Para a determinação da tensão de flexão a carga distribuída “Pd”, considera
31.
Figura 31 – Viga curva bien
Devido a simetria do modelo adotado, pode nos engastes possuirão a mesma magnitude. Portanto
distribuída constante, a força cortante no meio anel será nula. que na equação (24) em
reação “Rr_A”, representada na figura 9, é determinada pela equação (4
De acordo com Hibb
propriedade da seção definida pela equação (4
posição do elemento diferencial em relação ao centro de curvatura da viga:
Timoshenko (1940) apresenta a solução da equação (4 perfil I. Para o perfil apresentado na figura 30, aplicando
Timoshenko (1940), o raio de curvatura na linha neutra resulta em 1,477 valor é obtido sabendo
se a equação (44) e dividindo o resultado pelo raio médio do tubo (1,354
se deformação de 0,000100253 (m/m). Considerando-se o módulo elástico do aço a tensão circunferencial no tubo abaixo do ane
Tensões no Anel Enrijecedor de Suporte
Para a determinação da tensão de flexão atuante no anel de suporte devido a carga distribuída “Pd”, considera-se o problema de viga curva representado na figura
Viga curva biengastada representando o anel enrij
Devido a simetria do modelo adotado, pode-se afirmar que as reações radiais nos engastes possuirão a mesma magnitude. Portanto, quando sujeito a uma carga distribuída constante, a força cortante no meio anel será nula. Desta forma
) em “θ” igual a “e/2”, “V” é igual a “zero”, conclui reação “Rr_A”, representada na figura 9, é determinada pela equação (4
Rr_A = R. e. Pd/2
De acordo com Hibbeler (2004), o raio de curvatura na linha neutra (“R”) é uma propriedade da seção definida pela equação (46), sendo “A” a área do anel e “r” a posição do elemento diferencial em relação ao centro de curvatura da viga:
R = A/N(dA/r)
Timoshenko (1940) apresenta a solução da equação (46) para o caso de um perfil I. Para o perfil apresentado na figura 30, aplicando-se a solução proposta por
o raio de curvatura na linha neutra resulta em 1,477
valor é obtido sabendo-se que o raio de curvatura na parte inferior do perfil se a equação (44) e dividindo o resultado pelo raio médio do tubo (1,354m); obtem-
se o módulo elástico do aço a tensão circunferencial no tubo abaixo do anel resulta em
tuante no anel de suporte devido a se o problema de viga curva representado na figura
jecedor de suporte.
firmar que as reações radiais quando sujeito a uma carga Desta forma sabendo o”, conclui-se que a reação “Rr_A”, representada na figura 9, é determinada pela equação (45):
(45)
eler (2004), o raio de curvatura na linha neutra (“R”) é uma a área do anel e “r” a posição do elemento diferencial em relação ao centro de curvatura da viga:
(46)
) para o caso de um solução proposta por o raio de curvatura na linha neutra resulta em 1,477m. Este se que o raio de curvatura na parte inferior do perfil
corresponde ao raio externo do tubo. Substituindo na “R” na equação (45) e também o valor de “Pd” obtido na seção anterior, resulta que “Rr_A” é igual à 125,25kN.
O momento fletor por sua vez é obtido substituindo-se a equação da força cortante (24), na equação (27) que pode ser integrada em ambos os lados. Da solução da integral vem que:
Mf(#) = −R. Pd. (#/4 + #. sin # /2 + cos # /2) +
+R. Rr_A. (#/2 + sin # /2) + ℂ (47)
A constante “ℂ” é calculada sabendo que para “θ” igual a “zero”, o momento fletor na viga é oposto à reação “M_Ad”, representada na figura 9, portanto:
Mf(# = 0) = −M_Ad (48)
Logo, o momento fletor em função do ângulo “θ” é expresso por:
Mf(θ) = −R. Pd. (#/4 + #. sin # /2 + cos # /2) + R. Rr_A. (#/2 + sin # /2) +
+R. Pd/2 − M_Ad (49)
Para a determinação da reação “M_Ad”, pode-se utilizar a equação do ângulo de rotação das seções da viga como condição de contorno. Substituindo a equação (49) em (23) e resolvendo a integral obtem-se:
M/2 = (−R. Pd. (#:/12 + sin # − θ. cos # /2) + R. Rr_A. (#/4 − cos # /2) +
+R. Pd. #/2 − M_Ad . #)/(2. E. A. (rc − R)) + ℂ2 (50)
Determina-se “ℂ2” sabendo-se que no engaste (ponto “A” da figura 9), a rotação da seção devido ao momento fletor é nula:
M/2(θ = 0) = 0 (51)
Desta forma a rotação da seções devido ao momento fletor atuante na posição “θ” é expressa pela seguinte equação:
M/2 = (−R. Pd. (#:/12 + sin # − θ. cos # /2) + R. Rr_A. (#/4 − cos # /2) +
Sabe-se ainda que devido à simetria, a rotação da seção na metade do anel também é nula. Esta condição é expressa na equação (53):
M/2(θ = e/2) = 0 (53)
Com esta consideração, obtem-se a equação (54), que expressa a reação “M_Ad” em função dos parâmetros “Pd”, “R” e “Rr_a”:
M_Ad = −R. Pd. (e/48 + 2/e) + R. Rr_A. π/8 + R. Pd/2 (54)
Substituindo os valores calculados dos parâmetros, conclui-se que “M_Ad” possuí um valor de 32,34kN.m. Portanto, a função do momento fletor atuando na viga curva é expressa pela equação (55):
Mf(#) = (−117,76(#/4 + #. sin # /2 + cos # /2) + 184,99(#/2 + sin # /2) +
+26,54). kN. m (55)
No gráfico 4 é ilustrada a variação do momento fletor e da força cortante na viga curva em função da posição “θ”. O momento fletor máximo ocorre em “e/2”, e possuí uma magnitude de 99,19kN.m.
Gráfico 4 – Momento fletor e força cortante atuantes no anel de suporte.
Para fins de comparação da metodologia apresentada para determinação do momento fletor em viga curva, a equação (56) expressa o momento fletor máximo
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 0 0,5 1 1,5 Mf (kN.m) V (kN) θ(rad)
em uma viga reta biengastada submetida a uma carga uniformemente distribuída (Pd). Nesta expressão, “Lt” denota o comprimento da viga.
Mcád_ 2Ji_3 Si = Pd. Lt/8 (56)
Para uma viga reta biengastada de comprimento “Lt” igual ao comprimento do semicirculo considerado (Figura 31), o momento máximo resulta em 145,21kN.m e ocorre no centro do vão. Este valor é superior ao obtido com a solução para viga curva, resultado que concorda com o fato de que na viga curva, apenas uma parcela da força cortante radial contribuí com o momento fletor e também o braço de alavanca considerado é menor que o comprimento de arco correspondente (Figura 11).
Com a equação (28), pode-se então calcular a tensão máxima de flexão na fibra externa da viga curva. Substituindo a posição considerada por 1,608m; o raio no centróide igual a 1,483m; área de seção do anel 0,003664m², o raio na linha neutra 1,477m e o momento fletor máximo de 99,19 kN.m; a tensão de flexão máxima no anel de suporte resulta em 345,01MPa.
Considerando-se o diagrama de corpo livre apresentado na figura 9, com o valor determinado de “Rr_A” pode-se obter o valor da reação circunferencial “Rc_B” por meio de um somatório de forças na direção horizontal. Com esta consideração, “Rc_B” resulta em -45,50kN, de maneira que atua no sentido oposto ao ilustrado na figura 9, causando portanto compressão no ponto “B”. Com a área de seção do anél, obtem-se então uma tensão de compressão de -12,42MPa no ponto “B”.
Desta forma, a tensão máxima de tração atuante na viga curva resulta em 332,59MPa. Se o material do suporte for o aço SA 724-C, que possuí tensão de escoamento de 482MPa, o coeficiente de segurança em relação ao escoamento resulta em 1,45.