S´eparation diffusion simple / diffusion multiple

III. A Annexes du chapitre III

IV.3 S´eparation diffusion simple / diffusion multiple

IV.3.1

Proc´edure exp´erimentale

Le protocole expérimental est identique à celui présenté au_{§III.3. Une barrette échographique} est placée en vis à vis du milieu que l’on désire étudier. La réponse impulsionnelle de chaque couple source/récepteur est mesurée. L’ensemble forme la matrice H(t). Une analyse temps- fréquence de H(t) est ensuite réalisée. H(t) est découpée en fenêtres temporelles successives : kij(T, t) = hij(T − t)WR(t) avec WR(t) = 1 pour t ∈ [−∆t/2 , ∆t/2], WR(t) = 0 par-

tout ailleurs. La valeur de ∆t est choisie de telle sorte que les signaux associés aux mêmes évènements de diffusion apparaissent dans la même fenêtre temporelle (voir Annexe II.A.1). Une transformée de Fourier permet ensuite d’accéder à la série des matrices de réponse K(T, f ), chacune associée à un temps de vol T et à une fréquence f .

Une fois les matrices K mesurées, la séparation des contributions de diffusion simple et multiple s’effectue selon les étapes suivantes :

– Rotation de chaque matrice K, et cr´eation des matrices d’antidiagonales A.

– Filtrage des matrices A par décomposition en valeurs singulières. On obtient alors deux matrices, notées AS

et AM

, contenant respectivement les signaux simplement et multiplement diffus´es. – Reconstitution, `a partir de AS et AM , des matrices KS (diffusion simple) et KM (diffusion multiple).

Les première et dernière étapes ont déjà été décrites en détail au chapitre précédent (voir §III.4.2 & §III.4.4). Nous allons donc détailler maintenant le filtrage par SVD des matrices d’antidiagonales A.

IV.3.2

Filtrage par SVD des matrices A

La technique proposée ici consiste à séparer diffusion simple et multiple en effectuant la SVD des matrices A1et A2obtenues après rotation. La SVD a en effet la propriété de décomposer une

matrice en deux sous-espaces : un espace S dit signal (matrice caractérisée par une importante corrélation entre lignes et/ou colonnes de la matrice) et un espace N dit bruit (matrice d’aspect aléatoire, sans corrélation entre éléments). Nous appliquons la SVD aux matrices A obtenues après rotation : l’espace signal correspond alors à la matrice AS

(contribution de diffusion simple, caractérisée par une grande corrélation suivant ses colonnes) et l’espace bruit est associé à la matrice AM

(contribution de diffusion multiple). La SVD des matrices A s’´ecrit de la mani`ere suivante :

A = UΛV† =

k=1

λkUkVk† (IV.3)

U et V sont des matrices carr´ees unitaires de dimension L. Leurs colonnes respectives Ui et Vi

correspondent aux vecteurs propres associées à la valeur singulière λi. Λ est une matrice carrée

diagonale de dimension L dont les éléments diagonaux correspondent aux valeurs singulières λi

rangées dans l’ordre décroissant. Dans le §III.4.2, une symétrie particulière de la matrice A a été mise en évidence : cette matrice ne comprend que M lignes indépendantes, elle est donc de rang M < L. La matrice A ne présente donc que M valeurs singulières non nulles et l’équation IV.3 se réécrit : A = UΛV† = M X k=1 λkUkVk† (IV.4)

La diffusion simple se caractérisant, après rotation des données, par une grande cohérence le long des colonnes des matrices A, la SVD fait ressortir cette contribution dans l’espace signal (la contribution diffusion simple sera associée aux valeurs singulières les plus élevées) alors que la contribution de diffusion multiple sera associée aux valeurs singulières plus faibles. Ici, contrairement à la technique de séparation du chapitre précédent (§III.4), on ne fait pas d’hypothèse a priori sur la forme de la cohérence existant sur les antidiagonales de la matrice K dans le cas de la diffusion simple, on suppose simplement que cette cohérence existe.

Le problème est de déterminer à quel rang de valeur singulière correspond le seuil séparant l’espace signal (associé à la diffusion simple) de l’espace bruit (asssocié à la diffusion multiple). Nous avons prédit au chapitre précédent que sous les approximations paraxiale et de diffusion simple, les éléments de chaque antidiagonale de K étaient liés par une loi de phase parabolique (Eq.III.4). Si cette prédiction était rigoureusement exacte, la contribution de diffusion simple AS

de A serait de rang 1 : seule la première des valeurs singulières correspondrait à l’espace signal. Lorsque les hypothèses aboutissant à l’équation III.4 ne sont pas valables, la contribution

de diffusion simple n’est pas de rang 1 et plusieurs valeurs singulières portent la trace de cette contribution. Il faut alors établir un critère de séparation entre les contributions de diffusion simple (espace signal) et de diffusion multiple (espace bruit).

Pour ce faire, nous utilisons les résultats de la théorie des matrices aléatoires. Les valeurs singulières λi sont tout d’abord renormalisées par leur moyenne quadratique :

˜ λk= λk q 1 M PM q=1λ2q (IV.5) Soit une matrice aléatoire de dimension P_{× Q (avec P < Q et P, Q >> 1), dont les coefficients} sont des variables aléatoires complexes i.i.d normalement distribuées. La densité de probabilité ρ(λ) de ses valeurs singulières normalisées ˜λk est donnée par [80] :

ρ(λ) =    1 πλ r (λ2 max− λ2) λ2_{− λ}2 min

pour λ_min < λ < λmax

0 partout ailleurs (IV.6) avec λ_max,min = 1_± s P Q (IV.7)

Notons que si la matrice aléatoire est carrée (P = Q), on retrouve bien la loi du quart de cercle (Eq.II.4). La théorie des matrices aléatoires nous assure donc du fait que toutes les valeurs singulières sont contenues dans un support borné par λ_min et λmax. Dans notre cas,

la matrice A est carrée de dimension L_{× L. Toutefois, comme cette matrice ne contient que} M lignes indépendantes, elle est équivalente à une matrice rectangulaire de dimension M_{× L.} Si la matrice A était aléatoire (i.e si elle ne contenait que des ondes multiplement diffusées), sa première valeur singulière ˜λ1 ne dépasserait jamais la valeur λmax ≃ 1, 71. Cette valeur est

obtenue par application numérique de Eq.IV.7 en considérant P = M = 32 et Q = L = 63. Revenons un instant sur le support supposé borné de la distribution des valeurs sin- gulières. L’affirmation selon laquelle toutes les valeurs singulières sont comprises dans l’intervalle [λ_min; λmax] n’est en réalité pas strictement vérifiée puisque nous avons affaire à des matrices

de taille finie (cf la distribution de Tracy Widom [107, 108, 109, 81, 110], _{§II.6). Néanmoins,} nous allons le supposer : la probabilité que les valeurs singulières extrémales (de plus haute et de plus faible amplitude) soient en dehors du support [λ_min; λmax], devient en effet relativement

faible dès que P, Q >> 1. Par exemple, pour une matrice de dimension 32_{× 63, nous avons} estimé numériquement cette probabilité à 1,5 %.

Après rotation des données expérimentales, la matrice A de taille fictive M_{× L est donc la} somme d’une matrice AS

de rang p < M associ´ee `a la diffusion simple (espace signal) et d’une matrice AM

de rang M associée à la diffusion multiple. Sengupta et Mitra [80] ont montré dans ce cas que les (M _{− p) plus petites valeurs singulières (associées à l’espace bruit) présentaient} la même distribution qu’une matrice aléatoire de taille (M _{− p) × L. On note λ}(p)_max la valeur maximum obtenue pour la distribution des valeurs singulières normalisées dans le cas d’une matrice aléatoire de taille (M_{− p) × L ; on a}

λ(p)_max = 1 + r

M _{− p}

A partir de cette propriété, nous pouvons proposer une méthode de séparation systématique des espaces signal et bruit de A. On considère tout d’abord la 1ère valeur singulière ˜λ1 après

renormalisation. Si celle-ci est supérieure à λ(0)_max(Eq.IV.8), cela signifie que le 1er espace propre est associé à de la diffusion simple. On itère le processus au rang 2 : on considère maintenant la 2ème valeur singulière. La renormalisation est de nouveau effectuée mais en ne considérant les valeurs singulières qu’à partir du rang 2 :

˜ λ2 = λ2 q 1 M −1 PM k=2λ2k (IV.9) La valeur seuil λmax à considérer cette fois est celle d’une matrice aléatoire de dimension

(M− 1) × L, c’est à dire λ(1)max (Eq.IV.8). Si ˜λ2 > λ(1)max, l’espace propre associé est encore lié à

de la diffusion simple, et on réitère le processus jusqu’à aboutir au rang p + 1, rang pour lequel ˜

λp+1 < λ(p)max. On obtient ainsi le rang seuil p qui permet de dissocier objectivement l’espace

signal S et l’espace bruit N :

S = p X k=1 λkUkVk† (IV.10) N = M X k=p+1 λkUkV†_k (IV.11) (IV.12) A ce stade, la matrice S contient la contribution de diffusion simple (AS_{) plus une contribution}

résiduelle de diffusion multiple. En effet les signaux multiplement diffusés ne sont pas strictement orthogonaux au sous-espace généré par la diffusion simple. On peut montrer que la part de diffusion multiple se retrouvant dans l’espace signal à l’issue du filtrage des antidiagonales est de √σM

M (<< σS), o`u σM est l’amplitude des signaux multiplement diffus´es. La matrice N est

associée à la contribution restante (majoritaire) de diffusion multiple. Nous avons donc réussi à séparer les contributions de diffusion simple et multiple :

AS _{≃ S =} p X k=1 λkUkV†_k (IV.13) AM _{≃ N =} M X k=p+1 λkUkV†k (IV.14) (IV.15) Après la première étape de rotation des données, l’ensemble du processus de filtrage de matrices A par SVD est résumé sur le schéma de la figure IV.1.

Nous avons supposé implicitement jusqu’ici que la contribution de diffusion multiple résultait en des antidagonales dont les éléments étaient totalement décorrélés les uns des autres. Or, expérimentalement, il peut exister des corrélations entre capteurs, notamment à cause du cou- plage mécanique entre éléments voisins du réseau ou d’une longueur de corrélation du champ diffus supérieure à l’espace inter-éléments (voir _{§II.4.4). Dans ce cas, on a recours au modèle}

théorique prenant en compte les corrélations entre capteurs que l’on a déjà présenté au _§II.4.4 et qui est issu des travaux de Sengupta et Mitra [80]. Une nouvelle loi de probabilité ρ(λ) est établie et on en déduit une nouvelle valeur λmax adaptée à notre configuration expérimentale.

Cette technique de filtrage suppose que la première des valeurs singulières dépasse le seuil λ(0)_max. Elle ne peut donc pas être utilisée dans les milieux hautement diffusants, c’est-à-dire des milieux pour lesquels la contribution de diffusion multiple est prépondérante par rapport à la diffusion simple. Dans ce cas, on utilisera plutôt la technique de filtrage par projection des antidiagonales sur l’espace de diffusion simple (cf _{§III.4.3) pour extraire la contribution de} diffusion simple. Si au contraire la contribution de diffusion simple est prépondérante ou du même ordre de grandeur que la diffusion multiple, on pourra utiliser la technique de filtrage par SVD des matrices A et ainsi extraire la contribution de diffusion multiple.

Une fois que les matrices A1 et A2 sont d´ecompos´ees en la somme de deux sous matrices

A1,2 = AS1,2+ A M

1,2, deux sous matrices inter-´el´ements K S

et KM

, de dimension (2M _{− 1) ×} (2M _{− 1) sont construites selon la proc´edure d´ecrite au §III.4.4. La matrice K}S

contient les signaux simplement diffus´es (et une contribution de diffusion multiple r´esiduelle). La matrice KM

est associ´ee `a la diffusion multiple.

Nous allons à présent appliquer cette approche à l’étude de milieux faiblement diffusants. Nous allons ainsi illustrer sa faisabilité et l’avancée qu’elle constitue en ce qui concerne la caractérisation ultrasonore de tels milieux désordonnés.

Dans le document Approche matricielle de l'opérateur de propagation des ondes ultrasonores en milieu diffusant aléatoire (Page 166-171)