Test de conformit´ e sur une moyenne

Test bilateral :

Les hypoth`eses du test se pr´esentent sous la forme : 

H₀ : µ = µ₀ H₁ : µ 6= µ₀

On consid`ere comme variable de d´ecision X . La r´egion

d’acceptation du test comme un intervalle sym´etrique autour de µ0

de la forme Iaccept = [c1, c2], o`u c1= µ0− u₁₋α 2 σ √ n ^{et c2 = µ0+ u1−α}2 σ √ n^. On d´etermine la valeur de u₁₋α

2 `a partir de la table de la loi Normale centr´ee et r´eduite

Conclusion du test : Si x , la valeur de la moyenne sur l’´echantillon, appartient `a la zone d’acceptation ( x ∈ [c₁, c₂],) alors on accepte (H0), sinon, on rejette H0.

Test de conformit´e sur une moyenne

Si on prend comme variable de d´ecision Z = ^{X − µ}_σ ⁰

√ n

alors la r´egion d’acceptation est : eI_accept = [−u₁₋α

2, u₁₋α 2]. c’est `a dire on accept H0 si la valeur observ´ee

z = ^{x − µ}_σ ⁰

√ n

∈ eI_accept.

Exemple

Des mesures d’un ´echantillon (X1, ..., X20) de poids X ont donn´e les r´esultats (x1, ...., x20) v´erifiant

20 X i =1 xi = 80 et 20 X i =1 x_i²= 323.

On suppose que ces poids sont distribu´es selon une loi Normale de moyenne µ et d’´ecart-type σ = 0.17.

Peut-on dire, `a un niveau de 90%, que le poids moyen est ´egal `a 3.8 ?

1 Hypoth`ese de test :  µ = 3.8 (H0) µ 6= 3.8 (H1) 2 Seuil de test : α = 0.1 3 Statistique de d´ecision : X = ₂₀¹ P20 i =1X_i 4 Intervalle d’acceptation : Iaccep=  µ0− u₁₋α 2 σ √ n^{; µ0+ u1−α}2 σ √ n  avec µ0= 3.8, u0.95= 1.64, n = 20 et σ = 0.17. Donc I_accep= [3.74; 3.86].

5 x = 4 /∈ I_accep donc n’accepte pas (H0)

Test de conformit´e sur une moyenne

Test Unilateral `a droite :

Les hypoth`eses du test se pr´esentent sous la forme : 

H₀ : µ = µ₀ H1 : µ > µ0

On consid`ere comme variable de d´ecision X . La r´egion critique ( de rejet ) du test est de la forme I<sub>rejet</sub> =]c, +∞[ ou la fronti`ere de la r´egion critique aura pour expression :

c = µ0+ u1−α

σ √

n^.

u_1−α est le quantile de la loi Normale centr´ee r´eduite associ´e `a la valeur 1 − α (c`ad P(N ≤ u1−α) = 1 − α.

Conclusion du test : Si x , la valeur de la moyenne sur

l’´echantillon, appartient `a la zone de rejet, alors on rejette (H₀), sinon, on accepte H0.

Test de conformit´e sur une moyenne

Si on prend comme variable de d´ecision Z = ^{X − µ}_σ ⁰

√ n

alors la r´egion de rejet sera de la forme : eI_rejet =]u_1−α, +∞[. c’est `a dire on rejette H0 si la valeur observ´ee

z = ^{x − µ}_σ ⁰

√ n

∈ eI_rejet.

Exemple

Des mesures d’un ´echantillon (X1, ..., X20) de poids X ont donn´e les r´esultats (x1, ...., x20) v´erifiant

20 X i =1 xi = 80 et 20 X i =1 x_i²= 323.

On suppose que ces poids sont distribu´es selon une loi Normale de moyenne µ et d’´ecart-type σ = 0.17.

Peut-on dire, `a un niveau de 90%, que le poids moyen est sup´erieur `a 3.8 ?

1 Hypoth`ese de test :  µ = 3.8 (H0) µ > 3.8 (H1) ^ou  µ ≤ 3.8 (H0) µ > 3.8 (H1) 2 Seuil de test : α = 0.1 3 Statistique de d´ecision : X = ₂₀¹ P20 i =1X_i 4 Intervalle de rejet : Irejet =  µ0+ u1−α σ √ n^{; +∞}  avec µ0= 3.8, u0.90= 1.28, n = 20 et σ = 0.17. Donc I_rejet =]3.85; +∞[.

5 x = 4 ∈ Irejet donc on rejette (H0) et on accepte (H1)

Test de conformit´e sur une moyenne

Test Unilateral `a gauche :

Les hypoth`eses du test se pr´esentent sous la forme : 

H0 : µ = µ0

H₁ : µ < µ₀

On consid`ere comme variable de d´ecision X . La r´egion critique ( de rejet ) du test est de la forme I<sub>rejet</sub> =] − ∞, c[, ou la fronti`ere de la r´egion critique aura pour expression

c = µ0− u_1−α√^σ n^.

Conclusion du test : Si x , la valeur de la moyenne sur

l’´echantillon, appartient `a la zone de rejet, alors on rejette (H₀), sinon, on ne la rejette pas (on accepte H

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0).

Test de conformit´e sur une moyenne

Si on prend comme variable de d´ecision Z = ^{X − µ}_σ ⁰

√ n

,

alors la r´egion de rejet sera de la forme : eI_rejet =] − ∞, −u_1−α[. c’est `a dire on rejette H0 si la valeur observ´ee

z = ^{x − µ}_σ ⁰

√ n

∈ eI_rejet.

Exemple

Des mesures d’un ´echantillon (X1, ..., X20) de poids X ont donn´e les r´esultats (x1, ...., x20) v´erifiant

20 X i =1 xi = 80 et 20 X i =1 x_i²= 323.

On suppose que ces poids sont distribu´es selon une loi Normale de moyenne µ et d’´ecart-type σ = 0.17.

Peut-on dire, `a un niveau de 80%, que le poids moyen est inf´erieur `a 3.8 ?

1 Hypoth`ese de test :  µ = 3.8 (H0) µ < 3.8 (H1) ^ou  µ ≥ 3.8 (H0) µ < 3.8 (H1) 2 Seuil de test : α = 0.2 3 Statistique de d´ecision : X = ₂₀¹ P20 i =1X_i 4 Intervalle de rejet : Irejet =  −∞; µ₀− u_1−α√^σ n  avec µ0= 3.8, u0.80= 1.04, n = 20 et σ = 0.17. Donc I_rejet =] − ∞; 3, 76[.

5 x = 4 /∈ I_rejet donc on rejette (H1) et on accepte (H0)

6 On peut dire, `a 80%, que le poids moyenne est sup´erieur ou ´

Test de conformit´e sur une moyenne

σ est inconnu :La d´emarche est la mˆeme que pour le test

pr´ec´edent mais la variance de la population n’´etant pas connue, elle est estim´ee par la variance corrig´ee S². Rappelons que la variable

T = ^{X − µ}_S ⁰

√ n−1

suit une loi de Student `a (n − 1) degr´es de libert´e.

Test de conformit´e sur une moyenne

Test bilateral :Les hypoth`eses du test se pr´esentent sous la forme : 

H₀ : µ = µ₀ H1 : µ 6= µ0

On consid`ere comme variable de d´ecision X . La r´egion

d’acceptation du test comme un intervalle sym´etrique autour de µ0

de la forme : I_accept = [c₁, c₂], ou : c₁ = µ₀− t₁₋α 2 s √ n − 1 ^{et c2 = µ0+ t1−} α 2 s √ n − 1 avec t₁₋α

2 est le quantile de la loi Student `a n − 1 degr´e de libert´e associ´e `a la probabilit´e 1 − α/2

Conclusion du test : Si x , la valeur de la moyenne sur l’´echantillon, appartient `a l’intervalle d’acceptation, on accepte (H₀). Sinon, on rejette H₀.

Test de conformit´e sur une moyenne

Si on prend comme variable de d´ecision T = ^{X − µ}_S ⁰

√ n−1

alors la r´egion d’acceptation est : eIaccept = h −t₁₋α 2, t₁₋α 2 i . c’est `a dire on accept H0 si la valeur observ´ee

t = ^{x − µ}_s ⁰

√ n−1

∈ eI_accept.

Exemple

Dans une ´etude r´ealis´ee l’an dernier, on a observ´e que la consommation en ´electricit´e des habitants d’une r´esidence compos´ee d’appartements de trois pi`eces est en moyenne de 215 dh et d’´ecart-type 27 dh. Cette ann´ee, sur un ´echantillon de 35 appartements, les consommation en ´electricit´e (xi)³⁵_{i =1} v´erifient

35 X i =1 x_i = 7700 et ¹ 35 35 X i =1 x_i²= 49007. Supposons que l’´echantillon (Xi)³⁵_{i =1} suit une loi N (µ, σ).

`

A 95%, peut on dire que la consommation moyenne est ´egale

1 Hypoth`ese de test :  µ = 215 (H₀) µ 6= 215 (H1) 2 Seuil de test : α = 0.05 3 Statistique de d´ecision : X = ₃₅¹ P35 i =1X_i 4 Intervalle d’acceptation : Iaccep =  µ0− t₁₋α 2 s √ n − 1^{; µ0+ t1−} α 2 s √ n − 1  avec µ₀= 215, t_0.975(34) = 2.03, n = 35, x = 220 et s = 24.64. Donc Iaccep= [206.42; 223.58].

5 x ∈ Iaccep donc on accepte (H0).

6 On peut dire, `a 95%, que la consommation moyenne est ´egale

Test de conformit´e sur une moyenne

Test Unilateral `a droite :Les hypoth`eses du test se pr´esentent sous la forme



H0 : µ = µ0

H₁ : µ > µ₀

On consid`ere comme variable de d´ecision X . La r´egion critique ( de rejet ) du test est de la forme :Irejet =]c, +∞[, ou la fronti`ere de la r´egion critique aura pour expression : c = µ0+ t1−α^√_n−1^s . t_1−α est quantile de la loi Student `a n − 1 dll associ´e `a la valeur 1 − α.

Conclusion du test : Si x , la valeur de la moyenne sur

l’´echantillon, appartient `a la zone de rejet, on rejette (H₀). Sinon, on ne la rejette pas (on accepte H₀).

Test de conformit´e sur une moyenne

Si on prend comme variable de d´ecision T = ^{X − µ}_S ⁰

√ n−1

alors la r´egion de rejet sera de la forme : eI_rejet =]t_1−α, +∞[. On rejette H0 si la valeur observ´ee

t = ^{x − µ}_s ⁰

√ n−1

∈ eI_rejet.

Exemple

Dans une ´etude r´ealis´ee l’an dernier, on a observ´e que la consommation en ´electricit´e des habitants d’une r´esidence compos´ee d’appartements de trois pi`eces est en moyenne de 215 dh et d’´ecart-type 27 dh. Cette ann´ee, sur un ´echantillon de 35 appartements, les consommation en ´electricit´e (x_i)35

i =1 v´erifient 35 X i =1 x_i = 7700 et ¹ 35 35 X i =1 x_i²= 49007. Supposons que l’´echantillon (X_i)35

i =1 suit une loi N (µ, σ). `

A 99%, peut on dire que la consommation moyenne est inf´erieure ou ´egale `a 215 dh ?.

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1 Hypoth`ese de test :  µ ≤ 215 (H₀) µ > 215 (H₁) 2 Seuil de test : α = 0.01 3 Statistique de d´ecision : X = ₃₅¹ P35 i =1Xi 4 Intervalle de rejet : I_rejet =  µ₀+ t_1−α√ ^s n − 1^{; +∞}  avec µ₀= 215, t_0.99(34) = 2.44, n = 35, x = 220 et s = 24.64. Donc I_rejet=]225.31; +∞[.

5 x /∈ I_rejet donc on accepte (H₀).

6 On peut dire, `a 99%, que la consommation moyenne est inf´erieure ou ´

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egale `a 215 dh.

Test de conformit´e sur une moyenne

Test Unilateral `a gauche :Les hypoth`eses du test se pr´esentent sous la forme



H0 : µ = µ0

H1 : µ < µ0

On consid`ere comme variable de d´ecision X . La r´egion critique du test est de la forme : I<sub>rejet</sub> =] − ∞, c[, ou la fronti`ere de la r´egion critique aura pour expression :

c = µ0− t_1−α√ ^σ n − 1^.

Conclusion du test : Si x , la valeur de la moyenne sur

l’´echantillon, appartient `a la zone de rejet, alors on rejette (H0). Sinon, on ne la rejette pas (on accepte H

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0).

Test de conformit´e sur une moyenne

Si on prend comme variable de d´ecision T = ^{X − µ}_S ⁰

√ n−1

alors la r´egion de rejet sera de la forme : eI_rejet =] − ∞, −t_1−α[. On rejette H0 si la valeur observ´ee

t = ^{x − µ}_s ⁰

√ n−1

∈ eIrejet.

Exemple

Dans une ´etude r´ealis´ee l’an dernier, on a observ´e que la consommation en ´electricit´e des habitants d’une r´esidence compos´ee d’appartements de trois pi`eces est en moyenne de 215 dh et d’´ecart-type 27 dh. Cette ann´ee, sur un ´echantillon de 35 appartements, les consommation en ´electricit´e (xi)³⁵_{i =1} v´erifient

35 X i =1 x_i = 7700 et ¹ 35 35 X i =1 x_i²= 49007. Supposons que l’´echantillon (Xi)³⁵_{i =1} suit une loi N (µ, σ).

`

A 99%, peut on dire que la consommation moyenne est inf´erieure `a

1 Hypoth`ese de test :  µ = 215 (H₀) µ < 215 (H1) ^ou  µ ≥ 215 (H₀) µ < 215 (H1) 2 Seuil de test : α = 0.01 3 Statistique de d´ecision : X = ₃₅¹ P35 i =1X_i 4 Intervalle d’acceptation : Iaccep=  µ0+ t1−α s √ n − 1^{; +∞}  avec µ₀= 215, t_0.99(34) = 2.44, n = 35, x = 220 et s = 24.64. Donc Irejet=] − ∞; 204.69[.

5 x /∈ I_rejet donc on accepte (H0).

6 On peut dire, `a 99%, que la consommation moyenne n’est pas inf´erieure `a 215 dh.

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Dans le document cours complet échantillonnage et estimation S3 pdf • Economie et Gestion (Page 144-169)