Simulation des grandes échelles des instationnarités basses fréquences d'une interaction onde de choc - couche limite sur plaque plane

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basses fréquences d’une interaction onde de choc

-couche limite sur plaque plane

Guillaume Aubard

To cite this version:

Guillaume Aubard. Simulation des grandes échelles des instationnarités basses fréquences d’une

inter-action onde de choc - couche limite sur plaque plane. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Arts

et Métiers ParisTech, 2012. Français. �NNT : 2012ENAM0019�. �pastel-00728991�

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Introdu tion 5

1 Méthodes numériques pour les é oulements hautes vitesses 11

1.1 Introdu tion . . . 11

1.2 Equations 3D résolues . . . 16

1.3 S hémas de dis rétisationspatiale . . . 17

1.3.1 Diéren es niesstandards . . . 18

1.3.2 Diéren es niesoptimisées . . . 18

1.4 Avan ementtemporel . . . 19

1.4.1 S hémas de Runge-Kuttastandards . . . 20

1.4.2 S hémas de Runge-Kuttalinéaires àsto kage réduit . . . 21

1.4.3 S hémas de Runge-Kuttaoptimisés . . . 22

1.5 Méthode de ltrageséle tif . . . 23

1.5.1 Filtresstandards . . . 24

1.5.2 Filtresoptimisés . . . 25

1.6 Conditions aux limites . . . 25

1.6.1 Conditionsaux limites de paroi . . . 25

1.6.2 Conditionsaux limites de non-réexion . . . 26

1.6.3 Elaborationd'une zone éponge . . . 28

1.7 Parallélisationdu solveur . . . 29

1.8 Stratégies de apture de ho . . . 32

1.8.1 LimiteursTVD etMP . . . 32

1.8.1.1 Prin ipeet interprétation géométrique . . . 32

1.8.1.2 Résultatsen s alaire . . . 36

1.8.1.3 Extensionen 2D . . . 37

1.8.2.1 Vis ositéarti ielle- ANAD. . . 42

1.8.2.2 Filtragenon-linéaire- ANSF . . . 43

1.8.2.3 Comparaisondes méthodes . . . 44

1.9 Con lusion . . . 51

2 Conditions d'entrée instationnaires 55 2.1 Introdu tion . . . 55

2.1.1 Te hniques de re y lage . . . 56

2.1.2 Te hniques de génération de turbulen e synthétique . . . 57

2.2 Méthodes de génération de turbulen e synthétique . . . 58

2.2.1 Présentation des deux méthodes testées . . . 58

2.2.1.1 Laméthode des modes de Fourieraléatoires (RFM) . . . 58

2.2.1.2 Laméthode de génération de stru tures synthétiques (SEM) . . . 61

2.2.2 Comparaisondes deux méthodes sur le as de la ou he limite supersonique . 64 2.2.2.1 Paramètres physiques etnumériques . . . 64

2.2.2.2 Comparaisondes méthodes . . . 65

2.2.2.3 Dis ussionsur lesméthodes de génération de turbulen e synthétique 71 2.3 Méthode de bypass numérique . . . 73

2.3.1 Quelqueséléments sur la transitionen ou he limite . . . 73

2.3.2 Présentation de la méthodologie . . . 74

2.3.3 Validationde laméthode de bypass numérique . . . 75

2.4 Con lusion . . . 83

3 Dis ussion sur la Simulation des Grandes E helles 85 3.1 Formulation des équationsde Navier-Stokes en SGE . . . 85

3.2 Le problème de fermeture . . . 88

3.2.1 Modèles fon tionnels . . . 89

3.2.1.1 Modèle de Smagorinsky (SM) . . . 90

3.2.1.2 Modèle de Smagorinsky dynamique(DSM) . . . 91

3.2.1.3 Modèle multié helle (MSM) . . . 92

3.2.2 Modèles stru turels . . . 93

3.2.2.1 Modèle de dé onvolution appro hée (ADM) . . . 93

3.2.2.2 Modèle de régularisation (RT) . . . 95

3.2.3 Modèles mixtes . . . 96

3.2.3.1 Modèle mixteSM/SS . . . 96

3.2.3.2 Modèle mixteDSM/SS . . . 96

3.3 Tourbillonde Taylor-Green. . . 97

3.3.1 Inuen e des paramètres numériques : s héma spatialet méthodologie RT . . 99

3.3.2 Comparaisondes appro hes SGE . . . 102

3.4 Cou he limite turbulentesupersonique . . . 106

3.4.1 Simulationnumérique dire te . . . 106

3.4.2 Cal ulpar SGE : onvergen e en maillage . . . 115

3.4.3 Comparaisondes appro hes de SGE. . . 118

3.4.3.1 Modi ation des modèles de turbulen e . . . 118

3.4.3.2 Comparaisondes diérentsmodèles . . . 118

3.5 Con lusion . . . 124

4 L'intera tion onde de ho / ou he limite 127 4.1 Des ription de l'é oulement . . . 127

4.1.1 Organisationmoyenne . . . 127

4.1.2 Organisationdynamique . . . 130

4.2 Mé anismes d'instationnaritébasse fréquen e. . . 142

5 SGE de l'intera tion onde de ho / ou he limite 149 5.1 Introdu tion . . . 149

5.2 IOCCL turbulente pour un anglede dée teur de ho

φ =

8

◦

. . . 149

5.2.1 Paramètres physiques etnumériques . . . 149

5.2.2 Miseen pla ede la apture de ho en turbulent. . . 152

5.2.3 Visualisationsinstantanées . . . 154

5.2.4 Comparaisonave les référen es numériques . . . 154

5.2.4.1 Champmoyens . . . 154

5.2.4.2 Intensités turbulentes . . . 159

5.2.5 Comparaisonave la référen eexpérimentale . . . 162

5.3 IOCCL turbulente pour un anglede dée teur de ho

φ =

9

◦

. . . 165

5.4 Con lusion . . . 166

6 Aspe ts instationnaires de l'IOCCL 169 6.1 Présentation de labase de donnée . . . 169

6.4 Dynamique de la zone de re ir ulation . . . 181

6.5 Lien ave la dynamiquedu ho réé hi etde la ou he de mélange . . . 191

6.6 Con lusion . . . 195

Lesintera tions entre ondes de ho et ou hes limites (IOCCL) sont des phénomènes ouramment

ren ontrés dans lesdomaines de l'aéronautiqueet de l'aérospatiale.Elles apparaissent de façon

sys-tématique lorsque des é oulements hautes vitesses (transsoniques ou supersoniques) subissent une

forte ompression générée par un gradient de pression externe ou par un hangement de géométrie

de la surfa e sur laquelle ils évoluent. Elles sont présentes dans de nombreuses ongurations, en

aérodynamiqueinterne ommedansles asdes pâles de ompresseurs (gure1gau he) oudes aubes

de turbines (gure 1 droite), et en aérodynamique externe omme dans le as des entrées d'air

de véhi ules supersoniques (gure 3), des tuyères surdétendues (gure 2b), ou en ore des prols

transsoniques (gure2a).

S'ilssont d'intensité susante, les phénomènes d'IOCCL ont des eets néfastes sur les appli ations

aéronautiques,notamment une forte augmentation de la traînée aérodynamiqueliée à lagénération

d'é oulements dé ollés, et de fortes variations de température au niveau des parois des stru tures

aéronautiques. Les IOCCL sont également le siège d'instationnarités à des fréquen es de l'ordre de

la entaine de Hertz, qui onstituent une sour e d'ex itation aérodynamique. Ce phénomène basse

fréquen e, qualié de "tremblement aérodynamique" (buet), est à l'origine d'importantes

u tua-tions de pression pariétale qui font vibrer les stru tures aéronautiques, pouvant ainsi ae ter leur

intégritémé anique. Il s'agit d'un phénomène très robuste, observéaussi bien en tuyère que sur une

ailed'avion,et pour une large gamme de nombre de Reynolds.

Pour esraisons,lesphénomènesd'IOCCLontétélesujetd'importantesre her hes depuislesannées

1940 et les premières étude sur des as de prols d'ailes en régime transsonique. Malgré la grande

diversité et la omplexité des ongurations industrielles on ernées par les phénomènes d'IOCCL,

la plupart des études publiées se sont on entrées sur trois as, elui du prol d'aile en régime

transsonique (gure 4), elui du ho oblique impa tant une plaque plane (gure 5) et elui de la

rampe de ompression (gure 6). Ces trois ongurations semblent représentatives de la topologie

et de la dynamique instationnaire de la plupart des ongurations industrielles, et on s'attend à e

Figure1Exemplesde ongurationsindustrielles on ernéesparlephénomèned'IOCCL:gau he:pâles

de ompresseurs(S hlieren. CourtesyofRolls-Roy eDeuts hland, DLRCologne), droite :aubesdeturbines

(S hlieren. CourtesyofRolls-Roy eDeuts hland,DLR Gottingen).

(a) (b)

Figure 2  Exemples de ongurations industrielles on ernées par le phénomène d'IOCCL : (a) prol

transsonique(sour e:ONERA);(b) tuyèresurdétendue

d'un gradient de pression adverse entraîne une dé élération de l'é oulement en pro he paroi et un

épaississementdela ou helimitein idente.Celle- iimposesapropredéviationàl'é oulementexterne

et génère des ondes de ompression qui forment une onde de ho parfois qualiée de ho réé hi.

L'intensité du ho formé est liée à la déviation de l'é oulement et don à l'intensité du gradient

de pression adverse. Si e dernier est susamment fort, la ou he limite dé olle et forme une zone

de re ir ulation. L'é oulement en aval de l'intera tion relaxe alors lentement vers une ou he limite

turbulenteàl'équilibre.Lestrois ongurationsprésentées sedistinguentpar l'originedu gradientde

pressionadverse, uneondede ho externe(qualiéede ho in ident)dansle asdu ho impa tant

uneplaqueplane(gure5),un hangementde géométriedansles asduproltranssonique(gure4)

etdelarampede ompression(gure6).Pourlestrois as,lesinstationnaritésàbassefréquen esont

Figure3  Exemplesde ongurations industrielles on ernées par le phénomène d'IOCCL :entrée d'air

devéhi ule supersonique (sour e:NASA).

des fréquen es beau oup plus bassesque elles de la ou he limite amont.

Figure4  Prold'aile transsonique(simulation RANS/LESd'aprèsGarnier &De k(2008).

Lesrevues sur l'IOCCLlesplus ré entes, réaliséespar Dolling(2001) etClemens &Narayanaswamy

(2009)retra entles premières expérimentations réaliséesdepuisles années40et baséessur l'analyse

de signaux de pressionpariétale jusqu'aux expérimentations plus ré entes ou des méthodes de type

PIV ont permis d'avoir une onnaissan e plus approfondie de l'é oulement. Ces études soulignent

quel'on possède aujourd'huiune bonne des ription de la topologiede es é oulementsainsi que des

phénomènesdynamiquesqui les ara térisent.Cependant, lemé anisme àl'originedes

instationnar-ités basses fréquen es est en ore mal ompris. La plus grande partie des études sur la dynamique

per-Figure5  Cho obliqueimpa tant une plaque plane(d'après Shahab, ommuni ation privée).

misde reproduire orre tement ette dynamique. Or, lessimulationsnumériques donnenta ès aux

grandeurs(pression,température,vitesse)surl'ensembledel'é oulementet onstituentdon unoutil

pré ieux pour en étudier la dynamique. Les méthodes de type RANS ont été développées

initiale-ment pour des é oulements stationnaires, et peinent à reproduirent les propriétés moyennes du as

d'IOCCL. Ce relatif é he réside en partie dans la nature hors équilibre de la turbulen e qui se

traduit par l'existen e de stru tures ohérentes ayant une dynamique spatio-temporelle pré ise. De

plus, lesméthodes RANS ne peuvent reproduire de façonprédi tivedes phénomènesinstationnaires

lorsqu'ils ne sont pas globaux, intenses etrelativementmono fréquentiels. Ces fortes limitationsdes

méthodes RANS ontorientélesétudes numériquessur l'IOCCL vers l'emploide méthodes plus

oû-teuses de type simulation des grandes é helles (SGE) ou simulation numérique dire te (SND) qui

donnent a ès au ara tère instationnaireet tridimensionnel inhérent au as d'IOCCL. Des

simula-tions par SND (notamment Pirozzoli & Grasso (2006), Wu & Martin (2008), Priebe et al. (2009),

Priebe &Martin (2012))et par SGE (notamment Adams (2000),Garnier &Sagaut(2002), Loginov

et al. (2006), Touber & Sandham (2009), Morgan et al. (2011b))ont ainsi reproduit ave su ès les

propriétésmoyennes des ongurations de ho impa tantuneplaque planeetde rampede

ompres-sion. Cependant, seules lessimulations lesplus ré entes ontpermis de résoudre un nombre susant

de y les basses fréquen es pour en ara tériser la dynamique, la première à posséder un temps

Figure 6 Rampe de ompression (SNDd'après Priebe &Martin (2010)).

Obje tifs de l'étude

C'estdans e adredemontéeen puissan edesmoyensde al ulinformatiquesques'ins ritmathèse

surl'étudedu asd'IOCCLturbulente. L'obje tifde etteétudeest double,ave unvoletnumérique

important on ernant le développement et la validation d'un solveur numérique apable de traiter

les é oulements turbulents ompressibles en présen e d'ondes de ho , et un volet physique où l'on

souhaite ara tériser etétudier lesinstationnaritésbasses fréquen es du as d'IOCCL.

Cette thèse s'ins rit dans le adre du projet ANR SPICEX (Simulationsnumériqueshautes

Perfor-man es d'une Intera tion onde de Cho / ou he limite en E oulement eXterne) dont l'obje tif est

d'améliorerles apa itésprédi tivesdessimulationsnumériquesdansle as d'é oulementsdé ollésen

présen e d'ondes de ho s, en travaillantà lafois sur lesméthodes numériqueset lamodélisationde

laturbulen e. Ce projets'attaque à deux ongurations quirésistent en ore aux méthodes de types

RANS: le as d'un ho oblique impa tantune plaque planeet le as du prol transsonique.

Ausein de e projet, ettethèse se on entre sur le as du ho obliqueimpa tant une plaqueplane

ave une appro he de type SGE, moins oûteuse qu'une appro he par SND, et qui doit permettre

d'avoir un temps d'intégration susamment long pour a éder à la dynamique basse fréquen e du

phénomènede tremblement.

L'étude se déroule en trois temps, tout d'abord le développement d'un outil numérique apable de

s'attaquerau asd'IOCCLturbulente,puislaréalisationdesimulationsdu asd'IOCCLnotamment

d'unebase dedonnée issuedes pré édents al ulsan d'améliorerla ompréhension des phénomènes

d'instationnaritésà basses fréquen es.

Organisation du mémoire

Lemanus rit est ainsiorganiséen deux temps,lestroispremiers hapitresse on entrentsur lamise

enpla e du solveur numérique,etlestrois hapitressuivantsse on entrentsur le as d'IOCCLd'un

pointde vuenumériquepuis physique.

Plus pré isément, le premier hapitre rappelle le squelette de la stratégie numérique du solveur

ompressible subsonique initialementprésent et détaille les essais réalisés pour mettre en pla e une

apture de ho e a e etpeu oûteuse. Lese ond hapitre présente lesrésultatsobtenuslorsde la

miseenpla ede onditionslimitesd'entréeinstationnaire.Letroisième hapitreprésentelavalidation

dusolveurdansun ontextedeSGE,ets'intéresseàuneéventuelleaméliorationdelastratégieinitiale

par l'ajout de modèles de sous-mailleexpli ites.Au quatrième hapitreest réaliséeune présentation

du as d'étude nal ainsi que de sa dynamique basse fréquen e et des s énarios proposés pour en

expliquer l'origine. Les simulations du as d'IOCCL réalisées dans ette étude sont présentées et

valiséesdans le5ème hapitre.Enn,le6èmeetdernier hapitres'intéresse àladynamiquemoyenne

etbasse fréquen e du as d'IOCCL et tentede rassembler quelques résultats ré ents en un dis ours

Méthodes numériques pour les é oulements

hautes vitesses

Ce hapitre dé rit le oeur de la stratégie numérique qui a été adoptée dans ette étude. La

stru -ture du ode de al ul subsonique déjà présent au début de la thèse (s héma spatial, avan ement

temporel, modélisation de sous-maille) est présentée dans un premier temps. Puis l'adaptation du

solveur pour traiter des as supersoniques est détaillée, ave la mise en pla e de onditions

lim-ites ara téristiques de non-réexion, et la re her he d'un dispositif de apture de ho e a e et

adaptéà la stratégie numérique initiale.Un travailimportant on erne lepassage d'une

parallélisa-tion sur quelques pro esseurs de super al ulateurs ve torielsNEC àune parallélisationmassive,qui

vapermettredes'orienterversl'utilisationd'ar hite turesmassivementparallèles, ommeles lusters

disponibles ausein de GENCI (GrandEquipement Nationalde Cal ulIntensif).

1.1 Introdu tion

LesIOCCL instationnairessont ara tériséesparlaprésen ed'unelargegammedefréquen es

répar-tiessurplusde plusdetroisdé ades,desnesé hellesde laturbulen eamontjusqu'auxmouvements

bassesfréquen es du ho réé hi.Jusqu'à présent,lesméthodes de type Reynolds-averaged

Navier-Stokes (RANS) n'ont pas permis de reproduire orre tement es instationnarités et peinent en ore

à prédire les propriétés moyennes de l'é oulement omme la vitesse de frottement (Dolling (1998)).

Dansla revue de Dolling(1993), elui- i va jusqu'àé rire à proposdes simulationsRANS : "To the

author's knowledge, no unsteady omputations of sho k-indu ed turbulent separation and

reatta h-ment have been made from wi h u tuating loads levels and spe tra an be extra ted". Ré emment,

Pirozzoli et al. (2009) ont montré sur le as du ho oblique impa tant une plaque plane que des

données utiles omme l'ordre de grandeur de l'amplitude des u tuations de pression au pied du

méthodes RANS ont orienté les études numériques sur l'IOCCL vers l'emploide méthodes de type

simulation des grandes é helles (SGE) ou simulation numérique dire te (SND) qui permettent de

reproduire le omportement instationnaire et tri-dimensionnelinhérent au as d'IOCCL. Des

simu-lationspar SND (notamment Pirozzoli& Grasso (2006), Wu & Martin (2008), Priebeet al. (2009),

Priebe &Martin (2012))et par SGE (notamment Adams (2000),Garnier &Sagaut(2002), Loginov

et al. (2006), Touber & Sandham (2009), Morgan et al. (2011b)) ontainsi reproduit ave su ès les

propriétésmoyennes des ongurations de ho impa tantuneplaque planeetde rampede

ompres-sion. Cependant, seules lessimulations lesplus ré entes ontpermis de résoudre un nombre susant

de y les bassesfréquen espouren ara tériserladynamique.Lapremièreàposséderuntemps

d'in-tégration susant est la simulationpar SGE de Touber& Sandham (2009), démontrantla apa ité

des méthodes SGE àreproduire le ara tère large bande de es instationnarités.

On se limite don dans ette introdu tion aux méthodes SGE et SND des é oulements turbulents

en présen e d'ondes de ho s d'amplitudes faibles (pour des nombres de Ma h inférieurs à 3). On

se restreint également au formalisme des diéren es nies. L'obje tif n'est pas de réaliser une liste

exhaustive des stratégies de simulation existantes mais de donner un adre dans lequel s'ins rit la

méthodologiedéveloppée dans etteétude.Unerevuedes méthodesnumériquespour lesé oulements

hautesvitesses a été réalisée ré emment par Pirozzoli (2011).

Lasimulationd'é oulementsturbulentsen présen ed'ondes de ho sest en oreàl'heurea tuelleun

problèmedéli at.Lalargegammed'é hellesprésentedansl'é oulementimpliquel'emploides hémas

numériques pré is et peu dissipatifs. De part leur nature peu dissipative, es s hémas ont du mal à

traiterlesos illationsde Gibbsgénéréesauniveaudesdis ontinuités.Cesos illationsparasites

pollu-entainsileszones régulièresde l'é oulementetpeuvent ae terlaqualité voirla stabiliténumérique

de la simulation. Or, dans la plupart des é oulements turbulents en présen e d'ondes de ho , une

séparation nette entre les zones régulières et les dis ontinuités peut être réalisée. Les stratégies de

apture de ho sont don onstruites de façon à posséder un ara tère dissipatif aux abords des

dis ontinuités tout en gardant un ara tère pré is dans les zones régulières. Un élément lé de es

s hémasestlesenseur ouswit hspatialdontlerleestde déte terlesdis ontinuitésetquipermetde

restreindrela dissipation autourde elles- i. Unestratégiede apture de ho est don omposée de

 Stratégie pour traiter les zones régulières de l'é oulement :

En raison de leur ara tère non dissipatif, les s hémas entrés sont souvent utilisés pour les SGE

oules SND. Que e soitsous formeexpli ite ouimpli ite(s hémas ompa ts), ilest alors possible

de her her à atteindre un ordre formel au sens des séries de Taylor, ou bien de minimiser une

erreur de dispersion en se plaçant dans l'espa e spe tral (s hémas DRP pour dispersion relation

preserving introduits par Tam& Webb (1993)).

A hauts nombres de Reynolds, l'utilisationde s hémas entrés entraîne ependant l'a umulation

d'erreurs d'aliasing onduisant généralement à la génération d'instabilités numériques. Il existe

diérentes appro hes pour stabiliser es s hémas.On peut iter notamment l'utilisationd'une

vis- osité arti ielle (Jameson et al. (1981); Tam et al. (1993)) etl'emploi d'un ltraged'ordre élevé

(Lele (1992);Visbal&Gaitonde(1999);Visbal&Rizzetta(2002);Bogey&Bailly(2004);Morgan

et al. (2011b)). D'autres méthodes onsistent à assurer la onservation de l'énergie de façon

dis- rète à l'aide d'un splitting des dérivées onve tives (notamment Du ros et al. (2000), Honein &

Moin(2004), Pirozzoliet al.(2009); Pirozzoli(2011);Pirozzoli& Bernardini(2011)),ouen ore la

onservation de l'entropie defaçondis rèteàl'aide d'uneméthode d'entropy splitting(notamment

Yee et al.(2000), Touber& Sandham (2009)).

La stratégie adoptée pour ette étude est basée sur l'appli ation d'un ltre d'ordre élevé. Plus

pré isément, ette stratégie onsiste en l'emploi de s hémas DRP ombinés à un ltrage séle tif

optimisé dans l'espa e de Fourier. Le détail de la pro édure de ltrage est donnée au paragraphe

1.5, et l'utilisation de ette pro édure omme terme de régularisation pour la SGE est dis utée

dans le hapitre 3.

 Stratégie pour traiter les dis ontinuités :

Parmis les s hémas lassiques de apture de ho , les s hémas TVD (total variation diminishing)

apturent bien les dis ontinuités mais sont trop dissipatifs dans les zones régulières ar limités au

premier ordre au niveau des extréma. Des modi ations de la ontrainte TVD ont été

dévelop-pées (Suresh &Huynh (1997), Touber& Sandham (2009)). Daru &Tenaud (2004),par exemple,

appliquent une ondition de préservation de la monotoni ité (monotoni ity-preserving, MP). Ces

modi ations permetent de maintenir un ordre très élevé au niveau des extréma et font de ette

Issusdes s hémasTVD,lesfamillesdes hémasessentiallynonos illatory(ENO)/weighted

essen-tially nonos illatory (WENO) (Harten et al. (1987); Liu et al. (1994)) sont ouramment utilisées

dans les simulations dire tes ou les simulations des grandes é helles en raison de leur robustesse

(Garnier&Sagaut (2002)).Garnieret al.(1999) ont ependant montré que es s hémas sonttrop

dissipatifsetmasquentleseets desmodèlesdesous-mailledansun ontextedeSGE.Deplus,leur

oût CPU est très important, e qui les rend peu adaptés pour des simulations à hauts nombres

de Reynolds.Ilest ependantpossibled'utiliseruns héma ENO/WENOde manièreuniquement

lo ale et de swit her sur un s héma d'ordre élevé en dehors des dis ontinuités. Cette appro he

quel'on peut qualierd'hybride aétéappliquéenotammentpar Pirozzoli& Bernardini(2011)qui

swit hent entre des s hémas entrés d'ordre7etun s hémaWENO d'ordre5 àl'aided'un senseur

de Du ros et al.(1999). Adams (2000) ombine un s héma ompa t d'ordre6 et un s héma ENO

d'ordre 5.

Une famille de méthodes de apture de ho est basée sur l'utilisationd'une vis osité arti ielle.

Développéinitialement par Jameson et al. (1981)pour stabiliserles simulationsnumériques

om-pressibles, e on ept a été utilisé ave su ès omme méthode de apture de ho . Kim & Lee

(2001) ontdéveloppé une versionadaptativenomméeANAD (pour adaptativenonlinear arti ial

dissipation),quipermetdeswit herentreun termededissipationd'ordre2etuntermede

dissipa-tiond'ordre4selonquel'on estenprésen eounon d'unedis ontinuité.Ilest égalementpossiblede

rempla erl'emploide termesde vis ositépar uneopérationdeltragenonlinéaire.Cettestratégie

aétéemployéenotammentparVisbal&Gaitonde(2005),etBogeyetal.(2009)(ANSFpour

adap-tative nonlinear sele tive ltering). Ainsi, au lieu de swit her entre une vis osité d'ordre élevé et

une vis ositéd'ordre faible, ette stratégiepermetde swit her entre un ltraged'ordreélevé etun

ltraged'ordrefaibleauxabordsdesdis ontinuités.Uneautresolution,proposéeparJohnsenetal.

(2009)etamélioréeparKawaietal.(2010),estlaméthodeLAD(lo alizedarti ialdiusivity).La

dissipationestintroduiteparl'ajoutde oe ientsarti ielsaux oe ientsphysiquesdetransport

des équations. Un senseur permet de supprimer toute dissipation en dehors des dis ontinuités et

un ltragenon-linéaireestutilisépourstabiliserleszonesrégulièresdel'é oulement.Ces méthodes

peu oûteusessontunealternativeintéressanteauxméthodesplustraditionellesde apturede ho .

Laplupartdes stratégies de apture de ho reposent don sur l'emploid'un senseur, et leur

perfor-man es dépendent de la qualité du senseur utilisé pour distinguer les ho s des u tuations

etal.(1999)basésurle hampde dilatation.Desvariantesdusenseur originelsontsouventemployées

(Garnier&Sagaut (2002),Touber &Sandham (2009), Pirozzoliet al. (2009),Hadjadj et al. (2010),

Pirozzoli (2011); Pirozzoli & Bernardini (2011), Agostini (2011)). Un senseur basé sur le hamp de

pressiona été proposé par Jameson et al. (1981)et est utilisé par la méthode ANAD.

Une version existante du solveur ompressible, utilisé dans le adre de simulations aéroa oustiques

subsoniques, a été adaptée pour les é oulements hautes vitesses dans le adre de ette étude. La

première étape a été la mise en pla e de onditions limites ara téristiques de non-réexion pour

traiter proprement des as d'é oulements supersoniques. Une étude prospe tive sur les stratégies

de apture de ho a été réalisée dans un se ond temps. Cette étude s'appuie sur des résultats

préliminairesobtenusaulaboratoireDynFluidparVirginieDaru,XavierGloerfelt,etJulienBerland.

Deuxpistes ontété exploréespour la apture de ho :l'extensionTVD etMPdes s hémas DRP, et

le ouplage des s hémas DRP ave les méthodes ANAD etANSF. Lesrésultats obtenus on ernant

l'extensiondusolveurpourlesupersoniquesontprésentés dans e hapitre.Unese tionestégalement

1.2 Equations 3D résolues

Les équations de Navier-Stokes en formulation onservative pour un maillage artésien

(x, y, z)

s'é rivent :

∂U

∂t

+

∂F

∂x

+

∂G

∂y

+

∂H

∂z

= 0

(1.1) ave :

U

= (ρ, ρu, ρv, ρw, ρE)

T

F

= F

e

− F

ν

+ q

x

G

= G

e

− G

ν

+ q

y

H

= H

e

− H

ν

+ q

z

où l'indi e

e

orrespond à la partie Euler et l'indi e

ν

à la partie visqueuse des ux.

q

x

,

q

y

et

q

z

orrespondent aux trois omposantes du ux de haleur dénies par

q

α

= −(µc

p

/P

r

)(∂T /∂α)

où

µ

est la vis osité dynamique molé ulaire,

P

r

est le nombre de Prandtl et

c

p

le oe ient de haleur

massique à pression onstante. Les ux onve tifs

F

e

, G

e

et

H

e

et les ux visqueux

F

ν

, G

ν

et

H

ν

sont donnés par les expressions suivantes :

F

e

=













ρu

ρu

2

_{+ p}

ρuv

ρuw

(ρE + p)u













F

ν

=













0

σ

xx

σ

xy

σ

xz

uσ

xx

+ vσ

xy

+ wσ

xz













G

e

=













ρv

ρuv

ρv

2

_{+ p}

ρvw

(ρE + p)v













G

ν

=













0

σ

xy

σ

yy

σ

yz

uσ

xy

+ vσ

yy

+ wσ

yz













H

e

=













ρw

ρuw

ρvw

ρw

2

_{+ p}

(ρE + p)w













H

ν

=













0

σ

xz

σ

yz

σ

zz

uσ

xz

+ vσ

yz

+ wσ

zz













(1.2)

ρ

,

p

,

u, v

et

w

étant respe tivement la masse volumique, la pression etles omposantes horizontale,

verti ale ettransversale de la vitesse.

E

représente l'énergieinterne totale déniepar :

lesystème étant fermé par l'équationdes gaz parfaits :

p = ρrT ,

où

T

représente la température et

r

la onstante des gaz parfaits. Les omposantes du tenseur des

ontraintes visqueuses sont elles d'un uide newtonien :

σ

xx

= µ



2

∂u

∂x

−

2

3



∂u

∂x

+

∂v

∂y

+

∂w

∂z



σ

xy

= µ



∂u

∂y

+

∂v

∂x



σ

xz

= µ



∂u

∂z

+

∂w

∂x



σ

yy

= µ



2

∂v

∂y

−

2

3



∂u

∂x

+

∂v

∂y

+

∂w

∂z



σ

yz

= µ



∂v

∂z

+

∂w

∂y



σ

zz

= µ



2

∂w

∂z

−

2

3



∂u

∂x

+

∂v

∂y

+

∂w

∂z



La vis osité dynamique

µ(T )

est déterminée à partir de la loi empirique de Sutherland dont le

do-mainede validité s'étend entre 100 Ket 1900 K:

µ(T ) = µ

0



T

T

0



3

2

T

0

+ 110, 4

T + 110, 4

où

T

0

=

273,16 K et

µ

0

=1,711

×

10

5

kg.m

−1

.s

−1

représentent respe tivement la température et la

vis ositédynamique de référen epour l'air.

1.3 S hémas de dis rétisation spatiale

Less hémasutilisésdans etteétudeontétédéveloppésdansun adredesimulationsaéroa oustiques.

Ils'agitde s hémas auxdiéren es nies entrées d'ordreélevé,assurantune erreurde dis rétisation

trèsfaible.Deplus, ess hémassontoptimisésdansl'espa edeFourier, 'est-à-direquel'onminimise

etteerreursur unelargegammede nombresd'ondean d'utiliseraumieux ladis rétisation hoisie.

Les s hémas utilisés dans ette étude sur un sten il de 11 points ont ainsi une résolvabilité de 4

pointspar longueurd'onde. L'obje tifde etteoptimisationest de maîtriserlalimitede résolvabilité

du maillagean de onnaître la oupure entre lesnombres d'onde résolus etnon résolus.

On ommen e par présenter les diéren es nies entrées standards, dont l'ordre est déterminé par

l'erreur de tron ature de la série de Taylor orrespondante. On s'intéresse ensuite aux propriétés

1.3.1 Diéren es nies standards

Unedérivée spatiale

∂f /∂x

est approximée par :

∂f

∂x

(x

0

) =

1

∆x

N

X

j=−N

a

j

[f (x

0

+j∆x))] =

1

∆x

N

X

j=1

a

j

[f (x

0

+j∆x)−f(x

0

−j∆x)]

où

a

j

= −a

−j

(1.3)

On annulelestermes du développement de Taylor de

f

jusqu'àl'ordre

∆x

2N −1

in lus :

f (x

0

+ j∆x) = f (x

0

) + j∆xf

′

(x

0

) +

(j∆x)

2

2!

f

′′

(x

0

) +

(j∆x)

3

3!

f

′′′

(x

0

) +

(j∆x)

4

4!

f

(4)

_(x

0

) + ...

f (x

0

− j∆x) = f(x

0

) − j∆xf

′

(x

0

) +

(j∆x)

2

2!

f

′′

_(x

0

) −

(j∆x)

3

3!

f

′′′

_(x

0

) +

(j∆x)

4

4!

f

(4)

_(x

0

) + ...

d'où

∂f

∂x

(x

0

) =

1

∆x

N

X

j=1

a

j



2j∆xf

′

(x

0

) +

2j

3

_∆x

3

3!

f

′′′

(x

0

) +

2j

5

_∆x

5

5!

f

(5)

_(x

0

) +

2j

7

_∆x

7

7!

f

(7)

_(x

0

) + ...



Les oe ients

a

j

sont alors solutions du système suivant :































































N

X

j=1

2ja

j

= 1

N

X

j=1

j

3

a

j

= 0

. . .

N

X

j=1

j

2N −1

a

j

= 0

N

relations

→

ordre

2N

Analyse dans l'espa e de FourierEnee tuantlatransformée de Fourier de (1.3),on dénitun

nombre d'onde ee tif du s héma aux diéren es nies

k

⋆

:

k

⋆

∆x = 2

N

X

j=1

a

j

sin (jk∆x)

L'erreurde dispersion est donnée par

|k

⋆

_{∆x − k∆x| /π}

. Lenombre d'ondeee tifdes s hémas

stan-dardsest tra é sur la gure1.1 ainsi queson erreurde dispersion.

1.3.2 Diéren es nies optimisées

La résolution est hoisie pour minimiserune erreur de dispersion plutt quemaximiser un ordre au

sens des séries de Taylor. Ce type d'optimisationest appelé DRP (Dispersion Relation Preserving)

eta été introduit par Tam &Webb (1993).Ainsi, on her he àminimiserl'erreur :

E =

Z

ln(k∆x)

h

ln(k∆x)

l

|k

⋆

∆x − k∆x| d(ln(k∆x))

→

_∂a

∂E

j

= 0

0

π/4

π/2

3π/4

π

0

π/4

π/2

3π/4

π

k

∆

x

k*

∆

x

π/16

π/8

π/4

π/2

π

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

k

∆

x

|k

∆

x−k*

∆

x|/

π

Figure1.1 Cara téristiquesdess hémas dansl'espa edesnombres d'onde.Agau he,ontra elenombre

d'ondeee tifdess hémasstandardsd'ordre2( ),4( ),6( ),8( ),10( )enfon tionde

k∆x

.Larelation exa teestfournie par ladroite enpointillés. Adroite, l'erreur dedis rétisation dus héma

auxdiéren esnies estreprésentée ave une é helle logarithmique.

où il faut hoisir les 2 limites

(k∆x)

l

et

(k∆x)

h

. Pour réer un s héma optimisé sur

2N + 1

points

d'ordre

2M

(

M < N

), on vérie les

M

relations annulant les termes du développement de Taylor

jusqu'à

∆x

2M −1

puis on ajoute

M − N

relations

∂E/∂a

j

= 0

pour

j = 1

à

M − N

an d'obtenir un

système de

N

équationsà

N

in onnues

a

j

.

S héma optimisé sur 11 points à l'ordre 4 On résout le système

N

X

j=1

2ja

j

= 1 ;

N

X

j=1

j

3

_a

j

=

0 ;

∂E

∂a

1

= 0 ;

∂E

∂a

2

= 0 ;

∂E

∂a

3

= 0

ave

(k∆x)

l

= π/16

et

(k∆x)

h

= π/2

. Les oe ients sont donnés

dans Bogey & Bailly (2004). L'optimisation du s héma est lairement visible sur la gure 1.2, où

l'erreur de dispersion du s héma optimisé sur 11 points est nettement inférieure à elle du s héma

standard d'ordre10 pour des valeurs de

k∆x

omprises entre

π/4

et

π/2

.

1.4 Avan ement temporel

Il faut disposer d'un algorithme d'intégration temporelle minimisant les erreurs de dispersion et de

dissipation et qui possède une plage de résolution fréquentielle ompatible ave elle des s hémas

spatiaux. Dans ette thèse, seuls les s hémas d'avan ement expli ites de type Runge-Kutta sont

présentés.

0

π/4

π/2

3π/4

π

0

π/4

π/2

3π/4

π

k

∆

x

k*

∆

x

π/16

π/8

π/4

π/2

π

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

k

∆

x

|k

∆

x−k*

∆

x|/

π

Figure1.2 Cara téristiquesdess hémas dansl'espa edesnombres d'onde.Agau he,ontra elenombre

d'ondeee tifdess hémasstandard d'ordre10( )etoptimiséd'ordre4sur11points( )enfon tion

de

k∆x

.Larelationexa teestfournieparladroiteenpointillés.Adroite,l'erreurdedis rétisationdus héma

auxdiéren esnies estreprésentée ave une é helle logarithmique.

intégrerl'équation

∂U/∂t = F(U, t)

,s'é rit :

U

n+1

= U

n

+ ∆t

p

X

i=1

b

i

K

i

ave

K

i

_{= F}

_U

n

₊

i−1

X

j=1

a

ij

K

j

, t

n

+ c

i

∆t

!

où

c

i

=

P

i−1

j=1

a

ij

pour

i = 1, ...p

. L'analyse permettant de déterminer les oe ients pour atteindre

un ordre donné repose de nouveau sur ledéveloppement de Taylor de

U

:

U

n+1

= U(t

n

+ ∆t) = U

n

+ ∆tF(U

n

, t

n

) +

∞

X

n=2

∆t

n

n!

F

(n−1)

_(U

n

_{, t}

n

₎

ave

F

(1)

(U

n

, t

n

) =

∂F

∂t









n

∂F

∂U









n

∂U

∂t









n

1.4.1 S hémas de Runge-Kutta standards

Leplus élèbre est elui d'ordre 4proposé par Runge(1895) et Kutta(1901) :

c

i

a

ij

b

i

0 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1 0 0 1 1/6 1/3 1/3 1/6

Ladéterminationdel'ordre onditionneenpartiesastabilité.Onmontre eneetàpartirde l'analyse

de Fourier du problème

∂U

∂t

+ c

∂U

∂x

où

U

= ˆ

Ue

ikx

g =

U

ˆ

n+1

ˆ

U

n

= 1 +

p

X

i=1

γ

i

z

i

ave

z = −kc∆t

Pour

p ≤ 6

:

γ

1

=

X

b

i

γ

3

=

X

b

i

a

ij

c

j

γ

5

=

X

b

i

a

ij

a

jk

a

kl

c

l

γ

2

=

X

b

i

c

i

γ

4

=

X

b

i

a

ij

a

jk

c

k

γ

6

=

X

b

i

a

ij

a

jk

a

kl

a

lm

c

m

Lefa teur d'ampli ationexa t est :

g

e

= e

iz

= 1 + iz +

1

2

(iz)

2

₊

1

6

(iz)

3

₊

1

24

(iz)

4

_{+ ...}

1.4.2 S hémas de Runge-Kutta linéaires à sto kage réduit

Pour obtenirdes s hémasné essitantpeu de sto kage,onimpose

b

p

= 1

et

b

i

= 0

pour

i = 1, ..., p − 1

Huet al.(1996). Lesseuls

a

ij

non nulssont les

a

i i−1

. Le s héma s'é rit:

U

n+1

= U

n

+ b

p

K

p

ave

K

i

_{= ∆tF U}

n

_{+ α}

i−1

K

i−1

, t

n

+ c

i

∆t

en posant

α

i

= a

i i−1

et

α

0

= 0

.Pour un opérateur linéaire,

K

1

= ∆t

∂U

n

∂t

K

2

= ∆tF



U

n

+ α

1

∆t

∂U

n

∂t



∆t

∂U

n

∂t

+ ∆t

2

∂

2

U

n

∂t

2

. . .

K

i

=

i

X

j=1

i−1

Y

l=i−j+1

α

l

!

∆t

j

∂

j

_U

n

∂t

j

Les héma se développe en :

U

n+1

= U

n

+

p

X

j=1

p

Y

l=p−j+1

α

l

!

∆t

j

∂

j

_U

n

∂t

j

+ o(∆t

p

₎

soit

α

p−i+1

= (i − 1)!/i! i ∈ {1, ..., p}

c

i

a

ij

b

i

0 0 1/4 1/4 1/3 0 1/3 1/2 0 0 1/2 0 0 0 1

Ce s héma est d'ordre 4en linéaireet 2en non linéaire.

1.4.3 S hémas de Runge-Kutta optimisés

Lefa teur d'ampli ationee tif du s héma s'é rit :

g(ω∆t) =

U

ˆ

n+1

ˆ

U

n

= 1 +

p

X

j=1

p

Y

l=p−j+1

α

l

!

(−iω∆t)

j

et

γ

j

=

p

Y

l=p−j+1

α

l

!

En hoisissant l'optimisation de Hu, Hussaini& Manthey Huet al.(1996), onminimise

Z

Γ

0

|g − g

e

|

2

d(ω∆t) =

Z

Γ

0











1 +

p

X

j=1

γ

j

(−iω∆t)

j

− e

−iω∆t











2

d(ω∆t)

et

Γ = (ω∆t)

max

Ave l'optimisationde Bogey &Bailly(2004), onminimise

Z

ln(π/2)

ln(π/16)

(1 − |g(ω∆t)|) d(ln(ω∆t)) +

Z

ln(π/2)

ln(π/16)

(|ω

∗

∆t − ω∆t|/π) d(ln(ω∆t))

ave les ontraintes :

1 − |g| > 0

et

∂[ln(1 − |g|)]/∂[ln(ω∆t)] ≥ −5

On s'intéresse aurapport

g/g

e

= re

−iϕ

etl'on tra e letaux d'ampli ation

r

et l'erreurde phase

ϕ

.

On dénit 2 ritèrespour les erreurs d'amplitudeet de phase :le premier ritère

1 − |g| < 5 × 10

−4

nous donne

T

a

/∆t

etle deuxième ritère

|ω

∗

∆t − ω∆t|/π < 5 × 10

−4

nous donne

T

p

/∆t

. Le tableau

1.1 nous fournit les valeurs de es deux ritères pour le s héma de Runge Kutta d'ordre 4 et les

s hémas de Bogey & Bailly (2004). Ces derniers sont plus pré is et moins dispersifs que le s héma

de Runge Kutta d'ordre 4. On remarque aussi sur la gure 1.3que le s héma de Hu et al. (1996) à

6 sous-étapes est instable très rapidement lorsque

ω∆t

augmente. Les s hémas de Bogey & Bailly

(2004) orent le meilleur ompromis pré ision/ stabilité.Nous utiliserons par la suite le s héma de

s héma

pT

a

/∆t pT

p

/∆t

RKordre 4 (

p = 4

) 38.6 33.6

Bogey & Bailly

p = 5

21.4 22.2

Bogey & Bailly

p = 6

19.8 24.6

Table 1.1 Comparaison des ritères de pré isionet destabilité.

0

π/2

2π/3

π

4π/3

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

ω∆

t

|G|

π/16

π/8

π/4

π/2

π

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

ω∆

t

1−|G

RK

(

ω

∆

t)|

0

π/2

2π/3

π

4π/3

−0.06

−0.03

0

0.03

0.06

ω∆

t

(

ω

∆

t−

ω

*

∆

t)/

π

π/16

π/8

π/4

π/2

π

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

ω∆

t

|

ω

*

∆

t−

ω

∆

t|/

π

Figure 1.3  Cara téristiques des s hémas de Runge-Kutta. En haut, taux d'ampli ation

r

et en bas

erreurdephase

ϕ

.Agau he,é hellelinéaireetàdroiteé hellelogarithmique. Runge-Kuttastandard d'ordre

4( ),Runge-Kutta de Hu et al. (1996) pour

p = 5

( ) et

p = 6

( ), Runge-Kutta deBogey &

Bailly(2004) pour

p = 5

( ) et

p = 6

( ).

1.5 Méthode de ltrage séle tif

Lesos illations maille à maille (1 point sur 2 soit

k∆x = π

) ne sont pas résoluespar les diéren es

nies entrées. Ces os illations"parasites" peuvent apparaître au niveau des onditions aux limites,

lorsqu'il existe des forts gradients ou des dis ontinuités et risquent de ontaminer la solution. On

lasolutionphysique :

f

ltré

(x

0

) = f (x

0

)−σ

d

D

f

(x

0

)

ave

0 ≤ σ

d

≤ 1

et

D

f

(x

0

) =

N

X

j=−N

d

j

f (x

0

+j∆x)

Lafon tion d'amortissementdu ltre entré est :

D

k

(k∆x) = d

0

+

N

X

j=1

2d

j

cos (jk∆x)

Dansle adrede etteétude,leltrageséle tifestégalementutilisé ommepro édurederégularisation

dans un ontexte de SGE. Ce point est dis uté dans le hapitre3.

1.5.1 Filtres standards

On annulelestermes du développement de Taylor jusqu'à

∆x

2N −1

in lus

D

f

(x

0

) = d

0

f (x

0

) +

N

X

j=1

d

j

[f (x

0

+ j∆x) + f (x

0

− j∆x)]

= d

0

f (x

0

) +

N

X

j=1

d

j



2f (x

0

) + j

2

∆x

2

f

′′

(x

0

) +

2j

4

_∆x

4

4!

f

(4)

_(x

0

) +

2j

6

_∆x

6

6!

f

(6)

_(x

0

) + ...



etles

N

+1 oe ients

d − j

sont solutionsdu système :































































d

0

+ 2

N

X

j=1

d

j

= 0

N

X

j=1

j

2

d

j

= 0

. . .

N

X

j=1

j

2N −2

d

j

= 0

N

relations

+

Dans l'espa ede Fourier,



D

k

(0) = 0

⇒ d

0

+ 2

N

X

j=1

d

j

= 0



D

k

(π) = 1

⇒ d

0

+ 2

N

X

j=1

(−1)

j

d

j

= 1

Lesfon tions d'amortissementdes ltresstandards sont tra ées sur la gure 1.4.

1.5.2 Filtres optimisés

On hoisit de minimiserl'erreur de dissipation :

E =

Z

ln(π/2)

ln(π/16)

D

k

(k∆x) d(ln(k∆x))

Les oe ientsdu ltre optimisésur 11pointssontdonnésdans Bogey &Bailly(2004).Ce ltre est

0

π/4

π/2

3π/4

π

0

0.25

0.5

0.75

1

k

∆

x

D

k

(k

∆

x)

π/16

π/8

π/4

π/2

π

10

−7

10

−6

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

k

∆

x

D

k

(k

∆

x)

Figure 1.4  Cara téristiques des ltres séle tifs dans l'espa e des nombres d'onde. A gau he, on tra e

la fon tion de transfert des ltres standards d'ordre 2 ( ), 4 ( ), 6 ( ), 8 ( ), 10 ( ) en

fon tionde

k∆x

.A droite,l'erreur de dissipationdu ltre estreprésentée ave uneé helle logarithmique.

pro he de

π/2

, l'erreur de dissipation du ltre est bien moindre pour le ltre optimisé. Cependant

l'optimisationdultreaugmentelégèrementleniveau dedissipationpourlesfaiblesnombresd'onde.

0

π/4

π/2

3π/4

π

0

0.25

0.5

0.75

1

k

∆

x

D

k

(k

∆

x)

π/16

π/8

π/4

π/2

π

10

−6

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

k

∆

x

D

k

(k

∆

x)

Figure 1.5  Cara téristiques des ltres séle tifs dans l'espa e des nombres d'onde. A gau he, on tra e

lafon tion de transfert du ltre optimisé sur 11 pointsBogey & Bailly (2004) ( ) etdu ltre standard

1.6 Conditions aux limites

1.6.1 Conditions aux limites de paroi

Une ondition à l'ordre 2est utiliséepour traiter laparoi e quipermetd'établir une ondition très

robuste. On peut é rire:

∂p

∂y

= 0

u = 0

v = 0

w = 0

En3D,lesux onservatifsexprimésenfon tiondes5variablesprimitives

u

,

v

,

w

,

p

et

ρ

sesimplient:



























































F

e

ρ

= ρ

∂v

∂y

F

e

ρu

= ρu

∂v

∂y

F

e

ρv

= 0

F

e

ρw

= ρw

∂v

∂y

F

e

ρe

=

γ

γ − 1

p

∂v

∂y

+

ρ(u

2

_{+ w}

2

₎

2

∂v

∂y

(1.4)

On a don uniquement besoin de l'évaluation de

∂v/∂y

qui s'ee tue ave un s héma dé entré à

l'ordre2 :

∂v

∂y

=

4v

i,w+1

− v

i,w+2

2∆y

ave

v

i,w

= 0

Pour les rangéesde points en

j = w + 1

et

j = w + 2

,on utilise des s hémas entrés respe tivement

àl'ordre 2et 4pour évaluer lesdérivées suivant

y

des ux onservatifs

F

e

(voirgure 1.6).

(j=w) (j=w+1) (j=w+2) (j=w+3)

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

v

v

v

paroi

Figure1.6  Condition à l'ordre 2.S hémas sur 7 points pour

j = w + 3

,s héma entré à l'ordre 4pour

j = w + 2

, entré àl'ordre 2pour

j = w + 1

etdé entré àl'ordre 2pour

j = w

(seulement pour

v

).

Enn,laparoiest onsidéréeadiabatiquedanstouteslessimulationsréaliséesdans etteétude.Cette

ondition est assurée numériquement en imposant en

y = 0

(soit

j = w

):

∂T

Lestermes visqueux sont al ulés àpartir de diféren es nies entrées àl'ordre 4.

1.6.2 Conditions aux limites de non-réexion

Pour la résolution des équations d'Eulerpour un é oulement monodimensionnel,onpeut é rire une

formulationexa tede la onditionlimiteenutilisantunedé ompositionenvariables ara téristiques.

Cetteméthodeaété largementdéveloppéeparThompson(1987)et onsisteàdiagonaliserlesystème

des équations d'Euler1D an de faire apparaître lesinvariantstourbillonnaire,entropique et

a ous-tiqueenmême tempsqueleurs vitessesde propagation.Pour généraliser etteappro he en2D ouen

3D,onappliquelesrelations ara téristiques1D dansladire tionperpendi ulaireàlafrontièreeton

avan e les ux dans les autres dire tions en utilisant le s héma intérieur (Thompson (1990)). Pour

la résolution des oins du domaine, on applique la même stratégie dans deux voire trois dire tions

dumaillage.LeraisonnementaétéétenduauxéquationsdeNavier-StokesparPoinsot&Lele(1992).

Rappelons d'abord la formulation pour un é oulement tridimensionnel non visqueux. On onsidère

unefrontièreparallèleauplan

yz

sur laquelleonrésoutlesystèmed'équations auxdérivées partielles

d'Euler:

∂U

∂t

+

∂E

∂x

+

∂F

∂y

+

∂H

∂z

= 0

On évalue l'équationpré édente en deux temps en appliquant les ara téristiques 1D de Thompson

dansladire tion

x

,l'évaluationdesdérivéesdans lesdire tions

Oy

et

Oz

ne posantau unproblème :



















∂U

∂t

x

+

∂E

∂x

= 0

∂U

∂t

y

+

∂F

∂y

+

∂U

∂t

z

+

∂H

∂z

= 0

Les équations dans la dire tion

x

sont diagonalisées an de faire apparaître les inq invariants

L

i

,

eta oustique rétrograde.



























































































L

1

= (u − c)



∂p

∂x

− ρc

∂u

∂x



L

2

= u



c

2

∂ρ

∂x

−

∂p

∂x



L

3

= u

∂v

∂x

L

4

= u

∂w

∂x

L

5

= (u + c)



∂p

∂x

+ ρc

∂u

∂x



Suivant le type de frontière traitée, on évaluera les invariants

L

i

diéremment : les perturbations

entrantes sont xées par l'utilisateur et les perturbations sortantes sont évaluées à partir du al ul

des pointsintérieurs en utilisantdes s hémas dé entrés. Par exemple, pour une sortie supersonique,

tous les

L

i

sont al ulés à partir des points intérieurs. Dans les simulationspar SGE réalisées dans

etteétude,untraitementparti ulierest réalisépourlazonesubsonique de la ou he limiteensortie

de domaine, pour laquelleon impose

L

1

= 0

.

L'obtentiondesinvariantspermetde al ulerlesdérivées spatialesselon

Ox

pournalementobtenir:



























































































∂ρ

∂t

x

+

1

c

2



L

2

+

1

2

(L

5

+ L

1

)



= 0

∂p

∂t

x

+

1

2

(L

5

+ L

1

) = 0

∂u

∂t

x

+

1

2ρc

(L

5

− L

1

) = 0

∂v

∂t

x

+ L

3

= 0

∂w

∂t

x

+ L

4

= 0

Pour une ondition de non réexion,les ara téristiques

L

i

entrantes sontmises à zéro pour simuler

une ondition de hamp libre et les ara téristiques sortantes sont al ulées à partir des points

in-térieurs en dé entrant le s héma aux diéren es nies. Pour le s héma DRP, les oe ients des

Lorsd'uneimplémentationpratique,le hoixest faitd'avan erlesvariablesàl'aidedes relations

ar-a téristiques pour les5 dernières rangéesde points (lamolé ule de dis rétisation est sur 11 points).

Dansle as des onditions limites de sortiedu domaine, les onditions ara téristiques sont ouplées

ave l'appli ationd'unezone éponge omposéed'unltre lapla ienetd'unétirementave une raison

géométrique du maillage.

Le prin ipal défaut des ara téristiques est qu'il s'agit d'une méthode monodimensionnelle qui est

e a e pour des u tuations qui frappent normalement la frontière mais s'avère mal adaptée aux

in iden esobliques.Giles(1990)aproposé uneaméliorationpour prendreen ompte eseets

d'in i-den eoblique, mais sate hnique pose des problèmes de stabilitédi ilesà résoudre (Colonius et al.

(1994)).

1.6.3 Elaboration d'une zone éponge

Les onditions de sortie dé rites pré édemment autorisent lasortie des u tuations aérodynamiques

maisunfaiblepour entagepeutêtreréé hienparti ulierdanslazonesubsoniquedela ou helimite

enavalde l'intera tion.C'estpourquoionajouteune zoneépongeaux onditionsdenon-rélfexionde

sortie.On ombineun étirementdu maillage(del'ordrede

3%

à

5%

sur lesdernièresmailles)an de

dissiperlesstru turestourbillonnaires,quine sontalors plussupportéespar lemaillagetropgrossier,

et un ltrage lapla ien dont le oe ient de ltrage varie en espa e an de réaliser une transition

lenteentre ledomainesans ltrageetave ltrage.Lesin onnues

f = (ρ, ρu, ρv, ρw, ρE)

sont ltrées

en sortie de domaineet onobtient:

f

ltré

i,j,k

= f

i,j,k

− χ



x

i

− x

nx−nsx1

x

nx−nsx2

− x

nx−nsx1



2

[0.5f

i,j,k

−0.25 (f

i−1,j,k

+ f

i+1,j,k

+ f

i,j−1,k

+ f

i,j+1,k

+ f

i,j,k−1

+ f

i,j,k+1

)]

pour

nx − nsx2 ≤ i ≤ nx − nsx1

et

f

ltré

i,j,k

= f

i,j,k

− χ [0.5f

i,j,k

− 0.25 (f

i−1,j,k

+ f

i+1,j,k

+ f

i,j−1,k

+ f

i,j+1,k

+ f

i,j,k−1

+ f

i,j,k+1

)]

pour

nx − nsx2 < i ≤ nx − 1

.

nx

est le nombre de point dans la dire tion

x

.

x

nx−nsx1

et

x

nx−nsx2

orrespondent aux abs isses de

débutetde n de lazoneéponge dans laquellele oe ient de ltragesuitune progression en arré.

Cetypedezone épongeadéjàétémisen oeuvre ave su èspar exempledansle asde lasimulation

1.7 Parallélisation du solveur

Les premières simulations de ette étude ont été réalisées sur les ma hines ve torielles (NEC) de

l'IDRIS et du CCRT. L'utilisation de s hémas spatial et temporel expli ites permet en eet une

ve torisatione a e desroutinesFortrandusolveur.Lané essitéd'utiliserdesmaillagesimportants

(jusqu'à 150 millions de points pour la SND de ou he limite présentée dans e manus rit) a alors

onduitàmettreenpla eunestratégiedeparallélisationmassivedusolveuràl'aidedesbibliothèques

MPI. La nature expli ite des s hémas de dis rétisation spatiale, ainsi que la géométrie artésienne

parallépipédiqueutilisée dans ette étude, rendent lesolveur a prioribien adapté pour lepassage en

massivement parallèle. L'idée générale de la parallélisation adoptée i i est de dé ouper le domaine

de al ulen un ertainnombres de blo s, les al ulssur haque blo étant réaliséspar un pro esseur

diérent.Lerledes librairiesMPIest alorsde fournirdes fon tionssimplesd'utilisationpermettant

defaire ommuniquerlesdiérentspro esseurs entreeux.Laplupartdes simulationsprésentéesdans

emanus ritontétéréaliséesave une parallélisation2D,lesdimensionstransversesdes domainesde

al ulétant relativementréduites. Seulsles al ulslesplus nsde ou helimite turbulenteprésentés

dansle hapitre 3,ainsique le al uld'IOCCL qualiéde ICCLT1 dans le hapitre5ont été réalisés

ave un dé oupage 3D. Ce dé oupage, présenté i i en 2D, est réalisé à l'aide des fon tionnalités

MPI_CARTdeMPI.Ledomainede al ul onsisteenunmaillage artésien3Ddetaille

ng

x

×ng

y

×n

z

.Le

ommuni ateur artésienrépartitautomatiquementlespro esseurspourdé ouperlesplans

ng

x

×ng

y

.

Les algorithmes spatiaux et temporels étant expli ites, il sut d'é hanger les fa es nord, sud, est,

ouest. Ces interfa es ontiennent 5 points ( orrespondant au support des s hémas), onformément

à la gure 1.7. Deux types sont réés : un type fa ex pour les fa es horizontales (nord et sud) de

5×ng

x

×n

z

réelsdoublepré ision(MPI_DOUBLE_PRECISION) etuntypefa eypourlesfa esverti ales

(ouestet est) de

5 × ng

y

× n

z

réels double pré ision.

An de déterminer les ma hines de al ul parallèle les plus pertinentes en regard du solveur, et

également de dimensionnerles futures simulations,des tests de parallélisation onété réaliséssur un

ertainnombre de ma hinesà lafois àl'IDRIS, auCINES, etauCCRT. Lesperforman esobtenues

pourquelquesma hinessontprésentéesdansletableau1.2.Lestestsréalisésontmontrétoutd'abord

que les performan es monopro esseurs hutent d'un fa teur 10 à 50 entre les ma hines NEC et les

ma hines s alaires. Cela signie que pour obtenir un temps de restitution équivalent à un al ul

parallèlesur 8pro esseurs dema hineNEC, ilest né essaired'avoirune trèsbonnes alabilitésur 80

à400 pro esseurs de ma hiness alaires, e qui orrespond àdes maillagesentre 10et40 millionsde

points auminimum. Ces résultatsmettenten éviden e lasupériorité des ma hines NEC dans le as