par
Kevin Spahr
Mémoire présenté au département de physique en vue de l’obtention du grade de maître ès sciences (M.Sc.)
FACULTÉ des SCIENCES UNIVERSITÉ de SHERBROOKE
Le 14 mai 2014
le jury a accepté le mémoire de Monsieur Kevin Spahr dans sa version finale.
Membres du jury
Professeur Bertrand Reulet Directeur de recherche Département de physique
Professeur David Poulin Membre interne Département de physique
Professeur Mario Poirier Président rapporteur Département de physique
Sommaire
Le but de ce projet de maîtrise est d’explorer la dynamique des jonctions Supracon-ducteur/métal Normal/Supraconducteur (SNS) diffusives dans un régime de fréquence de l’ordre du temps électron-phonon, soit l’échelle de temps sur laquelle un électron diffuse sur les phonons. Les jonctions utilisées possèdent des bornes en niobium tandis que le métal normal est de l’aluminium. Les mesures sont réalisées à des températures supérieures à 1.4 K, soit au-dessus de la température critique de l’aluminium (1.20 K) et largement en dessous de celle du niobium (9.26 K).
On étudie ces jonctions en mesurant leurs caractéristiques courant-tension lorsqu’elles sont excitées avec un signal radio-fréquence (rf). Pour une demi-période d’excitation sinusoïdale (demi-cycle), on observe deux possibilités : soit la jonction reste dans l’état supraconducteur, soit elle transite vers l’état normal. En variant la fréquence et l’amplitude de l’excitation, on relève la statistique de ces transitions. On met ainsi en évidence des changements dans le comportement dynamique de la jonction lorsqu’on varie les paramètres de l’excitation.
Si l’on fixe la fréquence d’excitation à une valeur suffisamment basse et qu’on augmente progressivement l’amplitude de cette excitation, on observe une variation graduelle du pourcentage de cycles (ou demi-cycles) d’excitation sinusoïdale où la jonction transite de l’état supraconducteur à l’état normal. Pour les très basses fréquences, cette variation se fait sur un intervalle d’amplitude d’excitation qui coïncide avec la largeur de la distribution du courant critique de la jonction. En augmentant la fréquence d’excitation, cette variation est de plus en plus abrupte et devient un saut discontinu au-delà d’une fréquence critique f?.
Ce saut discontinu à haute fréquence s’accompagne d’une hystérèse.
Pour un régime de fréquence intermédiaire, les cycles présentant une transition vers iii
l’état normal se regroupent dans le temps et forment des blocs de transitions vers l’état normal. On a montré que la durée moyenne de ces regroupements croît exponentiellement avec la fréquence. Par exemple, pour une température de 1.4 K, la durée moyenne de ces regroupements peut varier de sept ordres de grandeur sur la plage de radio-fréquence étudiée. Enfin, ces comportements dynamiques sont fortement dépendants de la température.
En caractérisant ces changements de comportement en fonction des divers paramètres d’excitation et de la température, on met en évidence que le bruit thermique associé au bain de phonons fait partie intégrante du mécanisme causant les regroupements dans le régime de fréquence intermédiaire. À suffisamment basse fréquence (ou à toutes les fréquences dans l’approximation que la dynamique n’affecte pas le « bain »), la caractérisation de ce régime transitoire constitue en soi une « mesure » de l’occurrence d’événements rares, ici les fluctuations thermiques menant la jonction à transiter vers l’état normal.
Remerciements
J’aimerais tout d’abord remercier mon directeur de maîtrise, Bertrand Reulet, pour m’avoir donné cette opportunité de projet, pour son encadrement actif tout en me laissant en même temps beaucoup de liberté, ainsi que pour son grand support durant ces trois dernières années. Ensuite, j’aimerais spécialement remercier Christian Lupien, son aide en informatique et en physique expérimentale a été d’une importance inestimable, même indirectement, simplement le côtoyer est formateur ! De plus, je n’aurais pu réaliser ce projet sans les excellents échantillons mis à ma disposition, je tiens donc à remercier Jonathan Graveline et Marco Aprili pour leur excellent travail. Également, je voudrais remercier l’équipe de techniciens, le personnel de soutien et les professionnels qui ont rendu ce travail possible et/ou agréable : Gabriel Laliberté (responsable du bon fonctionnement du laboratoire de Bertrand Reulet), Christian Sarra-Bournet et Michael Lacerte (gestion des salles propres), Marc Leclair (coordonnateur de l’intriq), Mario Castonguay et Stéphane Pelletier (service de cryogénie), Patrick Vachon (service IT), Dominique Parisé et Gilbert Vachon (administration). Merci également à toute l’équipe de recherche, avec mention particulière à mes collègues de bureau, sans vous ces trois dernières années n’auraient pas été aussi joyeuses !
Résumé ii
Introduction 1
1 Méthodes expérimentales 6
1.1 L’échantillon . . . 6
1.1.1 Modélisation infographique du dispositif . . . 8
1.1.2 Étalement des résines . . . 8
1.1.3 Lithographie par faisceau d’électrons . . . 9
1.1.4 Développement . . . 9
1.1.5 Évaporation . . . 10
1.1.6 Soulèvement . . . 11
1.2 Porte-échantillon . . . 12
2 Mesures en courant continu 14 2.1 Caractéristiques V(I) . . . 14
2.2 Courant critique et courant de repiégeage en fonction de la température . 16 2.3 Distribution de IC . . . 17
3 Mesures en courant alternatif 19 3.1 Courbes V-I . . . 20
3.1.1 Moyenne de plusieurs cycles . . . 21
3.1.2 Mesure à l’analyseur vectoriel . . . 22
3.2 Courbes à balayage simple . . . 26
3.2.1 Basses fréquences . . . 26
3.2.2 Hautes fréquences . . . 26
Table des matières vii
3.2.3 Fréquences intermédiaires . . . 27
3.2.4 Regroupements de cycles . . . 32
3.3 Mesures avec l’analyseur de spectre . . . 34
4 Discussion 41 4.1 L’hystérèse . . . 42
4.1.1 Origine thermique de l’hystérèse statique. . . 42
4.1.2 Origine due à la dynamique de phase . . . 43
4.1.3 Lien entre les deux hypothèses pour l’origine de l’hystérèse statique 44 4.1.4 Effet de taille finie . . . 44
4.1.5 Hystérèse dynamique . . . 46
4.2 Les regroupements . . . 46
4.3 Fréquence critique en fonction de la température . . . 49
Conclusion 49 Annexe 52 A Modélisation des jonctions 54 A.1 Le modèle RCSJ . . . 54
A.1.1 Le cas sur-amortie . . . 55
A.1.2 Courbe I-V . . . 56
A.1.3 Le cas sous-amortie . . . 58
B Modèle de synchronisation 62 B.0.4 Synchronisation . . . 62
1.1 Image SEM d’une jonction SNS . . . 7
1.2 Lithographie par faisceau d’électrons . . . 9
1.3 Développement des résines . . . 10
1.4 Évaporation . . . 11
1.5 Soulèvement . . . 12
1.6 Schéma du porte-échantillon . . . 13
2.1 Montage pour les mesures en courant continu . . . 14
2.2 Courbe V-I à 1.58 K . . . 15
2.3 Courant critique et courant de repiégeage en fonction de la température . 16 2.4 Distribution de IC . . . 18
3.1 Schéma du montage expérimental avec l’oscilloscope . . . 20
3.2 Exemple de mesures avec l’oscilloscope . . . 21
3.3 Courbe I-V . . . 22
3.4 Montage avec l’analyseur vectoriel . . . 23
3.5 Transmission en fonction de la puissance pour plusieurs fréquences . . . . 24
3.6 Transmission en fonction de la puissance . . . 24
3.7 Amplitude de la transmission en fonction de la fréquence . . . 25
3.8 Effet de persistance à l’écran de l’oscilloscope . . . 27
3.9 Impression d’écran de l’oscilloscope pour un grand nombre de cycles . . . 28
3.10 Lignes de séparation définissant l’hystérèse . . . 29
3.11 Croisement des deux limites définissant f? . . . . 30
3.12 Rapport des deux limites I↑ et I↓ . . . 31
3.13 Les regroupements . . . 33
3.14 Exemple de mesure avec l’analyseur de spectre. . . 35
Table des figures ix
3.15 Hystérèse en fonction de la fréquence . . . 36
3.16 Hystérèse en fonction de la température. . . 37
3.17 Limites inférieures et supérieures du taux de transitions à basse fréquence 38 3.18 Histogramme de la durée des regroupements . . . 39
3.19 Durée moyenne des groupes corrélés en fonction de la fréquence . . . 40
4.1 Excitation sinusoïdale . . . 47
4.2 Ajustement exponentiel de la durée moyenne des regroupements en fonction de la fréquence . . . 49
4.3 Comportement de la fréquence critique en fonction de la température . . 50
A.1 Le modèle RCSJ . . . 55
A.2 Courbe I-V d’une jonction Josephson suramortie. . . 57
A.3 Bifurcation globale homocline . . . 60
La supraconductivité fut découverte en 1911 par le physicien néerlandais Heike Ka-merlingh Onnes [1]. Il a reçu le prix Nobel de physique en 1913 pour ses travaux sur la liquéfaction de l’hélium. Le premier pas vers une réelle compréhension de la supraconduc-tivité fut la découverte en 1933 de l’effet Meissner [2]. Ce fut la première évidence d’une cohérence quantique macroscopique (CQM). Par la suite, les frères London et Max von Laue ont, en 1935, montré que l’état supraconducteur minimise l’énergie libre des porteurs du « supercourant ». Ce fut le développement de la première théorie phénoménologique excluant une explication purement classique [3].
C’est en 1950 que la percée la plus notable sur le sujet fut publiée : la théorie phénoménologique de Ginzburg-Landau1[4]. Un point particulier de la théorie Ginzburg-Landau est que l’état supraconducteur se caractérise par une fonction d’onde commune à tous les électrons supraconducteurs. Elle a ainsi permis d’expliquer les effets macroscopiques de la supraconductivité avec l’équation de Schrödinger. Il fallut attendre 1957 pour avoir la première explication microscopique de la supraconductivité, la théorie BCS2 [5]. C’est un
mécanisme d’appariement des électrons par échange de phonons qui est à la base de cette
théorie. Cette dernière décrit un ordre à longue portée où les électrons se mettent par paires h+k ↑, −k ↓i appelées paires de Cooper. Chaque paire hérite d’un caractère bosonique dû à la nature fermionique des deux électrons qui la composent. Elles peuvent ainsi contourner le principe d’exclusion de Pauli et se condenser dans le même état quantique, d’où la
1. La théorie de Ginzburg-Landau n’est pas exclusivement applicable à la supraconductivité. Vitaly L. Ginzburg est récipiendaire du prix Nobel de physique 2003, avec Alexei A. Abrikosov et Anthony J. Leggett, pour ses contributions à la théorie de la supraconductivité et de la superfluidité.
2. BCS est pour Bardeen, Cooper et Schrieffer, le nom des auteurs. Ils reçurent le prix Nobel de physique de 1972.
2 fonction d’onde macroscopique. Par ailleurs, il fut démontré deux ans plus tard que la théorie BCS se ramène à la théorie de Ginzburg-Landau pour des températures avoisinant la température critique [6].
Lorsque deux supraconducteurs voient leurs fonctions d’onde interférer, il se produit un phénomène oscillatoire appelé effet Josephson. Tout comme l’effet Meissner, il s’agit d’une manifestation de la CQM de l’état supraconducteur. Ce phénomène fut prédit par Brian D. Josephson en 1962 [7], ce qui lui valut le prix Nobel de physique en 1973 (conjointement avec L. Esaki et I. Giaever).3 Comme dit précédemment, l’effet Josephson se produit si deux supraconducteurs sont faiblement couplés électriquement (« weak link » en anglais). Ce couplage peut être obtenu de plusieurs façons4 : par une jonction Supraconducteur/ Isolant /Supraconducteur (SIS), un point quantique, par l’intermédiaire d’un conducteur normal (SNS), etc...
On peut décrire le couplage faible entre deux supraconducteurs par un module appelé
l’énergie de couplage Josephson. Par analogie, on compare souvent la jonction Josephson
à une particule : de la même manière que les fonctions d’onde électroniques de deux atomes peuvent se recouvrir et former une molécule, le recouvrement des fonctions d’onde macroscopiques de deux supraconducteurs forme un ensemble présentant des propriétés émergentes.
La première relation constitutive de Josephson est la relation phase-courant :
I =
∞
X
n=1
Insin(nϕ) , (n ∈ N?) (1)
où ϕ est la différence de phase entre les deux supraconducteurs et In est le coefficient de
Fourier associé à la nième harmonique. Très souvent, on peut négliger les harmoniques supérieures et la relation (1) se simplifie à :
I = ICsin(ϕ) (2)
où IC est le courant Josephson critique qui dépend de l’amplitude du couplage entre les
deux électrodes.
3. L’effet Josephson fut vérifié expérimentalement par Philip W. Anderson et John M. Rowell en 1963 [8]. 4. Certains auteurs dénomment « jonction Josephson » toute jonction présentant l’effet Josephson alors que d’autres ne font référence qu’à la jonction SIS (qui fut initialement l’objet d’étude de B. Josephson).
La deuxième relation constitutive de Josephson est la relation phase-tension : ∂ϕ
∂t = 2e
~V (3)
où la tension V vient de la différence de potentiel chimique entre les bornes de la jonction (∆µ = µ2− µ1 = eV ). On peut attribuer le fait que ˙ϕ ∝ ∆µ à une interférence quantique
des deux fonctions d’onde macroscopique des supraconducteurs.
Lorsque le milieu adjacent est un métal (normal), l’interférence quantique n’est pas due au recouvrement direct des fonctions d’onde, elle se fait par l’intermédiaire de ce milieu normal. Les électrons dans un matériau ne peuvent être décrits par des positions bien définies à cause de l’incertitude d’Heisenberg position-quantité de mouvement. Puisque les électrons sont délocalisés dans les métaux, leurs propriétés ne peuvent changer abruptement. Le paramètre d’ordre supraconducteur ne peut donc changer radicalement à l’interface NS et ceci induit un ordre dans le métal normal. Inversement, l’ordre propre du métal normal, soit la distribution de Fermi-Dirac, affecte le paramètre d’ordre du supraconducteur. Il en résulte que lorsqu’on met un métal normal en contact avec un supraconducteur, le paramètre d’ordre supraconducteur « déborde » dans le métal normal. Autrement dit, un supraconducteur peut induire de la supraconductivité dans un milieu adjacent. C’est l’effet
de proximité, connu depuis les travaux avant-gardistes de R. Holm et W. Meissner [9], il a été formalisé par P.G. de Gennes et D. Saint-James en 1963 [10].
Le modèle microscopique décrivant l’effet de proximité en termes de processus à une particule (quasi-particule) est appelé réflexion d’Andreev. Il a été noté par le physicien russe Alexander F. Andreev qu’un électron n’est pas réfléchi de la même manière par un supraconducteur que par un métal normal [11]. Considérons un électron incident à une interface. Pour une réflexion « normale », la charge est conservée, mais pas la quantité de mouvement. Supposons maintenant que l’interface soit caractérisée par un état supraconducteur (et que l’énergie de l’électron soit inférieure au gap supraconducteur), la charge au point de contact n’est pas définie. Ainsi, une réflexion supraconductrice ne conserve pas la charge mais conserve la quantité de mouvement. Ce dernier point nous vient du fait qu’un électron (resp. trou) est réfléchi en trou (resp. électron) avec la même quantité de mouvement en norme, mais de sens opposé. La conservation de l’énergie implique alors que le supraconducteur ait absorbé une charge 2e qui, dans un certain délai,
4 reforme nécessairement une paire de Cooper5. On peut également considérer le point de vue réciproque et équivalent où le milieu supraconducteur injecte un trou et un électron dans le métal normal formant ainsi une paire cohérente électron-trou (conjuguée en phase) appelée paire d’Andreev.
Dans le cas où le métal normal est compris entre deux interfaces SN, dans la mesure où la distance les séparant et/ou la température sont/est suffisamment basse(s), une paire de Cooper peut être transmise d’un supraconducteur à l’autre moyennant deux réflexions d’Andreev (une sur chaque interface). Il se crée alors un courant non dissipatif traversant le métal normal. La transmission d’une paire de Cooper via une paire d’Andreev produit un couplage de phase entre les deux supraconducteurs. Les réflexions d’Andreev créent alors des états d’énergie dépendants de la différence de phase entre les deux supraconducteurs. Ceux-ci forment un quasi-continuum qu’on appelle les états liés d’Andreev. Le premier niveau d’Andreev est décalé par rapport au niveau de Fermi. Lorsque la différence de phase entre les deux supraconducteurs est nulle, on observe l’ouverture d’un minigap ˜∆ dans la densité d’états du milieu normal qui se referme lorsque la différence de phase atteint un multiple impair de π. Ce minigap, attestant la présence des paires d’Andreev, révèle que la partie normale possède de réelles propriétés supraconductrices. Puisque la densité d’états du milieu est modifiée, les propriétés du métal le sont également (chaleur spécifique, conductivité thermique, couplage électron-phonon, etc...).
Ainsi, contrairement à la jonction SIS, la dynamique de phase des supraconducteurs interagit avec les quasi-particules du milieu normal. Il en résulte l’émergence de deux temps caractéristiques supplémentaires. En effet, pour une jonction SIS, il y a un temps caractéristique τRC qui est défini par le produit de la résistance R et de la capacité C de
la jonction. Pour une jonction SNS, il faut considérer le temps de diffusion des électrons τD =
L2
D, c’est-à-dire le temps caractéristique pour qu’un électron diffusant à un rythme D puisse traverser une distance L. On associe à ce temps de diffusion une énergie, notée ET h = ~
τD
= ~D
L2, appelée l’énergie de Thouless. C’est l’énergie caractéristique de
prédilection pour décrire la dynamique de phase des jonctions SNS diffusives. Il y a le temps électron-phonon τe−ph qui est le temps caractéristique de collisions inélastiques
5. Ceci constitue une vision minimaliste du phénomène, considérant cette possible latence à l’interface et la condition frontière commune à tous les événements, pour un système plus complexe, c’est-à-dire impliquant beaucoup de particules (quasi-particules !), il est alors plus approprié de concevoir les réflexions d’Andreev comme une conjugaison de phase : l’onde est réfléchie dans la direction opposée à sa direction d’incidence mais conserve son amplitude et sa phase.
entre électron et phonon. Finalement, il y a le temps électron-électron τe−e qui est le temps
caractéristique nécessaire aux électrons pour qu’ils se thermalisent entre eux.
On considère une jonction dont le milieu normal est de longueur L. Soit Lϕ la longueur
sur laquelle un électron conserve sa cohérence de phase dans ce milieu normal, pour que les fonctions d’onde des supraconducteurs de la jonction puissent interférer, il faut que L . Lϕ(T ). On considère également la longueur thermique LT =
p
~D/kBT, une
longueur caractéristique décrivant l’élargissement des niveaux d’énergie par la température [12]. On peut enfin définir la longueur effective Lef f = min{Lϕ, LT} : si L est inférieur à
Lef f, on obtient bien un recouvrement des deux fonctions d’onde des supraconducteurs.
La physique des jonctions SNS est régie par la diffusion des paires d’Andreev. Le régime en courant continu (cc) est bien compris. Le courant Josephson à l’équilibre est la somme des courants inportés par chaque niveau d’Andreev εn, pondérés par l’occupation pn(εn(ϕ))
du niveau εn :
IS(ϕ) =
X
n
in(ϕ)pn(εn(ϕ)) (4)
La dynamique de la jonction SNS est toujours un sujet de recherche actif. En augmentant progressivement la fréquence d’excitation, on détecte le temps de réponse des populations pn et le temps de diffusion des paires d’Andreev[13]. Il en résulte que pour une fréquence
d’excitation entre le cc et les hautes fréquences, l’équation (4) ne tient plus puisque la dissipation affecte la dynamique du système. Le but de ce projet de maîtrise est d’explorer expérimentalement la dynamique des jonctions SNS dans ce régime où très peu d’expériences ont été réalisées.
Le premier chapitre traite de la fabrication de l’échantillon et du porte-échantillon. Le second chapitre contient les résultats des mesures en courant continu qui sont pertinentes soit pour la caractérisation de l’échantillon, soit pour l’analyse et l’interprétation de certaines mesures en courant alternatif, sujet du troisième chapitre. Finalement, le dernier chapitre est une discussion des résultats obtenus aux deux chapitres précédents.
Chapitre 1
Méthodes expérimentales
1.1
L’échantillon
Jonathan Graveline est un étudiant de l’Université de Sherbrooke qui a fait un stage dans notre équipe à l’hiver 2012 sous la supervision de Marco Aprili dans les salles blanches de l’Université Paris-Sud 11. Il a fabriqué les échantillons sur lesquels ont été effectuées toutes nos mesures1. Leurs bornes supraconductrices sont en niobium et le métal normal est de l’aluminium. La figure (1.1) est une image prise avec un microscope électronique à balayage (SEM) d’un des échantillons utilisés.
Le procédé de fabrication est relativement simple. Puisqu’il existe plusieurs façons de faire, décrivons uniquement le procédé ayant servi à la fabrication des échantillons utilisés. On utilise une gaufre de silicium oxydé dont la seule fonction est d’être un support physique pour l’échantillon. Ainsi, pour la gaufre, on peut choisir n’importe quelle orientation, épaisseur, qualité, etc. Pour minimiser davantage le risque de fuite électrique au substrat, on privilégie cependant des gaufres à résistivité élevée. À basse température, le silicium est isolant. L’oxydation (100 nm environ) permet de faire des mesures à plus haute température mais expose l’échantillon à la possibilité de recevoir une décharge électrostatique. Dès réception de la gaufre, on procède à un nettoyage initial à l’aide de solvants. À partir de
1. Bien que j’aie fabriqué des échantillons similaires, nous avons dû utiliser ces échantillons, car les installations de l’université de Sherbrooke ne permettaient pas de faire des dépôts de niobium de qualité suffisante par évaporation.
Fi g u r e 1.1 – Image SEM d’une jonction SNS - Les dimensions physiques du nanofil d’aluminium sont 300 × 100 × 10 nm, sa résistance est 100 Ω à température ambiante et 12 Ωà 4.2 K.
cette étape, l’échantillon ne devrait plus quitter l’environnement contrôlé des salles blanches sans précautions particulières.
On fait un nettoyage RCA2 qui comporte une étape de désoxydation afin d’enlever la couche d’oxyde qui pourrait s’être formée sur le silicium. Le jour même, on dépose de façon contrôlée une nouvelle couche d’oxyde. Celle-ci permet d’obtenir une épaisseur et une qualité de la couche oxydée strictement dépendantes du procédé d’oxydation (et de la planéité et pureté du silicium). Pour maximiser la qualité de la surface d’oxydation, on privilégie un environnement sec et une température élevée. La durée nécessaire du dépôt dépend entre autres de l’épaisseur initiale de la couche d’oxyde présente avant celui-ci (pratiquement nulle à cause du nettoyage RCA), de l’orientation du silicium et de la température du réacteur. L’épaisseur de la couche oxydée est ensuite vérifiée avec un ellipsomètre3.
La fabrication des échantillons se déroule en six grandes étapes.
2. Acronyme de « Radio Company of America », la compagnie qui a développé le procédé dans les années soixante.
3. Appareil électronique qui mesure l’épaisseur d’une interface en caractérisant le changement d’état de polarisation de la lumière, par réflexion de la lumière sur la surface plane de l’interface.
8 1. Modélisation infographique du dispositif ;
2. Étalement des résines ;
3. Lithographie par faisceau d’électrons ; 4. Développement ;
5. Évaporation ;
6. Soulèvement (« Lift-Off »). Détaillons ces grandes étapes.
1.1.1
Modélisation infographique du dispositif
On utilise un logiciel de conception assistée par ordinateur (DesignCAD) pour produire un fichier qui sera interprété par le logiciel de lithographie. On doit s’assurer que les dimensions d’une figure n’excèdent pas la superficie couverte par le canon à électrons pour l’amplitude considérée. On spécifie pour chaque figure s’il s’agit d’une surface à balayer ou un trait simple à tracer. Pour une figure donnée, c’est le logiciel de lithographie qui détermine le chemin parcouru par le faisceau d’électrons.
1.1.2
Étalement des résines
On applique successivement deux couches de résine sur la gaufre. L’épaisseur de la résine est déterminée par la durée et la vitesse de rotation de l’étaleuse (« spin-coater »). Après chaque étalement, on chauffe la gaufre pour évaporer le solvant présent dans la résine. La durée et la température de cuisson déterminent la concentration de solvant et son homogénéité. Ces derniers paramètres affectent la facilité des étapes qui vont suivre. Par ailleurs, même à la température de la pièce, le solvant continue de s’évaporer et il ne faut donc pas trop tarder (pas plus d’une journée) avant d’effectuer ces dernières étapes. On utilise aussi une pointe de diamant pour couper les gaufres en carrés de taille approximative d’un centimètre par un centimètre avant d’effectuer la lithographie. La résine protège la surface des impuretés et saletés occasionnées par le découpage.
1.1.3
Lithographie par faisceau d’électrons
Pour faire la lithographie, on utilise un microscope électronique contrôlé par un ordinateur. Le logiciel utilisé est NPGS4. Le faisceau d’électrons est focalisé sur la couche supérieure de résine (résine PMMA) qui est électrosensible (voir figure (1.2)) Cela signifie qu’en irradiant la couche supérieure avec des électrons, on brise les liens des chaînes de molécules rendant ainsi les régions irradiées plus susceptibles au développement, étape suivante du processus.
Fi g u r e 1.2 – Lithographie par faisceau d’électrons
1.1.4
Développement
C’est ici que les natures différentes des deux couches de résine prennent toute leur importance. En effet, ces couches répondent différemment à un même développeur, ce dernier étant un produit dissolvant une résine lui étant sensible. Par ailleurs, les régions irradiées sont très rapidement dissoutes contrairement aux régions non-irradiées (dans le cas d’une résine dite positive). L’idée ici est qu’il est possible de développer la couche supérieure, puis d’utiliser un autre développeur n’affectant pas cette couche pour développer la couche inférieure. Le but de ce deuxième développement est de créer une cavité (« undercut »)
10 qui réduit les risques que la substance qui sera évaporée (ici l’aluminium) parte avec le soulèvement (voir figure (1.3)). Une fois les développeurs neutralisés, on effectue un nettoyage au plasma pour enlever d’éventuels débris ou résidus de résine. Cette étape vise à assurer une nucléation homogène et continue de l’aluminium formant le nanofil.
Fi g u r e 1.3 – Développement des résines
1.1.5
Évaporation
On fait un premier dépôt d’aluminium à angle droit qui formera le nanofil ainsi que la première couche des contacts (voir figure (1.4a). On incline ensuite la plateforme d’un angle suffisamment grand pour obstruer le canal du nanofil et on dépose le niobium (voir figure (1.4b)). L’aluminium sous le niobium devient supraconducteur par effet de proximité lorsque la température est inférieure à la température critique du niobium (autour de 9 K). Le dépôt d’aluminium est d’ailleurs seulement 10 nm pour être certain qu’il y ait effet de proximité. L’épaisseur du dépôt est mesurée à l’aide d’un quartz.
(a) (b)
Fi g u r e 1.4 – Évaporation (a) Dépôt de l’aluminium à angle droit. (b) Dépôt du niobium en inclinant suffisamment la plate-forme pour obstruer le canal.
1.1.6
Soulèvement
Le soulèvement consiste à se départir des métaux et résines superflues (voir figure (1.5)) afin qu’il ne reste plus que les jonctions SNS sur leur substrat. Il faut suivre les indications relatives à la résine utilisée et éviter un solvant qui « attaque » les métaux déposés. Après avoir laissé l’échantillon suffisamment longtemps dans le solvant (Remover 1165 ou acétone), on expulse la couche superflue de niobium avec des burettes de façon à éviter qu’elles entrent en contact avec l’échantillon. Le cas échéant, les forces de Van der Waals seraient suffisantes pour arracher le nanofil. Une fois l’échantillon nettoyé, on dépose une résine de protection pour l’entreposage ainsi que la découpe. La découpe est très souvent faite avec une lame de diamant, mais un simple clivage manuel avec une pointe de diamant est également possible (c’est d’ailleurs la méthode utilisée par J. Graveline). Il ne reste plus qu’à nettoyer l’échantillon, à le fixer au porte-échantillon avec de la laque d’argent (assurant aussi un bon contact thermique) et à le souder au porte-échantillon à l’aide d’une microsoudeuse. On a utilisé des soudures de type « wedge » avec du fil d’aluminium de 25 µm de diamètre. Chaque contact est soudé avec au moins quatre fils parallèles pour minimiser l’inductance parasite des soudures (des inductances en parallèles étant équivalentes à une inductance plus faible).
12
Fi g u r e 1.5 – Soulèvement
1.2
Porte-échantillon
Un porte-échantillon en cuivre, illustré à la figure (1.6), permet de souder l’échantillon pour réaliser des mesures à haute fréquence. On utilise des connecteurs de type SMA5. L’enveloppe du connecteur (conducteur externe du guide coaxial) est reliée à la masse. Les conducteurs centraux sont reliés à une bande de cuivre qui est telle que ses dimensions (et celles du diélectrique) en font un guide d’onde dont l’impédance est de 50 ohms. Avant la soudure, on fixe l’échantillon avec de la laque d’argent pour assurer un bon contact thermique. On étudie la jonction SNS en mesurant ses caractéristiques V-I. Pour avoir un courant bien défini, on place une résistance, grande par rapport à celle de l’échantillon, en série avec la jonction. De même, on place une résistance en série après la jonction pour que la détection soit d’impédance élevée. Lorsque l’échantillon est dans l’état supraconducteur, la tension aux bornes de cette résistance est nulle et lorsque l’échantillon est dans l’état normal, on y mesure une tension non nulle. Si cette résistance est trop petite, on a peu de précision sur la valeur de tension. À l’inverse, si elle est trop grande, on a peu de sensibilité sur la mesure. Pour des raisons de symétrie, on choisit des résistances de mêmes valeurs. En plaçant les résistances dans le porte-échantillon, on diminue l’espace entre elles tel que le pic d’absorption de la cavité soit de plusieurs gigahertz.
Chapitre 2
Mesures en courant continu
2.1
Caractéristiques V(I)
On caractérise la jonction SNS en mesurant sa courbe V-I. On effectue une mesure à trois fils en utilisant deux tés de polarisation qui permettent de séparer les composantes continue et alternative d’un courant. Ces tés servent également de filtre passe-bas de fréquence de coupure de l’ordre de 100 kHz. Le montage est représenté à la figure (2.1).
Fi g u r e 2.1 – Montage pour les mesures en courant continu.
La figure (2.2) montre la courbe V-I prise à une température de 1.58 K.
Fi g u r e 2.2 – Courbe V-I à 1.58 K Caractéristiques V-I prises avec un courant continu à une température de 1.58 K. La résistance de l’échantillon est R = 20 Ω, le courant critique est IC = 16.4 µA et le courant repiégeage IR = 5.0 µA. Les flèches indiquent le sens de
variation du courant de polarisation.
On voit que la tension mesurée est nulle lorsque l’amplitude du courant de polarisation est inférieur au courant critique IC. Lorsque le courant est supérieure au courant critique,
on observe directement la loi d’Ohm I = GV = V /R. En diminuant le courant, on observe une hystérèse. La valeur de l’amplitude du courant de repiégeage IR, soit la valeur de
courant pour laquelle l’échantillon transite de l’état normal à l’état supraconducteur, est inférieure au courant critique. La variation de courant étant également tracée pour des valeurs négatives, on constate une symétrie par rapport à l’origine.
16
2.2
Courant critique et courant de repiégeage en
fonc-tion de la température
Le courant critique IC et le courant de repiégeage IR varient avec la température. La
variation de IC est significativement plus grande que celle de IR, c’est-à-dire que l’hystérèse
varie également avec la température. Les valeurs de IC et IR mesurées en fonction de la
température sont présentées à la figure (2.3).
Fi g u r e 2.3 – Courant critique et courant de repiégeage en fonction de la température L’ajustement exponentiel de Ic(T ) nous permet de déduire une énergie de Thouless de 0.43 K.
La résistance à l’état normal de cet échantillon étant de 12 Ω, la valeur théorique de ET h est
0.57 K.
Une bonne approximation est de considérer une décroissance exponentielle en tempé-rature de IC, soit IC(T ) = IC0exp(−T /T0). Cette approximation est justifiée par la nature
On fait donc un ajustement (« fit ») exponentiel (figure (2.3)) pour la dépendance en température du courant critique et on trouve I0
C = 135.9 ± 0.1 µA et T0 = 1.316 ± 0.001K.
En l’absence de champ magnétique, l’échelle d’énergie importante est le mini-gap [13] qui implique T0 = 3.1 ET h, ET h étant l’énergie de Thouless. En remplaçant la valeur obtenue
pour T0, on obtient ET h = 0.426K. De plus, par définition, on a ET h = ~D
L2 où L est la
longueur du milieu normal de l’échantillon et D est la constante de diffusion du métal normal. Cette constante de diffusion peut être déterminée par la relation d’Einstein :
D = L S 1 e2n FRN (2.1) où S est la section de l’échantillon, nF la densité d’états au niveau de Fermi (nF =
1.46 × 10−47J−1m−3 pour l’aluminium) et R
N la résistance de l’échantillon à l’état normal.
On mesure RN = 12 Ω, L = 300 nm et S = 100 × 10 nm2. En remplaçant les valeurs
numériques, on trouve un coefficient de diffusion de l’ordre de 7 × 10−3m2s−1, ce qui
correspond à une énergie de Thouless de ET h = 0.57K, ce qui est en accord raisonnable
avec la valeur obtenue par l’ajustement exponentiel.
2.3
Distribution de I
CComme pour les jonctions SIS, le courant critique d’une jonction SNS a une distribution stochastique, c’est-à-dire que sa valeur IC est statistiquement distribuée. Cette dernière
dépend des différentes façons que la phase a de s’échapper des minima du potentiel Josephson (« Tildted Washboard Potential ») [13]. A priori, un taux de fuite Γ(I), la probabilité par unité de temps de sortir du potentiel Josephson, peut correspondre à deux causes principales : la transmission par effet tunnel de la phase (pour traverser une crête de potentiel autour d’un minimum de potentiel) et les sauts occasionnés par les fluctuations thermiques (pour s’échapper d’un creux de potentiel). Considérant un taux de fuite Γ(I) quelconque, la probabilité de fuite en fonction du courant P (I) a été calculée dans [13] :
P (I) = Γ(I) ˙ I exp{− Z I 0 Γ(I) ˙ I dI} (2.2)
Cette distribution est asymétrique et fortement dépendante de la variation de l’amplitude du courant d’excitation.
18 Pour la mesurer, on utilise des rampes à très basse fréquence (de l’ordre de 100 Hz). À l’aide de l’oscilloscope, dont le déclenchement (« trigger ») est synchrone avec la source, on relève les temps {ti} pour lesquels il y a une transition de l’état supraconducteur à l’état
normal. Puisque l’excitation est une rampe ( ˙I = cste), il y a une relation linéaire entre les temps ti et le courant IC correspondant. On fait ainsi un histogramme des valeurs de IC
(voir figure (2.4)).
Fi g u r e 2.4 – Distribution de IC Mesurés avec une rampe dont l’amplitude est 40 µA et
dont la fréquence est 100 Hz à une température de 1.43 K.
On obtient, comme dit précédemment, une distribution asymétrique. La largeur à la base de l’histogramme est de l’ordre de 1 µA. La largeur de l’histogramme à demi-hauteur ∆IC, directement donnée par l’oscilloscope, est une bonne approximation de l’écart-type.
La largeur relative ∆IC IC
pour une température de 1.43 K est de 8 × 10−3. Cela est du même ordre de grandeur que la largeur relative mesurée par Dubos et al. [14] sur des jonctions SNS (Nb-Cu-Nb) diffusives à une température de 1.3 K.
Mesures en courant alternatif
Tout comme le cas cc, on excite l’échantillon avec un courant et on y mesure une tension. Le courant d’excitation est de la forme Iω(t) = I0sin(ωt). Les mesures radio-fréquence (rf)
ont toutes été prises à des fréquences comprises entre 1 et 400 MHz, permettant d’explorer la physique à des échelles de temps de l’ordre du temps électron-phonon, soit l’échelle de temps sur laquelle un électron diffuse sur les phonons (la fréquence caractéristique pour l’aluminium est de l’ordre de 70 MHz à 1.5 K).
Un schéma du montage est présenté à la figure (3.1). Le filtre passe-bas (de fréquence de coupure de 1 GHz) avant l’échantillon sert à limiter le bruit externe. Il est placé entre les deux atténuateurs (limitant les réflexions d’onde dues à une adaptation d’impédance imparfaite), dont un est directement à la borne rf du té de polarisation. Ceci permet d’affirmer que l’impédance de la ligne est 50 ohms à ce point. L’impédance d’entrée de l’amplificateur cryogénique est aussi de 50 ohms. Les deux tés de polarisation permettent d’effectuer des mesures à trois fils sur les ports cc. Ils assurent également une bonne thermalisation. Les fréquences de coupure des filtres (passe-bas) sont choisies très basses (100 kHz). Ceci permet, en tenant compte des atténuateurs et de l’excellente qualité de l’amplificateur, d’obtenir un environnement limitant le bruit extrinsèque à l’échantillon.
20
Fi g u r e 3.1 – Schéma du montage expérimental avec l’oscilloscope
3.1
Courbes V-I
Deux types de mesures sont prises avec un oscilloscope : des mesures sur une grande durée relativement à la période de l’excitation (dont on fait la moyenne) et des mesures sur une seule période d’excitation.
On envoie un signal à l’échantillon dont la sortie, après amplification, est mesurée avec un oscilloscope. On duplique le signal d’excitation et on l’envoie directement à l’oscilloscope pour avoir une référence1. Il suffit de tracer le signal de sortie en fonction de la référence pour obtenir la courbe V-I. Comme pour le cas cc, lorsque l’échantillon est dans l’état supraconducteur (I0 < IC), on ne lit aucune tension à l’écran de l’oscilloscope (figure (3.2a)).
Lorsqu’on augmente l’amplitude I0, il y a des temps pour lesquels Iω(t) ≥ IC. On observe
alors à l’écran de l’oscilloscope des transitions abruptes entre les plateaux et la sinusoïde correspondante aux valeurs des courants de transition et des courants de repiégeage (figure (3.2b)). À l’inverse, si l’échantillon est fortement excité, puisque I0 IC, la jonction est
presque toujours dans l’état normal et le signal provenant de l’échantillon sera conforme à l’excitation (figure3.2c).
1. Puisque le temps de propagation de l’excitation entre la source et l’oscilloscope diffère de celui de la référence, on doit préalablement ajuster la phase entre les deux signaux. Pour ce faire, on doit avoir la certitude que l’échantillon est fortement à l’état normal. On ajuste donc la phase soit à haute température, soit avec une forte polarisation cc et une faible excitation rf.
(a) (b) (c)
Fi g u r e 3.2 – Exemple de mesures avec l’oscilloscope La courbe orange correspond à l’excitation et la verte au signal provenant de l’échantillon. (a) Faible amplitude d’excitation, l’échantillon reste dans l’état supraconducteur. (b) Amplitude d’excitation intermédiaire où l’échantillon transite de l’état normal à l’état supraconducteur de façon périodique suivant les cycles du courant entrant. (c) Forte amplitude d’excitation, l’échantillon est toujours dans l’état normal. Ce régime permet d’ajuster la phase de la référence.
3.1.1
Moyenne de plusieurs cycles
La figure (3.3) montre deux séries de mesure de cycles V(I) pour différentes amplitudes d’excitation, une à 5 MHz et l’autre à 20 MHz. Ces premières courbes sont obtenues à partir de beaucoup de cycles dont on fait la moyenne.
On remarque qu’augmenter l’amplitude du courant d’excitation a peu d’effet significatif à 5 MHz, ce qui est comparable au régime cc. Cependant, à 20 MHz, augmenter l’amplitude d’excitation change significativement la courbe V-I : on observe une diminution du courant de saut IS et du courant de repiégeage IR. On observe également à 20 MHz que pour les
amplitudes d’excitation élevées, la branche ohmique n’est pas parfaitement linéaire et qu’il y a une différence entre le passage croissant et le passage décroissant du courant. Cette déformation de la partie ohmique s’accentue avec la fréquence et l’amplitude d’excitation.
22
Fi g u r e 3.3 – Courbe I-V Ces courbes I-V sont obtenues avec différentes amplitudes d’excita-tion pour deux fréquences distinctes à la même température. Ce sont des courbes qualitatives car un décalage vertical est ajouté pour plus de clarté et les unités sont arbitraires.
3.1.2
Mesure à l’analyseur vectoriel
Notre premier réflexe a été d’attribuer les déformations de la partie ohmique et le décalage entre les plateaux à des causes expérimentales (e.g. une capacité parasite). C’est pour cette raison que nous avons refait le montage sans les tés de polarisation avant de continuer et que nous l’avons vérifié avec un analyseur vectoriel2. On ne s’intéresse qu’à la transmission, c’est-à-dire qu’on envoie une puissance à l’entrée et on mesure la puissance et la phase transmise à la sortie. Plus précisément, on balaye la puissance (c’est donc une courbe en terme de I2) pour des fréquences fixes. Comme pour les courbes
V (I), les courbes de transmission permettent de séparer le régime normal du régime supraconducteur. Lorsque l’échantillon est dans l’état supraconducteur, le signal envoyé est court-circuité à la masse et la puissance transmise mesurée est un bruit de fond. Lorsque l’échantillon est dans l’état normal, une partie du signal est alors transmise. On détecte une puissance (et une phase) peu bruitée et proportionnelle à la puissance du signal à l’entrée. On a reproduit le montage sans les tés de polarisation et avec un amplificateur externe,
2. Un analyseur vectoriel (ou analyseur de réseaux) est un appareil à deux canaux (ou plus) qui mesure les coefficients de réflexion et de transmission à l’entrée et à la sortie d’un circuit.
l’amplificateur cryogénique ne fonctionnant pas à très basse fréquence. Ces modifications sont illustrées à la figure (3.4).
Fi g u r e 3.4 – Montage avec l’analyseur vectoriel
La figure (3.5) montre, pour une température fixe, l’amplitude de transmission en fonction de la puissance pour plusieurs fréquences. On observe qu’à haute fréquence, la transition est abrupte alors qu’à basse fréquence, la transition est progressive. On remarque la présence d’épaulements pour les basses fréquences qui seront expliqués ultérieurement. La figure (3.6) montre, pour une fréquence fixe de 50 MHz, les courbes de transmission pour plusieurs températures dont les valeurs sont comprises entre 1.40 K et 1.80 K. On observe qualitativement le même phénomène. À basse température la transition est abrupte alors qu’à température un peu plus élevée, la transition se fait graduellement.
24
Fi g u r e 3.5 – Transmission en fonction de la puissance pour plusieurs fréquences Température fixée à 1.40 K.
Fi g u r e 3.6 – Transmission en fonction de la puissance Fréquence fixée à 50 MHz et températures comprises entre 1.4 K et 1.8 K.
Avec l’analyseur vectoriel, on peut également imposer une puissance fixe et obtenir la puissance ou la phase du signal transmis en fonction de la fréquence. La figure (3.7) confirme que l’amplitude transmise en fonction de la fréquence varie peu pour des fréquences d’excitation inférieures à 200 MHz, ce qui ne serait pas le cas s’il y avait des composants inductifs ou capacitifs.
Fi g u r e 3.7 – Amplitude de la transmission en fonction de la fréquence
Maintenant que nous pouvons exclure la présence de capacité/inductance parasite, une question s’impose : est-ce que les transitions graduelles sont observables sur un événement singulier ou sont-elles un effet de moyenne ? En ne considérant que cette expérience, on ne peut le déterminer. On peut cependant utiliser l’oscilloscope pour acquérir des traces V-I sur des cycles d’excitation uniques. Pour acquérir de telles traces, il est indispensable d’avoir un amplificateur cryogénique.
26
3.2
Courbes à balayage simple
L’idée du balayage simple (oscilloscope en mode « Single Trace ») est essentiellement la même que pour la moyenne des cycles, mais on observe les cycles séparément. Si on fait la moyenne a posteriori, on retrouve les mêmes caractéristiques selon la fréquence d’excitation.
3.2.1
Basses fréquences
Pour les basses fréquences (autour de 5 MHz), aucun cycle unique ne présente de transition graduelle entre l’état supraconducteur et l’état normal. Ce qui confirme que les transitions graduelles décrites plus haut sont un effet de moyenne. La figure (3.8) montre, en utilisant la persistance de l’écran de l’oscilloscope, que les transitions demeurent ponctuelles. On suppose donc que les épaulements à basses fréquences de la figure (3.5) sont également un effet de moyenne. Plus précisémment, ils sont dûs au fait que la résistance équivalente de la branche de circuit contenant la jonction est plus élevée lorsque la jonction est dans l’état normal. Ce changement de résistance réduit le courant de polarisation à une valeur inférieur à IC.
Cependant, puisque la puissance transmise est proportionnelle au carré de la tension mesurée (P = V2/R pour une résistance constante), pour un grand nombre de cycles, elle
est aussi proportionnelle à la fraction de cycles présentant une transition à l’état normal. On peut donc définir, pour une fréquence fixe, le pourcentage de cycles présentant une transition à l’état normal en fonction de l’amplitude du courant d’excitation. En moyenne, on obtient les transitions graduelles observées. Ce pourcentage définit une probabilité qui varie continument, sans hystérèse. La figure (3.9) montre une impression d’écran de l’oscilloscope pour un grand nombre de cycles.
3.2.2
Hautes fréquences
À plus haute fréquence, si on varie l’amplitude du courant d’excitation pour une fréquence arbitraire fixe, nous n’observons plus un changement graduel du comportement
Fi g u r e 3.8 – Effet de persistance à l’écran de l’oscilloscope La courbe supérieure représente V(t), la courbe inférieure I(t), pour de nombreux balayages.
de la jonction, mais plutôt un changement spontané. Autrement dit, soit tous les cycles présentent une transition à l’état normal (« l’état dynamique normal »), soit la jonction est toujours supraconductrice (« l’état dynamique supraconducteur »). De plus, il y a présence d’un phénomène d’hystérèse à la transition de phase dynamique. Définissons I↑ l’amplitude
où la jonction transite de l’état dynamique normal à l’état dynamique supraconducteur et I↓ l’amplitude correspondant à l’événement réciproque. On peut voir à la figure (3.10) que
l’on a alors I↓ ≤ I↑. De plus, la différence I↑− I↓ augmente avec la fréquence d’excitation.
3.2.3
Fréquences intermédiaires
Pour bien comprendre le passage entre ces deux régimes, on effectue des balayages en amplitude pour plusieurs fréquences présentés à la figure (3.11). La ligne bleue s’obtient en augmentant l’amplitude de l’excitation à fréquence fixée et correspond à l’amplitude au-delà de laquelle on commence à observer des transitions vers l’état normal. La ligne verte s’obtient en diminuant l’amplitude de l’excitation à fréquence fixée et correspond à l’amplitude en-dessous de laquelle on commence à observer des transitions vers l’état supraconducteur. À partir des basses fréquences, lorsqu’on augmente graduellement la fréquence de l’excitation, on observe que l’intervalle entre les deux lignes (ou encore,
28
Fi g u r e 3.9 – Impression d’écran de l’oscilloscope pour un grand nombre de cycles La fréquence de l’excitation est 6 MHz et l’échelle de temps de l’oscilloscope est de 20 µs/div. L’amplitude d’excitation est telle qu’il y ait 50% des cycles qui présentent une transition à l’état normal. Un pic vert représente une transition vers l’état normal.
l’intervalle sur lequel se produit le passage graduel de l’état dynamique supra vers l’état dynamique normal) diminue globalement et finit par s’annuler3. À partir des hautes fréquences, si l’on diminue graduellement la fréquence de l’excitation, l’intervalle entre les deux lignes (ou encore, l’intervalle définissant l’hystérèse) diminue globalement et finit par s’annuler également. Le croisement de ces deux limites définit une fréquence critique f?
marquant la transition entre le régime graduel et le régime hystérétique. Bien que l’analyseur vectoriel nous permette d’affirmer que la transmission varie peu selon la fréquence, elle n’est pas complètement invariante. Il est donc pertinent de tracer la largeur définie par ces deux limites en fonction de la fréquence (figure (3.12)). En effet, cette largeur est le quotient des limites lorsqu’elles sont exprimées en dBm, cette dernière est donc indépendante de la transmission du système. Le rapport I↑
I↓
, présenté à la figure (3.12), vaut 1 à f?. Les
fréquences pour lesquelles I↑ I↓
< 1 définissent le régime graduel alors que celles dont I↑
I↓
> 1 définissent le régime hystérétique.
Fi g u r e 3.10 – Lignes de séparation définissant l’hystérèse Les flèches montrent le sens des balayages de l’amplitude d’excitation pour une fréquence fixe. La courbe bleu (I↑) est obtenue
avec un balayage croissant de l’amplitude d’excitation. La courbe verte (I↓) est obtenue avec
un balayage décroissant de l’amplitude d’excitation. Le rapport des deux courbes présente un phénomène d’hystérèse. Ces courbes ont été obtenues avec l’analyseur de spectre (voir section
30
Fi g u r e 3.11 – Le croisement des deux limites définissant f? La température est 1.40 K. Les flèches montrent le sens des balayages de l’amplitude d’excitation pour une fréquence fixe. La ligne bleue s’obtient en augmentant l’amplitude de l’excitation à fréquence fixée et correspond à l’amplitude au-delà de laquelle on commence à observer des transitions vers l’état normal. La ligne verte s’obtient en diminuant l’amplitude de l’excitation à fréquence fixée et correspond à l’amplitude en-dessous de laquelle on commence à observer des transitions vers l’état supraconducteur. Ces courbes ont été obtenues avec l’analyseur de spectre. Le temps de balayage est constant il y a entre 1 et 6 balayages par point.
Fi g u r e 3.12 – Rapport des deux limites I↑ et I↓ Une faible erreur selon l’ordonnée peut
32
3.2.4
Regroupements de cycles
En partant des basses fréquences, si on augmente la fréquence tout en ajustant l’amplitude du courant d’excitation de façon à ce que 50% des cycles présentent une transition à l’état normal, on observe en s’approchant de f? que les cycles « normaux » (resp.
« supraconducteurs ») se regroupent. Ce phénomène est explicité à la figure (3.13). On voit également que le temps des regroupements augmente de plusieurs ordres de grandeur avec la fréquence (saturant rapidement la mémoire de l’oscilloscope). C’est d’ailleurs la principale raison pour laquelle on a utilisé un analyseur de spectre pour les mesures quantitatives.
Une autre façon de caractériser le régime transitoire est d’utiliser la corrélation entre les cycles. En effet, on peut considérer que dans le régime hystérétique, tous les cycles sont corrélés alors qu’à très basse fréquence, ils sont tous indépendants. Dans le régime transitoire, on passe graduellement de l’un à l’autre. Dans le cas où tous les cycles sont indépendants, la corrélation entre les événements est nulle. À mesure qu’on augmente la fréquence de l’excitation, suivant la courbe de puissance correspondant au seuil de 50% de transitions, cette corrélation augmente (figure (3.13)) et provoque les regroupements (« bunching ») des cycles où il y a transition. La corrélation est alors partielle. Lorsque ces regroupements augmentent jusqu’à devenir infini, la corrélation est entière. C’est un point critique de non-retour dans le sens où, pour observer (à nouveau) un cycle sans transition à l’état normal, il faut diminuer l’amplitude : c’est le point où commence le régime hystérétique.
Fi g u r e 3.13 – Les regroupements Capture d’écran de l’oscilloscope montrant la croissance de la corrélation entre cycles successifs. L’amplitude d’excitation est telle qu’en moyenne, la moitié des cycles présentent une transition à l’état normal. On observe que les cycles sont approximativement indépendants pour une excitation de 6 MHz, ils sont corrélés à l’échelle de 100 µs à 18 MHz et à l’échelle d’une seconde à 30 MHz.
34
3.3
Mesures avec l’analyseur de spectre
Avec l’oscilloscope, on a observé un changement du comportement dynamique des cycles de la jonction. Deux régimes dépendant de la fréquence, correspondant à des comportements dynamiques distincts, sont séparés par une fréquence critique f? pour
laquelle un temps caractéristique de corrélation des cycles transitoires divergent lui est associé. On peut représenter le tout sur un « diagramme de phase dynamique » qui consiste à tracer les valeurs limites des balayages en puissance (balayages croissants et décroissants) sur un graphique fréquences-puissance. Une des difficultés rencontrées lorsqu’on veut esquisser ce diagramme est que le temps nécessaire d’acquisition pour obtenir un échantillonnage satisfaisant diverge autour du point critique. Les traces4 deviennent de plus en plus longues et on atteint rapidement les limites de l’oscilloscope. En d’autres mots, il devient très difficile d’obtenir un échantillonnage satisfaisant à fréquence fixée lorsque la durée moyenne d’un regroupement (qui croît en s’approchant de f?) est de l’ordre de la durée maximale
d’enregistrement de l’oscilloscope. Cependant, on ne s’intéresse pas particulièrement à la courbe V-I des cycles, mais simplement au fait qu’il y ait une transition ou pas. On peut donc se servir d’une méthode particulièrement efficace : l’analyseur de spectre résolu en mode temporel.
Un analyseur de spectre mesure la puissance d’un signal en fonction de la fréquence. Lorsqu’il est en mode temporel, il mesure la puissance moyenne en fonction du temps d’un signal intégré sur une bande de fréquences ∆ω durant un temps τ , c’est-à-dire hPω(t)i∆ω,τ.
Lorsque l’échantillon est à l’état normal, on détecte une puissance supérieure à un certain seuil PN et lorsqu’il est dans l’état supraconducteur, on détecte une valeur correspondant
au bruit de fond PS de sorte que PS PN. Ainsi, la trace en fonction du temps peut être
traduite en termes binaires {0, 1}, 0 lorsque la jonction est à l’état supraconducteur et 1 lorsqu’elle est à l’état normal. La figure (3.14) est une impression d’écran de l’analyseur de spectre en mode temporel. De cette suite de 0 et 1, on obtient aisément les statistiques de transitions (e.g. le pourcentage de transitions pour une amplitude et fréquence d’excitation données).
Fi g u r e 3.14 – Exemple de mesure avec l’analyseur de spectre
Régime hystérétique
La figure (3.15a) représente un graphique amplitude-fréquence sur lequel on a répertorié les valeurs limites auxquelles on détecte au moins un certain pourcentage de transitions pour une température de 1.46 K. Arbitrairement, on choisit le seuil de 50%. La ligne bleue correspond à un balayage croissant en amplitude à fréquence fixée tandis que la courbe verte correspond à un balayage décroissant en amplitude, toujours à fréquence fixée. En régime hystérétique, pour une fréquence donnée, il y a deux solutions. En effet, suivant le sens du balayage en amplitude, le seuil des 50% de transitions est atteint en même temps que les transitions délimitant l’hystérèse. La différence entre ces deux solutions en amplitude (ou le rapport des puissances en dBm) est précisément la grandeur de l’hystérèse. En diminuant la fréquence, ces valeurs se confondent puisqu’on a choisi 50% comme valeur de seuil. On obtient finalement une courbe qui se sépare au point critique f?.
Si l’on superpose les résultats de chaque balayage au lieu d’en faire la moyenne, on peut observer le comportement de l’écart-type (figure (3.15b)).
On remarque que la distribution des événements est plutôt large en régime hystérétique alors qu’elle semble plutôt ponctuelle aux basses fréquences. Ceci est simplement dû au fait qu’à haute fréquence, « tous les cycles présentent une transition » correspond à un
36
(a) (b)
Fi g u r e 3.15 – Hystérèse en fonction de la fréquence Graphique amplitude-fréquence sur lequel on a répertorié les valeurs limites auxquelles on détecte au moins 50% de transitions pour une température de 1.46 K. La ligne bleue correspond à un balayage croissant en am-plitude à fréquence fixée tandis que la courbe verte correspond à un balayage décroissant en amplitude, toujours à fréquence fixée. La température est 1.46 K. (a) Valeurs moyennes. (b) Toutes les courbes sont représentées.
seul événement alors qu’à basse fréquence il y a implicitement une moyenne puisque les événements ne sont pas entièrement corrélés. La figure (3.16) montre le diagramme d’hystérèse pour trois températures.
Fi g u r e 3.16 – Hystérèse en fonction de la température
Régime graduel
Pour la partie non-hystérétique, on fait les mêmes balayages, mais on relève plutôt la première valeur de l’amplitude d’excitation pour laquelle on détecte au moins une transition. Cela nous permet alors de délimiter le régime graduel. On doit mesurer chaque point sur un temps d’acquisition donnant un échantillonnage satisfaisant à la limite de 50% de transitions (ce temps d’acquisition peut être de plusieurs heures à une fréquence voisine de f?5). Au lieu d’obtenir deux courbes confondues qui se sépareraient là où commence l’hystérèse, on obtient deux courbes distinctes qui se croisent là où commence l’hystérèse. À la figure (3.17), le temps d’acquisition des traces est augmenté pour tenir compte du temps caractéristique divergent à l’approche de f?. À l’inverse, à la figure (3.16), le temps de balayage est constant
et on trouve une valeur de f? presque 10 MHz inférieure à celle de la figure (3.17). Il y a
donc une forte incertitude sur la valeur de cette fréquence critique, elle dépend du temps pris pour faire la mesure. On voit également à la figure (3.17) que la largeur du régime graduel au plus basses fréquences est d’environ 0.75 dB (ce qui correspond à une largeur
5. C’est d’ailleurs la principale raison pour laquelle on privilégie une moyenne sur des balayages rapides plutôt qu’une moyenne sur un long balayage si on ne s’intéresse qu’à l’hystérèse.
38
Fi g u r e 3.17 – Limites inférieures et supérieures du taux de transitions à basse
fréquence Pour ces données, la température est 1.42 K. Pour les fréquences supérieures à 25
MHz, la pente de la moyenne des transitions est élevée et il y a une incertitude croissante et dépendante du temps d’acquisition sur la valeur de ces limites.
de 1.5 ± 0.25 µA après conversion). Pour une température de 1.40 K, on a une largeur de 2.0 ± 0.25 µA et une largeur de 1.0 ± 0.25 µA à 1.43 K. Il est donc raisonnable d’attribuer la largeur du régime graduel à la distribution du courant critique.
Régime transitoire
Puisque le point critique puissance-fréquence (P?, f?) dépend du temps de mesure τ ,
on veut caractériser quantitativement la durée des regroupements des cycles observés à la figure (3.13). On considère la durée des regroupements de cycles corrélés en fonction de la fréquence pour une puissance telle qu’il y ait 50% de transitions. La figure (3.18) montre l’histogramme de ces durées pour une fréquence d’excitation de 25 MHz6. L’histogramme est bien ajusté par une décroissance exponentielle, le taux de décroissance obtenue est 1.54 ± 0.01 µs et la moyenne de l’histogramme (normalisée par le pas temporel entre les colonnes) est 1.73 ± 0.01 µs. Ainsi, la durée des regroupements semble être compatible avec
6. On peut remarquer que la figure (3.18) n’est pas en accord avec la figure (3.13). Ceci est normal, car les données représentées sur chacun de ces graphiques ne proviennent pas du même échantillon.
une distribution de Poisson. La figure (3.19) montre la durée moyenne des regroupements de cycles corrélés en fonction de la fréquence. On voit qu’autour de 60 MHz, pour une température de 1.40 K, le temps moyen de ces regroupements dépasse la dizaine de secondes. Puisque dans la limite cc les événements sont tous indépendants, cela constitue une augmentation de sept ordres de grandeur. De plus, la courbe semble être droite sur le graphique d’abscisse linéaire et d’ordonnée logarithmique, la durée moyenne des regroupements en fonction de la fréquence semble donc diverger exponentiellement.
Fi g u r e 3.18 – Histogramme de la durée des regroupements La fréquence est de 25 MHz, la température est de 1.41 K et l’histogramme est basé sur compte un total de 168 événements. La courbe rouge est un ajustement exponentiel.
40
Fi g u r e 3.19 – Durée moyenne des groupes corrélés en fonction de la fréquence L’amplitude de l’excitation est ajusté de sorte qu’il y ait un taux de transitions de 50% et la température est maintenue à 1.40 K.
Discussion
Au chapitre précédent, on a mis en évidence l’existence de deux comportements dynamiques distincts dépendants de la fréquence de l’excitation rf et de la température.
– Le premier régime, sous une fréquence critique f?, est caractérisé par une transition
graduelle entre le régime S (tous les cycles restent à l’état supraconducteur) et le régime N (tous les cycles transitent à l’état normal), c’est le régime graduel. À mesure qu’on augmente la fréquence, on observe des regroupements en temps entres les cycles N (ou de façon équivalente, les cycles S).
– Le deuxième régime, au dessus de la fréquence critique f?, est marqué par la
divergence de la durée des regroupements. On a alors affaire à une transition abrupte et hystérétique entre le régime S et le régime N, c’est le régime hystérétique. Nous avons vu que la durée d’acquisition des données pouvait avoir une influence sur les observations (notamment avec l’oscilloscope). Si le temps d’une mesure est trop court, le comportement semble être hystérétique. Par contre, s’il est suffisamment grand, on peut moyenner les regroupements (d’un état ou l’autre) et retrouver en moyenne un comportement similaire au régime graduel. Ainsi, la fréquence critique f? séparant le régime graduel du
régime hystérétique dépend du temps de la mesure (moyenne temporelle) ou du nombre de mesures, c’est-à-dire le nombre de balayages (moyenne échantillonnale).
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4.1
L’hystérèse
Avant d’expliquer le phénomène d’hystérèse dans la dynamique, revoyons d’abord l’hystérèse en régime statique. Une revue claire et concise des causes possibles de l’hystérèse statique est faite par F. Chiodi dans la référence [13] : les deux hypothèses les plus courantes sont que l’hystérèse est d’origine thermique [15] et/ou due à la dynamique de phase [16,17].
4.1.1
Origine thermique de l’hystérèse statique
Dans la référence [15], il est montré sans ambiguïté que des phénomènes thermiques sont (au moins partiellement) à l’origine de l’hystérèse en courant continu. Particulièrement, leurs résultats démontrent que l’hystérèse est causée par l’augmentation de la température lorsque la jonction transite à l’état normal. Lorsque la jonction est dans l’état supraconducteur, la puissance injectée ne produit aucune chaleur puisque le supercourant est non dissipatif. Lorsque la jonction transite à l’état normal, elle dissipe, par effet Joule, une puissance PJ = RI2 et sa température électronique Teaugmente. Cela a donc comme conséquence de
diminuer la valeur du courant critique de Ic(Te)à Ic(Tph)(où Tphest la température du bain
de phonons). Ce courant critique plus bas correspond alors au courant de repiégeage (IR≡
IC(Tph)). Considérant les fuites thermiques par les bornes supraconductrices négligeables,
la relaxation de l’énergie thermique des électrons se fait essentiellement par émission de phonons.
À haute température, le refroidissement électronique par émission de phonons (la dissipation par effet Joule) est hautement efficace et l’écart de température entre les électrons et les phonons est pratiquement nul. Il en résulte que le courant de repiégeage IR≡ IC(Tph) ∼= IC(Te) ≡ IC. À basse température, ce n’est plus le cas, la relaxation est en
retard par rapport à l’excitation, l’écart de température est positif (Te > Tph) et il s’en suit
que IR < IC. (On suppose que la variation de la température phononique est négligeable.)
Un point hautement intéressant démontré par F. Chiodi et al [13] est que le modèle décrit ci-dessus est valable si on accepte, pour le comportement en température de la relaxation phononique, une loi de puissance d’ordre six au lieu du comportement standard qui est d’ordre cinq. En effet, usuellement la puissance de refroidissement par émission de