2.4.1 Cristaux : symétrie et périodicité
Pour l’étude de cristaux par DFT, on peut simplifier la résolution des équations de KS en utilisant leurs propriétés de symétrie et de périodicité. Les conditions pério-diques de Born-von Karman [18], ou conditions aux limites périopério-diques, stipulent que la fonction d’onde doit être périodique lorsqu’elle réprésente la distribution électronique dans un réseau de Bravais. Dans un tel cadre, le cristal est considéré comme infini, supprimant les effets de bords. Autrement dit, pour une fonction d’onde Ψ(~r+n~L), avec L~ un vecteur multiple des vecteurs de la maille élémentaire du cristal, et n un entier :
Ψ(~r+n~L) = Ψ(~r)
Dans le cadre de l’étude d’un cristal, ces conditions permettent de réduire le calcul des états d’énergie à la première zone de Brillouin (définie comme la maille primitive dans l’espace réciproque).
2.4.2 Théorème de Bloch et points k
Le théorème de Bloch [19] stipule que, soumis à un potentiel périodique V(~r), la fonction d’onde d’une électron peut s’écrire comme le produit d’une fonction périodique un de même période que le potentiel, et d’une onde plane :
Ψn(~r) = ei~k.~run(~r) (2.20)
De plus, une fonction périodique peut être développée sur une base d’ondes planes de vecteurs G~ :
un(~r) =X
G~
cne(i ~G.~r)
La réécriture de la fonction d’onde électronique en combinant les équations pré-cédentes donne
Ψn(~r) = X
G~
cnei(~k+G).~~ r
Afin de décrire parfaitement une fonction d’onde électronique, il faudrait, en théorie, un nombre infini d’ondes planes. En pratique, on vatronquerla base d’ondes
2.4. Systèmes périodiques 95 planes avec une énergie de ’cutoff’Ecut telle que~k+G~ vérifie :
1
2|~k+G|~ 2 < Ecut
Le choix de l’énergie de cutoff définit la précision, mais influe également fortement sur le temps de calcul. Il convient alors de trouver un compromis entre durée acceptable et précision suffisante pour un système donné.
L’utilisation du théorème de Bloch permet de passer d’un système au nombre d’équations infini à un système manipulable car avec un nombre fini d’équations, mais avec toujours un nombre infini de pointsk. Il s’agit donc d’intégrer l’énergie sur la zone de Brillouin en l’échantillonnant sur un maillage dense. L’utilisation des symétries du cristal permet de réduire le nombre de points nécessaires. Dans les faits, les points k appartenant à l’espace réciproque, plus le système sera grand, plus le nombre de points k nécessaires au maillage de l’espace réciproque sera faible. Pour définir les points k de la grille, la méthode la plus utilisée est la méthode de ’Monkhorst et Pack’, décrite ci-dessous.
Méthode de Monkhorst et Pack Pour choisir la série de points k, la méthode utilisée lors de cette thèse est la méthode de Monkhorst-Pack [20] qui permet de dis-tribuer les points k de manière homogène dans la zone de Brillouin. Les points k sont distribués selon une grille parallèle aux vecteurs (~b1,~b2,~b3) de l’espace réciproque qui définissent la zone de Brillouin :
~kj =x1j~b1+x2j~b2+x3j~b3
avecxij = |~bnij| et j = 1, ..., nj oùnj détermine le nombre de points k de la série.
2.4.3 Périodicité pour des systèmes non cristallins
Jusqu’à présent, les équations et principes décrits correspondent à des calculs DFT sur des cristaux considérés comme infinis. Dans le cas où on veut étudier des systèmes non périodiques (surfaces, interfaces, liquides ou molécules isolées) avec un code périodique utilisant des ondes planes tel que VASP, il faut augmenter la taille de la boite de simulation afin de limiter les effets de la périodicité. Dans le cas d’une moléculeisoléesur une surface, par exemple, il faudra étendre la cellule de simulation suffisamment pour que la molécule ne soit pas en interaction avec ses images. Ce point sera abordé plus en détail dans le Chapitre 3.
2.4.4 Les pseudopotentiels
Lors des calculs en bases d’ondes planes, l’énergie de cutoff Ecutof f détermine la taille de la base. Le vecteur d’onde associé à cette énergie est inversement proportionnel à la variation la plus rapide de la fonction d’onde que l’on veut décrire. Ainsi les variations rapides de la fonction d’onde à proximité du noyau atomique sont donc difficiles à décrire avec une base d’ondes planes d’une taille compatible avec des temps de calculs raisonnables. Les pseudopotentiels permettent de diminuer la taille de la base et, par conséquent, le temps de calcul.
L’idée principale consiste à ne considérer de manière explicite que les électons de valence, car les propriétés chimiques d’un système sont presque entièrement détermi-nées par le comportement des électrons de valence, qui interviennent dans les liaisons chimiques. On peut donc remplacer les noyaux atomiques par des ions à charge nu-cléaire effectiveZV =Z−Zcoeur,Zcoeur étant la charge associée aux électrons du cœur.
Ces ions représentent le noyau et les électrons des couches internes. De cette façon, le nombre d’électrons à traiter explicitement est bien plus petit, ce qui allège le temps de calcul en comparaison à celui d’un calcul tous électrons (calcul du type ”all electrons”).
Le pseudopotentiel est donc propre à une espèce chimique donnée dans une confi-guration électronique donnée et ne change pas au cours de la simulation. Les pseudo-potentiels sont choisis avec un rayon de coupure limitant leur étendue spatiale. Ainsi, à l’intérieur du rayon de coupure le potentiel est décrit par une fonction prédéterminée, et par des ondes planes à l’extérieur de ce rayon de coupure. Ceci permet de conserver une taille de base d’ondes planes raisonnable. La précision des résultats est dépen-dante du nombre d’électrons de coeur inclus dans le pseudopotentiel. Il s’agit ici aussi d’un compromis entre temps de calcul et exactitude de la description électronique du système.
L’utilisation de pseudopotentiels est particulièrement rentable lors de simulation de systèmes comportant un grand nombre d’atomes lourds dont la description exacte des électrons de coeurs ne présente pas d’intérêt d’un point de vue chimique. Ainsi l’utilisation de pseudopotentiels est très adaptée dans le cadre de cette thèse avec la simulation de surfaces d’or contenant un grand nombre d’atome. En effet, pour l’or qui comporte 79 électrons, seuls 11 sont pris en compte explicitement avec l’utilisation des pseudopotentiels que nous avons choisis. Ces derniers sont les pseudopotentiels PAW (Projector Augmented-Wave) développés en 1994 par Peter Blöchl [21]. Dans l’approche PAW sont combinés les principes des méthodes à base de pseudo-potentiels d’une part et à base d’ondes planes augmentée linéarisée d’autre part. La fonction d’onde est décrite en superposant différents termes : une onde plane, une pseudo-fonction d’onde, et des orbitales étendues, atomiques et pseudo atomiques.
La base des méthodes de calcul quantique dites ab initio a été décrite. Dans le
2.5. La dynamique moléculaire 97