Sédimentation de particules rigides en 3D

Figure 7.1 – Instant initial de la sédimentation de 1008 particules

Dans ce chapître on présente des simulations numériques en deux et trois dimensions réalisées avec le code que l’on a décrit au chapitre 6. En dimension 2 on présente deux simulations différentes. La première consiste en la sédimentation de 1008 particules, et la seconde est l’évolution d’un tas de particules rigides dans un champ cisaillé. Pour cette simulation, on a considéré deux types de modèle de contact différents donnés par SCoPI : un modèle de contact inélastique et un modèle de contact visqueux. Dans le second cas, le modèle considère qu’il y a une mince couche de fluide autour des particules, si bien qu’il faut une plus grande force que dans le cas inélastique pour que deux particules en contact se détachent l’une de l’autre. Les particules ont donc tendance à rester groupées. Pour la simulation 3D, on présente le cas de la sédimentation de particules rigides dans un cube où la face supérieure est animée d’un mouvement de rotation qui entraîne le fluide.

7.1 Simulations 2D

7.1.1 Sédimentation de particules rigides

On considère un ensemble de 1008 particules réparties de façon régulière sur la partie supérieure du carré unité. Les particules ont toutes le même rayon et la même densité. La simulation a été réalisée sur une grille de taille 512 × 512 en pression et donc une grille de taille 1024 × 1024 en vitesse. La répartition initiale des particules est représentée sur la figure7.1 ainsi que le champ de vitesse correspondant.

Les figures 7.2, 7.3 et 7.4 montrent l’évolution de la sédimentation. Les particules au centre chutent les premières ce qui fait remonter du fluide sur les cotés comme on peut le voir sur le champ de vitesse. Les particules sur les cotés commencent donc par remonter et à se diriger vers l’axe de symétrie vertical du carré pour sédimenter ensuite. Les champs de vitesse n’ont pas la même échelle d’une figure à l’autre pour des questions de visualisation car la vitesse augmente fortement entre le début de la simulation et ces trois instants.

Enfin les figures7.5,7.6,7.7et7.8représentent la fin de la sédimentation. Les particules sont toutes dans le bas du carré, exceptées quelques unes qui restent en haut. Ces particules sédimentent beaucoup plus lentement puisqu’elle sont isolées et ne sont donc pas entraînées

7.1. Simulations 2D 131

Figure 7.2 – Sédimentation après 20 itérations en temps

Figure 7.3 – Sédimentation après 40 itérations en temps

Figure 7.5 – Sédimentation après 100 itérations en temps

Figure 7.6 – Sédimentation après 175 itérations en temps

par la sédimentation des particules proches comme c’était le cas pour les autres. De même, les particules situées en bas du carré mettent beaucoup de temps à finir de sédimenter puisqu’il faut que le fluide remonte pour qu’elles puissent descendre. Le fluide doit donc passer dans un milieu très poreux ce qui prend du temps.

7.1.2 Un tas de sable

On présente maintenant une simulation d’un tas de particules rigides immergées dans un fluide soumis à un cisaillement. Le domaine est le rectangle [0, 1]×[0, 3] que l’on maille avec 64 points en pression par unité de longueur, soit 128 points en vitesse. On impose une vitesse horizontale non nulle sur le bord haut du rectangle et une vitesse nulle sur le bas. On prend alors des conditions périodiques sur les bords gauche et droit du rectangle. On obtient donc un cisaillement et on considère un tas de 300 particules. On peut voir ce problème comme la simulation de l’évolution d’un tas de sable immergé dans un fluide très visqueux pour justifier l’utilisation des équations de Stokes. On a besoin des équations de Navier-Stokes pour simuler des cas plus réalistes.

On considère tout d’abord un modèle de contact inélastique fourni par SCoPI qui est celui décrit dans le chapître6. Les résultats sont représentés sur les figures7.9,7.10,7.11,

7.1. Simulations 2D 133

Figure7.7 – Sédimentation après 225 itérations en temps

Figure 7.9 – Disposition du tas au temps 0 pour des contacts inélastiques

7.12 et 7.13. On peut observer que le tas s’étale en partant des deux cotés et finit par former une bande de particules rigides par périodicité. De même que dans le cas de la sédimentation, les champs de vitesse pour 20 et 50 itérations en temps n’ont pas la même échelle que les autres car les vitesses sont trop faibles pour pouvoir représenter les champs avec la même échelle. On peut néanmoins remarquer que c’est le cisaillement qui domine sur ces deux figures contrairement aux 3 premières.

On considère à présent la même simulation mais en remplaçant le modèle de contact inélastique par un modèle de contact visqueux. Une fine couche de fluide est modéli-sée autour des particules, il est donc plus difficile pour deux particules en contact de se décrocher. Les particules forment donc des paquets ce qui conduit à des résultats com-plètement différents. On part de la même configuration que dans le cas inélastique, le champ de vitesse est donc le même au départ. Les figures 7.14, 7.15 et7.16 représentent la configuration après plusieurs itérations en temps.

Comme les particules se regroupent par paquet, le tas n’est pas aussi lisse que dans le cas inélastique et le champ de vitesse obtenu est donc complètement différent. On peut observer la formation de tourbillons qui font remonter certaines particules comme sur la figure 7.15 et7.16.

7.1. Simulations 2D 135

Figure7.10 – Tas de sable après 5 itérations en temps

Figure 7.12 – Tas de sable après 20 itérations en temps

7.1. Simulations 2D 137

Figure7.14 – Tas de sable avec contacts visqueux après 20 itérations en temps

Figure7.16 – Tas de sable avec contacts visqueux après 400 itérations en temps

7.2 Simulations 3D

7.2.1 Sédimentation de particules rigides en 3D

On regarde dans cette section le cas de la sédimentation de particules rigides en trois dimensions. La différence avec le cas en deux dimensions est qu’ici les particules n’ont pas toutes le même rayon et sont disposées aléatoirement dans la partie supérieure du cube unité. Les conditions de bord sont des conditions de Dirichlet homogène partout sauf sur la face supérieure qui est animée d’un mouvement de rotation. On laisse ainsi sédimenter 2000 particules dans le cube unité. La position initiale des particules et le champ de vitesse associé sont représentés sur les figures 7.17 et7.18.

Au départ, la rotation due aux conditions de bords est dominante, puis les particules commencent à sédimenter et à s’entraîner entre elles. On peut le voir sur le champ de vitesse des figures 7.20 et 7.22. Le fluide remonte au centre et les particules chutent sur les cotés.

Enfin, tout comme dans le cas 2D, les dernières particules sédimentent plus lentement. Une particule reste même accrochée dans un coin du fait des conditions de bords comme on peut le voir sur les figures 7.23 et 7.24.

7.2. Simulations 3D 139

Figure7.17 – Configuration initiale des particules

Figure 7.19 – Configuration des particules après 100 itérations en temps

7.2. Simulations 3D 141

Figure7.21 – Configuration des particules après 200 itérations en temps

Figure 7.23 – Configuration des particules après 600 itérations en temps