.1.1 Eprouvettes et essais effectués 127

IV-2.1.2 Comportement en essais 130

IV-2.2

Comparaisons essais/calculs et étude de sensibilité 133

IV-2.2.1 Principes de modélisation 133

IV-2.2.2 Essais de flexion sens X 134

IV-2.2.3 Essais de flexion sens Y 137

IV-2.3

Conclusions 142

IV-3 Essais de flexion 7 points, flexion bi-axiale 142

IV-3.1

Réalisations des éprouvettes de flexion 7 points et description des essais 142

IV-3.1.1 Eprouvettes et essais effectués 142

IV-3.1.2 Comportement en essais 145

IV-3.2

Comparaisons essais/calcul 151

IV-3.2.1 Modélisations 151

IV-3.2.2 Cas symétriques 152

IV-3.2.3 Cas antisymétriques 155

IV-3.3

Conclusions 158

IV-4 Méthode d'analyse globale/locale 159

IV-4.1

Etude numérique 159

IV-4.1.1 Objectifs 159

IV-4.1.2 Définition du cas test numérique 159

IV-4.1.3 Définition et évaluation de l a méthode global/local 161

IV-4.1.4 Conclusions 168

IV-4.2

Etude expérimentale 168

IV-4.2.1 Objectifs 168

IV-4.2.2 Application aux essais de flexion 7 points 168

IV-4.2.3 Conclusions 173

IV-5 Conclusions 173

Chapitre V

175

APPLICATION AUX PANNEAUX RAIDIS EN POST-FLAMBEMENT 175

V-1 Introduction 175

V-2 Cas d'un panneau raidi en compression pure 176

V-2.3

Modèle global 180

V-2.3.1 Modélisation 180

V-2.3.2 Stabilité linéaire 181

V-2.3.3 Analyse non linéaire 183

V-2.3.4 Rupture 188

V-2.4

Approche global/local 189

V-2.4.1 Modélisation 189

V-2.4.2 Analyse des résultats et charge de décollement 191

V-2.5

Conclusions 193

V-3 Cas d'un panneau raidi en cisaillement pur 194

V-3.1

Description de l'essai 194

V-3.2

Analyse des principaux résultats 197

V-3.3

Modèle global 200

V-3.3.1 Modélisation 200

V-3.3.2 Stabilité linéaire, influence des modules de traction/compression 202

V-3.3.3 Analyse non linéaire 206

V-3.3.4 Rupture 211

V-3.4

Approche global/local 213

V-3.4.1 Modélisation 213

V-3.4.2 Analyse des résultats et charge de décollement 214

V-3.4.3 Discussion 217

V-3.5

Conclusions 218

CONCLUSIONS GENERALES ET PERSPECTIVES 219

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 222

Chapitre I

INTRODUCTION GENERALE

I-1 P

RESENTATION DES STRUCTURES AERONAUTIQUES

Les structures aéronautiques sont habituellement composées d’une peau raidie par un système de cadres (ou nervures) et de raidisseurs. Ce type d’assemblage permet de concevoir des structures à forts moments quadratiques pour un minimum de masse.

Figure I- 1 : Structure de fuselage typique

Bien que ces structures soient soumises à des sollicitations complexes et combinées (torsion, flexion, compression et cisaillement), le mode de travail individuel de chaque élément constitutif est généralement limité à de la traction, de la compression ainsi que du cisaillement. Pour exemple, le fuselage d’un avion en appui sur sa voilure travaille globalement en flexion

Lisses

(raidisseurs)

mais la partie supérieure du fuselage sera essentiellement tendue alors que la partie inférieure sera comprimée. De la même manière, l’effort tranchant se traduira par le cisaillement de la section du fuselage. Comme les structures composées de peaux relativement fines permettent d’atteindre des taux de post-flambement élevés et donc de réduire les masses, le flambement et le post-flambement en compression et/ou cisaillement sont souvent dimensionnant. Les Figure I- 2 et Figure I- 3 illustrent l’allure du post-flambement en service et lors d'essais.

Figure I- 2 : Post-flambement en compression et cisaillement d’un panneau de fuselage métallique courbe

A330/A340.

Figure I- 3 : Post-flambement en cisaillement d’une aile de Boeing

Stratocruiser en vol

I-2 D

ECOLLEMENT DE RAIDISSEURS EN POST

-

FLAMBEMENT

Le post-flambement d’un panneau raidi se produit quand la contrainte critique de flambement de la peau est atteinte. Contrairement à un panneau non raidi qui se plierait comme une simple poutre en flambement, le raidissement qui renforce un panneau raidi empêche l’effondrement

immédiat de la structure en reprenant l’excédent d’effort appliqué. Les efforts sont alors répartis différemment au sein de la structure. Cette re-répartition des efforts conduit à des modes de rupture divers.

Jusqu’à aujourd’hui, les structures fines comme celles des fuselages étaient entièrement métalliques et les raidisseurs étaient alors rivetés sur toute la longueur du fuselage. Hormis des problèmes d’instabilité entre les rivets, ce mode de liaison entre les raidisseurs et la peau est assez robuste. Depuis peu, les orientations stratégiques ont conduit à l’utilisation de structures composites pour les applications fuselage. Les rivets ont été remplacés par des collages (ou co-cuisson) qui permettent de diminuer les coûts de production et d’éviter les trous de perçage qui limitent les performances structurales. En post-flambement, ce choix mène à un nouveau mode de rupture : le décollement des raidisseurs. La Figure I- 4 illustre le phénomène.

Figure I- 4 : Exemple de décollement de raidisseur

Le décollement de raidisseurs survient suite à une augmentation des contraintes d’arrachement et de cisaillement entre les semelles et la peau pendant la phase de post-flambement (cloquage). Cependant, la complexité des phénomènes mis en jeu (aspects locaux, non-linéarités…) fait qu’il subsiste des problématiques scientifiques à résoudre pour permettre une prédiction fiable du décollement.

Décollement de

raidisseur en

I-3 O

BJECTIFS ET PLAN DE LA THESE Les objectifs du travail de thèse sont :

¾d’apporter la compréhension physique des problèmes de décollements et d’analyser les paramètres influents (design, environnements, fatigue…),

¾d’identifier un critère de décollement et proposer une méthodologie de calcul pour les structures de grandes dimensions (notamment en post-flambement) dans le contexte de l’industrie aéronautique,

¾ de trouver des méthodes de validation expérimentales pour différents niveaux de structures composites,

¾de proposer des solutions techniques industrialisables pour éviter ou à défaut limiter les problèmes de décollement,

¾d’assurer le respect et la prise en compte des règles de certification relatives aux structures composites.

Le plan de thèse s’organise donc de manière à répondre à l’ensemble de ces objectifs :

¾La première partie est consacrée aux études bibliographiques. Les deux aspects fondamentaux du travail de thèse y sont traités. La première sous partie traite du flambement ainsi que du post-flambement. Elle met en évidence les problèmes ainsi que les solutions relatifs à ce comportement structural. Le cas de structures simples est d’abord abordé puis celui des structures raidies. Enfin, les spécificités relatives aux panneaux raidis composites sont traitées. La deuxième sous partie est axée sur le décollement. La mécanique du décollement est décrite puis les critères relatifs à son initiation et à sa propagation sont discutés. Enfin, l'aspect modélisation est abordé, permettant de faire le lien entre le post-flambement et le décollement. Les méthodes d'obtention de l'état local puis les modélisations du collage sont décrites et discutées. La conclusion de ce chapitre donne les principales orientations du travail de thèse.

¾La deuxième partie traite de l’analyse expérimentale et théorique du décollement au niveau local. L’étude porte tout d’abord sur la caractérisation des interfaces entre les raidisseurs et la peau puis un critère de rupture est proposé. L’étude du décollement ainsi que la définition et la validation du critère sont abordés d’un point de vue théorique et expérimental. Dans ce chapitre, différents essais sont proposés et permettent d’étudier le comportement des assemblages en fonction des technologies et de la forme des semelles de raidisseurs. Dans un deuxième temps, l’influence des conditions environnementales ainsi que le comportement en fatigue sont abordés.

¾La troisième partie étend l’étude au niveau structural. L’étude ne porte plus seulement sur les semelles de raidisseurs mais sur les raidisseurs complets. Les spécificités des raidisseurs en oméga sont étudiées dans un premier temps au travers d’essais de flexion uniaxiale. Dans un deuxième temps, des essais de flexion sept points sont proposés et permettent d’étudier en détail l’influence de la flexion bi-axiale sur le décollement en simulant artificiellement un champ de post-flambement. Enfin, une méthode d’analyse global/local est mise en place afin de limiter les temps de calcul sur des structures de taille plus importante. Cette méthode est validée numériquement et expérimentalement sur les essais de flexion sept points proposés dans ce chapitre.

¾La dernière partie permet d’appliquer le critère de décollement développé ainsi que la méthode global/local directement au niveau de panneaux raidis en post-flambement. Deux essais sur un panneau raidi en compression pure ainsi que sur un panneau raidi en cisaillement pur sont analysés. Ce chapitre permet donc de tirer les principales conclusions de l’étude.

Chapitre II

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

II-1

FLAMBEMENT DES STRUCTURES AERONAUTIQUES

II-1.1

Phénomène de flambement des structures

II-1.1.1

Définition

On peut considérer qu’il y a flambement lorsque sous l’action d’une charge axiale et l’introduction d’une charge transversale minime, la structure fléchie et reste dans sa position même après suppression de la charge transversale [VALLAT 1945], [TIMOSHENKO 1968]. Le principe des travaux virtuels permet de mettre en évidence le seuil d’instabilité au-delà duquel apparaît le flambement. Considérant les déplacements virtuels licites de la structure (compatibles avec les conditions aux limites), on peut écrire la variation du potentiel total à partir de l’état initial sous la forme :

(

)

3 ... 3 2 2 1 + + + = + δ δ δ δ V W F F F (Eq II- 1) avec :

V le potentiel des efforts extérieurs, W le potentiel élastique,

3 2 1,F ,F

F des fonctions des charges appliquées, de la rigidité de la structure et de ses caractéristiques dimensionnelles.

δ caractérise l’amplitude infinitésimale de la transformation virtuelle (déplacements).

L’équilibre est stable si F2 >0 et instable si F2 <0. On définit par post-flambement le

comportement de la structure pour des charges comprises entre la charge de flambement et la charge de rupture de l’ensemble de la structure. Il convient de définir à ce stade les notions de flambement général et de flambement local.

II-1.1.2

Flambement général des structures simples

Les structures aéronautiques sont constituées en grande partie d’éléments qui peuvent s’apparenter à des poutres, des plaques ou des coques. Les phénomènes au sein d’une structure complexe sont souvent une combinaison de phénomènes plus simples que l’on retrouve sur ces structures élémentaires. La poutre permet d’illustrer et de comprendre une grande partie des problèmes de flambement. Pour une poutre soumise à une charge compressive P, l’expression de la charge critique de flambement s’écrit :

² ² l EI c Pcr π = avec : (Eq II- 2)

Figure II- 1 : Exemple de la poutre d’Euler

¾dans le cas d’un double encastrement c = 4, ¾pour une poutre articulée, c = 1,

¾pour une poutre avec une extrémité libre et l’autre encastrée c = ¼. E : module de Young

I : moment quadratique [VALLAT 1945] l : longueur de la poutre

Une simple poutre en compression montre donc que pour qu’une structure supporte des charges élevées de compression sans flamber, elle a besoin d’une rigidité élevée et de forts moments quadratiques (éloignement de la matière de la fibre neutre). La connaissance des conditions aux limites est essentielle et il faut veiller à éviter de concevoir des structures trop élancées. D’un point de vue pratique, le module de Young, les moments quadratiques ainsi que les données géométriques d’une poutre ou d’une structure plus généralement sont déterminables avec précision compte tenu des moyens techniques actuels. Les conditions aux limites posent plus de problèmes car l’encastrement et l’articulation par exemple sont des conditions booléennes qui n’existent pas réellement à l’état naturel. Compte tenu de l’importance des ces conditions aux limites, elles constituent donc une des problématiques majeures du flambement.

Pour les plaques isotropes, le raisonnement est similaire. En compression suivant la longueur, la contrainte critique de flambement s’écrit :

soit :

(Eq II- 3)

Figure II- 2 : Plaque en compression

Le module de Young ainsi que la largeur de la plaque sont donc importants mais le paramètre déterminant en terme d’effort de flambement reste l’épaisseur de plaque. Le nombre de demi-ondes qui apparaissent dans le cas de bords sur appuis simples est lié au rapport a/b. On obtiendra m demi-ondes si : m

(

m−1

)

<a/b< m

(

m+1

)

. Comme pour la poutre, l’influence des conditions aux limites est très importante.

Outre la compression, le cisaillement sur le pourtour de la plaque mène également au flambement. Un changement de repère permet de montrer que le cisaillement se traduit par une compression dans la direction Y et par de la traction sens X. L’apparition du phénomène est

2 ¸ ¹ · ¨ © § = = b e KE eb F_c c σ

¾Bords sur appuis simples K=3.62 ¾Bords encastrés K=6.31 3 e b E K Fc =

liée à la présence de la contrainte principale de compression σ_Y résultant de l’état de cisaillement simple, ce qui explique la forme et l’inclinaison des plis. La contrainte de cisaillement critique s’écrit :

(Eq II- 4)

Figure II- 3 : Plaque en cisaillement

Le paramètre géométrique déterminant est comme pour la compression le rapport e/b.

Pour les coques, la courbure entraîne une meilleure résistance au flambement. La contrainte critique pour des cylindres « moyens » s’écrit :

(Eq II- 5)

Figure II- 4 : Coque en compression

II-1.1.3

Influence des défauts initiaux

Rivello [RIVELLO 1969] montre sur des poutres que les défauts initiaux n’ont pas d’influence sur la valeur asymptotique de flambement (Figure II- 5). Par contre, la déflexion initiale due aux défauts induit des moments de flexion secondaires et donc une augmentation non linéaire des contraintes dans la structure. Il se peut donc que la rupture ait lieu bien avant le niveau de

2 6 5 ¸ ¹ · ¨ © § × ¸ ¹ · ¨ © § + ≈ b e E a b c τ R e E c ≈0.3 σ De façon générale ¸ ¹ · ¨ © § R e

est le paramètre déterminant du flambement des coques. Ceci explique que les tôles galbées présentent des caractéristiques de stabilité très supérieures à celles des tôles planes de mêmes dimensions.

Déflection initiale importante Déflection initiale

faible

flambement théorique. La difficulté est alors de savoir si la rupture est due à de la flexion ou à du flambement puisque les deux phénomènes sont couplés.

Figure II- 5 : Comportement d’une poutre en fonction de la déflexion initiale

Les défauts initiaux peuvent être de deux natures. Ils peuvent être le résultat d’imperfections dues à des aléas de fabrication, mais peuvent également être le résultat d’un montage d’essai désaxé par exemple. Dans ce dernier cas, des moments locaux sont introduits et conduisent à des défauts géométriques avant chargement. D’un point de vue pratique, un léger excentrement dans le chargement, un montage hyperstatique qui induit des flexions locales ou simplement des défauts de fabrication conduisent au même phénomène et à l’apparition d’une flexion induite au cours du chargement. Industriellement, la meilleure façon de prendre en compte l’effet des défauts initiaux est alors de les représenter. Pour des cas assez simples, des modèles mathématiques existent et peuvent être utilisés. Néanmoins, lorsque la tâche s’avère plus complexe, des modèles numériques sont souvent utiles. Navarro et al [NAVARRO 2006] pour l’analyse du panneau supérieur du caisson central de l’A380 mettent en évidence l’importance des défauts initiaux et des conditions aux limites imposés par la croix de voilure (Figure II- 6). Il montre que la pressurisation du fuselage induit des moments de flexion locaux au niveau de la croix de voilure et des bielles de reprise d’efforts du caisson central. Le chargement du panneau supérieur imposé par la flexion de la voilure conduit alors à un comportement non linéaire du panneau. Une communication entre le modèle global avion et le modèle de calcul non linéaire est alors nécessaire.

Déflection importante Déflection nulle

Figure II- 6 : Exemple de calcul local sur un super-raidisseur pour le caisson central A380.

Pour les plaques et les cylindres, Hu et al [HU 1946] montrent que l’on retrouve globalement les mêmes résultats que pour les poutres. En effet, la déflexion initiale introduit de la flexion au cours du chargement, ce qui engendre un comportement non linéaire important.

Figure II- 7 : Comportement d’une plaque supportée, en compression en fonction de la déflexion initiale.

L’étude de Weingarten et al [WEINGARTEN 1965] permet tout de même de monter que l’influence des défauts initiaux sur le niveau effectif de flambement est d’autant plus importante que les épaisseurs sont faibles. Dans certains cas extrêmes (défauts importants sur

Pression compression Cross rotation Sym + plan Sym Rod Displacement x y z Y 2618 Y 2063 Y 1460 Y 953 Y 413 Y 0 Pression compression Cross rotation Sym + plan Sym Rod Displacement x y z Y 2618 Y 2063 Y 1460 Y 953 Y 413 Y 0 Modélisation des déplacements imposés par les

bielles

Modélisation des efforts et moments imposés par la croix

de très faibles épaisseurs), la rupture en essais peut avoir lieu à 25% de la charge théorique de flambement.

Figure II- 8 : Résultats d’essais sur les niveaux de flambement en fonction des imperfections et de l’épaisseur sur des cylindres

Sur des structures plus complexes comme les panneaux raidis, une étude récente du DLR [ZIMMERMANN 2006] montre que la diminution de la rigidité du panneau synonyme de flambement local est très sensible aux défauts initiaux.

Figure II- 9 : Comparaison essai/calcul sur un panneau composite courbe en post-flambement

L’hypothèse est faite que le comportement en post-flambement est influencé par les imperfections géométriques de la peau. Pour vérifier cette hypothèse déjà émise à plusieurs reprise par le passé, Singer et al [SINGER 1998] évaluent les défauts de planéité sur des structures raidies et injecte les défauts réels en entrée d’un calcul éléments finis non linéaire. Faibles épaisseurs et défauts importants Fortes épaisseurs sans défauts Calcul Essai Flambement

Ils démontrent ainsi que la connaissance et la prise en compte des défauts initiaux peut s’avérer nécessaire pour simuler correctement le comportement des structures.

II-1.1.4

Flambements locaux et post-flambement des structures raidies

Jusqu’à présent, le flambement a été abordé sur des structures simples pour lesquelles le flambement général est souvent dimensionnant. Sur des structures plus complexes comme les panneaux raidis composés d’éléments poutres (raidisseurs) et d’éléments plaques (peau), il peut exister plusieurs modes de flambement pour une même structure et pour un chargement donné. Les flambements ne concernant qu’une seule partie de la structure sont appelés flambements locaux. Les flambements locaux sont donc une instabilité partielle d’une structure. Il existe deux types de flambements locaux :

¾les flambements locaux conduisant une rupture directe des structures (non admissibles),

¾les flambements locaux ne conduisant pas à la rupture directement (admissibles). Dans le premier cas (flambements non admissibles), la perte de rigidité de la zone flambée devient critique pour l’ensemble de la structure. Elle s’effondre donc car la stabilité ne peut pas être assurée par les zones non flambées. L’exemple Figure II- 10 permet d’illustrer ce phénomène sur une poutre de type « L ». Sur cet exemple, le flambement local d’une aile de la poutre se traduit quasi instantanément par une rupture en flexion de celle-ci.

Figure II- 10 : Flambement local d’une poutre en « L » Flambement local non admissible

Les panneaux raidis sont sujets aux flambements locaux non admissibles et il s’agit de modes de rupture nécessitant une attention particulière compte tenu de leur criticité. La Figure II- 11 résume l’ensemble de ces flambements locaux.

Figure II- 11 : Instabilités locales

Chaque partie du raidisseur (ame, talon, semelle) se comporte comme une plaque simple avec des conditions d’appui qui varient entre libre et encastré. On trouve ainsi des flambements de plaques simples relatifs à chaque partie du raidisseur (talon, ame, semelle..). Le déversement est une instabilité caractérisée par un « affaissement » du raidisseur. Le flambement inter-rivets conduit à un « déboutonnage » des raidisseurs. Le « crippling » est une instablilité « de coins ». En effet, il peut arriver qu’après un flambement local, les coins plus rigides continuent à supporter la charge. Le « crippling » est le mode de rupture relatif à ce phénomène.

En ce qui concerne les flambements locaux admissibles, ils se traduisent par une modification du mode de travail de la structure et l’ensemble continue à supporter les charges appliquées. Pour les panneaux raidis, le flambement local de la peau (plissement) est généralement le seul type de flambement admissible. Il se produit quand la contrainte critique de flambement de la peau est atteinte et se traduit par une perte de rigidité structurale qui induit une re-répartition

Peau Semelle Ame Talon Bord tombé Flambement inter-rivets Flambement local ame Flambement local talon Déversement Crippling (profil fermé)

des efforts dans la structure. La stabilité de la structure est alors assurée par les parties plus rigides.

Figure II- 12 : (a) Influence du flambement local sur la rigidité structurale et (b) exemple de plissement

Sur une même structure, il peut se produire plusieurs flambements locaux admissibles avant la rupture comme indiqué Figure II- 12. Cela peut être du par exemple à des largeurs de mailles ou des épaisseurs de peau différentes au sein d’un même panneau, ce qui se traduit par des plissements de peau pour différentes charges. Le plissement est courant sur les structures optimisées et permet généralement de concevoir des structures plus légères. Une fois la charge de plissement passée, la structure travaille en post-flambement. La ruine peut ensuite se produire en flambement général ou suite à un flambement local non admissible.

II-1.2

Analyse des structures raidies aéronautiques

II-1.2.1

Approches semi-empiriques

Les structures raidies aéronautiques supportent essentiellement des charges de compression et de cisaillement. Cette partie a pour objectif de décrire les principales approches semi-empiriques utilisées pour l’analyse de ces structures en post-flambement. Quasiment toutes ces approches ont été initialement développées pour l’étude de structures isotropes.

1er flambement local

2ème flambement local

F

Effondrement

U

Cas des panneaux raidis en compression

La compression est le cas de charge le plus répandu. Afin de comprendre le comportement mécanique, prenons pour exemple le panneau rectangulaire suivant chargé en compression :

(Eq II- 6)

Figure II- 13 : Panneau raidi en compression

En accord avec l’étude du flambement relative à la première partie, on distingue deux types de flambement locaux :

¾les flambements locaux admissibles permettant un comportement en post-flambement,

¾les flambements locaux non admissibles menant à la ruine imminente des panneaux.

Comme cela a déjà été précisé, les panneaux raidis aéronautiques présentent habituellement un seul type de flambement local admissible [MTS004 2000] appelé plissement et correspondant à un flambement local de peau. Ce chapitre sera donc consacré à ce type de flambement local. Soit 2 ¸ ¹ · ¨ © § = b e KE c

σ la contrainte critique de flambement de la peau, où K est défini (Eq II-3).

Pour σ_m ≤σ_c, la contrainte est la même dans les raidisseurs et dans la peau. Dans ce cas, aucun phénomène de flambement n’apparaît. Il s’agit d’un cas simple de compression uniforme.

SoitF l’effort de compression réparti sur une largeur b de panneau comprise entre les axes de deux raidisseurs successifs et e l’épaisseur du panneau :

eb S F r m moyen + = =σ σ

où S est la section d’un raidisseur. _r

Deux types de flambement peuvent subvenir : ¾un flambement général,

Pour σ_m >σ_c, on observe que :

Physiquement, la contrainte dans la peau ne peut excéder la contrainte critique de flambement. Le surplus d’effort est repris par les raidisseurs jusqu’à l’effondrement de la structure. La Figure II- 14 montre que la contrainte en milieu de maille pendant la phase de post-flambement est très faible comparée aux autres contraintes.

(Eq II- 7)

(Eq II- 8)

(Eq II- 9) Figure II- 14 : Répartition des contraintes

Compte tenu de cette remarque, il est usuel de considérer que seule une partie de la peau de part et d’autre des raidisseurs travaille. Cette largeur de peau est appelée « largeur équivalente » ou « largeur travaillante » [FEHRENBACH 2002], [BRUHN 1967]. Cette approche permet donc de remplacer la répartition réelle de la contrainte dans le panneau raidi par une contrainte uniforme de valeur σrassociée à une structure fictive composée des raidisseurs et des peaux de largeur réduite 2c.

En réalité, compte tenu de la symétrie géométrique et de la symétrie de chargement, il est possible de travailler sur chaque raidisseur indépendamment. En associant le principe des

¯ ® ­ = > = c m r σ σ σ σ

σ dans les raidisseurs

en fond de maille (dans la peau, zone médiane entre deux raidisseurs) r r b S dx e F =

_³

σ +σ 2 / 0 2 On appellera c la largeur équivalente. r r rS ec F =2σ +2 σ ou encore :

³

= 2 / 0 1 b r dx c σ σ

Figure II- 15 : Super-raidisseur pour des structures isotropes

On constate expérimentalement que c/b est une fonction croissante du paramètre

(

σ_c/σ_r

)

qui ne dépend ni de b ni du mode de fixation de la peau aux raidisseurs. Pour déterminer la largeur équivalente, deux méthodes peuvent être utilisées [FEHRENBACH 2002] :

(Eq II- 10)

(Eq II- 11)

Figure II- 16 : Domaine d’application des formules de Karman et Marguerre

La formule de Karman présente l’intérêt d’être proche de la réalité pour des valeurs élevées de r

c σ

σ / inversement à la formule de Marguerre. C’est elle qui est habituellement utilisée. En

substituant 2 ¸ ¹ · ¨ © § = b e KE c σ : r E K e c σ 2 = (Eq II- 12)

Rappelons que F =2σrSr +2ecσr. La résolution du système donne donc la solution du problème. L’application de cette procédure aux structures métalliques en utilisant

e r σ

σ = (limite élastique) donne la règle bien connue en aéronautique :

c=15e (Eq II- 13)

3 / 1 2 ¸¸_¹ · ¨¨ © § = r c b c σ σ Formule de Marguerre 2 / 1 2 ¸¸_¹ · ¨¨ © § = r c b c σ σ Formule de Karman

Cette approche permet de comprendre les principes relatifs au travail des structures raidies en compression mais ne s’applique pas au panneaux composites et ne permet pas d’étudier le comportement local en bords de semelles.

Cas des panneaux raidis en cisaillement

Le cisaillement des panneaux raidis se traduit par le cisaillement simple des mailles qui le constituent. Pour une plaque isotrope, la contrainte critique de cisaillement est

2 ' ¸ ¹ · ¨ © § = b e E K c τ

et on observe pour cette contrainte l’apparition de plis orientés à environ 45° par rapport aux bords. Avant flambement, on peut représenter le cercle de Mohr des contraintes de la façon suivante :

Figure II- 17 : Schéma de comportement en cisaillement

On retrouve le fait que le cisaillement se traduit par de la traction/compression à 45°. C’est la compression qui agit suivant la diagonale du panneau qui provoque le flambement et explique l’allure du cloquage. On notera σY =−τc correspondant à la contrainte critique de compression dans les axes principaux. Après flambement, le panneau continue à se charger et ne s’effondre pas malgré l’apparition des plis. Ce phénomène s’explique par une modification du mode de travail de la structure.

La théorie de Wagner permet de comprendre le phénomène de re-répartition des efforts en post-flambement [BRUHN 1967]. L’hypothèse est faite qu’après flambement la contrainte critique de compression diagonale devient négligeable devant la contrainte de tension diagonale. Le panneau travaille donc en tension diagonale pure et l’ensemble se comporte

Contrainte de tension diagonale Contrainte de compression diagonale Contrainte de Cisaillement Seuil de flambement

comme un cadre sur lequel on aurait tendu un film. La contrainte de tension diagonale pure s’écrit donc : ) 2 sin( 2 α τ σTDP = (Eq II- 14)

Avecτ la contrainte nominale de cisaillement et α l’angle de tension diagonale (orientation des cloques). Si l’angle d’orientation des cloques est égal à 45°, alors la contrainte de tension diagonale vaut deux fois la contrainte de cisaillement. La réaction du cadre face à la tension diagonale de la peau se traduit par de la compression dans les raidisseurs :

α τ tan 2 e b N_xTD =− × × (Eq II- 15) α τ tan 2 e a NyTD × × − = (Eq II- 16)

Avec e l’épaisseur du panneau et a et b les longueurs et largeurs respectives de la plaque. Le plus souvent, la contrainte critique de compression diagonale n’est pas négligeable comme le montre la Figure II- 18. La théorie de tension diagonale pure devient alors trop conservative.

Figure II- 18 : Répartition des contraintes en post-flambement en cisaillement [BARRAU 2005]

La théorie de la tension diagonale incomplète [KUHN 1952] permet de prendre en compte la part des contraintes due à la tension diagonale et de la superposer à une part des contraintes issues du cisaillement stable (contraintes de compression et cisaillement avant flambement).

Figure II- 19 : Tension diagonale incomplète

La contrainte issue de tension diagonale s’écrit alors :

α τ σ 2 sin 2k TD = (Eq II- 17)

et celle issue du cisaillement stable :

(

)

τ σ

σ_c =− _t =−1−k (Eq II- 18) Le facteur de tension diagonale k qui sert à introduire la part compressive est déterminé empiriquement : ¸¸ ¹ · ¨¨ © § × = c k τ τ 10 log 5 . 0

tanh (Eq II- 19)

Les efforts moyens dans les raidisseurs sont :

α τ tan 2 0e kLL NxTD =− t (Eq II- 20) α τtan kae NyTD =− (Eq II- 21) Avec 0 t

L la demi longueur ou la demi largeur du panneau pour le calcul respectif de NxTD et TD

y

N . La théorie de la tension diagonale incomplète est très largement utilisée en aéronautique mais les facteurs de tension diagonale nécessaires à son utilisation ont été déterminés

traiter toutes les configurations. De plus, cette approche traite du comportement global de la structure mais ne permet pas d’étudier les phénomènes locaux en bords de semelles de raidisseurs.

Une méthode originale proposée par Barrau et al [BARRAU 2005] propose de prendre en compte la perte de rigidité due au plissement de la peau au travers d’un endommagement matériau équivalent dans les fonds de maille. Concrètement, la perte de rigidité due au flambement est remplacée par une loi matériau non linéaire (un peu comme de la plastification). Un modèle éléments finis est utilisé et une approche semi-empirique sert pour la sélection des zones endommagées. Le panneau est divisé en deux zones. Le centre du panneau est constitué d’un matériau dont les propriétés suivent une loi de dégradation et les bords du panneau gardent leurs propriétés réelles. Cette méthode permet de déterminer les déformations dans les membrures et permet également de traduire une non linéarité géométrique par une non linéarité rhéologique plus facile à traiter. Outre l’incertitude sur la taille de la zone centrale, le principal inconvénient de la méthode provient du fait qu’elle ne permet pas de définir un champ de déplacements correct notamment dans la zone normalement flambée.

Cas combinés et coefficients de sécurité

Les méthodes de calcul ont été développées initialement pour des cas de compression pure ou des cas de cisaillement pur comme nous avons pu le voir. Les structures aéronautiques sont cependant susceptibles de flamber en compression/cisaillement combinés. Pour ces cas mixtes, des essais ont permis de déterminer expérimentalement des lois de couplage. La plus connue est la suivante [MTS004 2000]: 1 , 2 , = ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § + ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § crit C C crit S S P P P P (Eq II- 22)

où l’indice S représente le cisaillement et C la compression. L’allure de cette courbe est représentée Figure II- 20 :

Figure II- 20 : Courbe d‘interaction compression/cisaillement

Le point A correspond au début de plissement en compression pure. Le point B est le minimum entre les flambements locaux autre que le plissement et la charge d’effondrement du panneau. Le point C indique le début de plissement en cisaillement alors que le point D donne la charge d’effondrement du panneau en cisaillement. On peut visualiser les marges de post-flambement respectivement en compression et en cisaillement des points A à B et des points C à D. En fonction des politiques de marges relatives à chaque entreprise, la courbe d’interaction évoluera entre les deux courbes en pointillé.

Les structures aéronautiques complexes sont soumises à de multiples cas de charges, ce qui induit par exemple des contraintes de compression dans certaines mailles et des contraintes de cisaillement dans d’autres. Sur ces structures, il souvent plus facile de parler de coefficient de sécurité afin « d’englober » l’ensemble des sollicitations.

Les coefficients de sécurité (Reserve Factors : RF) ne sont pas directement liés aux coefficients de sécurités en vol. En réalité, la charge à rupture des structures (points B, F et D) doit être supérieure ou égale à la charge extrême définie comme une fois et demi la charge limite. La charge limite étant la charge maximale statistiquement atteinte par la structure au maximum une fois dans la vie de l’avion. Pour résumer, les charges à rupture (points B, F, D) correspondent à 1.5 fois les charges maximales supposées atteintes une seule fois dans la vie de l’avion.

Cisaillement

Compress

ion

B

o

A

C

D

Effondrement en compression Plissement en compression Plissement en cisaillement Effondrement en cisaillement E F Plissement en compression /cisaillement Effondrement en compression /cisaillement

On entend par coefficient de sécurité des coefficients appliqués aux charges que supporte réellement la structure de telle manière que le produit des deux entités soit égal à la charge de rupture calculée. Cette notion de coefficient de sécurité couvre (comme souvent en mécanique) les incertitudes liées aux hypothèses simplificatrices, aux incertitudes sur les matériaux, aux conditions aux limites… Le RF en compression pure est :

P P RFcomp ccrit

,

= (Eq II- 23)

où P_c,critest la charge de flambement de colonne et P la charge appliquée. En cisaillement, la même approche est utilisée. En chargement combiné, le RF reste le rapport entre la charge critique appartenant à la courbe d’interaction et la charge appliquée. En réécrivant l’équation (Eq II- 22) en fonction des RF de compression et de cisaillement, il vient :

¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § + ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § + ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § = 2 2 1 . 4 1 1 2 Shear Comp Comp combined RF RF RF RF (Eq II- 24)

Pour résumer, les méthodes semi-empiriques développées permettent d’étudier le comportement général des structures raidies isotropes mais ne permettent pas de remonter au comportement local entre les semelles de raidisseurs et la peau dans le cas de structures composites. Elles ne sont donc pas vraiment adaptées à notre étude compte tenu des objectifs à atteindre.

II-1.2.2

Méthodes éléments finis

Les méthodes éléments finis permettent d’analyser des structures plus complexes et plus diversifiées. Dans ce chapitre l’accent est mis sur le flambement linéaire ainsi que sur l’analyse non linéaire.

Flambement linéaire

Une étude de flambement linéaire permet généralement de connaître les différentes charges de flambement d’une structure ainsi que les différents modes propres qui lui sont associés par un simple calcul linéaire. Ce type d’étude est souvent utilisé sur les panneaux raidis car il permet

de déterminer la première charge de flambement de la structure ainsi que le type de flambement (local ou global) de façon très rapide. Le principe de l’analyse repose sur le fait qu’une position d’équilibre correspond à un extremum de l’énergie potentielle totale du système :

ext π π

π = int − (Eq II- 25)

La nature de la position est donnée par la valeur de la seconde différentielle (critère de Trefftz) :

¾équilibre stable :δ2π >0, ¾équilibre instable : δ2π _<0

, ¾état critique : δ2π =0,

L’expression de δ2π en formulation éléments finis est la suivante [MAHE 1991] :

{ }

d

[ ]{ }

KT d T δ δ π δ2 = (Eq II- 26) Pour un système dans lequel le comportement avant flambement peut être considéré comme linéaire, la matrice de rigidité tangente peut s’écrire :

[ ] [ ] [ ]

KT = K0 +λ Kσ (Eq II- 27)

où [K0] est la matrice de rigidité linéaire et [Κσ] la matrice des contraintes initiales. Le termeλ

est le coefficient multiplicateur des forces extérieures qui amplifie linéairement les contraintes initiales. En résolvant δ2π =0, le critère de flambement devient :

[ ] [ ]

(

)

0

det K0 +λ Kσ = Eq II- 28)

La résolution de ce système peut être faite par les méthodes de Jacobi (pour les petits problèmes), ou de Lanzos pour les problèmes de grande taille [SAMTECH 2005]. Physiquement, chaque valeur propre solution du système est telle que le produit λ*charge initiale donne les charges de flambement de la structure. A chaque charge de flambement est associé un mode propre qui donne l’allure de la déformée correspondante. Habituellement, seule la première valeur propre traduit un comportement mécanique réel car après cette charge, la modification de rigidité de la structure impose de prendre en compte l’historique de

chargement (le problème est non-linéaire). Un exemple de calcul de flambement linéaire est donné Figure II- 21.

Figure II- 21 : Exemple de calcul de flambement linéaire sous Abaqus

Les principales limitations de cette méthode sont donc :

¾la non possibilité de traiter le comportement en post-flambement des structures,

¾la non possibilité de prendre en compte un comportement non linéaire avant flambement (plastification métallique par exemple).

Dans le cas où il est nécessaire d’analyser le comportement en post-flambement d’une structure où si un phénomène de plastification a lieu avant flambement, une analyse non linéaire est requise.

Analyse non linéaire

Comme cela vient d’être montré, une analyse de flambement linéaire permet uniquement de considérer l’état de contraintes initial (simple calcul linéaire en général) d’une structure. Au cours du chargement, si la répartition des contraintes au sein de la structure change (en phase de post-flambement par exemple), la matrice de rigidité tangente est modifiée et elle doit être réactualisée afin de prendre en compte l’évolution du comportement structural. Dès lors, un raisonnement itératif est nécessaire, ce qui conduit inévitablement à des temps de calcul nettement plus importants. Ce paragraphe présente le principe de l’analyse non linéaire et résume les apports de cette analyse.

Facteur multiplicatif de la charge initialement

L’équilibre de la structure se traduit par l’égalité des efforts extérieurs et intérieurs comme on a pu le voir dans l’analyse du flambement linéaire. Le principe de l’analyse non linéaire repose sur un raisonnement itératif autour d’un résidu défini comme [MAHE 1991] :

{ } { } { }

R = Fext − Fint (Eq II- 29)

l’équilibre de la structure étant atteint quand :

{ } { }

R = 0 (Eq II- 30)

La matrice tangente est définie comme la matrice qui relie un incrément des déplacements nodaux à un incrément du résidu. On écrit :

[ ]{ } { }

K_T δd =−δR (Eq II- 31) L’expression de δ2πest la suivante :

{ }

d

[ ]{ }

KT d T δ δ π δ2 = (Eq II- 32) avec :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

KT = KL + KNL + Kσ − Kλ (Eq II- 33)

[ ]

K Matrice de rigidité linéaire, L

[ ]

KNL Matrice de rigidité non linéaire,

[ ]

Kσ Matrice de rigidité géométrique,

[ ]

K Matrice des efforts externes. λ

Dans le cas d’une analyse non linéaire, la matrice tangente est fonction des déplacements. La méthode de résolution est incrémentale, c’est à dire que l’on considère le système d’équation linéarisé autour d’une solution connue et que l’on cherche une solution proche pour une nouvelle valeur de certains paramètres choisis. La résolution étant itérative, nous aurons plusieurs états d’équilibre appelés "pas de charge". Pour chaque pas, une résolution itérative basée sur la prédiction et la correction des variables est utilisée pour faire converger le système vers un état d’équilibre. Les deux méthodes les plus couramment utilisées sont :

¾le pilotage par facteur de charge imposé ou par composante de déplacement imposée (Newton Raphson et Newton Raphson Modifié),

¾le pilotage par longueur d’arc imposée (Riks et Crisfield). Pour exemple, la figure ci-dessous illustre le principe de l’une de ces méthodes :

Figure II- 22 : Méthode de Newton Raphson modifiée en 1D

Pour exemple, prenons un panneau raidi en compression pure (Figure II- 23). Une fois la charge de flambement atteinte, il est nécessaire d’itérer autour de la position d’équilibre afin de trouver un champ de déplacements admissible qui permette de satisfaire les conditions aux limites ainsi que les équations de compatibilité et d’équilibre.

Figure II- 23 : Comparaison des déplacements hors plan entre un calcul éléments finis non linéaire et l’essai correspondant

D’un point de vue calcul, les changements de modes sont souvent difficiles à modéliser et les erreurs présentes en début de calcul tendent à s’amplifier par la suite [FALZON 1997].

Pour notre application concernant les phénomènes de flambement, la méthode de Newton Raphson est généralement utilisée et donne des résultats satisfaisants.

Pour étudier une structure en flambement et en post-flambement, il est préférable d’opter pour un chargement en déplacements car la rupture se traduit généralement par une chute brutale de la charge supportée. Aussi, un incrément de charge au delà de la charge à rupture en flambement général d’un panneau raidi ne trouvera pas de solution et l’analyse ne convergera pas (déplacements correspondants non définis). Par contre, un incrément en déplacement permettra normalement de passer la charge à rupture du panneau. Dans ce cas, la réaction du panneau sera inférieure à celle calculée à l’itération précédente.

Un des problèmes majeur concernant l'analyse non linéaire des structures raidies par éléments finis est que pour des structures en post-flambement, un nombre important d'éléments est nécessaire pour décrire correctement le comportement. Par ailleurs, les "pas de charge" requis pour assurer la convergence des modèles sont souvent petits. La technique la plus connue pour limiter les temps de calcul est la technique d’initiation de défauts. L’objectif de la technique est de faciliter la convergence au début du flambement (phase qui demande généralement beaucoup d’itérations). La technique utilise le champ de déplacements issu d’un calcul de flambement linéaire (premier mode en général) et l’introduit via un coefficient multiplicateur très petit dès le début du calcul non linéaire. Le coefficient multiplicateur de la déformée étant très petit, il ne modifie pas le comportement structural du panneau raidi mais il permet de proposer dès le début du calcul une déformée qui une fois amplifiée permettra d’atteindre l’équilibre en post-flambement.

Il est également possible d'optimiser les temps de calcul par un choix judicieux des paramètres de convergence des algorithmes, des éléments…Néanmoins ces gains de temps sont loin d'être assez importants pour permettre une application à grande échelle. Pour palier ce problème, une méthode innovante d'analyse non linéaire a été proposée par Kling et al [KLING 2006].

Figure II- 24 : Méthode numérique proposée par Kling

La procédure permet de passer du système complet à des sous-espaces en réduisant le nombre de degrés de libertés. Le modèle éléments finis conventionnel est utilisé pour extraire certains modes de flambement. Ces modes sont ensuite employés pour réduire le système et analyser le comportement structural. Les fonctions de forme issues des modes de flambement sont rafraîchies régulièrement suivant un critère d'erreur prédéterminé. Cette méthode bien que présentant un intérêt certain pour notre problématique n'a pas été validée à grande échelle et n'est pas utilisable en l'état. De plus il est difficile de prévoir précisément le gain de temps escompté sur des structures aéronautiques complexes.

Pour notre étude, l’utilisation de calculs non linéaires par éléments finis paraît donc être la meilleure solution malgré les temps de calcul importants car elle permet d’étudier en détail le comportement en bord de semelles de raidisseurs. Les différences en terme de comportement entre les calculs et la réalité devront néanmoins être évaluées et une solution pour limiter les temps de calcul devra être proposée.

II-1.3

Cas des panneaux raidis composites

II-1.3.1

Spécificité des composites par rapport au flambement

Les matériaux composites se caractérisent entre autre par leur comportement anisotropique. Le comportement de structures composites a été identifié dès 1975 [HOUSNER 1975], [JONES 1998].

Figure II- 25 : Loi de comportement en composites

Pour palier ce problème, la notion de matériau homogénéisé est d’abord utilisée et permet ainsi de caractériser le comportement des structures après empilement des stratifiés dans leur ensemble et simplifiant considérablement les calculs. Si cette simplification peut s’avérer intéressante dans certains cas, en flambement elle peut conduire à des erreurs considérables sur les charges de flambement. Gallet [GALLET 2005] montre par exemple sur des plaques planes des écarts de plus de 30% entre les charges de flambement calculées à partir des modules homogénéisés et en considérant l’empilement réel. La position des plis dans l’épaisseur joue donc un rôle important sur les charges de flambement.

Figure II- 26 : (a) Flambement en compression de plaques graphite-epoxy drapées à ± , (b) θ Flambement en cisaillement de plaques graphite-epoxy drapées à ±θ

Les termes de la matrice de rigidité font apparaître un comportement en membrane, en flexion ainsi qu’un couplage membrane/flexion. Cette nouveauté pose le problème de l’applicabilité des méthodes développées pour les matériaux métalliques.

Housner et Stein [HOUSNER 1975] effectuent des études paramétriques sur plaques planes et montre que l’orientation des plis joue également un rôle considérable sur les charges de flambement. Ils mettent notamment en évidence que ce sont les plis orientés à 45° qui présentent la meilleure tenu au flambement en cisaillement mais aussi en compression. Les méthodes d’analyse classiques sont donc difficilement extrapolables aux matériaux composites et les méthodes énergétiques se sont imposées naturellement. La méthode de Rayleigh-Ritz largement utilisée en aéronautique a fait l’objet de développements spécifiques pour s’adapter aux matériaux composites. Cette méthode est détaillée dans le chapitre suivant.

II-1.3.2

Méthode de Rayleigh-Ritz en composites

La méthode de Rayleigh-Ritz [SINGER 1998] est une méthode énergétique basée sur la même théorie que celle utilisée en éléments finis mais qui permet de réduire considérablement la taille du problème en proposant a priori des fonctions d’interpolation adaptées. La méthode est généralement utilisée pour déterminer le seuil de plissement du panneau, considéré comme le premier mode de flambement.

Soit ΠI l’énergie potentielle correspondant à l’état d’équilibre avant flambement et ΠII celle

qui correspond à l’état d’équilibre juste après le flambement :

ΠII = ΠI + δΠ (Eq II- 34)

Il y a flambement quand δΠ=0.

Cette méthode est générale et permet de traiter un grand nombre de problèmes. Nous choisissons ici de présenter son développement pour un panneau raidi de dimensions B/L. La variation du potentiel élastique s'écrit :

(

)

¦

¦³

³

³

³

³

³³

= =₌ = = = = = = = = = = ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ + » » ¼ º « « ¬ ª ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ∂ ∂ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ∂ ∂ − ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ∂ ∂ + ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ + » » ¼ º « « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ + ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ + » » ¼ º « « ¬ ª ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ + ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ + » » ¼ º « « ¬ ª ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ + ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ + » » ¼ º « « ¬ ª ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ∂ ∂ + ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ∂ ∂ + + + + + + = k q q r rn N q x_yx_y l N n L y y y y rn rn y rn rn rn rn B L x x y L B y y x B L x x y L B y y x L B xy y xy x y x xy y x x w K dx x x Cw E x J G x w I E dy x w x w RK dx y w y w RK dy y y GJ dx x x GJ dy dx D D D D D D U 1 2 1 0 3 3 ' 2 ' 2 2 2 ' 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 23 13 12 2 33 2 22 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 θ θ θ θ θ θ θ κ κ κ κ κ κ κ κ κ δ où : ₂ 2 x w x ∂ ∂ − = κ 2 2 y w y ∂ ∂ − = κ y x w xy ∂ ∂ ∂ − = 2 2 κ ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ = y w y θ ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ = x w x θ 0 0 = = _¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ = y y y w θ B y B y y w = = _¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ = θ 0 0 = = ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ = x x x w θ L x L x x w = = ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ = θ avec : w W x jy n i n j i ij x y β α

¦¦

= = = 1 1 sin

sin (Eq II- 36)

B j L i j i π β π α = =

w est une fonction d’interpolation pour le flambement dont chaque terme doit satisfaire aux conditions aux limites de la structure. Des sinusoïdes sont généralement utilisées car elles permettent de représenter correctement la déformée des panneaux raidis en phase de post-flambement.

nx et ny définissent le nombre de termes de la base tronquée (« précision » de la projection). δU est la variation du potentiel élastique et [D] est la matrice de rigidité en flexion du stratifié.

(Eq II- 35) Condition d’appuis simples

Rigidités en rotation sur les bords du panneau

Rigidités en flexion sur les bords du panneau

Contribution des raidisseurs Rigidités de torsion locales

La formulation du potentiel élastique comporte sept termes. Le premier terme prend en compte la condition d’appui simple du panneau, les 2ème et 3ème prennent en compte la rigidité en rotation sur les bords du panneau. Il en est de même pour les 4èmes et 5èmes termes mais en flexion. L’avant dernier terme prend en compte la contribution des raidisseurs pendant que le dernier permet de prendre en compte la contribution des rigidités en torsion locales qui peuvent être ajoutées afin d'affiner les conditions aux limites.

La variation de l’énergie potentielle due aux forces extérieures s’écrit :

¦ ³

³³

₌ = ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ + » » ¼ º « « ¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ + ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ + ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ = r rn N n L y y rn L B xy y x dx x w P dy dx y w x w F y w F x w F V 1 0 2 0 0 2 2 2 1 2 2 1 λ λ λ λ δ (Eq II- 37)

avec Fx,FY,FXYles flux d'efforts dans les deux sens de compression ainsi que le flux de cisaillement et P des charges discrètes aux frontières du panneau. _rn λ représente le facteur de charge. On peut écrire :

V U δ δ

δΠ= + (Eq II- 38)

Pour que δΠ=0 il faut trouver les valeurs des coefficient Wij qui minimisent δΠ soit :

( )

₌₀ ∂ Π ∂ ij W δ _{(Eq II- 39)} et

( )

=0Ÿ

[

[ ] [ ]

+

]{ } { }

= 0 ∂ Π ∂δ _{Q λ T W} ij W (Eq II- 40)

{ }

W Vecteur colonne formé par les coefficients inconnus Wij

[ ]

T Matrice symétrique obtenue par dérivation du potentiel élastique par Wij

[ ]

Q Matrice symétrique obtenue par dérivation du potentiel des efforts extérieurs par Wij.

La condition est que :

[ ] [ ]

(

)

0

det Q + Tλ = (Eq II- 41)

Les solutions correspondent aux valeurs propres de flambement. La charge de plissement est obtenue en multipliant la charge appliquée par la plus petite des valeurs propres trouvées.