Étude exploratoire des conceptions probabilistes correspondant aux niveaux de Green

FACULTÉ DES SCIENCES DE L’ÉDUCATION

ÉTUDE EXPLORATOIRE DES CONCEPTIONS PROBABILISTES CORRESPONDANT AUX NIVEAUX DE GREEN

JOSE ANTONIO ELIAS DAMASCENO

Mémoire présenté pour l'obtention

du gradede maître ès arts (M.A.)

ÉCOLE DES GRADUÉS UNIVERSITÉ LAVAL

OCTOBRE 1990

RÉSUMÉ

Cette recherche exploratoire vise à tenter de déterminer des niveaux de conceptions probabilistes. Le test "Probability concepts in 11-16 year old pupils" du britannique David R. Green permet de classifier les individus suivant quatre niveaux de rendement, obtenus statistiquement par la méthode du scalogramme de Guttman. À l'aide de ce test, nous avons sélectionné 20 élèves de 10 à 16 ans représentatifs de ces divers niveaux, puis, nous avons réalisé avec eux des entrevues cliniques, grâce auxquelles nous sommes arrivé à définir qualitativement quatre "niveaux de conceptions probabilistes". L'administration du test de Green à 409 élèves québécois a également permis de mettre en évidence plusieurs faits intéressants.

REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier tous ceux qui ont collaboré d'une façon ou d'une autre à la réalisation de cette recherche, ceux qui m'ont encouragé dans les moments les plus difficiles, ainsi que ceux qui m'ont fait des critiques et des suggestions dans le but d'améliorer ce travail. Tout particulièrement, je tiens à adresser mes plus vifs remerciements:

- Aux directeurs et aux professeurs des trois écoles où j'ai fait monexpérimentation, lesquels m'ont très bien accueilli;

- Aux 409 élèves québécois qui ont participé à cette recherche;

- À M. Claude Gaulin, dont les critiques et les suggestions m'ont permis d'approfondir des aspects importants de cette recherche;

- À ma famille, dont l'attachement m'a motivé à poursuivre ce travail au cours des dernières années;

- À tous mes amis, brésiliens et québécois, qui m'ont écouté et m'ont encouragé à des nombreuses reprises;

- Aux autorités brésiliennes, dont le support financier m'a permis de compléter cette recherche.

TABLE DES MATIÈRES

RÉSUMÉ...

REMERCIEMENTS...i

TABLE DES MATIÈRES...ii

LISTE DES TABLEAUX...viii

LISTE DES GRAPHIQUES...x

Chapitre 1 CADRE CONCEPTUEL ET OBJECTIF DE LA RECHERCHE...1

1.0 INTRODUCTION...2

1.1 CONCEPTIONS PROBABILISTES...2

1.1.1 Conceptions...3

1.1.2 Conceptionsprobabilistes...3

1.2 STRATÉGIES DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES PROBABILISTES...4

1.3 L'IMPORTANCE D'ÉTUDIER LES CONCEPTIONS ET LES STRATÉGIES PROBABILISTES DES ÉLÈVES...4

1.4 RECHERCHES À PROPOS DES CONCEPTIONS ET DES STRATÉGIES PROBABILISTES DES INDIVIDUS... ...5

1.4.1 Travaux de Piaget et Inhelder...6

1.4.2 Travaux de John Cohen...8

1.4.3 Travaux de Fischbein...11

1.4.4 Travaux de Tversky, Kahneman et Slovic... 13

1.4.5 Travaux de Maury et d'Alarcon...14

1.4.6 Travaux de Green...15

1.5 NIVEAUX DE CONCEPTIONS PROBABILISTES...16

i V

Chapitre 2 MÉTHODOLOGIE...18

2.0 INTRODUCTION...19

2.1 ADMINISTRATION D’UN TEST... 19

2.1.1 Questions du test G...22

2.1.2 Échantillon choisi au primaire pour le test...35

2.1.3 Échantillon choisi au secondaire pour le test...36

2.1.4 Cueillette des données...36

2.1.5 Codage des élèves...37

2.1.6 Correction et analyse desdonnées...38

2.2 PROCÉDURE DE SÉLECTION DES SUJETS POUR LES ENTREVUES CLINIQUES... 40

2.3 RÉALISATION D'ENTREVUES CLINIQUES...41

2.3.1 Préexpérimentation...41

2.3.2 Déroulement des entrevues...42

2.4 ANALYSE DES PROTOCOLES...43

Chapitre 3 ANALYSE DES RÉSULTATS DU TEST...44

3.0 INTRODUCTION...45

3.1 RÉSULTATS DU PRIMAIRE...45

3.1.1 Résultats globaux...45

3.1.2 Résultats par degré scolaire...46

3.1.3 Résultats par école...46

3.1.3.1 Résultats de l’école publique... 47

3.1.3.2 Résultats de l’école privée...48

3.1.3.3 Comparaison des résultats trouvés en 5e année dans lesdeux écoles...49

3.1.3.4 Comparaison des résultats trouvés en 6e année dans lesdeux écoles...49

V

3.1.4.1 Résultats parclasse de 5e année...50

3.1.4.2 Résultats par classe de 6e année...51

3.1.5 Résultatspar sexe...52

3.1.6 Répartition des élèves du primaire parniveau de Green...52

3.1.6.1 Répartition selon le degré scolaire...53

3.1.6.2 Répartition selon l'école...54

3.1.6.3 Répartition des élèves de 5e année selon l'école...55

3.1.6.4 Répartition des élèves de 6e année selon l'école...56

3.1.6.5 Répartition selon l’âge des élèves...57

3.1.6.6 Répartition selonle sexe...58

3.2 CONCLUSIONS DÉGAGÉES DES RÉSULTATS DU PRIMAIRE...59

3.3 RÉSULTATS DU SECONDAIRE...60

3.3.1 Résultats globaux...60

3.3.2 Résultats par degré scolaire...61

3.3.3 Résultats par classe...62

3.3.3.1 Résultatstrouvés dans les deux classes de Secondaire 1...62

3.3.3.2 Résultats trouvésdans les deux classes de Secondaire II...62

3.3.3.3 Résultats trouvés dans les deux classes de Secondaire III...63

3.3.4 Résultatspar sexe...64

3.3.5 Répartition de l'ensemble des élèves du secondaire par niveau de Green64 3.3.5.1 Répartition selon le degré scolaire...65

3.3.5.2 Répartition selon l'âge des élèves...67

3.3.5.3 Répartition selon le sexe...68

3.4 CONCLUSIONS DÉGAGÉES DES RÉSULTATS DU SECONDAIRE...69

3.5 SYNTHÈSE DES RÉSULTATS PAR DEGRÉ SCOLAIRE...70

3.6 SÉLECTION DES SUJETS POUR LES ENTREVUES...71

3.6.1 Sujets choisis au primaire pour les entrevues...71

3.6.2 Sujets choisis au secondaire pour les entrevues...72

V

4.0 INTRODUCTION...74

4.1 STRATÉGIES MANIFESTÉES PAR NOS SUJETS EN RÉPONSE AUX QUESTIONS Q7, Q8, Q9 ET Q10...74

4.1.1 Rappel des questions...75

4.1.2 Stratégies mises en évidence par Green...77

4.1.3 Stratégies observées lorsde la correction du test G...80

4.1.4 Présentation des stratégies observées lors des entrevues cliniques...81

4.1.5 Stratégies observées lors des entrevues avec les sujets de niveau 0 de Green...82

Conclusions... ...87

4.1.6 Stratégies observées lors des entrevues chez les sujets de niveau 1 de Green...87

Conclusions...93

4.1.7 Stratégies observées lors des entrevues avec les sujets de niveau 2 de Green... 93

Conclusions...102

4.1.8 Stratégies observées lors des entrevues avec les sujets de niveau 3 de Green...103

Conclusions...112

4.2 STRATÉGIES MANIFESTÉES PAR NOS SUJETS EN RÉPONSE À LA QUESTION 14... 113

4.2.1 Rappel de la question... 113

4.2.2 Stratégies mise en évidence parGreen...113

4.2.3 Stratégies observées lors de la correction du test G...115

4.2.4 Présentation des stratégies observées lors des entrevues cliniques....115

4.2.5 Stratégies observées lors des entrevues avec les sujets de niveau 0 de Green... ...116

Conclusions... ...119

4.2.6 Stratégies observées lors des entrevueschez les sujets de niveau 1 de Green...119

Conclusions...121

4.2.7 Stratégies observées lors des entrevues chez les sujets de niveau 2 de Green...121

V 4.2.8 Stratégies observées lors des entrevues avec les sujets

de niveau 3 de Green... 125

Conclusions...128

Chapitre 5 SYNTHÈSE ET CONCLUSIONS...129

5.0 INTRODUCTION... 130

5.1 CONCLUSIONS CONCERNANT L'ADMINISTRATION DU TEST G AU QUÉBEC...131

5.2 CONCEPTION PROBABILISTE CORRESPONDANT À CHAQUE NIVEAU DEGREEN...131

5.2.1 Conception probabiliste correspondant au niveau 0 deGreen...132

5.2.2 Conception probabiliste correspondant au niveau 1 deGreen... 133

5.2.3 Conception probabiliste correspondant au niveau 2 deGreen... 133

5.2.4 Conception probabiliste correspondant au niveau 3 deGreen... 134

5.3 CONCLUSIONS GÉNÉRALES...135

5.4 LIMITATIONS DE LA RECHERCHE...135

5.5 SUGGESTIONS POUR D’AUTRES RECHERCHES...136

BIBLIOGRAPHIE...137 Annexe A...A1 Annexe B...B1 Annexe C...C1 Annexe D...D1 Annexe E...E1 Annexe F...F1 Annexe G...G1 Annexe H...H1

V LISTE DES TABLEAUX

TABLEAU 1 Les niveaux de Green...20

TABLEAU 2 Échantillon choisi au primaire...35

TABLEAU 3 Échantillon choisi au secondaire...36

TABLEAU 4 Rendement des élèves du primaire...45

TABLEAU 5 Résultats par degré scolaire (primaire)...46

TABLEAU 6 Résultats par école...46

TABLEAU 7 Résultats de l'école publique par degré scolaire...47

TABLEAU 8 Résultatsde l'école privée par degré scolaire...48

TABLEAU 9 Résultats des deux écoles en 5e année...49

TABLEAU 10 Résultats des 6e années des deux écoles...49

TABLEAU 11 Résultats par classe de 5e année de l'école publique...50

TABLEAU 12 Résultats par classe de 5e année de l'école privée...51

TABLEAU 13 Résultats par classe de la 6e année de l'école publique...51

TABLEAU 14 Résultats par classe de 6e année de l'école privée... 51

TABLEAU 15 Résultats par sexe au primaire...52

TABLEAU 16 Rendement des élèves du secondaire...61

TABLEAU 17 Résultats pardegré scolaire (secondaire)...61

TABLEAU 18 Résultats par classe de Secondaire 1...62

TABLEAU 19 Résultats parclasse de Secondaire II...62

TABLEAU 20 Résultats par classe de Secondaire III...63

TABLEAU 21 Résultats par sexe au secondaire...64

TABLEAU 22 Distribution des élèves par niveau de Green selon la classe...67

TABLEAU 23 Synthèse des résultats par degré scolaire...70

TABLEAU 24 Pourcentages d’élèves de chaque niveau de Green selon le degré scolaire...70

TABLEAU 25 Sujets du primaire choisis pour les entrevues cliniques...71

TABLEAU 26 Sujets du secondaire choisis pour les entrevues cliniques...72

TABLEAU 27 Stratégies utilisées par les sujets de niveau 0 en réponse aux questions Q7, Q8, Q9 et Q10...83

TABLEAU 28 Fréquence des stratégies utilisées par les sujets de niveau 0 en réponse à Q7, Q8, Q9 et Q10...83

TABLEAU 29 Stratégies utilisées par les sujets de niveau 1 en réponse aux questions Q7, Q8, Q9 et Q10...87

i X TABLEAU 30 Fréquence des stratégies utilisées parles sujets

de niveau 1 en réponse à Q7, Q8, Q9 et Q10...88 TABLEAU 31 Stratégies utilisées par les sujets de niveau 2

en réponse aux questions Q7, Q8, Q9 et Q10...94 TABLEAU 32 Fréquence des stratégies utilisées par les sujets

de niveau 2 en réponse à Q7, Q8, Q9 et Q10...94 TABLEAU 33 Stratégies utilisées par les sujets de niveau 3

en réponse aux questions Q7, Q8, Q9 et Q10...103 TABLEAU 34 Fréquence des stratégies utilisées par les sujets

de niveau 3 en réponse à Q7, Q8, Q9 et Q10...104 TABLEAU 35 Stratégies utilisées par les sujets de niveau 0

en réponse à la question Q14...116 TABLEAU 36 Fréquence des stratégies utilisées par les sujets

de niveau 0 en réponse à la question Q14... 116 TABLEAU 37 Stratégies utilisées par les sujets de niveau 1

en réponse à laquestion Q14...119 TABLEAU 38 Fréquence des stratégies utilisées par les sujets

de niveau 1 en réponse à la question Q14...119 TABLEAU 39 Stratégies utilisées par les sujets de niveau 2

en réponse à la question Q14...122 TABLEAU 40 Fréquence des stratégies utilisées par les sujets

de niveau 2 en réponse à la question Q14...122 TABLEAU 41 Stratégies utilisées par les sujets de niveau 3

en réponse à laquestion Q14...125 TABLEAU 42 Fréquence des stratégies utilisées par les sujets

LISTE DES GRAPHIQUES

Graphique 1 Distribution des élèves du primaire (N=213) par niveau de Green 53 Graphique 2 Distribution des élèves de 5e année (N=106) par niveau de Green53 Graphique 3 Distribution des élèves de 6e année (N=107) par niveau de Green53 Graphique 4 Distribution des élèves de l'école publique par niveau de Green...54 Graphique 5 Distribution des élèves de l'école privée par niveau de Green...54 Graphique 6 Distribution des élèves de 5e année de l'école publique

par niveau de Green...55 Graphique 7 Distribution des élèves de 5e année de l'école privée

par niveau de Green...55 Graphique 8 Distribution des élèves de 6e année de l'école publique

par niveau de Green...56 Graphique 9 Distribution des élèves de 6e année de l'école privée

par niveau de Green...56 Graphique 10 Distribution des élèves du primaire par niveau de Green

selon l'âge...57 Graphique 11 Distribution des garçons du primaire par niveau de Green...58 Graphique 12 Distribution des filles du primaireparniveau de Green...58 Graphique 13 Distribution des élèves de Secondaire I, Il et III (N=196)

par niveau de Green...65 Graphique 14 Distribution des élèves de Secondaire I (N=68)

par niveau de Green...65 Graphique 15 Distribution des élèves de Secondaire II (N=66)

par niveau de Green...65 Graphique 16 Distribution des élèves de Secondaire III (N=62)

par niveau de Green...66 Graphique 17 Distribution des élèves du secondaire par âge

selon les niveauxde Green...67 Graphique 18 Distribution des garçons du secondaire par niveau deGreen...68 Graphique 19 Distribution des filles du secondaire par niveau deGreen...68

Chapitre 1

2 1.0 INTRODUCTION

La présente recherche vise à explorer les types de conceptions et de stratégies de résolution manifestées par des élèves face à des situations probabilistes.

L'idée de réaliser cette recherche nous est venue lorsque nous nous sommes rendu compte qu'aucune initiation aux probabilités ne figurait dans les programmes scolaires de mathématique dans notre pays, le Brésil. Cette constatation nous a amené à faire des réflexions et des lectures à propos de l'apprentissage de la probabilité. Ainsi, nous nous sommes intéressé de plus en plus à ce sujet, au point de décider finalement de lui consacrer notre mémoire de maîtrise.

Dans ce chapitre, nous allons commencer par préciser ce que nous entendons par "conceptions probabilistes" et par "stratégies de résolution de problèmes probabilistes". Ensuite, nous ferons une brève revue des principales recherches psychologiques et didactiques existantes sur ce sujet, ce qui permettra de donner un cadre conceptuel à notre étude. Enfin, nous formulerons l'objectif de notre recherche.

1.1 CONCEPTIONS PROBABILISTES

Pour décrire la façon de penser des individus et, en particulier, pour parler des idées que ces derniers se font de tel ou tel concept mathématique, de nombreux psychologues et didacticiens utilisent une variété de termes, variables selon les auteurs: conception, intuition, heuristique, représentation, concept-image, modèle conceptuel, etc. Quoiqu'ils soient souvent employés ou interprétés comme s'il s'agissait de synonymes, il semble exister entre ces termes des distinctions de sens assez subtiles. Pour les finsde notre travail, où nous adoptons un point de vue constructiviste, nous avons choisi de parler de "conceptions", terme avec lequel nous sommes plus familier et à propos duquel nous allons maintenant faire quelques rappels.

3 1.1.1 Conceptions

Brousseau (1980) définit une conception comme étant:

"... un ensemble de règles, de pratiques, de savoirs qui permettent ensemble de résoudre une classe de situations et des problèmes de façon à peu près satisfaisante, alors qu'il existe une autre classe de situations où cette conception échoue, soit qu'elle suggère des réponses fausses, soit que les résultats soient obtenus plus difficilement et dans des conditions plus défavorables."

Une conception est propre à un individu, de sorte que différentes personnes manifestent des conceptions diverses d'un même concept mathématique. De plus, un même individu peut avoir simultanément plusieurs conceptions, plus ou moins évoluées, d'un même concept mathématique et il peut faire appel à l'une ou l'autre, selon les circonstances, pour résoudre tel ou tel problème mathématique.

Sous l'influence de divers facteurs (par exemple l'enseignement), une conception peut se développer, de sorte que l'on peut parler de conception plus ou moins évoluées d'un même concept, parfois même de "niveaux de conceptions" de ce concept.

Rappelons, en passant, l'importante distinction qu'il faut faire entre des "conceptions spontanées" et des "conceptions induites". Les premières, antérieures à tout apprentissage scolaire, ont leurs origines dans les expériences de la vie courante, alors que les conceptions induites sont celles qui sont le résultat d'un enseignement. Les unes et les autres peuvent être conformes ou non à ce que pensent les mathématiciens.

Rappelons également que certaines conceptions manifestées par les individus peuvent être tout à fait erronées. De plus, une conception donnée peut être adéquate ou non pour résoudre un certain problème.

1.1.2 Conceptions probabilistes

Dans la section précédente, il a été question de conceptions relatives à des concepts mathématiques en général. On parle plus spécifiquement de "conceptions

4 probabilistes", dans le cas particulier où il s'agit de conceptions correspondant aux notions intuitives d'événement ou de situation aléatoire, de probabilité définie a priori, de probabilité considérée comme limite d'une fréquence relative, de probabilité entendue dans un sens subjectif, d’indépendance d'événements, d’espérance mathématique, etc.(ll est à noter qu'il n'est pas question ici de théorie des probabilités ni même de du calcul des probabilités!)

1.2 STRATÉGIES DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES PROBABILISTES Dans cette recherche, nous nous intéressons aux conceptions probabilistes des élèves, telles qu'elles se manifestent dans les stratégies qu'ils utilisent pour résoudre des problèmes où interviennent des notions intuitives de probabilité.

Prenons par exemple le problème suivant: "Supposons un sac A qui contient 3 boules noires et 3 boules blanches et un sac B qui contient 2 boules noires et 1 boule blanche. Dans lequel des deux sacs y a-t-il le plus de chances d'obtenir une boule noire en pigeant au hasard?". Voici une stratégie de résolution utilisée par certains élèves face à ce problème: "Dans le sac A, il y a 3 boules noires, tandis que dans le sac B il n'y a que 2 boules noires. Il y a donc plus de boules noires dans A et par conséquent, j'ai plus de chances d'obtenir une boule noire en pigeant dans le sac A". Derrière cette stratégie de résolution se cache une conception (erronée) à l'effet qu'il suffit de prendre en considération le nombre de boules noires dans chaque sac pour résoudre ce genre de problème. Comme le montre cet exemple, l'étude des stratégies utilisées par les élèves pour résoudre des problèmes de probabilité peut donc permettre de connaître indirectement leurs conceptions probabilistes.

1.3 L’IMPORTANCE D’ÉTUDIER LES CONCEPTIONS ET LES STRATÉGIES PROBABILISTES DES ÉLÈVES

Il est important d'étudier les conceptions et les stratégies probabilistes des élèves, et cela pour au moins deux raisons. D'abord, cela pourrait permettre d'arriver à mieux les initier à l'école à la notion de hasard, à la probabilité et à la statistique. À notre avis, une telle initiation est tout à fait essentielle pour la grande majorité des élèves. En effet, dans la vie courante, ils seront constamment bombardéspar des données et des affirmations de caractère statistique (en rapport

5 avec les élections, les loteries, la météo, les sports, la publicité, etc) et ils se trouveront fréquemment dans des situations d'incertitude dans lesquelles ils devront porter des jugements, estimer des probabilités, faire des prédictions, prendre des décisions ou agir. Le fait d'avoir été initié à la probabilité et à la statistique à l'école — moyennant une méthodologie adéquate, bien sûr! — leur permettra de mieux se débrouiller et de faire preuve d'attitudes critiques dans de telles situations. Ils pourront d'ailleurs ainsi mieux apprécier la mathématique du "peut-être", par contraste avec la mathématique du vrai et du faux qui est habituellement privilégiée: "Privés des notions probabilistes, les enfants ont une vision déformée de la mathématique: ils pensent qu'entre le "vrai" et le "faux", il n'y a rien d'autre! Quel choc pour la plupart des élèves plus âgés ou des adultes, que de découvrir l'existence d'un domaine mathématique basé sur la notion du "peut-être"" (Varga, 1975-76, p. 349). C'est sans doute pour toutes ces raisons que dans de nombreux pays, on a décidé durant les 10 à 15 dernières années d’inclure l'initiation à la probabilité dans les curricula de mathématiques pour l'enseignement obligatoire.

Une seconde raison pour laquelle il est important d'étudier les conceptions et les stratégies probabilistes des élèves est le fait que si l'on ne tient pas compte de celles-là, il est très difficile de faire un enseignement efficace en rapport avec la probabilité, même avec des adultes: "L'expérience a montré que les adultes se heurtent à des grandes difficultés même s'il s'agit des chapitres élémentaires. En réalité, les probabilités ne représentent pas seulement un ensemble de techniques de calcul, mais un mode de pensée spécifique, montrant une orientation distincte de l'intellect.”(Lecoutre,1984, p. 195). D'ailleurs, plusieurs recherches ont démontré que les conceptions et les stratégies probabilistes de plusieurs élèves ayant reçu un enseignement formel de la probabilité sont souvent inadéquates ou erronées.

Compte tenu de ce qui précède, le thème de notre recherche apparaît pertinent et se justifie tant au plan théorique qu'au plan pratique.

1.4 RECHERCHES À PROPOS DES CONCEPTIONS ET DES

STRATÉGIES PROBABILISTES DES INDIVIDUS

Avant de définir plus précisément l'objectif de notre travail, nous allons passer en revue brièvement les principales recherches existantes sur les

6 conceptions probabilistes des individus, en commençant par les célèbres travaux de Piaget et Inhelder, rapportés dans leur livre "La genèse de l'idée du hasard chez l'enfant" paru en 1951.

1.4.1 Travaux de Piaget et Inhelder

Piaget et Inhelder (1951) ont utilisé plusieurs épreuves ingénieuses pour étudier les conceptions probabilistes des enfants et des adolescents, entre autres en rapport avec le hasard, la quantification des probabilités et la combinatoire.

Ils arrivent à la conclusion que le concept de probabilité se développe graduellement chez un individu, au fur et à mesure qu'il arrive à mettre en relation certaines opérations mentales. Plus spécifiquement, ils distinguent trois périodes de développement de la pensée probabiliste chez les individus:

1) Une période qui se déroule avant 7-8 ans et qui est caractérisée par l'absence d'opérations proprement dites, c'est-à-dire de la réversibilité. Les raisonnements en jeu demeurent alors prélogiques et sont réglés par des systèmes de régulations intuitifs, sans emboîtements hiérarchiques, mais avec une articulation progressive des rapports intuitives, conduisant peu à peu au niveau opératoire. En général, cette période est caractérisée par l’indifférenciation du possible et du nécessaire.

2) Une période qui se déroule de 7-8 ans à 11-12 ans et qui estcaractérisée par la construction des groupements opératoires d'ordre logique et des groupes numériques, mais sur un plan essentiellement concret. Plus précisément, c'est durant cette période que la réalité même du hasard est reconnue à titre de fait, en tant qu’irréductible aux opérations déductives.

3) Une période qui se déroule à partir de 11-12 ans et qui est marquée par la pensée formelle, c’est-à-dire par la capacité de relier l’un à l'autre plusieurs systèmes d’opérations concrètes à la fois, et de raisonner sur le possible en la traduisant en termes d'implications hypothético-déductives, c’est-à-dire de logique de propositions. En général, cette période est caractérisée par la composition probabiliste, synthèse du hasard et des opérations déductives.

7 Pour illustrer ce qui précède, prenons un exemple d'épreuve à propos de la quantification de probabilités. On présente aux sujets deux collections de jetons, les uns marqués d'une croix et les autres pas. Il s'agit de choisir la collection avec laquelle il y a le plus de chances d'obtenir un jeton avec une croix, en pigeant au hasard. Cette épreuve est plus ou moins complexe selon le rapport entre le nombre de jetons marqués et le nombre de jetons non marqués qu'il y a dans chaque collection.

Généralement, les enfants de moins de 7-8 ans ont de la difficulté à résoudre les problèmes de ce genre; ils n'arrivent à se débrouiller que face à des problèmes où, dans chacune des deux collections, il y a le même nombre de cas favorables ou de cas défavorables

Par ailleurs, les enfants de 7-8 à 11-12 ans éprouvent généralement peu de difficultés à emboîter les cas favorables (partie A) et les cas défavorables (partie A') en un tout (B). Toutefois, ils ne réussissent pas l'épreuve des jetons lorsqu'il y a des nombres différents de cas favorables et de cas possibles. Dans les cas où il y a proportionnalité, ils utilisent des méthodes empiriques, plutôt que formelles. Les enfants considèrent les cas favorables et défavorables alternativement, et ils essaient de trouver les différences entre les cas favorables et les cas défavorables.

À partir de 12 ans, "l'ensemble des questions donne lieu à une solution générale et rapide, sans les tâtonnements propres à ceux du stade IIB pour les questions de proportionnalité" (Piaget et Inhelder, 1974, p. 148).

Piaget et Inhelder (1974, p. 149) concluent que "les notions probabilistes fondamentales ne se construisent qu'au niveau formel". Pour eux, cela s'explique par le fait que "les opérations formelles sont, psychologiquement, des opérations à la seconde puissance, ou opérations portant elles-mêmes sur d'autres opérations préalables (qui sont les opérations concrètes)".

Selon eux, l'accès au calcul mathématique des probabilités par les enfants est limité par deux aspects qui apparaissent préalables: d'une part, l'accès aux opérations du type combinatoire: combinaisons, permutations et arrangements; d'autre part, l'accès à la notion de rapport dans un contexte probabiliste.

8 1.4.2 Travaux de John Cohen

Après Piaget, J. Cohen est l'un des premiers à avoir étudié les conceptions probabilistes des individus. Dans ses travaux, il parle de "probabilité psychologique", notion qui ne se laisse pas enfermer facilement dans un système axiomatique. Lorsqu'il s'agit de quantifier des probabilités, "les valeurs obtenues ne proviennent pas d'une définition à priori ou d'une extrapolation statistique, mais naissent d'impressions et de jugements subjectifs" (Cohen, 1963, p.24).

Voici un exemple d'une épreuve qu'il a utilisée pour étudier les conceptions probabilistes des gens: "On montre aux enfants un vase, en leur disant qu'il contient cent perles, chaque perle étant soit jaune soit bleue. On leur dit aussi que les perles sont en proportions égales, mais complètement mélangées. L'expérimentateur, les yeux fermés, prend alors quatre perles qu'il place dans un récipient. Il répète cette manoeuvre jusqu'à ce que 4 perles soient placées dans chacun des 16 récipients identiques. Les enfants sont alors priés d'indiquer le nombre des récipients qui contiendront:

a) 0 perle jaune et 4 perles bleues b) 1 perle jaune et 3 perles bleues c) 2 perles jaunes et 2 perles bleues d) 3 perles jaunes et 1 perle bleue e) 4 perles jaunes et 0 perle bleue

Des expériences de ce genre ont permis à Cohen de distinguer quatre stades, entre 10 et 16 ans, dans la compréhension de l'idée de distribution statistique. Au premier stade, l'enfant croit simplement que les réponses aux questions a), b), c), d) et e) peuvent être très variables. Au deuxième stade, il tend à croire que c) sera plus fréquent. Au troisième stade, l'enfant tend à penser que b) sera aussi fréquent que d) et a) aussi fréquent que e). Au quatrième stade, il s'attend à ce que b) soit plus fréquent que a) et d) plus fréquent que e).

Afin d'étudier l'indépendance des événements, Cohen et Hansel (1955) ont utilisé une épreuve concernant des billes placées dans des gobelets. Voici la consigne donnée: "J'ai douze gobelets alignés; chaque gobelet contient une certaine quantité de billes bleues et jaunes, mais les proportions de billes bleues et

9 jaunes varient d'un gobelet à l'autre. Je vais retirer une à une quatre billes de chaque gobelet. Je vous montrerai les trois premières au fur et à mesure qu'elles seront extraites et, ensuite, vous devinerez la couleur de la quatrième" (Cohen et Hansel, p. 18). L'expérience a été organisée de telle sorte que chaque échantillon de trois billes comporte des billes de couleurs différentes. De plus, tous les arrangements possibles ont été utilisés et répétés deux fois dans un ordre déterminé au hasard et adopté une fois pourtoutes, soit:

Jaune Bleue Bleue

Jaune Bleue Jaune

Bleue Jaune Bleue

Bleue Jaune Jaune

Bleue Bleue Jaune

Bleue Jaune Bleue

Jaune Jaune Bleue Bleue Jaune Jaune

Bleue Bleue Jaune

Jaune Bleue Bleue Jaune Jaune Bleue

Jaune Bleue Jaune

Dans le cas de chacun des gobelets, la couleur de la quatrième bille n'a jamais été révélée aux enfants.

À partir de l'analyse des données recueillies avec 93 enfants âgés de 10 ans ou plus, Cohen et Hansel ont tiré deux conclusions. D'abord, les enfants ont eu tendance à prédire la couleur non prépondérante (celle qui est apparue une seule fois) pour la quatrième boule; ensuite, l'ordre d'apparition de la couleur prépondérante (celle qui est apparue deux fois) a exercé une influence dans les choix des enfants. Les auteurs donnent trois explications de ces constatations:

a)Les enfants pensent que le nombre de boules jaunes est égal au nombre de boules bleues danschacun des gobelets, même si on les a avertis du contraire initialement.

b) Lorsque l'expérimentateur tire, par exemple, deux boules jaunes et une bleue (dans n’importe quel ordre), ils concluent qu'il y a un excédent de boules de la

10 couleur prépondérante et donc que la quatrième boule a plus de chances d'être de cette couleur.

c)Les enfants n'aiment pas les arrangements asymétriques.

Dans une autre expérience, Cohen et Hansel ont posé deux variantes de la question précédente. (1) Une fille a lancé 8 fois de suite une pièce de monnaie et a obtenu Face huit fois. Que pensez-vous qu'elle obtiendra la prochaine fois? Les chercheurs sont arrivés à la conclusion suivante: près de la moitié des sujets estiment qu'après avoir obtenu "face" huit fois de suite, il est temps que "pile" se produise; les autres, en revanche, répondent "face" en invoquant diverses raisons, comme par exemple le fait que la fille est habile et qu'elle va réussir à prolonger la série de "face". (2) Jean et Jacques, deux capitaines d'équipes scolaires, doivent choisir leur terrain en jouant à pile ou face au début d’un match. Lors des huit matches précédents c’est Jean qui a eu l'avantage. Qui, pensez-vous, sera favorisé par le sortcette fois-ci?

Voici des exemples d'explications que les sujets donnent pourjustifier leurs réponses à ces deux questions:

- la chance: "Jean semble avoir toutes les chances de son côté et je suis sûr qu’il va gagner"

- le déterminisme: "La pièce de monnaie tombera encore sur face parce que le vent doit soufflerde façon qu'il en soit toujours ainsi"

- la magie: "Jean pense qu'il va gagner et ainsi il gagnera"

- le changement: "Jean agagné huit fois et maintenant ce sera Jacques"

- l'indépendance: "Quand une pièce de monnaie a été lancée en l'air, même les gens les plus intelligents ne peuvent dire de quel côté elle tombera".

11 Une fraction appréciable des sujets (environ 15% des plus jeunes et 30% des plus âgés) répondent "pile ou face" à la première question et "Jean ou Jacques" à la deuxième.

1.4.3 Travaux de Fischbein

Fischbein a publié, en 1975, un premier livre intitulé "The Intuitive Sources of Probability Thinking in Children", puis, en 1987, l’ouvrage "Intuition in Science and Mathematics", où il couvre le champ de l'intuition en général (intuition de l'infini, intuition géométrique, intuition probabiliste, etc.). Pour lui, l'intuition n'est pas la source primaire de la vérité, de la certitude, de la cognition, mais elle apparaît comme si elle l'était, parce que c'est son rôle de créer l'apparence de certitude, pour attacher un attribut intrinsèque d'incontestable certitude à plusieurs interprétations et représentations.

Comme nous l’avons déjà mentionné dans la section 1.1, les auteurs utilisent divers termes pour étudier la pensée probabiliste. Fischbein, par exemple, préfère utiliser le mot intuition. "An intuition is, then, an idea which possesses the two fundamental properties of a concrète, objectively-given reality; immediacy—

that is to say intrinsic evidence— and certitude (not formai conventional certitude, but practically meaningful, immanent certitude)" (Fischbein,1987, p. 21).

Fischbein (1987, p. 71) classifie les intuitions en intuitions primaires et intuitions secondaires:"Primary intuitions are those which develop on the basis of normal everyday expérience (which is of course subjet to cultural variation).

Secondary intuitions, by contrast, are those which are acquired, not through natural expérience, but through some educational intervention". Cette classification est semblable à celle que nous avons rappelée plus tôt entre les conceptions spontanées les conceptions induites d'une notion.

Fischbein (1975) a étudié l'évolution de la pensée probabiliste du point de vue de ses inter-relations avec l'intuition, en suivant une approche différente de Piaget.

1 2 Pour lui, déjà les enfants du préscolaire (avant 7 ans) manifestent des intuitions probabilistes, mais avec des distorsions caractéristiques, par exemple la croyance que celui qui joue peut contrôler les résultats. Selon Fischbein, les enfants de cet âge ont ce type d'intuition probabiliste parce qu'ils n'ont pas encore une structure conceptuelle adéquate. Même après que l'on ait essayé de leur apprendre la notion de rapport, ces enfants font peu de progrès de ce point de vue. À partirde l'âge de 7-8 ans, l'enseignement semble cependant produire des effets.

Concernant les enfants qui sont au stade des opérations concrètes (9-10 ans), Fischbein conclut:

"If they hâve not received appropriate instruction, 9-10 year-old children can only solve problems involving comparisons of odds in situations where either the number of favorablecases or the number of unfavorable cases are equal (their estimations being based on a binary comparison) [...] With instruction, the responses of 9-10 year-olds can be significantly improved (though not the responses of pre-school children), in problems which cannot be reduced to binary comparisons. This finding is important, since it must throw doubt on the claim of Piaget and Inhelder that establishing proportionality is a characteristically formai operation. We hâve demonstrated that, though the use of figurai procedures, schémas considered by Piaget and Inhelder to be accessible only at level of formai operations can be constructed at the level of concrète operations. At the least, we hâve shown that the absence of proportionality is not an obstacle to learning the concept of probability." (Fischbein, 1975, p. 122-3).

À propos des enfants au stade des opérations formelles, Fischbein conclut:

"When the experimental material consists of ajar of marbles, 12 year-old children give correct responses from out-set, even in cases where they hâve to compare rations with unequal terms. Such a finding is predicted by Piaget's theory. What we hâve added to this is the fact that even 9-10 year-old children can respond correctly in such situations, if they hâve had appropriate instruction." (Fischbein, 1975, p. 128)

13 Fischbein a étudié surtout les fondements intuitifs et les rudiments de la pensée probabiliste. Au contraire, Piaget et Inhelder, se sont intéressés au schéma final que constitue la probabilité formelle, considéré par Fischbein comme étant le résultat de l’enseignement.

Piaget et Fischbein ont étudié le développement de la pensée probabiliste selon des perspectives différentes; leurs œuvres nous apparaissent complémentaires et non contradictoires. Alors que Piaget ne dit jamais ce que le professeur devrait faire ou ne pas faire, Fischbein insiste sur le fait que l'enseignant doit chercher à identifier les intuitions probabilistes de ses élèves, de façon à pouvoir mieux intervenir, soit pour les fortifier, soit pour les modifier.

1.4.4 Travaux de Tversky, Kahneman et Slovic

Dans les travaux qu'ils ont menés depuis une quinzaine d'années, les psychologues Tversky et Kahneman parlent d'heuristiques" lorsqu'ils tentent d'expliquer les jugements probabilistes erronés de beaucoup de gens (même parmi ceux qui ont étudié la théorie des probabilités!) lorsqu'ils se trouvent face à des situations d'incertitude." ...people rely on a limited number of heuristics which reduce the complex tasks of assessing probabilities and predicting values to simpler judgemental operations. In general, these heuristics are quite useful, but sometimes they lead to severe and systematic errors" (Kahneman et al, 1982, p. 3) À titre d'illustration, mentionnons brièvement deux heuristiques que ces chercheurs ont principalement étudié.

Ainsi, quelqu'un qui raisonne suivant P"heuristique de la représentativité" a tendance à évaluer la probabilité d'un événement incertain par son degré de

ressemblance avec la population dont il est extrait ou avec le procédé par lequel il est engendré. Par exemple, au jeu de pile ou face, certains individus qui utilisent cette heuristique jugent, à tort, l'événement PFPF plus probable que FPPP, en se référant au hasard (PFPF semble être plus aléatoire que FPPP!) et à l'équiprobabilité des faces de la pièce de monnaie.

D'un autre côté, une personne qui raisonne selon Theuristique de la disponibilité" a tendance à juger un événement comme étant plus probable s'il

1 4 appartient à une catégorie d'événements facilement évocables ou familiers ou prégnants ou encore récents pour cette personne. Parexemple, la majorité de gens croient qu'en anglais, la lettre "r" se retrouve plus fréquemment en première qu'en troisième position dans un mot, alors qu'en réalité le contraire est vrai (Kahneman et al, 1982, p. 33). Selon les auteurs, cela s'explique par le fait qu'il est plus facile de se rappeler des mots qui commencent par une certaine lettre que des mots dans lesquels cette lettre apparaît en troisième position.

Pour étudier les "heuristiques" auxquels les gens ont recours dans des situations d'incertitude, Tversky et Kahneman ont surtout procédé à l'aide d'entrevues cliniques auprès d'étudiants du cegep ou d'université.

1.4.5 Travaux de Maury et d'Alarcon

Il convient ici de mentionner brièvement les travaux réalisés récemment en France par Sylvette Maury et Jésus Alarcon.

Au moyen d'une épreuve standardisée (succession d'exercices à résoudre) administrée collectivement, Maury (1986) a étudié les procédures utilisées par des élèves de la fin du secondaire lors de la résolution de problèmes mettant en jeu la quantification des probabilités, l'indépendance des événements et la probabilité conditionnelle. L'une des conclusions les plus intéressantes de sa recherche concerne l'influence du contexte et du vocabulaire utilisés. Elle est initialement partie de l'hypothèse que "les procédures observées par ceux qui ont étudié les conceptions probabilistes dépendaient dans une large mesure des caractéristiques du matériel qu'ils utilisaient pour présenter la situation probabiliste". Effectivement, elle a observé un certain nombre de différences dans le rendement et les procédures utilisées par les élèves selon que l'épreuve était présentée avec un contexte faisant intervenir des boules dans un sac ou encore des roulettes et selon que le vocabulaire utilisée dans la formulation était courant ou encore plutôt technique.

Sur la base d'un questionnaire, Alarcon (1982) a pour sa part étudié les réactions d'élèves de 12 à 14 ans devant des "situations probabilistes de décision à posteriori" (par exemple: étant donné deux sacs de boules blanches et noires de

1 5 composition connue, à partir duquel a-t-on obtenu l'échantillon suivant en faisant plusieurs tirages consecutifs avec remise?) définies par opposition aux situations de prévision à priori (par exemple: étant donné deux sacs de boules blanches et noires de composition connue, avec lequel a-t-on le plus de chances de tirer une boule noire?). De plus, tous les sujets devraient répondre à un second questionnaire basé sur la célèbre "épreuve du jus d’orange" de G. Noelting (1982). Citons deux conclusions importantes du travail d'Alarcon: (1) "Loin de centrer sur les probabilités, le raisonnement probabiliste des enfants reste attiré par l’univers des événements, c'est-à-dire par le lien entre le résultat du tirage (l’événement qui s'est produit) et le contenu des sacs (ou ce qui pourrait être tiré dans chaque sac). Et ceci avec des rapports arithmétiques qui ont donné lieu à une réussite presque totale en situation de mélange physique" ; (2) "Il y a un décalage entre l'appréhension des rapports arithmétiques en situation de probabilité et en situation de mélange physique (les rapports produisant une réussite presque totale dans l'expérience de Noelting conduisent à l'échec en probabilité)". (Alarcon, 1982, p. 201-2)

1.4.6 Travaux de Green

Le britannique David R. Green (1982) a voulu procéder différemment des chercheurs cités précédemment pour évaluer le degré de pensée probabiliste des gens. En effet, il a élaboré un test ("Probability concepts in 11-16 year old pupils") composé d'un grand nombre de questions inspirées de Piaget, Fischbein, Kahneman et Tversky, et d'autres concernant le hasard, la quantification de probabilités, la combinatoire, la statistique et certaines expressions utilisées dans le langage pour traduire divers degrés de probabilité d'un événement. Il s'agit, dans la plupart des cas, de questions à choix multiple, mais de temps en temps il est demandé à l'élève de justifier son choix de réponse, c'est-à-dire d’expliquer sa stratégie de résolution.

Green a ensuite administré ce test à 3000 élèves de 11 à 16 ans constituant un échantillon représentatif de l'Angleterre. Puis il a fait une analyse statistique des données obtenues, au moyen de la méthode du scalogramme de Guttman. Il a ainsi montré que, parmi les questions de son test, 18 formaient une échelle de Guttman à quatre niveaux. L'administration de ces 18 questions permet donc de classifier les

1 6 élèves suivant quatre niveaux de rendement, que nous appellerons dorénavant les quatre "niveaux de Green" et qui seront définis plus précisément dans la section 2.1. Il est à remarquer que cette échelle a un coefficient de reproductibilité de 0,99 et un coefficient de scalabilité de 0,96.

Green a mis en évidence le fait que l'on trouve divers "niveaux de Green" chez les élèves d'un âge donné, quoique le niveau moyen croît avec l'âge. Il a montré également qu'il existe une forte corrélation entre le "niveau de Green" d'un individu et son résultat à un test d'habilité générale à raisonner, voire même — à un degré moindre — son habileté en mathématiques telle que perçue par son professeur.

Les quatre "niveaux de Green" sont les produits d'un traitement quantitatif des réponses que ce chercheur a obtenues en administrant son test. Cependant la signification de chacun de ces niveaux, en termes qualitatifs, demeure obscure, même après l'analyse des stratégies de résolution que les élèves ont données pour justifier certaines de leurs réponses.

1.5 NIVEAUX DE CONCEPTIONS PROBABILISTES

Comme nous l'avons dit déjà, le but général de notre recherche est d'explorer les conceptions probabilistes sous-jacentes aux stratégies que les élèves utilisent pour résoudre des problèmes faisant intervenir des notions intuitives de probabilités. Plus particulièrement, nous nous intéressons à la définition de différents niveaux de conceptions probabilistes observables chez les individus. Mais comment arriver à identifier de tels niveaux?

Lorsqu’on examine de plus près les recherches mentionnées précédemment, on se rend compte que la méthode privilégiée pour définir des niveaux de conceptions consiste à analyser les conduites et les stratégies manifestées par des sujets en réponse à une variété d’épreuves durant des entrevues cliniques. C'est ainsi que, pour certains concepts probabilistes, Piaget et Inhelder ont mis en évidence trois stades de développement (pré-opératoire, concret et formel).

1 7 L'étude des travaux de Green nous a amené à penser à une autre façon de procéder. En effet, le test qu'il a élaboré vise à évaluer l'acquisition de plusieurs concepts probabilistes simultanément, de sorte que les quatre "niveaux de Green" obtenus par la méthode du scalogramme constituent en quelque sorte quatre paliers de rendement général face à des problèmes où interviennent le hasard et les probabilités. Or, il est raisonnable de supposer qu'à chacun de ces paliers définis par des méthodes quantitatives correspond une certaine façon de penser, autrement dit que chaque "niveau de Green" peut être caractérisé par des conceptions probabilistes sous-jacentes. L'idée nous est donc venue de tenter de définir ainsi quatre niveaux de conceptions probabilistes en correspondance avec les quatre "niveaux de Green". Pour ce faire, naturellement, il s'agirait de prendre des sujets déjà classifiés selon les différents "niveaux de Green" et d'observer leurs conduites et leurs stratégies à l'occasion d'entrevues cliniques portant sur des problèmes probabilistes simples.

1.6 OBJECTIF DE NOTRE RECHERCHE

À la lumière de tout ce qui précède et compte tenu de la nécessité de limiter notre sujet, nous avons retenu l'objectif suivant pour notre étude exploratoire:

Tenter de définir des niveaux de conceptions probabilistes correspondant aux quatre niveaux de Green (identifiés par D. R. Green à partir de l'analyse statistique des réponses obtenues à son test).

Chapitre 2 MÉTHODOLOGIE

1 9 2.0 INTRODUCTION

Pour atteindre l'objectif formulé à la fin du chapitre précédent, nous avons adopté une méthodologie en deux étapes. Dans la première étape, nous avons administré un test afin de sélectionner des sujets de différents "niveaux de Green" en probabilité. Dans la deuxième étape, nous avons réalisé des entrevues cliniques avec ces sujets dans le but d'identifier leurs stratégies pour résoudre des problèmes simples de probabilité et de tenter d'identifier des conceptions probabilistes sous- jacentes.

Dans ce chapitre, nous allons d'abord décrire le test que nous avons administré au primaire et au secondaire lors de la première étape. Ensuite nous allons expliquer comment nous avons sélectionné des sujets pour les entrevues cliniques. Enfin, nous décrirons brièvement comment nous avons mené les entrevues.

2.1 ADMINISTRATION D'UN TEST

Dans la section 1.4.6, il a été question du test "Probability concepts in 11-16 years old pupils" élaboré par David R. Green en Angleterre. Parmi les questions du test, 18 forment une échelle de Guttman et permettent ainsi de définir quatre "niveaux de Green", présentés dans le Tableau 1.

Dans notre recherche, le test que nous avons utilisé comprenait seulement ce sous-groupe de 18 questions; nous l'appellerons dorénavant le "test G" C). Dans le Tableau 1 de la page suivante, les 13 questions à choix multiples sont indiquées par le code "R", tandis que les 5 questions pour lesquelles il fallait justifier la réponse choisie sont numérotées à l'aide du code "J".

Après avoir traduit en français les 18 questions du test G (originalement formulées en anglais), nous en avons fait une préexpérimentation avec 16 élèves.

1 Nous tenons à remercier le professeur David R. Green de nous avoir permis d'utiliser des questions de son test et de reproduire les énoncés de quelques-unes dans le présent travail.

20 Cette préexpérimentation visait entre autres à apporter des améliorations dans la formulation des questions, compte tenu des difficultés linguistiques que nous avons rencontrées en traduisant un certain nombre, et à vérifier le temps nécessaire à l'application du test G.

TABLEAU 1 Les niveaux de Green Niveau de Green Questions du test G définissant le niveau Critère d'admission d'un élève à ce niveau

0

1

2

3

C'est en nous basant sur les données recueillies lors de la préexpérimentation que nous avons apporté au test les changements nécessaires en vue de l'expérimentation. Ainsi, dans les questions Q7 à Q10, nous avons changé les jetons pour des boules, étant donné que les élèves parlaient plus souvent de boules que de jetons, et également parce que la forme aplatie des jetons donnait l'impression qu'ils sont difficiles à mélanger. De même, nous avons remplacé les urnes par des sacs avec une corde autour de l'ouverture, afin de mieux suggérer l'idée que les tirages doivent être faits sans voir les boules. De plus, puisque la présentation d'un dessin risque d'influencer la perception du sujet dans l'évaluation des probabilités, nous avons tenté de minimiser cet effet en changeant la position des boules dans les dessins. Enfin, nous avons ajouté les mots "bien

21 mélangées", pour souligner le caractère dynamique de la situation, après avoir observé que certains élèves s'imaginaient que les sacs dessinés représentaient l'état final, une fois les boules mélangées.

La préexpérimentation nous a par ailleurs permis d’éliminer les difficultés linguistiques observées lors de la traduction du test en français. Par exemple, nous avons traduit la phrase "Bag B gives a better chance to get black" par "il y a plus de chances d'obtenir une boule noire avec le sac B", laquelle est apparue beaucoup plus claire aux élèves québécois. De même, nous avons traduit "Both bags give the same chance" par"Il y a autant de chances d'obtenir une boule noire avec le sac A qu'avec le sac B" ou "Il y a autant de chances avec le sac A qu'avec le sac B".

Dans la question Q15, tout en conservant l'esprit de la question, nous en avons changé le contexte désagréable pour les élèves, car ceux-ci n'aiment évidemment pas aller chez le directeur pour recevoir une punition. Nous avons donc préféré parler de "recevoir un prix". La question la plus difficile à traduire a été la question Q11, portant sur l'"espérance mathématique"; ce n'est qu'à la suite de plusieurs tests que nous avons décidé de la retenir sous la forme où elle apparaît dans letest.

22 2.1.1 Questions du test G

Question Q1R (niveau 2 de Green)

La question Q1 présente le tirage au sort du nom d'un garçon ou d’une fille. À remarquer que tous les papiers sur lesquels figurent les noms sont mis dans un seul sac.

1. Dans une classe de mathématiques, 11 y e 13 garçonset 16 filles. On écrit le nom de chaque élève sur un petit papier. Tous les papier» sont mis dans sac. Le professeurpigeun papier sans regarder.

Choisis la phrase correcte:

a)Il ya plus de chances de sortirle nom d’un garçon que d’unefille b)Il yaplus de chances desortir le nom d’une fille qued'un garçon c) Il y a autant de chances de sortir le nom d'un garçon qued’une fille d)Je ne sais pas

23 Question Q2R (niveau 1 de Green)

La question Q2 présente deux roulettes, chacune étant divisée en un certain nombre de secteurs égaux.

2. Deuxdisques sont dessinés ci-dessous: un rougeet un bleu. Chacun a une flèche que l’on faittourneret qui Indiqueun chiffre. Avec quel disque y e-t-11plus de chances d'obtenirun 3 ?

BLEU R0U6E

Choisis la phrase correcte:

a) Il ya plus de chances d'obtenir 3 avec 1e disque rouge b) il y a plus dechances d'obtenir 3 avec ledisque bleu c) Il y a autant de chances d'obtenir3 avec l’un qu’avec l’autre d) Je ne sais pas

-24 Question Q3R (niveau 1 de Green)

La question Q3 a pour but de vérifier si les individus s'aperçoivent de l'équiprobabilité des événements possibles et de nous permettre d'identifier ceux ayant une préférence pour un chiffre particulier.

3. St on lance un dé ordinaire à 6 faces, quel nombre ou quels nombres est-ll le plus difficile d'obtenir ? Ou bien est-ce que tous les nombres ont les mêmes chances d'apparaître?

25 Question Q4R (niveau 1 de Green)

La question Q4 porte sur la compréhension de l'indépendance des événements dans le jeu de pile ou face.

4 On fonce une pièce demonnaie ordinaire cinq fols de suite et chaque fols on obtient PILE

Choisisla phrase correcte:

a) La prochaine fois, 11y a plusde chances d'obtenir PILE de nouveau b) La prochaine fols, 11 y aplus de chancesd'obtenirFACE

c) La prochaine fols, 11 y a autant de chances d'obtenir PILE que FACE d) Je nesais pas

26 Questions Q7R et Q7J (niveau 2 de Green)

Dans la question Q7, inspirée de Piaget (tout comme les trois qui suivent), le nombre de cas favorables à la sortie d'une boule noire est le même pour les deux sacs, tandis que le nombre de cas défavorables est différent.

7. On a deux sacs contenant chacun des boules noires et des boules blanches bien mélangées.

Sac C :5noires et 2 blanches

Sac 0: 5 noires et 3blanches

Avec quel sac (C ou D) g a-t-ll plus de chances de tirer une boule noire? Ou ya-t-11 les mêmes chances avec les deux sacs?

a) il ya plus de chances avec le sac C b) il y a plus de chances avec le sac D

c) Il y a autant de chances avec le sacC qu'avec le sac 0 d) Je ne sais pas

-27 QuestionsQ8R et Q8J (niveau 2 de Green)

Dans la question Q8, on remarque que dans le cas de chaque sac, le nombre des cas favorables est le même que celui des cas défavorables.

8. Deux outres secs contiennent des boules noires et des boules blanches bienmélangées.

Sac E:2 noires et2blanches E

Sac F: 4 noires et 4 blanches

Avec quel sacy a-t-11 plus de chancesde tirer une boulenoire?

a)il y a plusde chancesavec le sacE b)il y a plus de chances avec lesac F

c)Il y a autant de chances avec le sac E qu'avec le sacF d)Jene sais pas

28 Question Q9R (niveau 2 de Green) et Q9J (niveau 3 de Green)

L'énoncé de la question Q9, contrairement à celui de la question précédente, n'est accompagné d'aucun dessin. De plus, la comparaison des rapports en jeu est beaucoup moins immédiate.

9. Deux autres sacs contiennent des boules noires st des boules blanches bien mélangées.

Sac G: 12 noires et 4 blanches

Sac H: 20noires et 10blanches

Avec quel sac ya-t-11 plus de chances de tirerune boule noire ?

a) Il ya autantde chances avec le sac G qu'avec lesac H b) Il y aplus de chancesavec lesac G

c) Il y a plusde chances avecle sac H d) Je ne sais pas

-29 Questions Q10R et Q10J(niveau 3 de Green)

Laquestion Q10 n’est pas accompagnée de dessins non plus. On remarque aussi que les rapports qui y interviennent sont beaucoup moins complexes que ceux de laquestion précédente.

10. Deux autres sacs contiennent des boules noires et des boules blanches bien mélangées.

Sac J : 3 noires et 1 blanche

Sac IC 6 noires et 2 blanches

Avecquel sac y a-t-11 plus de chances de tirer uneboule noire?

a) Il y a autant de chances avec lesac Jqu'avec le sac K b) Il y a plus de chances avec le sacJ

c) Il y a plusde chances avec le sacK d) Je ne sais pas

-30 Question Q11R (niveau 2 de Green)

La question Q11 porte sur l'espérance mathématique. La situation met en compétition deux individus, dont l’un, a priori, a une plus grande probabilité de gagner que l'autre.

11. Jacques et Pauldécidentde lancerun dé dix fols de suite. Il est entendu que chaque fols quele dé Indiquera 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6, Jacques gagnera I point, tandis que chaque fols que le dé Indiquera 1, Paul gagneraun certain nombre de points. A la fin, celui qui aura accumulé le plus de points remportera un prix.

Afin que lejeu soft juste pour les deux joueurs, combien de pointsPaul devrait-il gagner chaque folsquele déindiquera 1?

31 Question Q12R (niveau 2 de Green)

La question Q12 concerne les arrangements possibles de 2 objets avec répétition. Pour plusieurs élèves, cette question se réduit à une question de permutation, parce qu'ils oublient les résultats PP et FF.

12. On lance ensemble une pièce de 1 cent et une pièce de 25 cents. On peut ainsi obtenir plusieursrésultats différents, par exemplele suivant

Piècede 1 cent : PILE et Pièce de25 cents. FACE qui est Inscrit dans le tableaucl-dessous.

Dans le même tableau, écris tous les autres résultats possibles qu'on peut avoir. (Représente PILE par P et FACE par F.)

32 Question Q13R (niveau 2 de Greerû

La question Q13 se réfère à l'idée de probabilité conditionnelle. Il faut tenir compte du fait que les probabilités de piger une boule rouge ou bleue ou verte changent une fois qu'on a pigé 2 boules rouges et une bleue.

13. On met dans un soc 4 billes rouges, 4 billes bleues et 2billes vertes. On secoue le sac, puis on pige trois billes: 2 rouges et 1 bleue. Ensuite, on pige una bille de plus. Quelle couleura alors le plus de chances de sortir?

a) Le rougeale plus de chances de sortir b)Lebleu aleplus de chances de sortir c)Levert a leplus de chances de sortir

d) Toutesles couleurs ont les mêmes chances de sortir e)Je nesalepas

33 Questions Q14R et Q14J (niveau 2 de Green)

Les roulettes utilisées dans la question Q14, ont certains secteurs inégaux, contrairement à la question Q2. Cette question diffère de celles des boules en ce sens que les boules forment un ensemble discret tandis que les roulettes représentent un ensemble continu.

14. Deuxdisques, un jeune et un brun, sontmarquésavec deschiffres.

JAUNE BRUN

Chacun a une flèche que l’on peut faire tourner. Pour obtenir 1 comme résultat, est-ce que Fun des deux disques est meilleur que l’autre? Ou bien est-ce que les deux disques donnentles mêmes chances?

a)Le disque jaune estmeilleur pour obtenir 1 b) Le disque brun estmeilleur pour obtenir 1

c) Le deuxdisques donnent les mêmes chancesd'obtenir 1 d) Personne nepeut ledire

-34 Question Q15R (niveau 1 de Green)

La question Q15 concerne les permutations possibles de trois objets.

15. Troll élèves, André, Béatrice et Christophe (représentés par A, B et C), sont arrivés lespremiers à un concoursde mathématiques organisé dans leur école. Ils se rendentau bureaudu directeur pour recevoir leurs prix. En arrivant, ils se mettenten ligne etattendentàla portedubureau.

Si André est lepremier de la file, Béatrice la deuxième et Christophe le troisième, alors Ils recevront leurs prix dansl’ordre suivant ABC.

Écris ci-dessous tousles ordres possibles dans lesquels les trois élèves peuvent recevoir leursprix.

L L

L

L

L

L

35 Remarque. Quatre questions du test G font appel à des sacs de boules noires et blanches, soit Q7, Q8, Q9 et Q10. Pour mieux les différencier par la suite, nous utiliserons les notations suivantes:

Q7- 5:2 VS 5:3

Q8- 2:2 VS 4:4

Q9- 12:4 VS 20 :10

Q10--3:1 VS 6:2.

Dans les sections qui suivent, nous allons expliquer comment nous avons procédé pour administrer le test et recueillir nos données.

2.1.2 Échantillon choisi au primaire pour le test

Pour ne pas changer le rythme normal des activités scolaires, les écoles ont été choisies selon la disponibilité des autorités et leur volonté de collaborer à notre recherche. Deux écoles ont ainsi accepté de nous recevoir pour l'expérimentation, soit une école publique E1 d’un milieu moins favorisé et une école privée E2. Le Tableau 2 présente l'échantillon choisi au primaire, lequel comprenait un total de 213 élèves.

TABLEAU 2

Échantillon choisi au primaire

École Degré scolaire Classes Total d'élèves

E1

E2

36 2.1.3 Échantillon choisi au secondaire pour le test

Plusieurs directeurs d'écoles du secondaire ont été contactés, mais à la suite de divers problèmes administratifs, la majorité des directeurs ont refusé de participer à notre expérimentation, de sorte que nous n'avons finalement eu qu'une école du secondaire pour appliquer le test et faire les entrevues.

Dans le Tableau 3, nous présentons les 196 élèves de cette école formant notre échantillon du secondaire. Ils proviennent de trois degrés scolaires différents.

TABLEAU 3

Échantillon choisi au second aire École Degré scolaire Classes Total d'élèves

E3

2.1.4 Cueillette des données

L'administration du test dans les écoles a été faite par un groupe de professionnels de recherche et d'étudiants gradués en didactique des mathématiques de l'Université Laval. Nous avons élaboré un protocole de présentation (annexe A, 2) qui fut lu dans toutes les classes, de façon que tous les sujets reçoivent les mêmes instructions. En voici quelques éléments:

- D'abord, nous avons remercié les élèves d'avoir accepté de répondre au test et nous leur avons expliqué les objectifs de notre recherche,

Puis nous leur avons demandé de remplir un formulaire de consentement, à répondre et à participer à des entrevues cliniques (annexe A, 3),

- Ensuite, nous leur avons demandé de répondre au test avec beaucoup de sérieux, sans parler à leurs camarades et sans poser de questions durant la passation,

- Enfin, nous les avons avertis qu'ils n’avaient pas le droit de consulter leurs notes ni d’utiliser des instruments de mesure.

Nous avons distribué le test à tous et nous avons signalé le moment de commencer, ainsi que celui de finir le test.

La passation du test G dans toutes les classes a duré en moyenne 40 minutes. Après 30 minutes, nous avons averti les élèves qu’ils pouvaient encore continuer durant une dizaine de minutes.

2.1.5 Codage des élèves

Après l’administration du test, nous avons procédé au codage des élèves. Ce codage a été fait en vue de pouvoir traiter les données à l’aide du logiciel EXCEL, lequel exige que les valeurs d’une variable donnée soient mises dans une même colonne.

Ainsi, nous avons adopté un code de 5 chiffres pour chaque élève. Le premier chiffre correspond au degré scolaire: 5 (cinquième année), 6 (sixième année), 7 (secondaire I), 8 (secondaire II) ou 9 (secondaire III). Le deuxième chiffre indique la classe: 0 (classe 0 de l’école E1), 1 (classe 1 de l’école E1), 2 (classe 2 de l’école E2), 3 (classe 3 de l’école E2), 5 (classe 5 de l’école E3) ou 6 (classe 6 de l'école E3). Le troisième chiffre se réfère au rang que nous avons arbitrairement accordé à l'élève dans sa classe. Le quatrième chiffre représente le sexe: 0 (masculin) ou 1 (féminin). Le cinquième chiffre, séparé du précédent par un trait, a été déterminé après la correction du test et il correspond au "niveau de Green" où l'élève se situe. À titre d'illustration, voici un exemple:

38 6e année École 1, classe 0 Rang 12 Sexe féminin Niyeaude Green

Après avoir codé tous les élèves, nous avons procédé à la correction du test, dont nous allons discuter maintenant.

2.1.6 Correction et analyse des données

Dans le cas des questions à choix multiples, nous avons soumis le test à une correction dichotomique en attribuant un point pour la bonne réponse et zéro pour une réponse non pertinente. Dans le cas des questions ouvertes, nous avons attribué un point pour une justification pertinente et 0 pour une justification non pertinente. Étant donné la difficulté d'apprécier ce qui constitue une justification pertinente ou non, nous avons demandé à deux étudiants gradués de nous aider en corrigeant indépendamment les réponses d'un certain nombre d'élèves aux 5 questions ouvertes. Puis nous avons comparé les notes attribuées à chacun et, lorsqu'il y avait désaccord, nous avons discuté jusqu'à ce qu'il y ait consensus. C'est grâce à ces discussions que nous avons pu finalement fixer les critères de correction pour les questions ouvertes du test.

Ainsi, dans le cas des questions Q7J, Q8J, Q9J et Q10J, nous n'avons accepté comme pertinentes que les justifications mettant en jeu des rapports, par exemple:

1) Question Q8J - 2 : 2 vs 4:4: "Si on réduit 4/4 à 2/2 ça revient au même. Il y a autant de chance dans les deux sacs"

2) Question Q9J - 12 : 4 vs 20 : 10: "Parce que dans le sac G, les 12/16 ou 3/4 des boules sont noires, dans le sac H, le 20/30 ou 2/3 des boules sont noires"

39 3) Question Q9J - 12 : 4 vs 20 :10: "Parce que dans le sac H il y a 2 fois moins

de boules blanches que de noires, tandis que dans le sac G, il y a 3 fois moins de boules blanches que de noires. On aura donc, moins de chances (dans le sac G) de piger une boule blanche"

4) Question Q10J - 3 : 1 vs 6:2: "Parce que dans chacun des sacs il y a les mêmes chances, car3 sur 1 est équivalent à 6 sur2"

Voici des exemples de justifications que nous avons trouvées non pertinentes pour les mêmes questions:

1 ) Question Q7J - 5 : 2 vs 5 : 3 : "Parce qu'il y ajuste deux boules blanches" 2) Question Q7J - 5 : 2 vs 5 : 3 : "Parce qu'il y a plus de boules en tout"

3) Question Q9J - 12 : 4 vs 20 :10: "Parce qu'il y a beaucoup plusde différence entre le nombre de boules noires et le nombre de boules blanches"

4) Question Q8J - 2 : 2 vs 4 : 4: Il y a plus de boules noires dans le sac F que C" Dans le cas de la question Q14J, nous avons jugé acceptable des justifications basées sur la notion d'aire ou de rapport, par exemple:

1) "Parce que le chiffre 1 occupe plus grande partie sur le disque brun".

2) "A vue d'oeil je pense que les angles de 1 tous additionnés ensemble totalisent une somme plus élévée sur le brun que sur le jaune."

3) "Parce que sur 360° sur le disque jaune, tandis que sur le disque brun, le 2 occupe environ 115° si l'on soustrait de 360° le 1, pour le disque jaune =170°, le 1, pour le disque Brun 245°. Donc, les chances sont plus élévées pour le Brun."

Par contre, nous n'avons pas trouvé acceptables les justifications suivantes: 1) "La chance ou le hasard"