Utilité de la détection d’enveloppe en CND

ℋ(𝑓)(𝑦) = 1

𝜋∫_−∞^{+∞𝑓(𝑥)}_𝑥−𝑦𝑑𝑥 (2.1) La transformée de Hilbert intervient notamment en théorie du signal et on peut en donner un sens plus général dans la théorie des distributions [15].



Formulaire

cos(2𝜋𝑢₀𝑡) ↦ + sin(2𝜋𝑢₀𝑡) (2.2) sin( 2𝜋𝑢₀𝑡) ↦ − cos(2𝜋𝑢₀𝑡) (2.3)

sin(𝑡)/𝑡 ↦ [1 − cos(𝑡)]/𝑡 (2.4)

1 / (1+t²) ↦1/ (1+t²) (2.5) exp (−𝛼|𝑡| cos(2𝜋𝑢0𝑡) ↦ exp (−𝛼|𝑡|) sin(2𝜋𝑢₀𝑡) (2.6)

2.1.1. Utilisation de la Transformée d’Hilbert dans la détection d’enveloppe

La méthode analytique pour la détection d’enveloppe d’un signal x(t), sans l’utilisation d’un filtre RC, est basée sur l’utilisation de la transformée d’Hilbert. Cette méthode est utilisée dans le traitement des échos en imagerie ultrasonore par des logiciels d’analyse implantés dans les microordinateurs reliés aux systèmes d’expérimentation du contrôle non destructif.

L’obtention de l’enveloppe du signal x(t), se fait après le calcul du signal analytique

z(t) (appelé aussi composite) :

𝑍(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑗𝑦(𝑡) (2.7) y(t) Étant la transformée d’Hilbert du signal x(t). Nous remarquerons par la suite que z(t) reproduit fidèlement l’enveloppe du signal x(t). Dans le système utilisé, le signal x(t) sera échantillonné avant tout traitement par l’ordinateur, il ne sera donc plus question du signal continu ou de transformée de Fourier, mais de signal discret x[k], et de la transformée de Fourier discrète sur une durée N :

TFD{x[k]} = X[K]/N (2.8)

2.1.2. Utilité de la détection d’enveloppe en CND

L’enveloppe d’un écho ultrasonore informe sur le temps de vol de l’onde ultrasonore dans la pièce à contrôler. Ce dernier est utile pour déterminer plusieurs paramètres de la matière en question, comme le module de Young et le coefficient de Poisson.

28

Comme il permet, de déterminer avec précision l’épaisseur de la pièce, la vitesse de propagation, la position des défauts par rapport aux dimensions de la pièce dans le cas où cette dernière présente des défauts, et ainsi que les amplitudes des échos souhaités, avec une précision mieux appréciable qu’à l’œil nu.

On peut utiliser la transformée de Hilbert pour calculer le temps de décalage entre deux signaux. Il s’agit d’étudier la transformée de Hilbert de la réponse impulsionnelle du filtre propagatif. Dans le cas d’un retard pur entre deux signaux, la réponse impulsionnelle est de la forme [16] :

ℎ

₀

(𝑡) = 𝛿(𝑡 − ∆𝑡)

(2.9) Par conséquent, la transformée de Hilbert (TH) n’est autre que :

𝑇𝐻{ℎ

₀

(𝑡)} =

¹

𝜋(𝑡−∆𝑡)

(2.10)

Figure 2.1 : Calcul du temps de décalage entre deux signaux

2.2. Transformée de Fourier (TF)

La transformée de Fourier (TF) est un outil permettant de connaître le comportement fréquentiel d'un signal. La TF permet de décomposer un signal en une série de sinusoïdes à différentes fréquences. La fonction analysée peut être comparée à une partition dont les sinusoïdes seraient les différentes notes musicales.

Les formules d’analyse et de synthèse de la transformée de Fourier d’une fonction intégrable sont données par :

29

Analyse : 𝑿(𝒇) = ∫_−∞^+∞𝒙(𝒕). 𝒆^{−𝒋𝟐𝝅𝒇𝒕}𝒅𝒕 (2.11)

Synthèse : 𝒙(𝒕) = ∫_−∞^+∞𝑿(𝒇). 𝒆^{𝒋𝟐𝝅𝒇𝒕}𝒅𝒇 (2.12)

Ces formules montrent que pour le calcul d’une valeur fréquentielle X(f), il est nécessaire de connaître toute l’histoire temporelle de x(t). Malgré l’utilisation très abondante de cette transformation, elle présente plusieurs inconvénients au niveau de son interprétation physique. On peut en citer quelques-uns :

 Elle est limitée dans le cas des signaux non stationnaires, c’est à dire les signaux dont leurs caractéristiques spectrales évoluent dans le temps avec d’autres termes. Avec la TF, on perd toute information relative au temps.

 La non-causalité : il faut connaître tout le signal f pour pouvoir calculer X, l’analyse en temps réel est impossible.

2.3. Transformée de Fourier à court terme (TFCT)

Dans de telles situations, la représentation temporelle classique d’écho ultrasonore, ne donne pas une bonne perception des composantes oscillantes multiples, tandis que la représentation fréquentielle (transformée de Fourier) ne permet pas la localisation temporelle de ces composantes.

Ainsi, partant des propriétés de ces échos et des limitations de la transformée de Fourier (TF), il est naturel de s’orienter vers un schéma d’analyse temps-fréquence multi-composantes. En effet par définition, les Représentations Temps-Fréquence (RTF) sont des transformations conjointes du temps et de la fréquence et fournissent une information sur la façon dont la fréquence du signal varie au cours du temps.

La méthode qui est sans doute la plus intuitive, pour avoir des informations temporelles et fréquentielles sur le signal, c’est la transformée de Fourier à court terme. Elle permet de restreindre l’existence du signal autour d’un instant t grâce à une fenêtre d'analyse g(𝜏 -t) centrée sur cet instant, puis on prend sa transformée de Fourier:

Analyse

: 𝑻𝑭𝑪𝑻(𝒇, 𝒃) = ∫

_−∞^+∞

𝒙(𝒕)𝒈(𝒕 − 𝒃). 𝒆

−𝒋𝟐𝝅𝒇𝒕

𝒅𝒕

(2.13) Synthèse

: 𝒙(𝒕) = ∫ 𝑻𝑭𝑪𝑻(𝒇, 𝒃). 𝑮(𝒕) 𝒅𝒇𝒅𝒃

_𝑹^𝒕

(2.14)

30

On fait alors glisser cette fenêtre le long du signal, ce qui permet d'en mesurer le contenu spectral au cours du temps.

La TFCT consiste à faire coulisser une fenêtre d’analyse le long du signal étudié, mais les dimensions de cette fenêtre doivent être fixées de façon à garantir les conditions de stationnarité.

Malheureusement ces contraintes ne peuvent pas permettre une bonne résolution en temps et en fréquence simultanément

Figure 2.2 : Transformée de Fourier à court terme

L’inconvénient principal de cette méthode, est le compromis entre la résolution fréquentielle et temporelle [17]:

 Si la fenêtre glissante g est assez courte en temps, on va avoir une mauvaise résolution fréquentielle. Autrement dit, on obtient un élargissement dans le lobe principal.

 Si g est très large en temps, on va avoir une bonne résolution fréquentielle c'est-à-dire, que l’élargissement du lobe principal est moins important.

 En plus, on rencontre le problème de l’apparition des lobes secondaires si la longueur de la fenêtre est petite.

2.4. La Distribution de Wigner-Ville (DWV)

La distribution de Wigner-Ville (DWV) est une méthode qui permet de décrire la distribution énergétique d'un signal dans le plan temps-fréquence. Cette distribution fournit une décomposition temps-fréquence sans aucune restriction sur les résolutions temporelles et fréquentielles. Elle apparait tout à fait adaptée à l'analyse des signaux non stationnaires et permet donc une meilleure résolution. La DWV est définie comme suit

31

𝑊ₓ(𝑡, 𝑓) = ∫ 𝑥 (𝑡 +^𝑡 2) 𝑥^∗(𝑡 −^𝑡 2) 𝑒^{−𝑗2𝜋𝑓𝑥} +∞ −∞ 𝑑𝑡 (2.15) Cette formule représente l'énergie d'un signal 𝑥 au temps 𝑡 et à la fréquence 𝑓. Malheureusement, la non-linéarité de cette transformée présente des conséquences désastreuses qui se manifestent par l'apparition d'interférences et d'énergies négatives dans la distribution temps-fréquence de l'énergie du signal. En pratique, une version lissée de la DVW est souvent préférée. Elle est nommée la distribution de Wigner-Ville lissée et elle est définie par :

𝑊ₓ(𝑡, 𝑓) = ∫ 𝑝(𝑡)𝑥 (𝑡 +^𝑡

2) 𝑥∗(𝑡 −^𝑡

2) 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑥𝑑𝑡

+∞

−∞ (2.16) Où p(t) est la fenêtre de lissage qui permet de réduire l'amplitude des termes d’interférences [18].

2.5. Distribution de Choi-Williams (DCW)

La distribution de Choi-Williams (CWD) est une transformation qui représente le contenu spectral du signal non stationnaire comme carte bidimensionnelle de temps-fréquence. Elle évite en grande partie un des problèmes principaux de la DWV : la présence des limites d'interférence dans les régions où on s'attendrait à des valeurs de puissance nulle.

La DCW emploie un grain exponentiel dans la classe généralisée des distributions bilinéaires de temps-fréquence pour réaliser une réduction des composantes de croix-limite de la distribution.

La représentation mathématique de la DCW est donnée par la suite d’équations :

𝐶𝑊𝐷

_𝑥

(𝑡, 𝑓) = ∬ 𝐴

_−𝜔^𝜔 𝑥

(𝜂, 𝜏)Φ(𝜂, 𝜏) exp(2𝑗𝜋(𝜂. 𝑡 − 𝜏. 𝑓)) 𝑑𝜂𝑑𝜏

(2.17)

𝐴

_𝑥

(𝜂, 𝜏) = ∫ 𝑧(𝑡 + 𝜏). 𝑧

_−𝜔^𝜔 ∗

𝑡 − 𝜏)exp (−2𝑗𝜋𝑡𝜂)𝑑𝑡

(2.18)

Φ(𝜂, 𝜏) = 𝑒𝑥𝑝[−𝛼(𝜂𝜏)

2

]

(2.19)

32

L’objectif principal est de minimiser les termes d’interférences par cette transformation. Choisir une fonction du noyau qui dépend du type de signal analysé pour effectuer un lissage.

Le lissage temps-fréquence devra inclure très peu d’échantillons sur l’axe fréquentiel et de nombreux sur l’axe temporel afin d’estimer au mieux les raisons du signal. En effet, dans le cas de signaux réels, les raisons temps-fréquence sont souvent variées et il est difficile de trouver des caractéristiques optimales du noyau qui permet d’isoler, à la fois, les fréquences pures et les fréquences impulsions[16].

2.6. Transformée en Ondelettes

L’analyse par ondelettes est apparue, à la fin des années 70, d’une étonnante découverte faite par un ingénieur Français, Jean Morlet dans une prospection pétrolière. D’une manière générale, les ondelettes combinent des propriétés très puissantes comme l’orthogonalité, la localisation en temps et en fréquence, et l’analyse multi-résolution permettant une implémentation algorithmique simple et rapide. Ce qui permet de les utiliser à des fins différentes dans le traitement du signal.

2.6.1. Principe

La transformée en ondelettes est une méthode d’analyse en temps échelle qui diffère de la TFCT par l’utilisation d’une fenêtre dont la largeur varie en position et en longueur.

La Transformée en ondelettes réalise une projection du signal sur un ensemble de fonctions appelées classiquement "ondelettes" et dont la construction diffère de celle de la TFCT : on change la variable fréquence f par celle d'échelle a. Partant d'une fonction



, l'ondelette mère de moyenne nulle (ce qui impose le caractère oscillant de la fonction pour assurer l'inversion de la Transformée). La famille des ondelettes translatées dans le temps et dilatées en échelle associée à



est définie comme suit [17] :















a

t-b

a

t

a,b

( ) ¹ ψ

ψ

_(2.20)

 t



_{: L’ondelette mère ;}

 

t b a,



: Les ondelettes filles ;

33

b

: Le paramètre de translation. Avec le pas de translation dans échelle a est

a /b

.

Il existe une variété de fonctions d’ondelettes suivant les besoins de différentes applications. En général, l’ondelette est une petite onde qui a une énergie finie concentrée dans le temps comme le montre la figure suivante :

Figure 2.3 : Type des ondelettes : a- ondelette de Mex-hat, b- ondelette de

Morlet, c- ondelette de Mayer, d- ondelette de Daubechies ‘db4’

Le paramètre a dans l’expression (2.20) est appelé paramètre d’échelle et permet la dilatation et la compression de la fonction d’ondelette.

 Si a<1, implique une compression de l’ondelette (la fréquence de l’ondelette fille est plus grande que celle de l’ondelette mère) ;

 Si a>1, implique une dilatation de l’ondelette (la fréquence de l’ondelette fille est plus petite que celle de l’ondelette mère) ;

 Si a=1, même enveloppe que l’ondelette mère (la fréquence de l’ondelette fille est égale à la fréquence de l’ondelette mère).

Alors on peut dire qu’une grande échelle est équivalente aux petites fréquences et les petites échelles sont équivalentes aux grandes fréquences.

Le paramètre b permet la translation temporelle de la fonction d’ondelette. Alors selon le paramètre d’échelle a on peut dire qu’une :

 Petite échelle permet une analyse très localisée en temps, ce qui implique une bonne résolution temporelle et une mauvaise résolution fréquentielle ;  Grande échelle permet une analyse sur un horizon plus large, ce qui implique

34

Alors on peut dire qu’à chaque fois l’échelle diminue, on obtient une amélioration dans la résolution temporelle et qu’à chaque fois l’échelle augmente, on obtient une amélioration dans la résolution fréquentielle [17].

Fréquence (a) Fréquence (b)

Figure 2.4 : Comparaison entre le pavage TFCT et T.O

a- Pavage du plan Temps Fréquence (TFCT) b- Pavage du plan temps-Echelle (T.O)

La transformation en ondelettes peut être introduite en utilisant l’analyse multi- résolution, basée sur un processus de décomposition du signal en approximations et en détails à plusieurs niveaux. Le signal d’origine s(t), traverse deux filtres complémentaires, passe-haut et passe bas, et émerge en tant que deux signaux : respectivement le signal d’approximations A et le signal de détails D.

Il existe deux façons d'introduire les ondelettes : l'une à travers la transformation ondelette continue, l'autre à travers l'analyse multi-résolution. En effet, afin d’assurer une représentation non-redondante du signal et la possibilité de le reconstruire parfaitement à partir de sa décomposition, Mallat et Meyer ont mis au point, en 1989, un outil efficace et flexible qui a engendré depuis un nombre impressionnant d’applications : l’analyse multi-résolution. Grâce à ce concept, il a été possible l'implémentation pratique de la décomposition en ondelettes [17].

2.6.2. Transformée en Ondelettes Continue

L’expression générale de la transformée en ondelettes dans le cas continu (TOC) est donnée par :

35

    dt

a

b

t

t

x

a

b

a

T

R x











 

 ¹  



,

(2.21)

La TOC est le produit scalaire entre le signal x(t) et l’ondelette



_a,b

 

t , donc on peut écrire :

T_x

 

a,b  x

 

t .



_a,b

 

t

La quantité

 

2

,b a

T_x est appelée scalogramme de

x t

.

Les coefficients d’ondelettes T_x

 

a,b dépendent des deux facteurs a et b.

2.6.2.1. Condition d’admissibilité

La fonction ondelette doit vérifier une condition très importante appelée condition d’admissibilité :



^

 df 

f

f

C

0 2

)

(

ˆ





(2.22) Cette condition permet d’analyser le signal, puis de le reconstruire sans perte d’information d’où la formule d'inversion de cette transformée :

₂ ψ

ψ

1

)

,

(

1

)

(

a

db

da

a

t-b

a

b

a

T

C

t

x

R R x













 

(2.23)

La condition d’admissibilité implique en outre que la transformée de Fourier de l’ondelette à la fréquence continue (pour f=0) doit être nulle. Soit :

ˆ₍f₎₀ pour f ₀

(2.24) L’ondelette est à moyenne nulle (oscille et s'amortit), on a :

f

^

 t e

^{j ft}

dt

  

 





2

)

(

)

(

ˆ

(2.25) Avec l’équation (2.24) la relation (2.25) devient :

^



  0 ) ( dtt



(2.26)

36

Les ondelettes doivent posséder un spectre de type passe-bande. Cette dernière expression montre que

(t)

doit être à moyenne nulle.

(t)

est donc une fonction à largeur temporelle finie possédant un caractère oscillatoire. On est donc bien en présence d’une petite onde : une ondelette.

La TOC est calculé en faisant varier l'échelle sur la fenêtre d'analyse en décalant la fenêtre dans le temps, en effectuant le produit avec le signal puis en intégrant sur toute la durée. Les grandes échelles correspondent à des vues globales du signal sans aucun détail. Les faibles valeurs d'échelle correspondent à des vues détaillées. En termes de fréquence, de façon similaire, les basses fréquences (grandes échelles) fournissent une information globale sur le signal (habituellement sur toute l'étendue du signal) alors que les hautes fréquences (faibles échelles) donnent des informations détaillées sur un motif caché dans le signal (généralement de faible durée).

Donc, il y a une correspondance entre les échelles d’ondelettes et la fréquence comme suit :

 Basse échelle a



ondelette compressée



changement rapide de détails



haute fréquence

f

;

 Haute échelle a



ondelette dilatée



changement lent de détails



basse fréquence

f

.

La mise à l'échelle, en tant qu'opération mathématique, dilate ou compresse le signal. Les grandes échelles dilatent le signal et les petites échelles compressent le signal [17].

2.6.2.2. Calcul des coefficients de la T.O.C

Le calcul de la T.O.C s’effectue en 5 étapes :

Etape 1 : Prendre une ondelette et la comparer avec le signal original ;

Etape 2 : Calculer le coefficient CT_x

 

a,b qui représente la corrélation entre le signal et la fonction d’ondelette ;

Etape 3 : Translater l’ondelette à droite (utilisant le paramètre b) et refaire les

étapes 1 et 2 ;

Etape 4 : Changer l’échelle de l’ondelette et répéter les étapes de 1 jusqu'à 3 ; Etape 5 : Répéter les étapes de 1 jusqu'à 4 pour toutes les échelles.

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