Modélisation de l'interaction entre un arc électrique et une cathode

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UNIVERSITE TOULOUSE III – PAUL SABATIER U.F.R. Physique-Chimie-Automatique

THESE en vue de l’obtention du

DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DE TOULOUSE

délivré par l’Université Toulouse III – Paul Sabatier

Discipline : Physique et Ingénierie des Plasmas de Décharge

présentée et soutenue par

François CAYLA

Le 5 Février 2008

Titre :

Modélisation de l’interaction entre un arc électrique

et une cathode

JURY

Président :

M. Olivier EICHWALD, Professeur de l’Université Paul Sabatier, Toulouse.

Rapporteurs :

M. Bruno CHERON, Professeur de l’Université de Rouen. M. Pierre PROUX, Professeur de l’Université de Sherbrooke.

Examinateurs :

M. Christian ARNOUX, Ingénieur de recherche, Schneider Electric, Grenoble. M. Pierre FRETON, Maître de conférences de l’Université Paul Sabatier, Toulouse. M. Jean-Jacques GONZALEZ, Directeur de recherche au C.N.R.S., Toulouse.

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A mes parents

A Céline

A Julien

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Remerciements

Ce travail a été effectué au sein de l’équipe « Arc Electrique et Procédés Plasmas Thermiques » du Laboratoire Plasma et Conversion d’Energie de Toulouse.

J’exprime ma profonde gratitude et sympathie à Monsieur Jean-Jacques GONZALEZ, Directeur de recherche au C.N.R.S., et à Monsieur Pierre FRETON, Maître de conférences de l’Université Paul Sabatier, qui ont dirigé ce travail de thèse. Leur disponibilité ainsi que les discussions fructueuses ont permis l’aboutissement de ce manuscrit. Je les prie d’accepter mes plus vifs remerciements pour l’aide et le soutien qu’ils ont pu apporter à ce travail. Qu’ils trouvent ici l’expression de ma profonde reconnaissance et de mon estime la plus sincère.

J’exprime ma gratitude à Monsieur Olivier EICHWALD, Professeur de l’Université Paul Sabatier, pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury de ma thèse. Je le prie ici de trouver ma très sincère reconnaissance.

Je remercie aussi Monsieur Bruno CHERON, Professeur de l’Université de Rouen, et Monsieur Pierre PROULX, Professeur de l’Université de Sherbrooke, pour m’avoir fait l’honneur d’examiner ce travail en tant que rapporteur et d’avoir participé au jury. Leurs critiques ont permis la rédaction finale de ce mémoire.

Je remercie Monsieur Christian ARNOUX, Ingénieur de recherche chez Schneider Electric à Grenoble, d’avoir participé à mon jury de thèse. Je le remercie pour l’attention qu’il a su manifester à l’égard de cette étude.

J’exprime toute ma sympathie aux personnes que j’ai pu côtoyer durant ces années de thèse au sein du laboratoire : Mathieu MASQUERE, Yann CRESSAULT, Philippe TEULET, Manitra RAZAFINIMANANA, Alain GLEIZES, Benoit ROUFFET, Marie-Emilie ROUFFET, Julie BENECH, Riadh HANNACHI, Hugh HINGANA, Gaëlle ESCALIER, Fréderic LAGO, Xavier FRANCERIES et Jacques ROLAND.

Pour terminer ces remerciements, je tiens à remercier mes parents, ma future femme Céline ainsi que mon petit Julien qui a su me distraire à la fin de ma thèse.

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AUTEUR : François CAYLA

TITRE : Modélisation de l’interaction entre un arc électrique et une cathode DIRECTEURS DE THESE : Jean-Jacques GONZALEZ et Pierre FRETON LIEU ET DATE DE SOUTENANCE : Toulouse, le 5 Février 2008

RESUME :

Ce travail est relatif à l’étude et à la mise en place d’un modèle décrivant l’interaction entre un plasma thermique d’argon à la pression atmosphérique et une cathode en tungstène.

Après une étude bibliographique sur les différents modèles décrivant la zone d’interaction, la théorie proposée par Benilov a été retenue comme base de nos développements.

Dans une seconde partie, le modèle d’interaction arc/cathode est amélioré notamment par la prise en compte de l’émission secondaire. Le modèle est ensuite confronté et validé par des résultats expérimentaux issus de la littérature. Notre objectif était de coupler ce modèle d’interaction à une modélisation plus globale représentant aussi bien le passage du courant dans la cathode, la zone d’interaction (gaine et pré-gaine) que la colonne du plasma. Nous exposons les différents paramètres d’entrée possibles et justifions le choix de la densité de courant.

Dans une dernière partie, le modèle d’interaction développé est couplé à un modèle bidimensionnel (2D) de plasma thermique en écoulement. Le passage du courant entre la cathode et le plasma est assuré grâce à une estimation de la conductivité électrique à deux températures dans la pré-gaine. L’influence de paramètres physiques (valeurs du coefficient d’émission secondaire, du travail de sortie,…) et géométriques sur les grandeurs caractéristiques de la décharge (tension cathodique, champ de température dans le plasma,…) dans une configuration d’arc libre avec une cathode cylindrique a pu être étudiée.

MOTS-CLEFS : Cathode, modélisation numérique, plasma thermique, 2D, interaction, deux

températures, flux d’énergie, chute de tension cathodique, arc électrique, gaine, pré-gaine.

PHYSIQUE ET INGENIERIE DES PLASMAS DE DECHARGE

LABORATOIRE PLASMA ET CONVERSION D’ENERGIE, UMR 5213 118 ROUTE DE NARBONNE 31026 TOULOUSE CEDEX 9

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Table des matières

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- 12 -

Introduction

... 17

Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique

... 23

I. Introduction... 25

II. Structure de la région cathodique ... 26

II.A. La cathode ... 26

II.B. La gaine ... 27

II.C. La pré-gaine... 27

II.D. Le plasma à l’ETL... 27

II.E. Conclusion... 28

III. Les modèles monothermes ... 29

III.A. La théorie de Lowke et ses modifications... 29

III.B. Les limites de la théorie de Lowke... 30

III.B.1. Calcul des densités de courant ... 30

III.B.2. L’absence de zone de charge d’espace... 31

III.C. Conclusion... 31

IV. Les modèles à deux températures... 33

IV.A. Les modèles à deux températures simplifiés... 33

IV.A.1. Calcul de la densité de charges à l’interface gaine-pré-gaine ... 33

IV.A.2. Le flux d’électrons rétrodiffusés ... 34

IV.A.3. La chute de tension cathodique ... 34

IV.A.4. Synthèse ... 35

IV.B. Les modèles complets ... 35

IV.B.1. La théorie de Hsu ... 36

IV.B.2. Le modèle de Riemann et Schmitz... 39

IV.B.3. La théorie de Benilov ... 42

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- 13 -

V. Synthèse et conclusion ... 51

Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode ...53

I. Introduction... 55

II. Mise en place du code retranscrivant le modèle de Benilov de 1995 . 56

II.A. Algorithme ... 56

II.B. Conditions du calcul... 57

II.C. Comparaison... 57

II.C.1. Calculs avec différentes valeurs de kr fixées... 63

II.C.2. Etude du kr « inversé » ... 67

II.D. Bilan ... 69

III. Construction de notre modèle... 70

III.A. Modification du flux d’électrons thermoémis... 70

III.B. Calcul de composition à la frontière entre le plasma à l’E.T.L. et la pré-gaine... 71

III.C. Ajout d’un bilan énergétique... 71

III.C.1. Hypothèses ... 71

III.C.2. Continuité du flux d’énergie à l’interface gaine/cathode ... 71

III.D. Mise en œuvre de notre modèle dans une configuration unidimensionnelle ... 72

III.D.1. Paramètre d’entrée... 73

III.D.2. Résolution des équations... 73

III.D.3. Paramètres de sortie ... 73

III.E. Choix de la composition à l’interface gaine/pré-gaine... 73

III.E.1. Le calcul de composition à deux températures ... 74

III.E.2. Estimation du coefficient de recombinaison à trois corps kr(Te) ... 75

III.E.3. Comparaison des densités de courant... 76

III.F. Ajout du phénomène d’émission secondaire... 78

III.F.1. Etude préliminaire ... 78

III.F.2. Modifications des équations... 79

III.F.3. Etude de sensibilité... 80

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III.G. Bilan ... 84

IV. Comparaison avec des résultats expérimentaux et théoriques... 86

IV.A. Recherche de résultats dans la littérature ... 86

IV.A.1. Résultats expérimentaux ... 86

IV.A.2. Résultats théoriques... 87

IV.B. Comparaison... 87

IV.B.1. Etude de la puissance P ... 87

IV.B.2. Température de surface cathodique Tw... 88

IV.B.3. Etude de la chute de tension cathodique ... 90

IV.C. Conclusion... 91

V. Etude paramétrique du modèle ... 92

V.A. Flux d’énergie vers la cathode ... 92

V.B. Les densités de courant ... 94

V.C. Température de surface de la cathode ... 96

V.D. La chute de tension cathodique U ... 97

V.E. Bilan de cette étude paramétrique ... 99

VI. Vers une adaptation du modèle d’interaction arc cathode... 100

VI.A. La conservation du courant ... 100

VI.B. Paramètre d’entrée : j ... 101

VI.C. Résultats ... 101

VII. Bilan... 104

Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions

... 105

I. Introduction... 107

II. Le modèle 2D ... 108

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- 15 -

II.B. Equations de conservation... 109

II.C. Résolution des équations aux dérivés partielles stationnaires... 111

II.C.1. Résolution des équations de diffusion pure... 112

II.C.2. Résolution des équations de Convection-diffusion... 114

II.C.3. Résolution du couplage pression-vitesses ... 116

III. Interaction corps de l’arc/cathode... 117

III.A. Développements physiques spécifiques ... 117

III.B. Résolution des équations décrivant la zone d’interaction ... 120

IV. Définition du cas de référence... 122

V. Résultats... 126

V.A. Passage du courant à l’interface cathode/plasma ... 127

V.A.1. Etude du cas de référence... 128

V.A.2. Etudes paramétriques ... 134

V.A.3. Bilan ... 148

V.B. Chute de tension cathodique ... 149

V.B.1. Cas de référence ... 150

V.B.2. Paramètres influençant la chute de tension cathodique... 153

V.B.3. Bilan ... 158

V.C. Etude du transfert thermique ... 158

V.C.1. Calcul de référence... 159

V.C.2. Etude de différents paramètres... 161

V.C.3. Bilan ... 166

VI. Conclusion... 167

Conclusion

... 169

Annexes

... 175

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Introduction

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Introduction

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Introduction

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Les plasmas forment un domaine de la physique peu connu du grand public alors que cet état de la matière est omniprésent autour de nous. On peut aussi bien le trouver à l’état naturel dans l’espace au niveau des étoiles, sur terre dans l’ionosphère, ou bien encore lors d’une décharge de foudre, qu’au niveau de notre vie de tous les jours comme par exemple en allumant une lampe fluorescente ou lorsqu’un interrupteur ou un disjoncteur commutent.

L’évolution vers la maîtrise et la compréhension du milieu plasma est le fruit d’études qui ont débuté il y a deux siècles grâce à l’apparition et au développement de l’énergie électrique. Une des premières formes de plasma entretenu, à avoir été créée en laboratoire, est celle d’un arc électrique établi entre deux électrodes de carbone [Vac-1]. Cette expérience fut menée au début du XIXème siècle par Davy [Vac-1]. C’est ainsi que commença l’étude des plasmas thermiques. Les travaux menés par la suite furent principalement empiriques et ce n’est seulement qu’au XXème_{siècle que les progrès les plus significatifs furent établis. Tout}

d’abord la physique fondamentale, durant la première moitié du XXème siècle, apporta les connaissances en physique atomique et en physique du solide nécessaires à une meilleure compréhension des phénomènes constitutifs de la décharge d’arc. Par la suite, dans les années quatre-vingt, la modélisation et l’expérimentation ont fait de nombreux progrès notamment grâce au développement rapide de l’informatique qui constitue un outil indispensable permettant d’avoir une connaissance de plus en plus précise des plasmas thermiques. Ainsi des modèles d’arc bidimensionnel puis tridimensionnel [Fre-1] ont été développés, basés sur des programmes multi-physiques de plus en plus performants. Parallèlement à cela, les moyens de validation tels que la mesure de flux d’énergie vers les matériaux par méthode inverse [Gon-1] ou bien la tomographie [Spe-1] ont pu être mis en place afin de pouvoir valider de manière plus fiable les modèles existants.

Les modèles ainsi établis ont pu être appliqués afin d’optimiser des procédés tels que la projection ou bien de maîtriser le comportement de l’arc dans des installations telles que les disjoncteurs. Ainsi les intérêts des industriels et des chercheurs convergent vers la volonté d’une connaissance toujours plus approfondie des mécanismes régissant le comportement du milieu en présence d’un arc électrique. Malgré les performances avérées des modèles actuels, certaines zones d’ombre subsistent notamment au niveau de la description des pieds d’arc. En effet, ces régions situées à l’interface entre le plasma thermique et les électrodes nécessitent des connaissances plus approfondies pour une meilleure description (modèles hors-équilibres,

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Introduction

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phénomènes émissifs, …). Cependant, les moyens expérimentaux de validation sont rares et bien souvent très indirects dans ces zones de plasma proches des électrodes. Pour palier à cette lacune et dans le but d’accroître la connaissance de ces zones hors-équilibres présentes aux voisinages des électrodes, des modèles ont été développés. La plupart offrent seulement une description locale du pied d’arc sans prendre en compte la problématique dans sa globalité, à savoir, les électrodes, les zones de gaine et de pré-gaine et la colonne.

Actuellement, les travaux relatifs à la description de la zone anodique ont pu être couplés à la modélisation de la colonne d’arc. Citons à titre d’exemple le modèle de Lago

[Lag-2], validé par des mesures expérimentales obtenues par Masquère [Mas-1], qui permet

une description du plasma en écoulement et de son interaction avec une électrode ainsi qu’une continuité du passage du courant depuis la pointe de la cathode jusqu’à son évacuation en fond d’anode. Le parallèle de ces travaux côté cathodique n’a jamais été réellement réalisé. En effet les modèles existants ne prennent pas vraiment en compte la conservation du courant dans tout le domaine, en particulier à l’interface cathode/plasma où généralement une tache d’accrochage, de dimension prédéterminée est imposée [Pau-1].

Ainsi la motivation de cette thèse va être de développer un modèle auto-cohérent d’interaction entre le plasma thermique créé par un arc électrique et le corps de la cathode en conservant le courant depuis son entrée dans la cathode jusqu’à la surface de l’anode. Pour cela notre étude s’articulera en trois temps correspondant chacun à un chapitre de ce manuscrit.

Le chapitre I présentera une synthèse des principales théories existantes pour la description de la zone cathodique. L’objectif de ce chapitre ne sera pas de faire une liste exhaustive des modèles existants et de leurs variantes mais d’avoir une vue d’ensemble des principales théories et des concepts fondamentaux que l’on peut trouver dans la littérature sur l’interaction arc/cathode à la pression atmosphérique. Ainsi deux familles de modèles vont être présentées : celle à l’équilibre et celle hors équilibre thermodynamique. Ces deux familles rassemblent les modèles développés depuis une trentaine d’années. Leurs spécificités vont être décrites dans les grandes lignes. De cette étude vont découler les bases de notre modèle d’interaction présenté dans le chapitre II.

Le chapitre II va permettre de construire le modèle d’interaction qui se basera sur les concepts mis en avant dans le premier chapitre. Ce travail sera mené dans l’optique d’une

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Introduction

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application de ce modèle à une description globale de l’arc. On entend par description globale, une modélisation qui englobe aussi bien la circulation du courant dans l’électrode depuis son entrée jusqu’à la circulation dans la colonne du plasma en passant par une description physique de l’interface. Le point de départ de notre modèle sera celui de Benilov et al [Ben-2]. Des modifications, permettant de prendre en compte les autres travaux cités dans le chapitre I, seront ensuite effectuées. Ainsi l’introduction du phénomène d’émission secondaire et son influence sur les grandeurs physiques de la zone d’interaction cathodique vont être présentées. Les résultats du modèle 1D seront ensuite comparés à des mesures expérimentales issues de la littérature et une étude paramétrique sera présentée. Enfin l’étude de notre modèle d’interaction arc/cathode se poursuivra par l’utilisation de la densité de courant comme seul paramètre d’entrée afin de préparer l’implantation de notre description de la zone cathodique dans le modèle 2D d’arc présenté dans le chapitre suivant.

Le chapitre III présentera, dans un premier temps, les grandes lignes du modèle décrivant la colonne du plasma ainsi que les spécificités pour effectuer son couplage avec la description de la cathode et de son proche voisinage. Nous exposerons ensuite les principaux résultats qui peuvent être obtenus à partir d’un cas de référence. Notre modèle de couplage entre la cathode et la colonne du plasma, bien qu’auto-cohérent, est tributaire de grandeurs physiques plus ou moins connues. Nous présenterons donc une étude paramétrique sur les principales grandeurs gouvernant la représentation de la zone cathodique. Une des grandeurs obtenue par notre modèle et qui pose souvent problème est la valeur de la chute de tension cathodique. Nous proposerons donc une étude de sensibilité de cette valeur à différents paramètres. Enfin une discussion et une présentation des résultats relatifs au transfert thermique vers la cathode seront exposées avant de conclure.

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Introduction

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Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique

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Chapitre 1 : Etat de l’art de

différents modèles de zone

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I. Introduction

La modélisation de la zone cathodique est un sujet qui anime « la communauté scientifique » depuis le début du XXème siècle. Les premières personnes ayant travaillé sur ce sujet sont Tonks et Langmuir [Ton-1] et Mackeown [Mac-1]. Ceux-ci ont publié leurs travaux en 1929. Cependant, cela fait seulement 30 ans que le sujet est activement étudié notamment dans les arcs à des pressions proches de la pression atmosphérique. Pendant cette dernière période, de nombreux modèles sont apparus mais manquent de validations expérimentales. Il est en effet difficile d’effectuer un diagnostic au proche voisinage de la surface de la cathode. Néanmoins de récentes études expérimentales [Nan-2] ont permis de valider partiellement certains modèles décrivant la région cathodique.

Ce premier chapitre a pour objectif de donner une vue d’ensemble des principaux modèles de zone cathodique. Dans notre étude nous n’avons pas pris en compte les modèles de spots cathodiques décrits par certains auteurs comme Jüttner [Jüt-1]. En effet, la durée de vie du spot est négligeable (≈ 10 ns) devant les constantes de temps caractéristiques de la décharge (≈ ms). Ainsi nous nous sommes focalisés sur les modèles prenant en compte les effets moyens dans le temps de l’interaction entre le plasma et la cathode.

Notre étude nous amène tout d’abord à présenter le point commun de tous ces modèles : la structure de la région cathodique. Par la suite, deux grandes familles de modèles vont être présentées :

¾ Les modèles monothermes, décrits principalement par la théorie de Lowke et ses variantes, considèrent la zone cathodique comme une région dont la température des électrons est égale à la température des lourds (ions et neutres).

¾ Les modèles à deux températures, plus ou moins complexes, considèrent que le plasma proche de la cathode a une température électronique différente de la température des lourds. Parmi ces modèles à deux températures celui de Benilov et al

[Ben-2] va être décrit de manière plus détaillée car il va constituer la base de notre

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II. Structure de la région cathodique

Il est reconnu que la région cathodique peut être structurée principalement en quatre zones lorsque le plasma est à la pression atmosphérique. Celles-ci sont très bien décrites par Benilov [Ben-2]. La figure (FI-01) illustre cette structure qui est constituée de la cathode, de la gaine, de la pré-gaine et du plasma.

cathode Gaine

(Zone de charge d’espace)

Pré-gaine (Zone d’ionisation)

Plasma

≈ 0.01 µm

≈ 100 µm

Figure (FI-01) : Structure de zone cathodique généralement admise

II.A. La cathode

La première région de la figure (FI-01), que nous décrirons, est la cathode qui est caractérisée par sa conductivité thermique, sa conductivité électrique et par le travail de sortie du matériau. Ces trois grandeurs sont déterminantes : la première va permettre de prendre en compte l’évacuation de l’énergie par conduction thermique, la seconde la capacité à conduire le courant et la troisième la capacité à émettre des électrons.

La surface de la cathode en contact avec le plasma va interagir très fortement avec la gaine en recevant un flux d’énergie dont les valeurs moyennes dans le temps peuvent être supérieures à 108 W.m-2 [Ben-2]. De plus c’est de la cathode que sont émis les électrons entrant dans le plasma.

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II.B. La gaine

La gaine est une région aussi appelée « zone de charge d’espace » car il y règne une charge d’espace positive. C’est une région dont la taille est de l’ordre de la longueur de Debye (λd) qui traduit la distance maximale pour laquelle il peut exister un déséquilibre de charge

électrique. Cette longueur s’exprime de la manière suivante :

2 1 2 e 0 d n e kT ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ε = λ (EI-01)

Où ε0 correspond à la permittivité du vide, k la constante de Boltzmann, Te la température des

électrons à l’interface gaine/pré-gaine, e la charge élémentaire et n la densité de charge à l’interface gaine/pré-gaine. Typiquement, ce déséquilibre de charge s’étend de 0.01 à 0.1 µm pour des températures de l’ordre de 10000 K.

Dans cette région il existe un champ électrique très intense qui va accélérer les électrons émis par la cathode entretenant ainsi l’excitation et l’ionisation du gaz dans la pré-gaine. De la même manière, les ions créés dans la pré-gaine vont être accélérés du plasma vers la cathode par ce champ électrique.

II.C. La pré-gaine

La pré-gaine est aussi appelée « zone d’ionisation ». Ce nom vient du fait que c’est dans cette région que l’ionisation va être prépondérante. En effet les électrons venant de la cathode vont entrer en contact avec le gaz et effectuer une multitude de collisions (élastiques et inélastiques) qui vont permettre à la décharge de s’entretenir. Par conséquent cette région est dite « collisionnelle » et peut être décrite par les équations de la mécanique des fluides dans le cas d’un plasma à la pression atmosphérique. L’ordre de grandeur de la taille de cette région est de plusieurs dizaines de microns.

II.D. Le plasma à l’ETL

Cette région est considérée à l’équilibre thermodynamique local [San-1]. En effet, les électrons qui proviennent de la cathode ont échangé la majorité de leur énergie dirigée par

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l’intermédiaire des collisions élastiques et inélastiques. Par conséquent, c’est à partir de cette région que l’on peut dans la majorité des cas décrire le plasma avec une seule température.

II.E. Conclusion

Nous venons de montrer que la structure générale de la zone cathodique peut être articulée autour de quatre zones étroitement liées. Au cours de ce mémoire, cette structure va être conservée.

Malgré le fait que l’on puisse avoir en point commun des modèles existants la structure que l’on vient de décrire, des différences notables peuvent être observées dans les approches proposées dans la littérature pour décrire la zone cathodique. Ainsi il ressort deux grandes familles : les modèles à une température (monothermes) et les modèles à deux températures.

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III. Les modèles monothermes

Les modèles monothermes existants sont principalement basés sur la théorie de Lowke publiée en 1992 [Low-1]. Celle-ci a subi quelques modifications au cours des années

[Zhu-1][Mor-1][Low-2][Low-3] pour aboutir à la version proposée par Sansonnens et al [San-1]

dans le cadre d’un modèle de cathode réfractaire.

III.A. La théorie de Lowke et ses modifications

La théorie de Lowke ne prend pas en compte la zone de charge d’espace. La pré-gaine est considérée comme une région monotherme dont la composition est modifiée par la diffusion ambipolaire créée par les ions qui migrent vers la cathode. Ainsi la densité électronique proche de la cathode est plus importante que celle à l’Equilibre Thermodynamique Local (E.T.L.) favorisant le passage du courant de la cathode au plasma. Ce phénomène d’enrichissement électronique revient à considérer un déséquilibre chimique au sein de la zone d’ionisation.

Ainsi pour obtenir la densité électronique à proximité de la cathode, l’équation de continuité de la densité électronique est utilisée afin de tenir compte des phénomènes de perte et de création de charges.

Grâce au calcul de la distribution de densité électronique à proximité de la cathode, la conductivité électrique peut être calculée et ainsi le passage du courant entre la cathode et le plasma est assuré de manière auto cohérente. Il est à noter que la définition de la conductivité électrique diffère entre l’article de Lowke et al [Low-2] et l’article de Sansonnens et al

[San-1]. En effet dans le premier, le champ électrique proche de la cathode intervient ce qui n’est

pas le cas dans le second article. L’approche de Lowke et al [Low-2] permet de tenir compte du champ électrique important en surface de la cathode qui va favoriser l’ionisation du gaz à son proche voisinage. Celle de Sansonnens et al [San-1] quant à elle est plus classique et plus rigoureuse car elle utilise la formulation de la conductivité électrique proposée par Mitchner et Kruger [Mit-1].

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Pour pouvoir calculer la densité de charges proche de la cathode il est nécessaire de résoudre l’équation d’énergie. Afin d’avoir la température à la surface qui constitue une condition aux limites de l’équation d’énergie, Sansonnens et al [San-1] décomposent le flux d’énergie à la surface de la cathode en trois contributions :

¾ La première contribution provient du rayonnement du matériau de cathode. Elle est prise en compte au travers de la loi d’émission du corps gris :

4

rad T

q =−εσ (EI-02)

Où ε est l’émissivité de la surface, σ la constante de Stefan-Boltzmann et T la température de la surface.

¾ La seconde contribution est donnée par le flux d’énergie créé par les électrons quittant la surface de la cathode qui emportent une énergie égale à celle du travail de sortie des électrons.

¾ La troisième contribution est constituée par l’énergie d’ionisation apportée par le flux d’ions se neutralisant à la surface de la cathode.

La définition du flux d’énergie vers la cathode nécessite de connaître le flux d’ions qui arrive à la cathode et le flux d’électrons qui la quitte. Ces deux flux de particules sont déterminés à partir des densités de courant. La détermination de ces flux constitue une des limites de la théorie de Lowke, l’autre limite étant l’absence de prise en compte de la zone de charge d’espace.

III.B. Les limites de la théorie de Lowke

III.B.1. Calcul des densités de courant

Dans son modèle, Lowke définit la densité de courant ionique ji de la manière

suivante : ⎩ ⎨ ⎧ = ≤ − = sinon 0 i em em i j j j si j j j (EI-03)

Où jem est la densité de courant thermoémis et j la densité de courant totale.

La densité de courant électronique je est définie de telle manière que j= j_e +j_i.

La formulation (EI-03) pose alors un problème car le lien entre la densité de courant électronique totale je et jem n’est pas explicité dans les articles basés sur la théorie de Lowke.

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totale ne sera pas assurée car la densité de courant thermoémise est due à un phénomène thermique alors que la densité de courant totale traduit un phénomène électromagnétique de transport de charges. Il manque donc une composante électronique qui permettrait d’équilibrer l’équation de conservation de la densité de courant totale j. Cette composante pourrait être la densité de courant provenant des électrons rétrodiffusés qui vont du plasma à la cathode. Cependant cette hypothèse n’est pas avancée dans la théorie de Lowke.

III.B.2. L’absence de zone de charge d’espace

La théorie de Lowke ne prend pas en compte la zone de charge d’espace négligeant ainsi le phénomène d’accélération des charges dans cette région. Cela pose alors le problème de l’entretien de la décharge sur le plan microscopique. En effet, l’énergie thermique des électrons venant de la cathode est de l’ordre de 0.1eV ce qui est très loin de l’énergie permettant d’ioniser l’argon neutre (celle-ci est de 15.9 eV). Cependant sur le plan macroscopique la décharge est entretenue grâce au chauffage du gaz par effet Joule qui est créé par le passage du courant. Ce passage à l’interface gaine/pré-gaine est favorisé grâce à la conductivité électrique corrigée à proximité de la cathode.

III.C. Conclusion

Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur la théorie de Lowke sont résumés dans le tableau (TI-01).

Avantages Inconvénients

¾ Théorie intégrée dans une description bidimensionnelle de l’arc.

¾ La conductivité électrique à proximité de la surface de la cathode tient compte des propriétés physiques de la zone cathodique.

¾ La densité de courant à la surface de la cathode est utilisée comme paramètre d’entrée du modèle d’interaction cathodique.

¾ Modèle à une température non approprié pour décrire la zone d’interaction [Hai-2]

¾ Incohérences dans l’expression des densités de courant dans la zone d’interaction.

¾ Pas de description de la zone de charge d’espace.

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Malgré les inconvénients cités ci-dessus, la théorie de Lowke est une des rares à avoir été intégrée dans une configuration d’arc libre dans un modèle 2D axisymétrique

[Low-1][Low-2][San-1][Zhu-1][Fle-1].

Le résultat principal qui peut être retenu de cette théorie est que la conductivité électrique à proximité de la cathode doit tenir compte des phénomènes physiques intervenant dans la description de la zone cathodique. Ainsi, le passage du courant est conditionné d’une part par l’état du gaz à proximité de la cathode et d’autre part par l’émission électronique.

La deuxième grande famille, qui utilise une approche très différente de celle de Lowke, qui est monotherme, est celle des modèles à deux températures. Contrairement aux modèles monothermes, les modèles à deux températures sont nombreux et très variés. Nous allons exposer maintenant les principaux modèles que nous avons retenus allant des plus simples aux plus complexes.

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IV. Les modèles à deux températures

L’idée centrale des modèles à deux températures consiste à considérer l’existence d’un déséquilibre thermodynamique dans le plasma proche de la cathode dû à une différence de température entre les lourds et les électrons. A partir, de cette hypothèse les modèles d’interactions se déclinent sous des formes diverses.

IV.A. Les modèles à deux températures simplifiés

Des modèles simplifiés, à deux températures, ont été proposés par Zhou et al [Zho-1]

[Zho-2] et Coulombe et al [Cou-1]. Trois points importants de leurs approches vont être présentés :

¾ La manière de calculer la densité de charges à l’interface gaine/pré-gaine ¾ L’introduction et le calcul du flux d’électrons rétrodiffusés

¾ La manière de déterminer la chute de tension cathodique

IV.A.1. Calcul de la densité de charges à l’interface gaine-pré-gaine

L’appellation « simplifiée » vient du fait que ces auteurs n’effectuent pas de calculs hydrodynamiques dans la zone d’ionisation afin de déterminer la densité de charge à l’interface gaine/pré-gaine (figure (FI-01)). A la place de ce calcul, qui peut rapidement être complexe à cause du déséquilibre thermodynamique, Zhou et al [Zho-1] [Zho-2] et Coulombe et al [Cou-1] préfèrent utiliser un calcul de composition à deux températures basé sur l’approche de Richley et al [Ric-1].

La température des particules lourdes est égale à la température de surface dans les modèles de Zhou et al [Zho-1] et Coulombe et al [Cou-1]. Cette hypothèse semble légitime car les particules lourdes ne peuvent pas échanger d’énergie avec les électrons du fait de l’absence de collisions dans la gaine. Néanmoins, les particules lourdes, se trouvant dans la gaine, ont leur température qui atteint celle de la surface de la cathode lors du contact avec celle-ci.

(32)

- 34 -

La détermination de la température électronique par contre diffère entre les deux modèles.

Dans le modèle de Zhou et al [Zho-1] la température électronique à l’interface gaine/pré-gaine est déterminée à partir du principe de minimisation de Steenbeck [Pai-1][Li-1]. Coulombe et al [Cou-1] ne considèrent pas l’équation d’énergie à l’interface gaine/pré-gaine et effectuent une étude paramétrique suivant la température électronique.

IV.A.2. Le flux d’électrons rétrodiffusés

Zhou et al [Zho-1] et Coulombe et al [Cou-1] considèrent tous deux que le flux d’électrons susceptible de revenir à la cathode peut être calculé à partir d’une densité électronique réduite. Cela signifie qu’ils utilisent la densité électronique trouvée à partir du calcul de composition à laquelle est retranchée une contribution électronique apportée par les électrons thermoémis. La formulation du flux d’électrons apparaissant à la frontière gaine/pré-gaine et pouvant revenir à la cathode est alors la suivante :

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = φ es e em T 2 e rd kT eU exp v n n (EI-04)

Où Φrd est le flux d’électrons rétrodiffusés, e est la charge élémentaire, ne2T correspond à la

densité électronique du calcul de composition à deux températures, nem correspond à la

densité électronique apportée par les électrons venant de la cathode, ve est la vitesse

thermique des électrons provenant de la zone d’ionisation, U est la chute de tension dans la gaine, k est la constante de Boltzmann et Tes est la température électronique à l’interface

gaine/pré-gaine.

IV.A.3. La chute de tension cathodique

Coulombe et al [Cou-1] fixent la chute de tension cathodique afin d’avoir le bilan énergétique à l’interface zone de charge d’espace/cathode. Par contre, Zhou et al [Zho-2] ont pour objectif de se fixer un minimum de paramètres : pression, courant total et température électronique. La chute de tension dans la gaine est déterminée grâce aux bilans d’énergie à l’interface gaine/pré-gaine.

(33)

- 35 -

IV.A.4. Synthèse

Les avantages et les inconvénients des modèles à deux températures simplifiés sont regroupés dans le tableau (TI-02).

¾ La composition à l’interface gaine/pré-gaine est déterminée à partir d’un calcul de composition à deux températures.

¾ Le flux d’électrons rétrodiffusés dans la gaine est pris en compte.

¾ La température des particules lourdes dans la gaine est égale à celle de la surface de la cathode

¾ Modèles non introduits dans une description bidimensionnelle de l’arc. ¾ Nécessité de fixer plusieurs

paramètres tels que la chute de tension cathodique et la température électronique.

Tableau (TI-02) : Avantages et inconvénients des modèles à deux températures simplifiés

Deux points sont à retenir de ces modèles :

9 L’idée d’un calcul de composition à l’interface gaine/pré-gaine est intéressante car elle permet de déterminer la densité de charges à cette interface sans passer par un modèle hydrodynamique à deux températures.

9 L’hypothèse qui consiste à supposer la température des ions à l’interface gaine/pré-gaine égale à celle de la surface de la cathode.

IV.B. Les modèles complets

Dans la partie précédente, les modèles « simplifiés », ne tenant pas compte de ce qui se passe dans la zone d’ionisation, ont été présentés dans leurs grandes lignes. Dans la famille des théories à deux températures, il existe des modèles plus complets qui sont souvent cités par la communauté. Par le terme « complet » nous entendons une description prenant en compte la gaine et la pré-gaine et plus particulièrement l’hydrodynamique de la pré-gaine. Les plus aboutis sont les modèles de Hsu et al [Hsu-1], de Schmitz et al [Sch-2] et de Benilov et al [Ben-2]. Cette partie va permettre de comprendre les principales idées directrices de ces modèles.

(34)

- 36 -

IV.B.1. La théorie de Hsu

Le modèle de Hsu et al [Hsu-1] est très élaboré au niveau de la description de la zone de charge d’espace et de la zone d’ionisation. Cette partie a pour objectif de montrer les idées directrices de ce modèle pour chaque région de la zone cathodique traitée par cette théorie.

¾ Le plasma à l’ETL

Le plasma à l’E.T.L. apparaît dans le modèle au travers des conditions aux limites suivantes :

• la densité de courant (j = 1.2 108_A.m-2₎

• la température du plasma à l’ETL (Télectrons=Tlourds=21000 K)

• Le gradient de température (-4 107_K/m)

• Le champ électrique (-1.45 104_V/m)

• La densité électronique (1.727 1023_m-3₎

• Le gradient de densité électronique (1.692 1024_m-4₎

Les conditions aux limites à l’interface pré-gaine/plasma à l’E.T.L. permettent de résoudre les équations de conservation du flux électronique et ionique dans la zone de charge d’espace et dans la zone d’ionisation. La chute de tension dans la zone cathodique est déduite de mesures expérimentales et fixée à 8.5V.

¾ La zone de charge d’espace

La zone de charge d’espace est considérée comme non collisionnelle c'est-à-dire que les électrons et les ions vont être en chute libre soumis à un champ électrique intense. Dans cette région Hsu résout l’équation de Poisson permettant ainsi d’assurer la conservation de la charge électrique. A la différence des modèles monothermes, il considère trois contributions de charge dans cette région : le flux d’ions, le flux d’électrons provenant de la cathode et le flux d’électrons rétrodiffusés comme le montre la figure (FI-02).

(35)

Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique - 37 - Cathode Gaine (zone de charge d’espace) Pré-gaine (zone d’ionisation) Plasma à l’E.T.L. Φ_i Φ_rd Φ_cath

Figure (FI-02) : Représentation schématique du flux d’ions (Φi), du flux d’électrons

rétrodiffusés (Φrd) et du flux d’électrons provenant de la cathode (Φcath)

Il est à noter que le flux d’électrons provenant de la cathode n’est pas défini par une loi telle que celle de Richardson-Duschmann. Par contre, Rethfeld et al [Ret-1], qui appuient leurs travaux sur ceux de Hsu, définissent explicitement le flux d’électrons thermoémis par la loi de Richardson-Duschmann [Ash-1] :

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − π = φ w 2 w 3 e 2 cath kT W exp T h m k 4 (EI-05) ¾ La zone d’ionisation

Dans le modèle de Hsu, cette région est collisionnelle et à deux températures. Hsu considère deux équations de conservation de la charge et deux équations de l’énergie afin de dissocier les phénomènes relatifs aux électrons et aux ions.

Les équations de conservation de la charge considèrent l’ionisation et la recombinaison à trois corps. Pour obtenir le taux d’ionisation, Hsu utilise la formulation de Potapov [Pot-1] qui généralise la loi de Saha permettant ainsi d’avoir la composition du plasma à deux températures. Il est à noter que la formulation de Potapov n’est plus utilisée à l’heure actuelle car il a été montré que celle-ci était erronée sur le plan thermodynamique

(36)

- 38 -

L’équation de conservation de l’énergie électronique considère le flux de conduction thermique, le flux enthalpique des électrons, les pertes dues aux collisions inélastiques et élastiques avec les lourds et les pertes radiatives et l’énergie électrostatique.

Enfin l’équation de conservation de l’énergie ionique prend en compte l’énergie électrostatique, l’énergie due aux collisions élastiques ainsi que l’énergie due à la conduction thermique.

¾ Conclusions

Le modèle de Hsu décrit la zone d’ionisation avec un formalisme hydrodynamique à deux températures. Si une description de la zone d’ionisation devait être faite, le modèle de Hsu semblerait être une bonne alternative.

Cette approche est cependant limitée actuellement par le manque de données de base notamment au niveau du calcul des coefficients de transport à deux températures. D’autre part le modèle mis en place dans les articles [Hsu-1] et [Ret-1] est mis en application pour une seule valeur de la densité de courant (1.2 108 A.m-2). Ces articles ne permettent pas de savoir si la théorie de Hsu est applicable à d’autres valeurs de densités de courant.

Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur la théorie de Hsu sont regroupés dans le tableau (TI-03).

¾ Modèle fluide à deux températures pour décrire la pré-gaine.

¾ Le paramètre d’entrée du modèle est la densité de courant

¾ Prise en compte du flux d’électrons rétrodiffusés

¾ Couplage avec la cathode jamais réellement réalisé.

¾ Calcul des coefficients de transport utilisant un calcul de composition obsolète [Pot-1]

¾ Théorie testée seulement pour des valeurs de la densité de courant élevées (supérieurs à 108 A.m-2).

Tableau (TI-03) : Avantages et inconvénients des modèles basés sur la théorie de Hsu

Le point que nous pouvons retenir de cette théorie est que la densité de courant à la surface de la cathode peut constituer un paramètre d’entrée du modèle d’interaction arc/cathode.

(37)

- 39 -

IV.B.2. Le modèle de Riemann et Schmitz

Le modèle de Riemann et Schmitz [Sch-1][Sch-2] est original de par son approche pour traiter la zone cathodique. En effet, il utilise une description fine sur le plan structurel mais aussi sur le plan du formalisme, allant jusqu'à l’utilisation de l’équation de Boltzmann collisionnelle pour la description d’une partie de la zone d’ionisation appelée milieu de Knudsen (cf. figure (FI-03)).

Cathode Gaine (zone de charge d’espace) Pré-gaine (zone d’ionisation) Plasma à l’E.T.L. Zone de

Zone de KnudsenKnudsen

Figure (FI-03) : Représentation schématique de la zone cathodique prenant en compte la

subdivision de la pré-gaine appelée milieu de Knudsen

¾ La structure de la zone cathodique

Cette théorie décrit plus précisément la zone cathodique, qui est subdivisée en quatre parties représentées sur la figure (FI-03) :

• Le plasma à l’ETL apparaît au travers de conditions aux limites de la pré-gaine.

• La pré-gaine est subdivisée en deux régions : la zone d’ionisation aussi appelée zone de transition et le milieu de Knudsen dans lequel il peut y avoir des collisions mais pas d’ionisation.

• La zone de charge d’espace qui est considérée comme non collisionnelle. • Le corps de la cathode

(38)

- 40 - ¾ Le plasma à l’E.T.L.

Le plasma à l’E.T.L. intervient au travers d’un calcul de composition pour un plasma d’argon ionisé une fois.

¾ La pré-gaine

Cette région est étudiée en détail dans l’article Schmitz et al [Sch-1]. Comme évoqué ci-dessus, cette zone est divisée en deux sous régions :

• La zone d’ionisation est décrite macroscopiquement par une approche hydrodynamique simplifiée permettant de trouver le profil de densité de charge dans cette région.

• Le milieu de Knudsen quant à lui est décrit par l’équation de Boltzmann collisionnelle où les ions créés dans la zone d’ionisation peuvent entrer en collision avec des neutres.

L’article de Schmitz et al [Sch-2] présente le lien entre la densité de charge à l’interface gaine/pré-gaine et la densité de charge à l’interface pré-gaine/plasma grâce à une formule provenant du travail présenté dans un précédent article.

La chute de tension dans la pré-gaine est donnée par le facteur de Boltzmann qui est aussi utilisé par Benilov et al [Ben-2].

¾ La zone de charge d’espace

Dans cette région la densité électronique est décrite par une loi exponentielle dépendante de la température des électrons et de la chute de tension dans la gaine. Cette formulation est classique dans le cadre d’un plasma ionisé en contact avec une paroi. Celle-ci est donnée par la formule suivante :

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = e s es e kT eU exp n n (EI-06)

Où nes est la densité électronique à l’interface gaine/pré-gaine, Us est la chute de tension dans

la gaine, k est la constante de Boltzmann et Te est la température électronique à l’interface

(39)

- 41 -

La densité de courant ionique dans cette région est constante car c’est une région non collisionnelle. Elle est donnée par la résolution du courant ionique dans le milieu de Knudsen qui juxtapose la zone de charge d’espace.

La condition aux limites concernant la vitesse des ions à l’interface gaine/pré-gaine est intéressante. Cette notion vient de la physique des plasmas hors équilibre : c’est le critère de Bohm. Ce critère donne la vitesse minimale que doivent atteindre les ions dans la pré-gaine afin de rompre l’équilibre de charge et par la suite rejoindre la cathode. Riemann a étudié ce critère [Rie-1] formulé de la manière suivante :

i e s m kT v = (EI-07)

Où k est la constante de Boltzmann, Te la température électronique à l’interface

gaine/pré-gaine et mi la masse de l’ion. Cette formule a été généralisée par Benilov [Ben-4], Valentini

et al [Val-1] et Riemann [Rie-3] pour pouvoir être appliquée à n’importe quel gaz.

¾ La cathode

La cathode intervient dans ce modèle grâce à un bilan de puissance à l’interface zone de charge d’espace/cathode. Celui-ci prend en compte différentes composantes :

• L’énergie apportée par les ions sous formes enthalpique, cinétique, sans oublier l’énergie apportée par les ions lors de la recombinaison à la surface de la cathode. • L’énergie perdue par thermoémission et par rayonnement.

• L’énergie que peut absorber la cathode au travers d’un terme de conduction. ¾ Conclusion

Le modèle de Riemann et Schmitz, développé dans l’argon, semble plus précis que les autres modèles, présentés dans la littérature, relatifs à la description de la zone d’ionisation. Le problème est que la synthèse de celui-ci [Sch-2] comporte de nombreuses formules présentant des valeurs numériques rendant difficile une adaptation du modèle à d’autres gaz. De plus la description plus précise apportée par ce modèle donne des résultats proches du modèle de Benilov [Nan-2] qui lui ne modélise pas le milieu de Knudsen.

Enfin dans le bilan d’énergie à l’interface zone de charge d’espace/cathode, le fait de tenir compte du flux d’énergie perdu par rayonnement de corps noir est discutable si on ne tient pas compte du rayonnement provenant du plasma.

(40)

- 42 -

Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur les travaux de Riemann et Schmitz sont regroupés dans le tableau (TI-04).

¾ Le modèle de la zone d’interaction cathodique fait intervenir une description du milieu de Knudsen permettant ainsi d’avoir une transition entre la zone d’ionisation et la gaine. ¾ Le flux d’électrons rétrodiffusés est

pris en compte dans la gaine.

¾ Ces travaux sont difficilement adaptables à d’autres gaz (coefficients numériques)

¾ La complexité apportée par ces travaux est inutile (résultats proches de ceux obtenus par Benilov présentés dans article de Nandelstädt et al [Nan-2])

Tableau (TI-04) : Avantages et inconvénients des modèles basés sur la théorie de Riemann et Schmitz

IV.B.3. La théorie de Benilov

Au cours des dix dernières années cet auteur a été très prolifique dans le domaine de l’étude de l’interaction arc-cathode. Sa théorie a beaucoup évolué depuis celle présentée en 1993 [Ben-1]. C’est son article de 1995 [Ben-2] qui pose les bases du modèle qu’il a modifié au fil des années [Ben-2]-[Ben-13]. Nous allons nous baser sur le modèle de 1995 pour exposer les idées qui structurent le modèle encore en 2005 [Ben-12].

Dans son modèle, Benilov considère les phénomènes aux frontières de chaque région de la zone cathodique (cf. figure (FI-04)) :

• A l’interface zone de charge d’espace/cathode, le flux d’énergie qui va du plasma vers la cathode est défini.

• A l’interface zone d’ionisation/zone de charge d’espace l’équation de conservation de l’énergie électronique est considérée.

(41)

Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique - 43 - Cathode Gaine (zone de charge d’espace) Pré-gaine (zone d’ionisation) Plasma à l’E.T.L. Bilan énergétique 2 : Conservation de l’énergie électronique Bilan énergétique 1 Calcul du flux d’énergie provenant du plasma allant vers la cathode

Figure (FI-04) : Schéma du positionnement des bilans énergétiques

Les grandeurs qui font le lien entre ces trois régions sont les flux de particules dans la zone de charge d’espace qui, dans ce modèle, est considérée comme non-collisionnelle. Notons qu’il existe une version du modèle avec une gaine collisionnelle pour les plasmas haute pression (de l’ordre de la dizaine d’atmosphères) [Ben-5] .

¾ Les flux de particules

Les flux de particules sont au nombre de trois :

• le flux d’électrons thermoémis φ , défini à partir de la loi de Richardson _em Schottky par la forme suivante :

0 c 3 w 2 w em ₄ E e W avec kT W W exp T e A πε = Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋ −Δ = φ (EI-08)

• le flux d’électrons rétrodiffusés φ , donné grâce au facteur de Boltzmann : _bd

e e e e e s es e e bd m kT 8 C avec 4 C kT eU exp n v n π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = φ (EI-09)

• le flux d’ions φ_i, déterminé à partir de la densité d’ions à l’interface gaine/pré-gaine et à une reformulation du critère de Bohm prenant en compte la température électronique, la température ionique et la charge moyenne des ions :

(

)

i e is is is is i m ZT T k n v n = + = φ (EI-10)

(42)

- 44 -

La légende de chacune des grandeurs est donnée par le tableau (TI-05) ci-dessous.

nis Densité d’ions à l’interface gaine/pré-gaine Z Charge moyenne des ions

Te Température électronique

Tis Température des ions à l’interface gaine/pré-gaine Us Chute de tension dans la gaine

nes Densité électronique à l’interface gaine/pré-gaine Tw Température de la surface de la cathode

W Travail de sortie des électrons

ΔW Réduction Schottky

k Constante de Boltzmann

ε0 Permittivité du vide e Charge élémentaire

me Masse de l’électron mi Masse des ions

A Facteur pré-exponentiel dépendant du matériau

Ec Champ électrique à la surface de la cathode

Tableau (TI-05) : Notations utilisées dans les formules (EI-08)-(EI-10)

Ces flux sont représentés sur la figure (FI-05).

Cathode Gaine (zone de charge d’espace) Pré-gaine (zone d’ionisation) Plasma à l’E.T.L. Φ_i Φ_bd Φ_em

(43)

- 45 - ¾ La zone d’ionisation (pré-gaine)

Pour décrire cette zone, Benilov considère les électrons, les ions et les atomes comme plusieurs fluides [Ben-3] dont la densité et le mouvement sont déterminés par un modèle hydrodynamique à deux températures.

Ainsi à partir de ce calcul, l’auteur obtient une expression condensée permettant de connaitre la densité d’ions à partir de celle calculée au niveau de l’interface pré-gaine/plasma à l’E.T.L. [Ben-3] : 2 1 2 i r 0 i i is i is n k D m kT avec 2 8 . 0 n n _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α α + = ∞ ∞ ∞ (EI-11)

Où ni∞ correspond à la densité d’ions dans le plasma à l’E.T.L.. Tis est la température ionique

à la frontière gaine/pré-gaine, Di0∞ est le coefficient de diffusion ion/neutre dans le plasma, kr

est le coefficient de recombinaison à trois corps et mi est la masse de l’ion. Cette expression a

évolué vers une forme plus élaborée donnée dans l’article de Benilov [Ben-8].

A partir de l’équation (EI-11) exprimant nis et de la prise en compte de la neutralité électrique,

la densité électronique nes à l’interface gaine/pré-gaine est déduite grâce au produitZn . _is

La chute de tension de la zone d’ionisation est alors définie de la manière suivante :

es e e i n n ln e kT U ₌ ∞ _(EI-12)

Dans l’égalité (EI-12), Te et nes correspondent respectivement à la température

électronique et à la densité électronique à la frontière de la zone d’ionisation. ne∞ est la densité

électronique dans le plasma à l’E.T.L.. On remarquera que la chute de tension Ui est exprimée

à partir du facteur de Boltzmann qui est déduit de l’équation de Boltzmann unidimensionnelle et non collisionnelle avec champ électrique constant. Par conséquent, cette équation est une estimation de la chute de tension dans la zone d’ionisation qui est collisionnelle.

¾ La zone de charge d’espace (Gaine)

La modélisation de la zone de charge d’espace est nécessaire car elle permet d’obtenir la condition aux limites au niveau de la vitesse des ions à l’interface gaine/pré-gaine et du champ électrique à la surface de la cathode. Ce champ électrique Ec est utilisé dans le calcul

(44)

- 46 -

Pour pouvoir déterminer Ec, l’équation de Poisson est nécessaire :

(

e i

)

2 2 0 e n Zn dz d − = ϕ ε (EI-13)

La résolution de cette équation nécessite d’expliciter la densité de charge électronique ne et la

densité d’ion ni dans la zone de charge d’espace. Pour cela l’équation de Boltzmann est

nécessaire. La gaine étant non collisionnelle pour des pressions de l’ordre de 1 atm, l’équation de Boltzmann sans terme de collision peut être utilisée. Pour des ions accélérés par un champ électrique celle-ci s’écrit :

0 v f dz d m Ze z f v z i z _∂ = ∂ ϕ − ∂ ∂ (EI-14)

Avec, vz la vitesse moyenne selon l’axe z, ϕ le potentiel électrostatique, Z la charge moyenne

d’un ion fictif et f la fonction de distribution des ions. Z est calculée grâce à la moyenne des charges de chaque ion pondérée par leur densité respective. On notera que le potentiel électrostatique ϕ est nul à l’interface gaine/pré-gaine.

Pour résoudre l’équation (EI-14), il faut connaître la fonction de distribution des vitesses des ions à l’entrée de la gaine. Pour cela Benilov ne modélise pas le milieu de Knudsen contrairement à Schmitz et al [Sch-1], néanmoins il retranscrit ses effets en supposant que la distribution des vitesses des ions sortant de la zone d’ionisation est une fonction « porte ». Cela se traduit par la condition aux limites suivante :

(

)

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ₋ ₊ _< _<₋ ₋ = ∞ contraire cas le dans 0 u v v u v pour u 2 n ) v , ( f _i s i s i is (EI-15) i i i kT m

u = est la vitesse d’agitation thermique avec k la constante de Boltzmann, mi la

masse de l’ion et Ti sa température. vs est une vitesse limite dirigée qui va être définie par la

suite. La représentation graphique de cette fonction est reportée sur la figure (FI-06).

0 -v_s i is u 2 n u_i f(∞,v) v

(45)

- 47 -

On calcule ensuite la fonction de distribution des ions f(z ,v) :

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ₋ _< _<₋ = + − contraire cas le dans 0 v v v pour u 2 n v , z f _i is (EI-16)

v+ et v- les vitesses maximale et minimale pour un point donné dans la zone de charge

d’espace. Ces vitesses sont obtenues grâce à l’équation de conservation de l’énergie mécanique dans le cas de particules en chute libre dans un champ électrique :

(

)

i 2 i s m Ze 2 u v ) z ( v_± = ± − ϕ (EI-17)

La densité ni(z) est déduite de f :

∫

(

)

∞ −

= 0 _z _z

i(z) f z,v dv

n . La part d’ions allant de la cathode

vers la zone d’ionisation est négligeable ainsi l’intégrale n’est calculée que suivant les vitesses vz négatives. On en déduit la valeur de ni :

( )

i is i u 2 v v n z n ₌ + − − _(EI-18)

Dans la zone de charge d’espace, la fonction de distribution électronique est supposée Maxwellienne. Par conséquent, comme les électrons sont soumis à la force conservative provenant du champ électrique présent dans cette région, la densité électronique dans cette région s’écrit après intégration de l’équation de Boltzmann non-collisionnelle pour les électrons :

( )

e es e kT e exp n z n = ϕ (EI-19)

L’équation (EI-13) devient après substitution de ni et de ne par les relations (EI-18) et (EI-19)

et intégration : 2 1 e e 2 i 2 s i 3 3 i 0 is kT e exp 1 ZkT 3 u v u 6 v v m n 2 ) ( E ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = + − ϕ ε ϕ (EI-20)

Lorsque ϕ tend vers 0 dans l’équation (EI-20), la vitesse vs pour laquelle il y a rupture

(46)

Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique - 48 -

(

)

i e is s m ZT T k v = + (EI-21)

vs est la vitesse que les ions doivent dépasser pour créer une zone de charge d’espace

positive formant ainsi la gaine. Cette vitesse des ions à la frontière gaine/pré-gaine permet d’obtenir le flux d’ions défini par l’équation (EI-10).

Si on pose Us la chute de tension au niveau de la zone de charge d’espace, on trouve le

champ électrique au niveau de la cathode Ec=E(-Us). Cette grandeur va nous permettre par la

suite de calculer la correction Schottky utilisée dans l’équation (EI-08).

¾ La densité de courant totale et le flux d’énergie à la cathode

Les trois flux de particules ((EI-08), (EI-09) et (EI-10)) permettent de calculer la densité de courant dans la zone de charge d’espace et le flux d’énergie vers la cathode :

• La densité de courant :

(

Z i em bd

)

e

j= φ +φ −φ (EI-22)

Pour plus de détail sur cette équation on pourra se reporter au tableau (TI-01)

• Le flux d’énergie à la cathode :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2kT W W

)

W W kT 2 W W Z E ZeU T 2 2 ZT T 2 k q w em e bd i s w e is i Δ − + φ − Δ − + φ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ − − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ φ = (EI-23)

Le premier terme correspond à l’énergie apportée par les ions, le second terme correspond à celle apportée par les électrons rétrodiffusés et le troisième à celle des électrons thermoémis. Notons que dans l’article de Benilov et al [Ben-10] un flux d’énergie simplifié fonction de la température de la surface et de la chute de tension dans la zone de charge d’espace est déterminé grâce au bilan d’énergie à l’interface gaine/pré-gaine défini par la suite.

(47)

- 49 -

¾ Conservation de l’énergie à l’interface gaine/pré-gaine

Dans le modèle de Benilov une équation de conservation de l’énergie électronique à l’interface gaine/pré-gaine est utilisée. Celle-ci est formulée de la manière suivante :

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + φ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + φ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + φ ∞ ∞ ∞ es e e i i es e e s bd es e e w s em n n ln 5 . 0 2 . 3 ZkT E 2 . 1 n n ln kT eU 2 . 3 n n ln kT kT 2 eU (EI-24)

Dans le premier membre on reconnaît l’énergie apportée par les électrons thermoémis sous forme électrique et thermique. Dans le second membre on a l’énergie emportée par les électrons rétrodiffusés et l’énergie prise par les ions.

¾ Paramètres d’entrée

Les paramètres d’entrée utilisés dans la théorie de Benilov dans les articles traitant de l’interaction arc/cathode écrits ou coécrits par Benilov sont : la chute de tension cathodique totale et la température de surface thermoémissive de la cathode. Seuls les articles de Nielsen et al [Nie-1] et Benilov et al [Ben-02] utilisent une étude paramétrique en fonction de la température électronique et de la pression du gaz en couplant le modèle à un modèle unidimensionnel de conduction thermique dans la cathode.

¾ Bilan

Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur les travaux de Benilov sont regroupés dans le tableau (TI-06).

¾ Travaux facilement transposables ¾ Validés expérimentalement pour de

faibles ampérages en ce qui concerne la chute de tension cathodique

[Nan-2]

¾ Prise en compte du flux d’électrons rétrodiffusés

¾ Pas réellement appliqués dans une configuration 2D/3D

(48)

- 50 -

IV.B.4. Conclusion sur les modèles complets

La théorie de Benilov est directement utilisable sans avoir recours à un modèle hydrodynamique complexe comme cela peut être le cas pour le modèle de Hsu. La théorie de Riemann et Schmitz ajoute une description plus fine de la zone d’ionisation qui en fait s’avère inutile aux vues des résultats de l’article de Nandelstädt et al [Nan-2]. Enfin le modèle de Hsu est rigoureux au niveau de la description de la gaine et de la pré-gaine cependant il doit être mis de côté à cause du manque de coefficients de transports à deux températures mais aussi à cause du nombre important de paramètres d’entrée utilisés.