D´efinition 1.65. Soit (Xx, xi)i∈I une famille d’espaces topologiques point´es (xi ∈Xi). La somme point´ee de cette famille est l’espace topologique quotient
_
i∈I
(Xi, xi) =a
i∈I
Xi/R
o`u Rest la relation d’´equivalence engendr´ee par xi∼xj pour tous i, j∈I.
Il est clair que l’inclusion Xi→`
i∈IXi induit un plongement deXi dansW
i∈(Xi, xi).
Chapitre 1 : topologie g´en´erale 3. Connexit´e, connexit´e par arc
3 Connexit´ e, connexit´ e par arc
Les notions de connexit´e et connexit´e par arc formalisent l’id´ee simple d’un espace fait d’un seul morceau. Commen¸cons par la connexit´e, notion plus g´en´erale.
D´efinition 1.66. SoitX un espace topologique. On dit queXestconnexes’il n’existe pas de partition de X en deux ouverts non vides. On dit qu’une partie A ⊂X est connexe si elle est connexe pour la topologie induite..
Proposition 1.67. SoitX un espace topologique. Sont ´equivalents : (1) X est connexe.
(2) Il n’existe pas de partition deX en deux ferm´es non vides.
(3) Les seules parties ouvertes et ferm´ees de X sont∅ et X.
(4) Toute application continue deX dans un espace discret est constante.
(5) Toute application continue deX dans {0,1}discret est constante.
Preuve: (1)⇔ (2) car une partition de X en deux ferm´es est une partition en deux ouverts.
(1) ⇒ (3) Si A⊂X est ouverte et ferm´ee alors {A, X −A}forme une partition de X en deux ouverts. Puisque X est connexe,{A, X−A}={∅, X}.
(3) ⇒ (4) Soit f : X→Y continue o`u Y est muni de la topologie discr`ete. En particulier les points de Y sont ouverts et ferm´es. Soity∈f(X), alors par continuit´e def,f−1(y) est ouvert, ferm´e dansX. Puisque non vide il est ´egal `a X. D’o`u f(X) =y.
(4)⇒ (5) Evident.
(5)⇒ (1) Montrons la contrapos´ee, non (1) ⇒non (5). Soit {U, X−U}une partition de X en deux ouverts non vides. D´efinissonsf :X→{0,1}parf(U) = 0 etf(X−U) = 1. Les restrictions def `aU et `aX−U sont continues car constantes (cf 1.45(1)). PuisqueU etX−U sont ouverts, 1.45(6) dit quef est continue. On peut aussi conclure avec le lemme de recollement 1.45(7) car {U, X−U} est une partition en deux ferm´es.
Un ensemble discret est le moins connexe possible. Le connexe de base est l’intervalle :
Th´eor`eme 1.68. Les parties connexes deRsont les intervalles.
Preuve: Rappelons qu’une partieA⊂Rest un intervalle si elle v´erifie la propri´et´e :
∀a < b∈A,∀z∈R, a < z < b⇒z∈A.
Montrons d’abord qu’une partie connexe est un intervalle. SoitA⊂Rconnexe, soit a, b∈Atel quea < b et soita < z < b. Siz /∈Aalors
A= (A∩]− ∞, z[)∪(A∩]z,+∞[)
Chapitre 1 : topologie g´en´erale 3. Connexit´e, connexit´e par arc
est r´eunion de deux ouverts deA, disjoints, contenanta, brespectivement donc non vides. Contra-diction donc z∈A etA est un intervalle.
Montrons qu’un intervalle est connexe. Soit A ⊂ R un intervalle (non vide) et f : A→{0,1} continue. Nous allons montrer quef est constante, ce qui sera conclusif d’apr`es 1.67(5). Suppo-sons qu’il existe a < b∈A tel que f(a) 6=f(b) ; quitte `a remplacer f par 1−f supposons que f(a) = 0. Soit
J ={t∈[a, b] | f(s) = 0, ∀s∈[a, t]}.
Cet ensemble est non vide car contient a, major´e par b donc admet un borne sup´erieure z ∈ [a, b] ⊂ A. Par d´efinition de la borne sup il existe (zn) dans J convergeant vers z. Par continuit´e de f (cf lemme 1.44) on a donc f(z) = limf(zn) = 0, donc z < b. Par continuit´e de f, f−1(0) est ouvert dans A. Comme z < b, on en d´eduit qu’il existe ε > 0 tel que f = 0 sur [z, z+ε]⊂[a, b], ce qui contredit la d´efinition de z. En conclusion f est constante.
D´efinition 1.69. Soit X un espace topologique, x, y∈X deux points. On appelle arc de x `a y toute application continue γ : [0,1]→X telle que γ(0) =x et γ(1) =y. On dit que X est connexe par arc si pour toutx, y∈X il existe un arc de x`a y.
Proposition 1.70. SoitX un espace topologique. SiX connexe par arc alors X est connexe.
Preuve: Supposons X connexe par arc et utilisons la caract´erisation 1.67(5) de la connexit´e.
Soit f :X→{0,1} continue et soit x, y ∈ X. Puisque X est connexe par arc il existe un arc γ de x `a y. L’application compos´ee f ◦γ : [0,1]→{0,1} est continue, `a valeurs dans {0,1}, donc constante puisque [0,1] est connexe. D’o`uf(x) =f◦γ(0) =f ◦γ(1) =f(y).
Il va de soit qu’un intervalle est connexe par arc car convexe. On peut fabriquer des connexes et des connexes par arc grˆace aux r´esultats suivants :
Proposition 1.71. L’image continue d’un connexe (resp. connexe par arc) est connexe (resp.
connexe par arc).
Preuve: Faisons le cas de la connexit´e, la connexit´e par arc ´etant un exercice. Soit X connexe, f :X→Y continue telle queY =f(X). Soitg:Y→{0,1}continue. Alors l’application compos´ee g◦f :X→{0,1} est continue, `a valeurs dans {0,1} donc constante par 1.67(5) puisque X est connexe. Il s’ensuit queg est constante d’o`uY est connexe par 1.67.
Chapitre 1 : topologie g´en´erale 3. Connexit´e, connexit´e par arc
Corollaire 1.72 (Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires). Soit X un espace topologique connexe et f : X→R continue. Si f prend les valeurs y1 et y2 alors elle prend toutes les va-leurs interm´ediaires.
Preuve: f(X) est connexe dans R, donc c’est un intervalle, qui contient [y1, y2].
Proposition 1.73. Soit X, Y deux espaces topologiques. Alors X ×Y est connexe (resp.
connexe par arc) si et seulement si X etY sont connexes (resp. connexes par arc).
Preuve: Faisons le cas de la connexit´e, la connexit´e par arc ´etant un exercice. Supposons que X×Y soit connexe. Puisque les projections πX : X×Y→X, (x, y) 7→ x et πY : X×Y→Y, (x, y)7→y sont continues par 1.40, on obtient que X =π(X×Y) etY2(X×Y) sont connexes par 1.71.
Proposition 1.74 (R´eunion de connexes). Soit X un espace topologique et soient (Ai)i∈I, Ai ⊂ X, des sous-espaces connexes (resp. connexes par arcs) de X. Supposons que ∀i, j ∈ I, Ai∩Aj 6=∅. AlorsS
i∈IAi est connexe (resp. connexe par arc).
Preuve: Faisons le cas de la connexit´e, la connexit´e par arc ´etant un exercice. On va encore utiliser 1.67 (5). Soit f :S
i∈IAi→{0,1} continue. Pour chaque i∈ I, la restriction de f `a Ai
est continue par 1.45(4), `a valeurs dans{0,1}donc constante puisqueAi est connexe. Fixons un indicei0 ∈I, alors pour tout i∈I, puisqueAi0 ∩Ai 6=∅,f(Ai0) =f(Ai). D’o`u f est constante etS
i∈IAi est connexe
Cela s’applique en particulier si∩i∈IAi 6=∅. Dans le cas d’une union d´enombrable S
n∈NAn de parties connexes, il suffit que An∩An+1 6= ∅ pour tout n pour que l’union soit connexe. En g´en´eral, l’intersection de deux connexes n’est pas connexe (prenez deux croissants).
Proposition 1.75 (Adh´erence de connexe). Soit A une partie connexe d’un espace topolo-gique X et B une partie de X telle que A ⊂B ⊂A. Alors¯ B est connexe. En particulier A¯ est connexe.
Preuve: Soitf :B→{0,1} continue. La restriction def `aA est continue `a valeurs dans{0,1} donc constante puisque A est connexe. Soit x ∈ B. Puisque f(x) est un ouvert de {0,1}, par continuit´e U = f−1(f(x)) est un voisinage (ouvert) de x. Or x ∈ A¯ donc tout voisinage de x
Chapitre 1 : topologie g´en´erale 3. Connexit´e, connexit´e par arc
rencontreA. En particulierU ∩A6=∅d’o`u f(x) =f(A). Il s’ensuit que f est constante sur B.
On conclut par 1.67.
Exemple 1.76. Donnons (enfin) un exemple de partie connexe non connexe par arc. Notons A = {(x,sin(1/x)|0< x <1} ⊂R2. C’est l’image continue parx7→(x,sin(1/x))de ]0,1[, c’est donc une partie connexe. On v´erifie queA¯=A∪ {0} ×[−1,1]. Il est donc connexe par 1.75. Par contreA¯ n’est pas connexe par arc (exercice).
La connexit´e est une propri´et´e invariante par hom´eomorphisme. Cela fournit un moyen tr`es simple de savoir que deux espaces topologiques ne sont pas hom´eomorphes : lorsque l’un est connexe et l’autre pas. AinsiS1 est connexe, comme image continue de [0,1] part7→e2iπt mais n’est pas hom´eomorphe `a [0,1] (ni `a aucun intervalle) :S1 priv´e d’un point reste connexe alors qu’un intervalle priv´e d’un point non (si on prend le point `a l’int´erieur). De mˆemeR2 n’est pas hom´eomorphe `aRcarR2 priv´e d’un point est connexe (par arc) alors queRpriv´e d’un point ne l’est pas. Plus g´en´eralementRp etRqne sont hom´eomorphes que sip=qmais la d´emonstration demande des outils plus sophistiqu´es.
Exercice1.77. SiA⊂Rn est d´enombrable,n≥2, alorsRn−Aest connexe (par arc).
On d´eduit sans peine de la proposition 1.74 que la relation sur X, xRy si x, y sont dans une mˆeme partie connexe deX, d´efinit une relation d’´equivalence sur X.
D´efinition 1.78. Soit X un espace topologique et x ∈ X. On appelle composante connexe de x la classe d’´equivalence de x pour la relation ”ˆetre dans une mˆeme partie connexe”.
Proposition 1.79. SoitX un espace topologique et x∈X.
(1) La composante connexe Cx dex est
Cx= [
C connexe deX,x∈C
C
(2) Cx est connexe, ferm´ee et la plus grande partie connexe contenant x.
Preuve: NotonsU la r´eunion des connexes deX contenantx.
(1) Si y∈Cx, il existe un connexe C dans X tel quex, y ∈C. En particulier, y∈C ⊂U, d’o`u Cx ⊂ U. R´eciproquement, si y ∈U, il existe C un connexe de X contenant y etx, d’o`u y est
´
equivalent `ax etU ⊂Cx. DoncCx=U.
(2)Cxest connexe d’apr`es 1.74, comme union de connexes d’intersection non vide. D’apr`es 1.75 C¯x est connexe. Comme x ∈ C¯x, ¯Cx ⊂Cx d’o`u l’´egalit´e ¯Cx = Cx et le fait que Cx est ferm´e.
Chapitre 1 : topologie g´en´erale 3. Connexit´e, connexit´e par arc
Enfin, si C⊂X est connexe et contientx,C⊂U =Cx.
Une composante connexeCxavale tous les connexes qu’elle touche : siCx intersecte un connexe C, alorsCx⊃C. L’espace X est connexe si et seulement si Cx=X. Pour d´etecter une compo-sante connexe, on peut utiliser le lemme suivant :
Lemme 1.80. Soit A ⊂X une partie non vide, ouverte, ferm´ee et connexe. Alors A est une composante connexe de X.
Preuve: Soit x ∈A, alors A ⊂ Cx car A est connexe. R´eciproquement, Cx∩A est non vide, ouvert et ferm´e dansCx connexe : il est donc ´egal `aCx. On a doncCx ⊂A.
Exemple 1.81. (1) X = [0,1[∪[2,3[a deux composantes connexes :[0,1[et[2,3[qui sont ouvertes et ferm´ees (dansX) et connexes.
(2) Une composante connexe n’est pas n´ecessairement ouverte : les composantes connexes deQsont les singletons, qui ne sont pas ouverts.
Proposition 1.82. SoitX, Y deux espaces topologiques etf :X→Y une application continue.
(1) Pour toutx∈X,f(Cx)⊂Cf(x).
(2) Sif est un hom´emorphisme, f induit une bijection entre les composantes connexes (resp.
cpa) de X et les composantes connexes (resp. cpa) de Y. De plus pour tout x ∈ X la restriction f|Cx :Cx→Cf(x) est un hom´eomorphisme.
Preuve: (1) Evident car f(Cx) est connexe et contient f(x).
(2) On af(Cx)⊂Cf(x)et, en faisant de mˆeme avecf−1,Cx ⊂f−1(Cf(x))⊂Cxd’o`u l’´egalit´e.
Ainsi un bouquet de m droites n’est hom´eomorphe `a un bouquet de n droites que si n = m (enlever le centre).
On d´efinit de mˆeme une relation d’´equivalence associ´ee `a la notion de connexit´e par arc : deux pointsx, y sont ´equivalents s’ils sont contenus dans une partie connexe par arc de X.
D´efinition 1.83. Soit X un espace topologique et x ∈ X. On appelle composante connexe par arc de x la classe d’´equivalence de x pour la relation ”ˆetre dans une mˆeme partie connexe par arc”.
On montre ais´ement que la composante connexe par arc de x est la plus grande partie connexe par arc de X contenant x. Cependant une composante connexe par arc n’est pas ferm´ee en g´en´eral. Voir par exemple la partieA de 1.76.
Chapitre 1 : topologie g´en´erale 4. Compacit´e