Adaptation de la formule de Schwarz–Christoffel aux
domaines multiplement connexes
Mémoire Anick Lévesque-Gravel Maîtrise en mathématiques Maître ès sciences (M.Sc.) Québec, Canada © Anick Lévesque-Gravel, 2015
Résumé
La formule de Schwarz–Christoffel permet de trouver une transformation conforme entre un domaine polygonal et un disque. Par contre, cette formule ne s’applique qu’aux domaines sim-plement connexes. Récemment, Darren Crowdy a obtenu une généralisation de cette formule pour les domaines multiplement connexes. Celle-ci envoie des domaines circulaires sur des do-maines polygonaux. Ce mémoire vise à faire la démonstration de la formule développée par Crowdy. Pour ce faire, il faudra définir la fonction de Schottky–Klein ainsi que la fonction de Green modifiée. Il faudra aussi introduire les domaines canoniques.
Table des matières
Résumé iii
Table des matières v
Liste des figures vii
Remerciements xi
Introduction 1
1 Définitions et préalables 3
2 Transformations conformes et domaines canoniques 11
2.1 Domaines canoniques. . . 11
2.2 Fonction de Green et transformations conformes. . . 21
2.3 Fonction de Green modifiée . . . 33
3 Fonction de Schottky–Klein 37
3.1 Définition et propriétés de la fonction de Schottky–Klein . . . 37
3.2 Fonction de Schottky–Klein et transformations conformes . . . 51
4 Formules de Schwarz–Christoffel 63
4.1 Domaines simplement connexes . . . 63
4.2 Domaines multiplement connexes . . . 69
Conclusion 83
Liste des figures
1.1 Réflexion par rapport à un cercle . . . 4
2.1 Disque à fentes circulaires . . . 13
2.2 Domaine à fentes circulaires . . . 13
2.3 Anneau à fentes circulaires . . . 14
2.4 Domaine à fentes parallèles . . . 14
2.5 Domaine à fentes radiales . . . 15
2.6 Cas |ξ| < λ2 < 1 λ1 . . . 18 2.7 Cas λ2 < |ξ| < 1 λ1 . . . 19 2.8 Cas λ2 < λ11 < |ξ| . . . 20 3.1 Domaine D avec M = 1 . . . 37
4.1 Exemple d’un domaine Dz avec M = 2 . . . 70
4.2 Exemple d’un domaine Dζ avec M = 2 . . . 71
Pour Jacinthe, Celle qui me permet de réaliser ce rêve et tous ceux à venir.
Remerciements
Avant d’entrer dans le vif du sujet, je tiens à souligner l’influence de nombreuses personnes sur ce projet de mémoire. Ils m’ont tous aidée, d’une façon ou d’une autre, à atteindre mon objectif de faire une maîtrise.
Je voudrais tout d’abord remercier mon directeur de recherche, Thomas Ransford, pour ses précieux conseils. Il a su répondre à mes nombreuses interrogations et j’ai eu la chance de bénéficier de sa grande expérience.
Je souhaite aussi remercier le Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG), le Fonds de recherche Nature et technologies (FRQNT) et le département de mathématiques et de statistique de l’université Laval de m’avoir permis de me consacrer à temps plein à mes études tout au long de ma maîtrise.
De plus, j’aimerais remercier mes amis mathématiciens d’avoir rendu mon parcours universi-taire aussi agréable et riche de moments mémorables. Mes cinq dernières années n’auraient pas été les mêmes sans leur présence. Plus particulièrement, merci à Vincent pour son support et ses encouragements dans les moments les plus difficiles.
Finalement, merci à ma famille de m’avoir toujours encouragée à me surpasser pour atteindre mes objectifs.
Introduction
Les transformations conformes sont beaucoup étudiées dans le domaine de l’analyse complexe, mais celles-ci se rendent aussi utiles en mathématiques appliquées. En effet, elles permettent de simplifier certains problèmes car elles peuvent transformer les solutions de l’équation de Laplace d’un domaine donné en solutions de l’équation de Laplace sur un domaine plus simple. En 1851, Riemann a énoncé ce fameux théorème : tout domaine simplement connexe différent du plan en entier peut être envoyé sur le disque unité par une transformation conforme. Dans les années 1860, Schwarz et Christoffel ont trouvé indépendamment une formule permettant de trouver les transformations conformes qui envoient un demi-plan ou un disque sur les domaines simplement connexes délimités par des polygones. Cette formule est maintenant très utilisée dans le domaine du calcul numérique.
Dans les dernières années, le mathématicien anglais Darren Crowdy a travaillé à développer une formule similaire qui fonctionnerait pour des domaines multiplement connexes. Il y est arrivé en utilisant la fonction de Schottky–Klein définie dans [1]. C’est cette formule qui nous intéresse.
Des définitions et quelques résultats nécessaires à l’étude de la formule développée par Crowdy seront d’abord énoncés. Puis, seront introduites la notion essentielle de domaines canoniques ainsi que la formule de Green modifiée, qui sera utile pour construire des transformations conformes. La fonction de Schottky–Klein sera par la suite définie et son rôle dans les trans-formations conformes sera explicité. Finalement, la formule de Schwarz–Christoffel classique de même que sa version adaptée aux domaines multiplement connexes seront démontrées.
Chapitre 1
Définitions et préalables
Ce premier chapitre servira à introduire des notions plus générales qui seront utiles dans la suite. Commençons par rappeler plusieurs définitions de base.
Définition 1.1. Un domaine est un ouvert connexe de C.
Définition 1.2. Une courbe dans le plan complexe est l’image d’une fonction continue γ : [a, b] → C pour des a, b ∈ R.
On dit que la courbe γ([a, b]) est simple si la fonction γ est injective sur (a, b), c’est-à-dire que la courbe n’a pas de point d’intersection, sauf peut-être aux extrémités.
On dit que la courbe γ([a, b]) est fermée si γ(a) = γ(b), c’est-à-dire que la courbe forme une boucle.
On dit que la courbe γ([a, b]) est lisse si la fonction γ est de classe C∞.
Définition 1.3. Un domaine D de C est simplement connexe si pour toute courbe simple fermée γ ⊂ D, la région bornée délimitée par γ est entièrement incluse dans D.
Remarque. Les domaines simplement connexes peuvent être décrits plus intuitivement comme étant les domaines qui ne contiennent aucun «trou».
Définition 1.4. Un domaine D de C est multiplement connexe si il existe une courbe simple fermée γ ⊂ D qui encercle un point w /∈ D.
Si M − 1 est le plus grand nombre de courbes simples fermées qu’il est possible de construire dans D de sorte que chaque courbe encercle au moins un point dans C \ D et que les régions bornées délimitées par les courbes soient toutes deux-à-deux disjointes, alors on dit que D est M -connexe.
Remarque. Les domaines multiplement connexes peuvent être décrits plus intuitivement comme étant les domaines qui contiennent des «trous» et un domaine M -connexe est un domaine qui contient M − 1 «trous».
Définition 1.5. Une transformation conforme entre deux ouverts U et V est une fonction f : U → V holomorphe et bijective telle que f−1 : V → U est holomorphe.
La proposition suivante permet de diminuer le nombre de propriétés à vérifier pour montrer qu’une fonction est une transformation conforme sur un domaine.
Proposition 1.6. Soient D, D0 ⊂ C deux domaines. Soit f : D → D0 une bijection holo-morphe. Alors f est une transformation conforme.
Définition 1.7. Soit U un ouvert de C. Une fonction f : U → R de classe C2 est harmonique sur U si son laplacien s’annule partout sur U , c’est-à-dire si
∂2f
∂x2 +
∂2f
∂y2 = 0
pour tout z = x + iy ∈ U .
Nous n’utiliserons pas directement la définition des fonctions harmoniques, mais plutôt le résultat de cette proposition.
Proposition 1.8. La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction holomorphe sur un ouvert U de C sont des fonctions harmoniques.
Définition 1.9. Le conjugué harmonique d’une fonction harmonique u est une fonction à valeurs réelles v telle que u + iv est holomorphe.
Définition 1.10. On dit que deux points P1, P2∈ C sont inverses par rapport à un cercle C
de rayon R et de centre P, ou bien que P2 est la réflexion de P1 à travers le cercle C, si (P1− P )(P2− P ) = R2.
P C
P1 P2
R
Figure 1.1 – Réflexion par rapport à un cercle
Nous sommes maintenant prêts à énoncer un premier théorème. Celui-ci étant classique, la preuve ne sera pas incluse ici, mais elle se retrouve dans [14, p.184].
Théorème 1.11 (Principe de réflexion de Schwarz). Soit D+ un domaine dont la frontière
contient un arc de cercle (respectivement un segment de droite) que nous nommerons I. Soit D− la réflexion du domaine D+ par rapport à I. Soit f une fonction holomorphe sur D+ qui se prolonge continûment à I et telle que f (I) est un arc de cercle (respectivement un segment de droite). Alors f peut être prolongée de façon holomorphe sur l’intérieur de D+∪ I ∪ D−.
Pour les trois définitions à venir, D1 et D2 sont deux domaines dans le plan complexe et f : D1 → D2 est une fonction.
Définition 1.12. Soit z ∈ D1. Supposons que f est holomorphe sur D1 et n’est pas constante.
Alors la multiplicité de f en z est le plus petit entier m > 0 tel que f(m)(z) 6= 0.
Définition 1.13. La fonction f est propre de D1 sur D2 si pour tout compact K ⊂ D2, l’ensemble f−1(K) ⊂ D1 est un compact.
Définition 1.14. La fonction f est n-à-1 si pour tout w ∈ D2, la cardinalité de l’ensemble
{z ∈ D1 : f (z) = w} (selon la multiplicité) est égale à n, c’est-à-dire que chaque point de D2
possède exactement n pré-images (pas nécessairement distinctes).
Un théorème nous permet de lier ces deux propriétés.
Théorème 1.15. Soit f : D1 → D2 une fonction holomorphe. Si f est propre, alors f est
une application n-à-1 de D1 sur D2 pour un n ∈ N.
Nous aurons d’abord besoin d’un lemme pour prouver ce théorème. Nous noterons D le disque unité.
Lemme 1.16. Soit f : D1 → D2 une fonction holomorphe non constante. Supposons que
f (p) = w avec multiplicité m ∈ N. Alors il existe des voisinages U de p et V de w et des transformations conformes φ : U → D et ψ : V → D telles que φ(p) = 0, ψ(w) = 0 et
ψ ◦ f ◦ φ−1(z) = zm.
Démonstration du lemme. Choisissons U un voisinage simplement connexe de p. Alors, par le théorème de Riemann, il existe une transformation conforme P : U → D et nous pouvons choisir P (p) = 0. Comme le théorème de l’application ouverte nous assure que f est ouverte, V := f (U ) est un voisinage ouvert de w. De plus, les fonctions holomorphes préservent l’ordre de connexité des domaines et donc V est simplement connexe. Le théorème de Riemann nous permet donc encore de trouver une transformation conforme ψ : V → D telle que ψ(w) = 0. Posons
Remarquons que F (p) = 0. Comme ψ et f sont holomorphes, nous avons que F est holomorphe sur U. De plus, nous pouvons montrer facilement que la multiplicité de F en p est aussi m. Comme F et P−1 sont holomorphes, nous trouvons que F ◦ P−1 est holomorphe sur D. Nous pouvons aussi montrer que F ◦ P−1(0) = F (p) = 0 avec multiplicité m et donc, pour z près de 0, F ◦ P−1(z) = F (p) + amzm+ am+1zm+1+ ..., où am 6= 0 = 0 + amzm 1 + ∞ X k=1 am+k am zk ! = αmzm 1 + ∞ X k=1 am+k am zk ! , où α est une m-ième racine de am.
Nommons h(z) la m-ième racine principale de 1 +P∞
k=1(am+k/am)zk. Alors, près de 0,
F ◦ P−1(z) = (αzh(z))m. (1.1) Posons maintenant
φ(q) := αP (q)h(P (q)), (1.2) pour q près de p. Alors φ est une transformation conforme et en utilisant (1.1) et (1.2), nous obtenons que F ◦ φ−1(z) = F ◦ P−1◦ P ◦ φ−1(z) = (αP ◦ φ−1(z)h(P ◦ φ−1(z)))m = (φ(φ−1(z)))m = zm, c’est-à-dire que ψ ◦ f ◦ φ−1(z) = zm.
Remarque. Il est facile de voir que la fonction z 7→ zm est une fonction m-à-1 du disque unité sur lui-même. En effet, 0 est envoyé sur 0 avec multiplicité m et tous les autres points du disque unité ont exactement m pré-images de multiplicité 1 (la dérivée première est non nulle partout sur le disque sauf en zéro).
Ainsi, la fonction ψ ◦ f ◦ φ−1(z) du lemme précédent est une fonction m-à-1 du disque unité sur lui-même.
Nous sommes maintenant prêts à démontrer le théorème1.15.
Démonstration du théorème. Montrons d’abord que pour tout w ∈ D2, A := f−1(w) est un
Comme {w} est compact et f est une fonction propre, f−1(w) est un ensemble compact dans D1. Supposons que A est un ensemble de cardinalité infinie. Alors, en utilisant le fait que A
est compact et un théorème bien connu en topologie, nous obtenons que A contient un point limite. Ainsi, f (z) = w sur un ensemble qui contient un point limite. À l’aide du principe d’identité, nous concluons que f ≡ w sur D1.
Mais nous avons alors que f−1(w) = D1, ce qui contredit le fait que f est propre (D1 n’est
pas compact, car c’est un ouvert de C). Ainsi, f−1(w) est de cardinalité finie.
Soit w ∈ D2 et posons N (w) := #{z ∈ D1 : f (z) = w} (selon la multiplicité). Nous allons montrer que la fonction N : D2→ N est continue.
Commençons par fixer w ∈ D2 et donnons nous la notation suivante :
f−1(w) := {p1, p2, ..., pl},
pour des pk∈ D1. Nous avons prouvé au point précédent que cet ensemble est bien fini. Notons
aussi mk la multiplicité de f au point pk. Nous avons alors
N (w) =
l
X
k=1
mk.
Par le lemme, nous pouvons trouver des voisinages disjoints Uk de pk et des voisinages Vk de w ainsi que des transformations conformes
φk: Uk→ D et ψk: Vk→ D telles que φk(pk) = 0, ψk(w) = 0 et ψk◦ f ◦ φ−1k : D → D z 7→ zmk.
Nous avons donc que ψk◦ f ◦ φ−1k est une fonction mk-à-1 de D sur D. Mais φk et ψk sont des bijections et donc f : Uk→ Vk est mk-à-1.
Posons V := l \ k=1 Vk
et notons que w ∈ V. Remplaçons les voisinages Uk par Uk∩ f−1(V ) et conservons la notation Uk pour ces nouveaux voisinages. Nous aurons alors que f (Uk) = V et que la fonction f est
mk-à-1 de Uk sur V. En effet, si un point a été retiré de Uk, c’est que son image n’était pas
dans V. Les points de V ont donc encore exactement mk pré-images dans Uk. Comme les Uk sont disjoints, nous déduisons que f est N (w)-à-1 de U sur V où
U :=
l
[
k=1
Uk.
Si nous prenons w1 ∈ V, alors nous aurons nécessairement N (w1) ≥ N (w). En effet, w1 a
exactement N (w) pré-images dans U, mais w1pourrait aussi avoir des pré-images dans D1\ U.
Nous réglerons ce problème dans ce qui suit.
Posons K :=V , la fermeture de V. Nous pouvons nous assurer que K est compact en rapetis-sant V et U au besoin. Comme f est une fonction propre, nous aurons alors que f−1(K) est compact dans D1. Comme U est ouvert, f−1(K) \ U est aussi compact. Or, f est continue et donc f (f−1(K) \ U ) est compact dans D2. Par construction, toutes les pré-images de w sont
dans U et donc w /∈ f (f−1(K) \ U ), c’est-à-dire que
w ∈ W := V \ f (f−1(K) \ U ).
Comme V est ouvert et f (f−1(K) \ U ) est compact (donc fermé), W est ouvert. Nous avons donc que W est un voisinage ouvert de w tel que
W ∩ f (f−1(K) \ U ) = ∅. Ainsi, si w2 ∈ W, alors
w2∈ f (f/ −1(K) \ U ),
ce qui implique que
f−1(w2) ∩ f−1(K) \ U = ∅. (1.3)
Or, comme
w2 ∈ W ⊂ V ⊂ K,
nous avons que
f−1(w2) ⊂ f−1(K). (1.4)
En combinant (1.3) et (1.4), nous obtenons que f−1(w2) ⊂ U.
Cette dernière ligne nous confirme que pour tout w2 ∈ W, toutes les pré-images de w2 se
situent dans U. Or, nous avions déjà obtenu, puisque W ⊂ V, que w2 possède exactement
N (w) pré-images dans U. Comme ce sont les seules pré-images de w2, nous concluons que
pour tout w2∈ W.
Ainsi, N (w) est localement constante près de w et comme w a été choisi arbitrairement dans D2, la fonction N (w) est continue.
Nous sommes maintenant prêts à conclure la preuve.
Jusqu’à maintenant, nous avons obtenu que N : D2 → N est une fonction continue. Ceci
combiné avec le fait que D2 est connexe implique que N (D2) est connexe. Mais les seuls sous-ensembles connexes de N sont les singletons. Nous devons donc avoir que N (D2) = {n} pour
un n ≥ 1, c’est-à-dire que
#{z ∈ D1 : f (z) = w} = n pour tout w ∈ D2.
Autrement dit, f est une fonction n-à-1 de D1 sur D2.
Le prochain théorème nous sera utile lors d’une démonstration à venir.
Théorème 1.17. Soient b, c ∈ R avec b < c, γ : [b, c] → C une courbe fermée et a ∈ C. Alors Z c
b
γ0(t)
γ(t) − adt = i∆ arg(γ(t) − a),
où ∆ arg(γ(t) − a) dénote la variation de l’argument de γ(t) − a entre b et c.
Démonstration. La courbe γ(t) − a peut s’écrire sous la forme r(t)eiθ(t). Comme c’est une courbe fermée, nous devons alors avoir r(b) = r(c). La dérivée de cette forme nous donne
γ0(t) = r0(t)eiθ(t)+ r(t)iθ0(t)eiθ(t). Nous arrivons alors directement au résultat voulu :
Z c b γ0(t) γ(t) − adt = Z c b r0(t) r(t)dt + i Z c b θ0(t)dt
= log(r(c)) − log(r(b)) + i(θ(c) − θ(b)) = 0 + i(θ(c) − θ(b))
= i∆ arg(γ(t) − a).
Le lemme qui suit sera utile à plusieurs reprises.
Lemme 1.18. Soit γ une courbe dans le plan complexe et soit F : γ → C. Alors l’argument de F est constant sur γ si et seulement si
F (z) = cF (z), pour tout z ∈ γ, où c ∈ C.
Démonstration. La fonction F peut être écrite sous la forme F (z) = |F (z)|ei arg(F (z))
et son conjugué est alors
F (z) = |F (z)|e−i arg(F (z)). Nous trouvons ainsi
F (z) F (z) = e
−2i arg(F (z))
et il devient alors clair que F (z)/F (z) est constant si et seulement si arg(F (z)) est constant modulo 2π, c’est-à-dire que l’argument de F est constant.
Chapitre 2
Transformations conformes et
domaines canoniques
2.1
Domaines canoniques
Le théorème de Riemann nous dit qu’il existe une transformation conforme entre n’importe quel domaine simplement connexe (à l’exception du plan en entier) et le disque unité. Le disque unité est l’un des domaines usuels auxquels on se ramène fréquemment. Ce type de domaine se nomme domaine canonique. Si nous voulons généraliser ce concept aux domaines multiplement connexes, nous rencontrons deux problèmes. Le premier est qu’une transforma-tion conforme conserve la connexité, c’est-à-dire qu’elle envoie un domaine M -connexe vers un autre domaine M -connexe. Nous ne pouvons donc pas trouver un domaine canonique qui soit utilisable pour tous les domaines multiplement connexes. Une première idée pour résoudre ce problème pourrait être d’introduire un domaine canonique pour chaque ordre de connexité. Cette solution nous amène au deuxième problème. En effet, même si deux domaines ont la même connexité, il n’existe pas nécessairement de transformation conforme entre les deux. Ceci se prouve avec l’exemple suivant :
Exemple. Soient r1, r2> 1, avec r1 6= r2 et définissons deux anneaux
D1:= {z ∈ C : 1 < |z| < r1} et D2 := {w ∈ C : 1 < |w| < r2}.
Supposons qu’il existe une transformation conforme f : D1 → D2 avec {|z| = 1} envoyé sur
{|w| = 1} et {|z| = r1} envoyé sur {|w| = r2}. Posons
h(z) := log r1log |f (z)| − log r2log |z|.
Nous voyons que h(z) est la partie réelle de
qui est localement holomorphe sur D1. Ainsi, h(z) est harmonique sur D1. De plus, il est facile
de vérifier que h(z) s’annule lorsque |z| = 1 et lorsque |z| = r1.
Or le principe faible du maximum (voir [14, p.9]) affirme qu’une fonction harmonique sur un domaine D et continue sur la fermeture de D doit atteindre son maximum et son minimum sur le bord de D. Comme h(z) est nulle partout sur le bord de D1, elle vaut donc zéro partout dans D1. Nous en déduisons que la partie réelle de g(z) s’annule partout dans D1 et donc
que g(z) = iα où α est une constante (ceci se démontre en utilisant le fait que g respecte les équations de Cauchy–Riemann).
Maintenant, si z parcourt le cercle |z| = r1 dans le sens antihoraire, f (z) parcourt le cercle |f (z)| = r2 dans le même sens et alors arg(z) et arg(f (z)) augmentent de 2π. Rappelons que
arg(ζ) = Im(log(ζ)) et donc
Im(g(z)) = log r1arg(f (z)) − log r2arg(z).
Ainsi, lorsque z parcourt |z| = r1, la valeur Im(g(z)) augmente de
2π log r1− 2π log r2= 2π(log r1− log r2).
Or, nous venons de trouver que Im(g(z)) est une constante. Nous avons donc log r1 = log r2
et donc r1= r2, ce qui contredit notre hypothèse.
Il n’existe donc pas de transformation conforme f : D1 → D2.
L’exemple que nous venons de voir montre qu’il existe une transformation conforme entre deux anneaux seulement si le rapport des rayons de leurs frontières sont les mêmes. On ap-pelle ce rapport le module de l’anneau et on dit alors que les deux anneaux sont du même type conforme. Des constantes similaires, nommées modules de Riemann permettent de déterminer si deux domaines de connexité quelconque sont du même type conforme.
Revenons à notre but initial, soit la définition de domaines canoniques. Il est maintenant clair que nous ne pouvons pas fixer un même domaine sur lequel nous pourrons envoyer n’importe quel domaine multiplement connexe de façon conforme. Nous réglerons ce problème en introduisant plutôt des formes générales de domaines canoniques dont les particularités géométriques et l’ordre de connexité seront laissés libres de s’adapter. Fixons un domaine multiplement connexe D délimité par M + 1 courbes Ck, k = 0, ..., M pour présenter les
formes les plus classiques. Nommons C la frontière de D, c’est-à-dire la réunion de toutes les courbes Ck.
1. Disque à fentes circulaires : Ce domaine est composé du disque unité duquel nous retirons des arcs de cercles centrés à l’origine. La figure2.1illustre un domaine triplement
connexe de ce type. En envoyant D sur ce type de domaine, nous pouvons choisir une composante du bord Cj qui sera envoyée sur le cercle unité ainsi qu’un point ζ ∈ D qui sera envoyé sur l’origine. En normalisant la fonction
Rj(z) := Rj(z; ζ)
qui effectue cette transformation de sorte que R0j(ζ; ζ) > 0, nous avons l’unicité de Rj(z).
0
Figure 2.1 – Disque à fentes circulaires
2. Domaine à fentes circulaires : Ce domaine correspond au plan en entier, y compris le point à l’infini, duquel nous retirons des arcs de cercles centrés à l’origine. La figure 2.2
illustre un domaine triplement connexe de ce type. Si nous envoyons D sur un domaine de cette forme, nous pouvons choisir des points ζ, η ∈ D tels que ζ est envoyé sur l’origine et η est envoyé sur l’infini. Si nous normalisons la fonction
P (z) := P (z; ζ, η) qui réalise cette transformation conforme de façon à ce que
P (z) = 1
z − η + b0+ b1(z − η) + b2(z − η)
2+ ..., (2.1)
pour z près de η, nous pouvons montrer que P (z; ζ, η) est unique.
0
Figure 2.2 – Domaine à fentes circulaires
3. Anneau à fentes circulaires : Ce domaine est constitué d’un anneau circulaire duquel nous enlevons des arcs de cercles concentriques avec l’anneau. La figure 2.3 illustre un domaine triplement connexe de ce type. Lorsque nous voulons envoyer D sur un
domaine de cette forme, nous pouvons choisir deux composantes du bord Ci et Cj qui seront envoyées respectivement sur le bord extérieur et le bord intérieur de l’anneau. La fonction Sij(z) qui effectue cette transformation est unique à une constante multiplicative
près.
0
Figure 2.3 – Anneau à fentes circulaires
4. Domaine à fentes parallèles : Ce domaine est constitué du plan en entier, y compris le point à l’infini, duquel nous retirons un certain nombre de segments de droites parallèles. La figure 2.4 illustre un domaine triplement connexe de ce type. Si nous cherchons à envoyer D sur un domaine de cette forme, nous sommes libres de choisir un angle α entre les segments de droites et l’axe réel ainsi qu’un point ζ ∈ D qui sera envoyé sur l’infini. Si, de plus, nous décidons de normaliser la fonction
ϕ(z) := ϕα(z; ζ)
qui réalise cette transformation conforme de sorte que ϕα(z; ζ) =
1 z − ζ + a
α
1(z − ζ) + aα2(z − ζ)2+ ..., (2.2)
pour z près de ζ, nous pouvons montrer que ϕα(z; ζ) est unique.
0
α
α
Figure 2.4 – Domaine à fentes parallèles
5. Domaine à fentes radiales : Ce domaine est constitué du plan en entier, y compris le point à l’infini, duquel nous enlevons des segments de droites orientées vers l’origine. La figure2.5illustre un domaine triplement connexe de ce type. Si nous voulons envoyer D
sur un domaine de cette forme, nous avons le choix de deux points ζ, η ∈ D tels que ζ est envoyé à l’origine et η est envoyé à l’infini. Si nous normalisons la fonction
Q(z) := Q(z; ζ, η) qui effectue cette transformation conforme de sorte que
Q(z) = 1
z − η + c0+ c1(z − η) + c2(z − η)
2+ ...,
pour z près de η, alors nous pouvons montrer que Q(z; ζ, η) est unique.
0
Figure 2.5 – Domaine à fentes radiales
Dans tous les cas, le nombre de fentes dans le domaine sera déterminé par la connexité du domaine original. Par exemple, si nous voulons envoyer un domaine triplement connexe (avec deux trous) sur un domaine à fentes parallèles, il y aura deux fentes dans le domaine d’arrivée et celui-ci sera aussi triplement connexe. De plus, les fentes doivent être telles que le domaine reste connexe. Par exemple, les fentes circulaires ne peuvent pas être un cercle entier.
Nous ne ferons pas les preuves d’unicité, puisque cette information ne nous sera pas nécessaire. Ces preuves se retrouvent dans [14, p.336-339]. L’existence des différentes fonctions que nous avons définies pour chacun des cinq types de domaines canoniques sera, quant à elle, prouvée à la section 2.2. Nous allons d’abord montrer une relation qui existe entre ces fonctions, en prenant pour acquis leur existence. Pour cela, nous introduisons une notation qui sera valide dans tout ce qui suit.
∆Carg(f (z))
dénote la variation de l’argument d’une fonction f (z) lorsque z parcourt la frontière C avec le domaine D à sa droite et
∆jarg(f (z))
dénote la variation de l’argument d’une fonction f (z) lorsque z parcourt la courbe Cj avec
le domaine D à sa droite. Notons que dans le cas où une courbe n’est pas fermée, nous la considérons comme la limite d’une courbe fermée et nous la parcourons une fois dans chaque direction, comme si nous parcourions ses deux côtés.
Proposition 2.1. Les transformations définies plus haut qui envoient le domaine D sur le disque et l’anneau à fentes circulaires sont reliées par la relation suivante :
Sij(z) =
Ri(z; ζ)
Rj(z; ζ)
, où ζ ∈ D est un point arbitraire.
Démonstration. Posons
F (z) := Ri(z; ζ) Rj(z; ζ)
et montrons que cette fonction respecte toutes les propriétés qui définissent Sij(z).
Comme la fonction Ri(z; ζ) ne possède pas de pôles, la fonction F (z) ne possède
potentiel-lement un pôle que là où Rj(z; ζ) s’annule, c’est-à-dire en z = ζ. Or, les développements de Ri(z; ζ) et Rj(z; ζ) près de z = ζ nous donnent
Ri(z; ζ) = 0 + a1(z − ζ) + a2(z − ζ)2+ ...,
Rj(z; ζ) = 0 + b1(z − ζ) + b2(z − ζ)2+ ...,
où a1> 0 et b1 > 0 par la définition de Rj(z; ζ). Nous trouvons donc que
F (z) = a1(z − ζ) + a2(z − ζ) 2+ ... b1(z − ζ) + b2(z − ζ)2+ ... = a1+ a2(z − ζ) + ... b1+ b2(z − ζ) + ... , ce qui implique que
F (ζ) = a1 b1
.
Or a1/b1 est une constante positive et donc F (z) ne possède pas de pôles. Notons que F (z) ne
possède pas non plus de zéros, ce qui correspond bien aux caractéristiques d’un anneau. Cela montre aussi que F (z) est holomorphe sur D.
Pour z sur Ci, nous savons que Ri(z; ζ) est sur le cercle unité et |Rj(z; ζ)| =: λ1 où λ1 < 1 est
une constante. Ainsi, pour z ∈ Ci,
|F (z)| = 1 λ1
> 1. Aussi, comme
∆iarg(F (z)) = ∆iarg(Ri(z; ζ)) − ∆iarg(Rj(z; ζ))
= −2π − 0 = −2π,
nous déduisons que lorsque z parcourt Ci, son image F (z) parcourt dans le sens négatif le cercle centré à l’origine de rayon 1/λ1.
Nous montrons de la même façon que lorsque z parcourt Cj, son image F (z) parcourt dans le sens positif le cercle centré à l’origine de rayon λ2, où λ2:= |Ri(z; ζ)| < 1 pour z ∈ Cj.
Si z parcourt Ck où k 6= i et k 6= j, alors Ri(z; ζ) et Rj(z; ζ) parcourent les deux côtés d’une
fente circulaire et reviennent à leur point de départ de sorte que ∆karg(Ri(z; ζ)) = 0 et
∆karg(Rj(z; ζ)) = 0 ce qui implique que
∆karg(F (z)) = 0
et
|F (z)| =: rk.
Ainsi, les images des courbes Ck, k 6= i, j sont des arcs de cercles.
Nous voulons montrer, d’une part, que, sur D, la fonction F (z) prend toutes les valeurs complexes dont la norme est comprise entre λ2 et 1/λ1, à l’exception de certains points sur
des arcs de cercles centrés à l’origine. D’autre part, nous voulons montrer que, sur D, la fonction F (z) ne prend aucune des valeurs situées à l’extérieur de l’anneau λ2 < |ξ| < 1/λ1.
Fixons donc ξ ∈ C tel que |ξ| 6= rk pour tout k ∈ {0, ..., M } \ {i, j}. Pour z ∈ Ck où
k ∈ {0, ..., M } \ {i, j}, nous avons |F (z)| = rk6= |ξ|.
Si rk< |ξ|, alors |ξ| > 0 et nous pouvons écrire
F (z) − ξ = −ξ 1 −F (z) ξ pour obtenir ∆karg(F (z) − ξ) = ∆karg 1 −F (z) ξ ,
puisque −ξ est une constante. Or, comme |F (z)| < |ξ| pour z ∈ Ck, nous avons |F (z)/ξ| < 1, et donc 1 − F (z)/ξ reste dans le disque de centre 1 et de rayon 1. Nous avons donc toujours Re (1 − F (z)/ξ) > 0. Cela implique que 1−F (z)/ξ ne contourne pas l’origine lorsque z parcourt Ck.
Ainsi, ∆karg(F (z) − ξ) = 0.
Si, au contraire, rk> |ξ|, alors |F (z)| > 0 pour z ∈ Ck et nous pouvons écrire
F (z) − ξ = F (z)
1 − ξ F (z)
pour obtenir
∆karg(F (z) − ξ) = ∆karg(F (z)) + ∆karg
1 − ξ
F (z)
.
Or, nous avons déjà montré que ∆karg(F (z)) = 0. De plus, comme |ξ/F (z)| < 1, le même argument que précédemment permet d’affirmer que ∆karg (1 − ξ/F (z)) = 0 et donc
∆karg(F (z) − ξ) = 0.
Dans tous les cas, nous avons montré que ∆karg(F (z)−ξ) = 0 pour tout k ∈ {0, ..., M }\{i, j}. Nous trouvons ainsi que
∆Carg (F (z) − ξ) = M X k=0 ∆karg(F (z) − ξ) = ∆jarg(F (z) − ξ) + ∆iarg(F (z) − ξ).
Maintenant, trois situations peuvent survenir :
1. Si |ξ| < λ2< 1 λ1 : 0 |ξ| λ2 λ11 Figure 2.6 – Cas |ξ| < λ2< 1 λ1
Les images des courbes Ci et Cj par F (z), c’est-à-dire les cercles centrés à l’origine de
rayon 1/λ1 et λ2, encercleront toujours l’origine après une translation de −ξ. La figure
2.6permet de visualiser cette situation. Nous trouvons ainsi ∆iarg(F (z) − ξ) = −2π et
∆jarg(F (z) − ξ) = 2π. Nous trouvons donc que
∆Carg (F (z) − ξ) = 2π − 2π = 0.
Le principe de l’argument affirme que
où N0 dénote le nombre de zéros de F (z) − ξ dans D et N∞ dénote le nombre de pôles
de F (z) − ξ dans D. L’énoncé et la preuve de ce principe connu se retrouvent dans [14, p.130]. Ainsi, puisque F (z) − ξ possède le même nombre de pôles que F (z),
0 = 2π(N0− 0),
et donc
N0= 0.
F (z) ne prend donc jamais la valeur ξ dans D. 2. Si λ2< |ξ| <
1 λ1
:
L’image de la courbe Cj par F (z), c’est-à-dire le cercle centré à l’origine de rayon λ2, n’encerclera plus l’origine après une translation de −ξ et donc ∆jarg(F (z) − ξ) = 0.
L’image de la courbe Ci par F (z), quant à elle, est le cercle centré à l’origine de rayon 1/λ1 et encerclera encore l’origine après une translation de −ξ. Ainsi, nous obtenons que
∆iarg(F (z) − ξ) = 2π. La figure2.7permet de visualiser cette situation.
0 λ2 |ξ| λ11
Figure 2.7 – Cas λ2< |ξ| <
1 λ1
Nous trouvons donc que
∆Carg (F (z) − ξ) = 2π.
Le principe de l’argument affirme que
∆Carg(F (z) − ξ) = 2π(N0− N∞).
Ainsi,
2π = 2π(N0− 0),
et donc
1 = N0.
3. Si λ2 < 1 λ1 < |ξ| : 0 λ2 λ11 |ξ| Figure 2.8 – Cas λ2 < λ11 < |ξ|
Les cercles centrés à l’origine de rayon λ2 et 1/λ1 n’encercleront plus l’origine après une translation de −ξ. La figure2.8permet de visualiser cette situation. Nous trouvons ainsi ∆iarg(F (z) − ξ) = ∆jarg(F (z) − ξ) = 0. Nous avons donc que
∆Carg (F (z) − ξ) = 0.
En utilisant encore une fois le principe de l’argument, nous obtenons que F (z) ne prend jamais la valeur ξ dans D.
Il reste à se convaincre que F (z) est injective. Pour ce faire, il faut montrer que F (z) ne prend qu’une seule fois dans D la valeur des points β ∈ C tels que |β| = rk qui ne sont pas
sur l’image de l’une des courbes Ck. Supposons au contraire qu’il existe z1, z2 ∈ D tels que
F (z1) = F (z2) = β avec |β| = rk. Comme F (z) est holomorphe et non constante, le théorème
de l’application ouverte nous assure que c’est une application ouverte. Soient U un voisinage ouvert de z1 et V un voisinage ouvert de z2 tels que U et V sont disjoints. Alors F (U ) et
F (V ) sont des voisinages ouverts de β et donc F (U ) ∩ F (V ) est aussi un voisinage ouvert de β. Ainsi, il existe ξ ∈ F (U ) ∩ F (V ) tel que |ξ| 6= rk. Il existe donc des points w1 ∈ U, w2 ∈ V
(donc w1 6= w2) tels que F (w1) = F (w2) = ξ. Cela contredit le résultat que nous venons
d’obtenir qui disait que F (z) ne prend la valeur ξ qu’une seule fois dans D. Donc F (z) est injective partout sur D. C’est donc une bijection holomorphe, ce qui implique que c’est une transformation conforme.
En résumé, nous avons montré que la fonction F (z) envoie conformément le domaine D sur un anneau circulaire duquel certains arcs de cercles ont été retirés et que les composantes Ci
et Cj sont envoyées respectivement sur le bord extérieur et le bord intérieur de l’anneau. La
fonction F (z) possède donc toutes les propriétés requises pour affirmer que F (z) = Sij(z).
2.2
Fonction de Green et transformations conformes
2.2.1 Fonction de Green
Dans cette section, nous établirons, à l’aide d’une fonction appelée la fonction de Green, des formules pour les transformations conformes qui envoient des domaines multiplement connexes sur certains domaines canoniques.
Soit D un domaine multiplement connexe délimité par un contour C composé de M +1 courbes lisses, simples et fermées Ck, k = 0, ..., M. Fixons un point ζ ∈ D. Soit h(z; ζ) une fonction harmonique en z telle que pour z ∈ C,
h(z; ζ) = log |z − ζ|.
L’existence d’une telle fonction est garantie par le principe de Dirichlet (voir [3, p.6]). Cette fonction nous permet de justifier la prochaine définition.
Définition 2.2. La fonction de Green est donnée par g(z; ζ) := log 1
|z − ζ|+ h(z; ζ), pour z ∈ D.
Cette fonction possède les propriétés importantes suivantes :
1. g(z; ζ) est harmonique pour tout z ∈ D sauf pour z = ζ, 2. g(z; ζ) + log |z − ζ| est harmonique en z = ζ,
3. g(z; ζ) vaut 0 partout sur le bord de D.
Pour montrer la première propriété, il suffit de se rappeler que log (1/|z − ζ|) étant la partie réelle d’une fonction localement holomorphe, c’est une fonction harmonique (à l’exception du point z = ζ). Ainsi, g(z; ζ) étant la somme de deux fonctions harmoniques, c’est une fonction harmonique. La deuxième propriété vient simplement du fait que
g(z; ζ) + log |z − ζ| = log(|z − ζ|−1) + h(z; ζ) + log |z − ζ| = − log |z − ζ| + log |z − ζ| + h(z; ζ) = h(z; ζ).
Finalement, la troisième propriété découle directement de la valeur aux bords de la fonction h(z; ζ).
Il est possible, à l’aide de l’identité de Green, de trouver deux autres propriétés importantes de la fonction de Green.
4. Si u(z) est une fonction harmonique dans D et continûment dérivable sur D ∪ C et
∂
∂n dénote la dérivation par rapport à la normale extérieure, alors nous avons l’identité
suivante : u(ζ) = 1 2π Z C ∂g(z; ζ) ∂nz u(z)dsz, (2.3)
où dsz est la mesure de longueur d’arc. Cette identité se retrouve dans [3]. 5. g(z; ζ) = g(ζ; z) pour tout z, ζ ∈ D.
Restreignons-nous un moment au cas où D est simplement connexe. Nous voudrions étendre la fonction de Green à une fonction holomorphe en lui ajoutant son conjugué harmonique, mais comme cette fonction possède une singularité logarithmique, nous ne pourrons pas le faire de façon unique. Nous définissons ainsi
p(z; ζ) := g(z; ζ) + iq(z; ζ),
où q(z; ζ) est le conjugué harmonique de g(z; ζ) et est déterminé à une constante additive près. Cette constante additive sera toujours un multiple entier de 2π, puisque lorsque que z parcourt un circuit fermé autour de l’origine, log(z) augmente de 2πi. Nous appellerons ce type de constantes additives des périodes.
Revenons maintenant au cas où le domaine D est multiplement connexe. Dans ce cas, p(z; ζ) aura aussi des périodes introduites par les trous formés par les courbes Ck. En effet, les
équations de Cauchy–Riemann nous donnent p0(z; ζ) = ∂g(z; ζ)
∂x − i
∂g(z; ζ) ∂y ,
où z =: x + iy. Prenons γj une courbe dans D qui contourne une fois le trou créé par Cj (mais
qui ne contourne aucun des autres trous dans le domaine). Alors nous trouverons la période 2πiωj(ζ) := Z γj p0(z; ζ)dz = Z γj ∂g(z; ζ) ∂x − i ∂g(z; ζ) ∂y dz.
Plus généralement, si γ est une courbe fermée quelconque dans D et m(γ, k) dénote le nombre de fois que γ contourne le trou créé par Ck, alors
Z γ p0(z; ζ)dz = 2πi M X k=0 ωk(ζ)m(γ, k).
La fonction p(z, ζ) aura donc aussi des périodes qui seront des multiples des ωk. L’identité
(2.3) nous permet de trouver que ωj(ζ) s’annule sur toutes les courbes Ck à l’exception de la
Les périodes ωk(ζ) sont aussi des fonctions harmoniques, par construction. Nous pouvons donc, de la même façon que pour g(z; ζ), les prolonger à des fonctions holomorphes en leur ajoutant un conjugué harmonique qui aura lui aussi des périodes :
wk(ζ) = ωk(ζ) + iWk(ζ).
Dans ce cas, la période de la fonction wj(ζ) lorsque ζ contourne Ci sera donnée par
−2πiPij := Z
Ci
w0j(ζ)dζ.
Nous pouvons montrer que Pij = Pji. De plus, nous avons le lemme suivant.
Lemme 2.3. La matrice P := (Pij)i,j=1,...,M est inversible.
Démonstration. Nous allons démontrer l’affirmation équivalente suivante : l’unique solution dans CM de Pc = 0 est c = 0. Cette affirmation peut être reformulée de la façon suivante : si c = (ck)k=1,...,M est un vecteur de constantes complexes qui ne sont pas toutes nulles (c 6= 0),
alorsPM
k=1Pjkck 6= 0 pour un j ∈ {1, ..., M }.
Supposons au contraire qu’il existe des constantes ck, k = 1, ..., M , qui ne sont pas toutes nulles telles que
M X k=1 Pjkck= 0, ∀ j = 1, ..., M. (2.4) Posons F := M X k=1 ckwk0.
Comme chacune des fonctions wk, k = 1, ..., M , est holomorphe sur D, la fonction F est aussi holomorphe sur D.
Comme wk est holomorphe pour k = 1, ..., M , nous trouvons
wk0 = ∂wk ∂x = ∂ωk ∂x + i ∂Wk ∂x = ∂ωk ∂x − i ∂ωk ∂y = 2 ∂ωk ∂z , (2.5)
où la troisième égalité est justifiée par les équations de Cauchy–Riemann. Posons
ω :=
M
X
k=1
ckωk. (2.6)
Nous trouvons alors 2∂ω ∂z = 2 ∂ ∂z M X k=1 ckωk ! = 2 M X k=1 ck ∂ωk ∂z = M X k=1 ckwk0 = F, (2.7)
où la troisième égalité suit de (2.5). Rappelons que ωks’annule sur C0 pour tout k = 1, ..., M .
Supposons, au contraire, que ω est antiholomorphe. Alors ω est holomorphe et s’annule sur C0. Fixons un ouvert U ⊂ D dont la frontière coïncide avec C0 sur un certain intervalle.
Nommons ˜U la réflexion de U par rapport à C0. Nous pouvons utiliser le principe de réflexion
de Schwarz pour obtenir une extension holomorphe deω sur A := U ∪ (∂U ∩ C0) ∪ ˜U .
Or, comme cette extension s’annule sur C0, le principe d’identité nous assure que ω ≡ 0 sur A. Cela implique donc que ω ≡ 0 sur U et en utilisant à nouveau le principe d’identité, nous trouvons ω ≡ 0 sur D. Ainsi, nous avons
ω ≡ 0 sur D. (2.8)
Or, les propriétés des ωk nous indiquent que sur Ci, i = 1, .., M , la valeur de ω est ci. Comme nous avons supposé que les ck ne sont pas tous nuls, il existe un i ∈ {1, ..., M } pour lequel ω 6= 0 sur Ci. Cela contredit (2.8) et donc ω n’est pas antiholomorphe.
Cette dernière information nous assure que ∂ω∂z 6= 0 et donc, par (2.7), F 6= 0. Nous en déduisons que x D |F |2dA 6= 0. (2.9) D’un autre côté, 1 4 x D |F |2dA = 1 4 x D F F dA = 1 4 x D 2∂ω ∂z 2∂ω ∂z dA, par (2.7), =x D ∂ω ∂z ∂ω ∂zdA.
En appliquant l’identité de Green complexe à la dernière ligne, nous obtenons 1 4 x D |F |2dA = 1 2i Z ∂D ω∂ω ∂zdz = 1 2i Z ∂D M X j=1 cjωj ∂ ∂z M X k=1 ckωk ! dz, par (2.6), = 1 2i Z ∂D M X j=1 cjωj M X k=1 ck ∂ωk ∂z ! dz = 1 2i M X j=1 M X k=1 cjck Z ∂D ωj ∂ωk ∂z dz = 1 2i M X j=1 M X k=1 cjck Z ∂D ωj w0k 2 dz, par (2.5).
Comme ωj s’annule partout sur ∂D sauf sur Cj, où ωj = 1 = 1, nous obtenons 1 4 x D |F |2dA = 1 4i M X j=1 M X k=1 cjck Z Cj w0kdz = 1 4i M X j=1 cj M X k=1 ck(−2πiPjk) = −π 2 M X j=1 cj· 0, par (2.4), = 0.
Cela contredit (2.9). La matrice P est donc inversible.
Remarque. Ce lemme implique que tout système d’équations linéaires
M
X
k=1
Pikuk= vi, i = 1, ..., M,
possède un unique vecteur solution (uk)k=1,...,M.
Considérons encore une fois le cas où D est un domaine simplement connexe et posons f1(z; ζ) := exp(−p(z; ζ)).
Nous pouvons réécrire f1(z; ζ) de cette façon :
f1(z; ζ) = exp − log 1 |z − ζ|− h(z; ζ) − iq(z; ζ) = exp(log |z − ζ|) exp(h(z; ζ)) exp(iq(z; ζ)) = |z − ζ| exp(h(z; ζ)) exp(iq(z; ζ)). (2.10) Cela nous permet de constater quelques propriétés de f1(z; ζ) :
1. f1(z; ζ) est bien définie (l’exponentielle élimine les périodes de p puisque exp(2πin) = 1). 2. f1(z; ζ) possède un zéro d’ordre 1 en z = ζ.
3. f1(z; ζ) a un module de 1 sur le bord de D. En effet, si z ∈ C, alors h(z; ζ) = log |z − ζ|
et donc |f1(z; ζ)| = |z − ζ| exp(log |z − ζ|) exp(iq(z; ζ)) = |z − ζ| |z − ζ|| exp(iq(z; ζ))| = 1.
La troisième propriété nous indique que |f1(z; ζ)| → 1 lorsque dist(z, C) → 0 puisque f1(z; ζ)
est continue. Cela va nous permettre de montrer que f1(z; ζ) est une fonction propre de D sur le disque unité. En effet, si nous prenons un compact K dans le disque unité D, le compact sera fermé dans C. Nommons L := f1−1(K). Nous voulons montrer que L se situe toujours à
une distance > 0 du bord C de D. Supposons au contraire qu’il existe une suite de points (zj)j≥1 ∈ L tels que zj → w avec w ∈ C. Comme f1(z; ζ) est une fonction continue, la
propriété 3 nous donne que |f1(zj; ζ)| → 1. Mais f1(zj; ζ) ∈ K et nous avons alors une suite
de points dans K qui tend vers f1(w; ζ) ∈ ∂D. Comme K est fermé, cela nous donne que
f1(w; ζ) ∈ K ⊂ D. Mais comme D est ouvert et f1(w; ζ) est sur son bord, f1(w; ζ) /∈ D, ce
qui nous donne une contradiction. Ainsi, le bord de L ne coïncide jamais avec le bord de D. Comme f1(z; ζ) est continue, L est fermé dans D et la propriété que nous venons de trouver
permet d’affirmer que L est aussi fermé dans C. Nous avons aussi que L ⊂ D est borné et donc f1−1(K) est un compact, ce qui prouve que f1(z; ζ) est propre.
Le théorème 1.15 nous indique que f1(z; ζ) est une application N -à-1 de D sur D pour un N ∈ N. Or l’expression (2.10) nous montre clairement que f1(z; ζ) ne prend la valeur 0 qu’une
seule fois dans D. Nous devons donc avoir N = 1, ce qui est équivalent à dire que f1(z; ζ) est
une bijection de D sur le disque unité.
Revenons au cas où D est multiplement connexe et tentons de généraliser cette construction. Dans ce cas, la fonction p(z; ζ) aura des périodes autour des courbes Ck et l’exponentielle ne
sera plus suffisante pour éliminer les périodes. Nous résoudrons ce problème en utilisant les fonctions ωk(ζ) qui ont elles aussi des périodes. Introduisons d’abord quelques notations.
No-tons P := (Pij)i,j=1,...,M, Ω(ζ) := (ωi(ζ))i=1,...,M et introduisons Π = (Πij)i,j=1,...,M la matrice
inverse de P (cette dernière existe par le lemme 2.3). Considérons u(ζ) = (ui(ζ))i=1,...,M la
solution du système linéaire
P u(ζ) = Ω(ζ). (2.11)
Le lemme2.3montre que cette solution existe et est unique. Elle sera de la forme u(ζ) = ΠΩ(ζ) et donc, pour i = 1, ..., M, ui(ζ) = M X j=1 Πijωj(ζ). (2.12)
Rappelons que nous avons nommé wk(ζ) le prolongement harmonique des ωk(ζ) et posons
w(z; ζ) :=
M
X
k=1
uk(ζ)wk(z).
Cette fonction est une somme de multiples constants (par rapport à z) des fonctions wk(z) qui sont holomorphes en z par définition ; elle est donc holomorphe. De plus, sa période autour de
Cj pour j ∈ {1, ..., M } est donnée par M X k=1 uk(ζ)(−2πiPjk) = −2πi M X k=1 uk(ζ)Pjk = −2πiωj(ζ), par (2.11).
Si nous additionnons les fonctions holomorphe p(z; ζ) et w(z; ζ), leurs périodes respectives associées aux courbes Cj vont s’additionner pour donner
2πiωj(ζ) + (−2πiωj(ζ)) = 0, j = 1, ..., M.
Ainsi, la fonction p(z; ζ) + w(z; ζ) n’a que deux périodes, soit celle de 2πi associée à la sin-gularité logarithmique de p(z; ζ) et celle de 2πiω0(ζ) associée à la courbe C0. Pour ce qui est
de la deuxième période, nous remarquons que le fait de parcourir toutes les courbes Ck est topologiquement équivalent à parcourir un cercle autour de la singularité logarithmique z = ζ, ce qui entraîne une période de 2πi. Or, nous savons aussi que p(z; ζ) + w(z; ζ) n’a pas de période autour de chacune des courbes Ck pour k > 0. Ainsi, la période autour du contour C, qui est la somme des périodes autour des courbes Ck, se réduit à la période autour de C0. Or,
nous venons de dire que la période autour du contour C est de 2πi. Il en est donc de même pour la période autour de C0. Ainsi, la seule période de p(z; ζ) + w(z; ζ) est de 2πi. Tout cela nous mène à la définition suivante.
Définition 2.4. Posons f2(z; ζ) := exp(−(p(z; ζ) + w(z; ζ))).
Remarque. Comme
exp(−(p(z; ζ) + w(z; ζ) + 2πin)) = exp(−(p(z; ζ) + w(z; ζ))) exp(−2πin) = exp(−(p(z; ζ) + w(z; ζ)))· 1,
f2(z; ζ) est bien définie et holomorphe.
2.2.2 Transformations conformes
Cette dernière définition intervient dans le théorème suivant, qui fait le lien entre la fonction de Green et les transformations conformes.
Théorème 2.5. La fonction f2(z; ζ) envoie le domaine D sur le disque unité moins M arcs de cercles centrés à l’origine. De plus, elle envoie le point z = ζ sur l’origine et la composante C0 du bord sur le cercle unité.
Remarques. 1. Nous reconnaissons l’image du domaine D par f2 comme étant le disque à fentes circulaires défini à la section2.1. Ainsi, nous identifions
2. Le choix d’envoyer la composante C0 du bord sur le cercle unité est ici arbitraire. Il existe donc M + 1 applications différentes qui envoient D sur le domaine mentionné plus haut. Une telle application envoyant la composante Cj du bord de D sur le cercle unité
est en fait la fonction Rj(z; ζ) définie à la section2.1.
Démonstration. Nous pouvons montrer, de la même façon que dans le cas où le domaine D est simplement connexe, que f2(z; ζ) possède un zéro en z = ζ.
Nous allons d’abord trouver la valeur du module de f2(z; ζ) lorsque z se situe sur l’une des
courbes Ck du bord de D. Rappelons d’abord que g(z; ζ) = 0 pour z ∈ C et que
ωj(z) =
(
0 si z ∈ Ck pour k 6= j,
1 si z ∈ Cj.
(2.13)
Nous calculons d’abord, pour z ∈ Cj, j > 0,
Re(−(p(z; ζ) + w(z; ζ))) = −g(z; ζ) − M X k=1 uk(ζ)Re(wk(z)) = 0 − M X k=1 uk(ζ)ωk(z) = 0 − uj(ζ) · 1 = −uj(ζ),
ce qui nous permet de trouver que
|f2(z; ζ)| = | exp(−(p(z; ζ) + w(z; ζ)))| = exp(Re(−(p(z; ζ) + w(z; ζ)))) = exp(−uj(ζ)).
Nous trouvons de la même façon pour z ∈ C0 que
Re(−(p(z; ζ) + w(z; ζ))) = 0, et donc que
|f2(z; ζ)| = 1.
Dans les deux cas, la norme de la fonction f2(z; ζ) est constante (par rapport à z) sur toutes les courbes Ck. Nous en concluons que l’image du contour C par f2(z; ζ) se situe sur des cercles
centrés à l’origine de rayons exp(−uj(ζ)) (j > 0) et 1. Nous avons mentionné plus haut que
log f2(z; ζ) = −(p(z; ζ) + w(z; ζ)) n’a pas de période autour de Cj pour j > 0, c’est-à-dire que
la variation totale de l’argument de f2(z; ζ) est nulle lorsque z parcourt ces courbes. Il est donc
en entier. Ainsi, l’image par f2(z; ζ) des courbes Cj pour j > 0 est un arc de cercle (parcouru
une fois sur chacun de ses côtés pour revenir au point initial). Par contre, autour de C0, nous avons trouvé plus tôt que log f2(z; ζ) a une période de 2πi, c’est-à-dire que l’argument de
f2(z; ζ) augmente de 2π lorsque z parcourt C0. Cela nous indique que C0 est envoyé sur le
cercle unité par f2(z; ζ).
Nous voudrions maintenant montrer que f2(z; ζ) envoie D sur le disque unité en entier, à
l’exception des arcs de cercles correspondants aux images des courbes Ck. Pour ce faire, fixons un point ξ ∈ C tel que ξ ne se situe sur aucun des cercles |z| = exp(−uj(ζ)) (j > 0) et |z| = 1.
Par le principe de l’argument, l’intégrale 1 2πi Z C f20(z; ζ) f2(z; ζ) − ξ dz (2.14)
calcule le nombre de zéros de la fonction f2(z; ζ) − ξ à l’intérieur de D, c’est-à-dire le nombre
de fois que f2(z; ζ) prend la valeur ξ dans D.
Soit γ : [0, 1] → C une fonction qui envoie [0, 1] sur la courbe fermée C et posons Γ(t) := f2◦ γ(t).
Utilisons le théorème 1.17pour calculer l’intégrale (2.14) : 1 2πi Z C f20(z; ζ) f2(z; ζ) − ξ dz = 1 2πi Z 1 0 f20(γ(t))γ0(t) f2(γ(t)) − ξ dt = 1 2πi Z 1 0 Γ0(t) Γ(t) − ξdt = 1
2πii∆ arg(Γ(t) − ξ) = 1
2π∆Carg(f2(z; ζ) − ξ).
Comme nous l’avons mentionné précédemment, si j > 0, la variation de l’argument de f2(z; ζ) est nulle lorsque z parcourt Cj. Il en est donc de même pour f2(z; ζ) − ξ, ce qui implique
que ∆jarg(f2(z; ζ) − ξ) = 0 pour tout j > 0. Nous avons aussi mentionné plus haut que
f2(z; ζ) parcourt le cercle unité si z parcourt C0. Dans le cas où |ξ| > 1, nous avons que
f2(z; ζ) − ξ parcourt un cercle qui ne contourne pas l’origine lorsque z parcourt C0 et donc
∆0arg(f2(z; ζ) − ξ) = 0. Par contre, si |ξ| < 1, alors f2(z; ζ) − ξ parcourt un cercle qui
contourne l’origine lorsque z parcourt C0 et alors ∆0arg(f2(z; ζ) − ξ) = 2π. Nous trouvons
donc que 1 2πi Z C f20(z; ζ) f2(z; ζ) − ξ dz = 1 2π M X k=0 ∆karg(f2(z; ζ) − ξ) = ( 0 si |ξ| > 1, 1 si |ξ| < 1.
Il devient maintenant clair que f2(z; ζ) ne prend aucune valeur en dehors du disque unité sur D et qu’elle prend exactement une fois chaque valeur à l’intérieur du disque unité qui n’est pas située sur l’un des cercles |z| = exp(−uj(ζ)). La continuité de f2(z; ζ) implique, de la
même façon que dans la démonstration de la proposition2.1, que cette fonction doit aussi être injective sur ces cercles.
L’application z 7→ f2(z; ζ) est donc une bijection holomorphe de D sur un disque à fentes
circulaires, ce qui implique que c’est une transformation conforme.
La fonction de Green nous permet aussi de trouver des applications qui envoient D vers d’autres domaines canoniques.
Théorème 2.6. Soient ζ, η ∈ D avec ζ 6= η. La fonction P (z; ζ, η) définie à la section2.1 et envoyant D sur le domaine à fentes circulaires est donnée par
P (z; ζ, η) = R0(z; ζ) R0(z; η)
.
Démonstration. Pour démontrer ce résultat, posons F (z) := R0(z; ζ)
R0(z; η)
et montrons que F (z) = P (z; ζ, η).
Puisque R0(ζ; ζ) = 0, la fonction F (z) s’annule en ζ. De même, puisque R0(z; η) s’annule en
η, la fonction F (z) envoie η sur l’infini. Comme R0(z; ζ) est holomorphe, F (z) est holomorphe
sur D \ {η}.
Le théorème2.5nous donne que le module de F (z; ζ, η) est constant sur chacune des compo-santes Ck du bord de D. Ainsi, pour z ∈ Ck,
|F (z)| =: rk, où les rk sont des constantes pour k = 0, ..., M.
Si z parcourt Ck avec k > 0, alors nous avons vu dans la preuve du théorème 2.5 que la variation de l’argument de R0(z; ζ) est nulle. Or, comme
arg(F (z; ζ, η)) = arg(R0(z; ζ)) − arg(R0(z; η)),
nous avons
∆karg(F (z; ζ, η)) = 0.
Ceci nous indique que l’image de Ckpour k > 0 est un arc de cercle. Toujours dans la preuve du théorème2.5, nous avons vu que si z parcourt C0, alors l’argument de R0(z; ζ) augmente
de 2π. Ainsi,
Cela nous indique que l’image de C0 par F (z; ζ, η) est aussi un arc de cercle.
Nous voulons montrer que la fonction F (z) prend toutes les valeurs du plan pour des z ∈ D, à l’exception de certaines valeurs situées sur les arcs de cercles de rayons rk. Fixons donc ξ ∈ C
tel que |ξ| 6= rk pour k = 0, .., M. En utilisant les mêmes arguments que dans la preuve de la proposition 2.1, nous montrons que
∆karg(F (z) − ξ) = 0,
pour tout k ∈ {0, ..., M }. Nous avons donc que
∆Carg (F (z) − ξ) = M
X
k=0
∆karg(F (z) − ξ) = 0.
Or, le principe de l’argument affirme que
∆Carg(F (z) − ξ) = 2π(N0− N∞).
Nous savons déjà que F (z) a exactement un pôle en z = η et donc F (z) − ξ a aussi un unique pôle. Nous en déduisons que N0 = 1 et donc que F (z) prend la valeur ξ exactement une fois
dans D.
Nous montrons que F (z) est injective en utilisant le même argument que dans la preuve de la proposition 2.1. La fonction F (z) est donc une bijection holomorphe.
En résumé, nous avons montré que la fonction F (z) envoie conformément le domaine D sur le plan en entier, à l’exception d’arcs de cercles, et que F (z) s’annule en ζ et envoie η sur l’infini. F (z) possède ainsi toutes les caractéristiques de la fonction que nous avons nommée P (z; ζ, η) et donc F (z) = P (z; ζ, η).
Théorème 2.7. Soit α ∈ [0, 2π). La fonction ϕα(z; ζ) définie à la section 2.1 et envoyant D
sur le domaine à fentes parallèles est donnée par
ϕα(z; ζ) := eiα(cos(α)ϕ(z; ζ) − i sin(α)ψ(z; ζ)) ,
où ψ(z; ζ) := −∂ log R0(z; ζ) ∂x0 , et ϕ(z; ζ) := −1 i ∂ log R0(z; ζ) ∂y0 , pour ζ =: x0+ iy0.
Démonstration. Nous allons commencer par analyser le comportement des fonctions ψ(z; ζ) et ϕ(z; ζ). Rappelons que, puisque R0(z; ζ) = f2(z; ζ),
Re(log R0(z; ζ)) = Re(−p(z; ζ) − w(z; ζ)) =
(
0 si z ∈ C0,
−uk(ζ) si z ∈ Ck, k > 0.
Ceci a été montré dans la preuve du théorème2.5. Comme ∂ log(R0(z; ζ)) ∂x0 = ∂ log |R0(z; ζ)| ∂x0 + i∂ arg(R0(z; ζ)) ∂x0 , nous calculons que
Re ∂ log(R0(z; ζ)) ∂x0 = ∂ log |R0(z; ζ)| ∂x0 = ∂ ∂x0 (Re(log(R0(z; ζ)))) = ∂ ∂x0 ( 0 si z ∈ C0 −uk(ζ) si z ∈ Ck, k > 0 ! .
Il est clair que l’expression de la dernière ligne ne dépend pas de z et donc la partie réelle de ψ(z; ζ) est constante par rapport à z sur chaque composante Ck du bord de D. Ainsi, les
composantes Ckdu bord sont envoyées sur des segments de droites parallèles à l’axe imaginaire.
Nous utilisons la même technique que dans la préparation au théorème2.5pour montrer que ψ(z; ζ) est une fonction propre et donc, en utilisant le théorème 1.15, une fonction N -à-1. Comme le point z = ζ est l’unique point envoyé sur l’infini, nous devons avoir N = 1 et donc ψ(z; ζ) est une bijection holomorphe entre D et le plan entier moins M segments de droites parallèles à l’axe imaginaire, c’est-à-dire que
ψ(z; ζ) = ϕπ 2(z; ζ).
Pour ce qui est de la fonction ϕ(z; ζ), nous calculons que Im 1 i ∂ log(R0(z; ζ)) ∂y0 = Im 1 i ∂ log |R0(z; ζ)| ∂y0 + i∂ arg(R0(z; ζ)) ∂y0 = Im 1 i ∂ log |R0(z; ζ)| ∂y0 + ∂ arg(R0(z; ζ)) ∂y0 = −∂ log |R0(z; ζ)| ∂y0 = − ∂ ∂y0 (Re(log(R0(z; ζ))) = − ∂ ∂y0 ( 0 si z ∈ C0 −uk(ζ) si z ∈ Ck, k > 0 ! .
Nous concluons cette fois que la partie imaginaire de ϕ(z; ζ) est constante par rapport à z sur chaque composante Ckdu bord de D. Cela nous indique que les composantes Ck du bord sont
envoyées sur des segments de droite parallèles à l’axe réel. À l’aide des mêmes arguments que pour ψ(z; ζ), nous montrons que ϕ(z; ζ) envoie conformément le domaine D sur le plan entier auquel nous avons enlevé M segments de droites parallèles à l’axe réel, c’est-à-dire que
ϕ(z; ζ) = ϕ0(z; ζ).
Posons maintenant
F (z) := eiα(cos(α)ϕ(z; ζ) − i sin(α)ψ(z; ζ)) et montrons que F (z) = ϕα(z; ζ).
Puisque ψ(z; ζ) et ϕ(z; ζ) ont des pôles en z = ζ, nous voyons facilement que F (ζ) = ∞. Aussi, si z ∈ Ck pour k ≥ 0, nous trouvons que
Im(e−iαF (z)) = Im(cos(α)ϕ(z; ζ) − i sin(α)ψ(z; ζ)) = cos(α)Im(ϕ(z; ζ)) − sin(α) Re(ψ(z; ζ)).
Or, nous avons déjà montré que pour z ∈ Ck, les valeurs Im(ϕ(z; ζ)) et Re(ψ(z; ζ)) sont constantes par rapport à z. Ainsi, Im(e−iαF (z)) est constante sur les composantes Ck du bord
de D, c’est-à-dire que l’image de Ck par e−iαF (z) est un segment de droite parallèle à l’axe réel. Mais cela est équivalent à dire que l’image de Ck par F (z) est un segment de droite formant un angle α avec l’axe réel.
Nous utilisons les mêmes arguments qu’avec ψ(z; ζ) et ϕ(z; ζ) pour montrer que F (z) est une bijection holomorphe entre D et le plan complexe entier duquel nous avons retiré des segments de droites formant un angle α avec l’axe réel et qui correspondent aux images des courbes Ck. En résumé, nous avons montré que la fonction F (z) envoie conformément le domaine D sur le plan en entier, à l’exception de segments de droites formant un angle α avec l’axe réel, et que F (z) envoie le point ζ sur l’infini. F (z) possède ainsi toutes les caractéristiques de la fonction que nous avons nommée ϕα(z; ζ) et donc F (z) = ϕα(z; ζ).
2.3
Fonction de Green modifiée
Dans le prochain chapitre, nous aurons besoin de la fonction p(z; ζ) + w(z; ζ) définie dans la section précédente. Or cette fonction porte aussi le nom de fonction de Green modifiée et possède une définition alternative que nous présenterons dans cette section.
Soit D un domaine (M + 1)-connexe borné dans le plan complexe dont la frontière C est formée de M + 1 courbes simples, fermées et lisses notées Cj, j = 0, 1, ..., M , où C0 est la
frontière extérieure. Les courbes Cj pour j = 1, .., M sont donc comprises à l’intérieur de la région délimitée par C0 et peuvent être vues comme le contour des M trous créés dans le
Définition 2.8. La fonction de Green modifiée
G0(z; ζ) : D → R
est la fonction qui possède les propriétés suivantes :
1. La fonction
G0(z; ζ) + log |z − ζ|
est harmonique en z partout dans D, y compris au point z = ζ. 2.
G0(z; ζ) = 0, pour z ∈ C0,
et il existe des constantes γ0j(ζ) pour j = 1, ..., M telles que
G0(z; ζ) = γ0j(ζ) pour z ∈ Cj, j = 1, ..., M.
3. Si nous notons ∂G0
∂n la dérivée de G0 dans la direction de la normale à une courbe et ds
un élément d’arc, alors Z
Cj
∂G0
∂n ds = 0, pour j = 1, ..., M.
La fonction de Green modifiée existe et est unique. Nous n’en ferons pas la preuve ici, mais elle se retrouve dans [13]. Notons que la valeur des constantes γ0j(ζ) est déterminée par la condition imposée sur l’intégrale de ∂G0
∂n . Il sera utile de savoir que
G0(z; ζ) = G0(ζ; z).
Ce résultat est aussi tiré de [13].
Dans la définition de G0(z; ζ), un rôle différent est accordé à la courbe C0, puisque c’est la seule
courbe sur laquelle G0(z; ζ) s’annule et sur laquelle il n’y a pas de condition surR
Cj
∂G0
∂n ds. Ce
choix est tout à fait arbitraire et ce rôle aurait pu être donné à n’importe laquelle des M autres courbes. Ce faisant, nous avons donc M + 1 fonctions de Green modifiées et nous noterons Gj(z; ζ) la fonction dont la définition est donnée de la même façon que celle de G0(z; ζ), mais
en inversant les rôles des courbes C0 et Cj.
Comme nous aurons besoin plus tard de l’extension analytique ˜Gj(z; ζ) de la fonction de Green
modifiée, définissons maintenant Hj(z; ζ) le conjugué harmonique de Gj(z; ζ) et nous aurons
alors
˜
Le prochain théorème permet d’établir le lien entre la fonction de Green modifiée et la fonction p(z; ζ) + w(z; ζ) définie dans la section précédente.
Théorème 2.9. La fonction p(z; ζ) + w(z; ζ) est en fait l’extension analytique de la fonction de Green modifiée ˜G0(z; ζ) = G0(z; ζ) + iH0(z; ζ).
Démonstration. Pour montrer cette égalité, nous allons montrer que la partie réelle de la fonction p(z; ζ)+w(z; ζ) respecte toutes les propriétés définissant la fonction de Green modifiée. Remarquons d’abord que
p(z; ζ) + w(z; ζ) = g(z; ζ) + iq(z; ζ) + M X k=1 uk(ζ)wk(z) = g(z; ζ) + iq(z; ζ) + M X k=1 M X j=1 Πkjωj(ζ) (ωk(z) + iWk(z)) = g(z; ζ) + M X k,j=1 Πkjωj(ζ)ωk(z) + i q(z; ζ) + M X k,j=1 ΠkjωjWk(z) et notons r(z; ζ) := g(z; ζ) + M X k,j=1 Πkjωj(ζ)ωk(z).
Il nous suffit donc de montrer que G0(z; ζ) = r(z; ζ).
1. La fonction G0(z; ζ) + log |z − ζ| est harmonique en z partout dans D :
Nous avons par définition que g(z; ζ)+log |z −ζ| = h(z; ζ) est harmonique en tout z ∈ D. Les fonctions ωk(z) sont aussi harmoniques et donc r(z; ζ) + log |z − ζ| est harmonique sur D.
2. G0 = 0 sur C0 :
Nous savons que si z ∈ C0, alors g(z; ζ) s’annule et ωk(z) vaut zéro pour tout k > 0.
Donc r(z; ζ) = 0 sur C0.
3. G0(z; ζ) est constante par rapport à z sur chaque Ci avec i > 0 :
Puisque g(z; ζ) s’annule partout sur le bord de D, il suffit d’étudier le comportement du deuxième terme de r(z; ζ) sur les courbes Ci. Par (2.13), nous avons pour z ∈ Ci, i > 0
que M X k,j=1 Πkjωj(ζ)ωk(z) = M X j=1 Πijωj(ζ),
une constante par rapport à z. 4. Z Ci ∂G0(z; ζ) ∂n ds = 0 pour tout i > 0 :
Nous pouvons réécrire les périodes de la façon suivante : 2πωk(ζ) = Z Ck ∂g(z; ζ) ∂n ds et −2πPij = Z Ci ∂ωj(ζ) ∂n ds. Nous obtenons ainsi que
Z Ci ∂r(z; ζ) ∂n ds = Z Ci ∂g(z; ζ) ∂n ds + M X k,j=1 Πkjωj(ζ) Z Ci ∂ωk(z) ∂n ds = 2πωi(ζ) + M X k,j=1 Πkjωj(ζ)(−2πPik) = 2πωi(ζ) + −2π M X k=1 uk(ζ)Pik, par (2.12), = 2πωi(ζ) + −2πωi(ζ), par (2.11), = 0.
Les propriétés définissant G0(z; ζ) sont bien respectées par r(z; ζ) et donc nous avons bien que
p(z, ζ) + w(z; ζ) = ˜G0(z; ζ).
Nous trouvons ainsi,
R0(z; ζ) = f2(z; ζ) = exp(− ˜G0(z; ζ)), (2.15)
et donc
Chapitre 3
Fonction de Schottky–Klein
Nous avons réussi à trouver des formules en termes de la fonction de Green modifiée pour exprimer les transformations conformes entre un domaine multiplement connexe quelconque et différents domaines canoniques. Par contre, ces formules ne nous permettent pas de calculer de façon explicite ces transformations puisque la fonction de Green modifiée n’est pas définie explicitement. Nous allons maintenant nous efforcer de trouver une formulation plus expli-cite dans le cas où le domaine de départ est un domaine circulaire, c’est-à-dire un domaine multiplement connexe borné dont le bord est composé de courbes circulaires. Pour ce faire, nous allons d’abord introduire la fonction de Schottky–Klein associée à un domaine circulaire arbitraire.
3.1
Définition et propriétés de la fonction de Schottky–Klein
Nommons D l’intérieur du disque unité duquel nous avons retiré M disques qui ne s’inter-sectent pas. Notons Cj, j = 1, ..., M les cercles délimitant les trous dans D et C0le cercle unité, qui est aussi la frontière extérieure de D. Si nous fixons les centres δj ∈ C et les rayons qj ∈ R des disques compris dans les courbes Cj pour j = 1, ..., M, alors le domaine D est uniquement
déterminé. Nommons C le bord de D, c’est-à-dire l’ensemble des cercles Cj, j = 0, ..., M . Un exemple de domaine D avec M = 1 est illustré à la figure 3.1.
0 C0
δ1
C1
q1
Nous voulons définir M + 1 transformations de Möbius φj, j = 0, ..., M , qui auront pour effet d’envoyer les points du cercle Cj sur leur conjugué.
Définition 3.1. Posons φ0(z) := 1 z et, pour j = 1, ..., M , φj(z) := δj+ qj2 z − δj . (3.1)
Il est facile de vérifier que pour z ∈ C0,
φ0(z) = z.
Pour ce qui est de j = 1, ..., M , rappelons que les points z ∈ Cj satisfont l’équation
|z − δj|2 = qj2,
ce qui est équivalent à
(z − δj)(z − δj) = qj2.
En reformulant cette équation, nous arrivons bien à
z = δj +
q2j z − δj
= φj(z).
Nous allons maintenant introduire une notation qui permettra d’alléger les calculs futurs. Si u(z) est une fonction, alors
u(z) := u(z). Pour les fonctions à deux variables, la notation sera alors
u(ζ, η) := u(ζ, η). Avec cette notation, définissons, pour j = 1, ..., M ,
θj(z) := φj
1 z
. En développant, nous obtenons
θj(z) = δj+ q2j 1/z − δj = δj + q2 j 1/z − δj = δj + qj2z 1 − δjz , (3.2)
en utilisant le fait que qj est réel.
Notons Cj0 le cercle obtenu en reflétant Cj à travers le cercle C0. Il est facile de vérifier que la transformation z 7→ 1/z effectue cette réflexion. De plus, l’image de Cj0 sous la transformation θj(z) est Cj. En effet, supposons que 1/z ∈ Cj0, c’est-à-dire que z ∈ Cj. Alors z = δj + qjeiθ
pour un θ ∈ [0, 2π) et donc θj 1 z = δj+ qj21z 1 − δj1z = δj+ q2 j z − δj = δj+ q2j δj+ qje−iθ− δj = δj+ qjeiθ = z.
Comme les cercles Cj ne s’intersectent pas, il en est de même pour les cercles Cj0.
Nous sommes maintenant prêts à donner une série de définitions et de propositions qui nous mèneront à la définition de la fonction de Schottky–Klein.
Définition 3.2. Le groupe de Schottky Θ est le groupe libre infini généré par les applications θj et leurs inverses θ−1j avec la composition de fonctions comme opération.
Définition 3.3. La région fondamentale associée au groupe de Schottky est le complément des 2M disques délimités par les cercles Cj et Cj0, j = 1, ..., M .
Les deux propositions suivantes nous donnerons une meilleure connaissance des applications inverses θj−1.
Proposition 3.4. Pour tout z ∈ D, pour tout j = 1, ..., M ,
θj−1(z) = 1 φj(z)
. (3.3)
Démonstration. Nous démontrerons cette proposition en prouvant que
θj◦ 1 φj = Id et 1 φj ◦ θj = Id,
