4.2. Résultats numériques, Analyses et discussions
4.2.2. Résultats numériques du modèle de Killough et analyses
Rappel : Le modèle de Killough des perméabilités relatives en imbibition a été énoncé Chapitre 2 (section 2.2.3.2.3). Il est basé sur une interpolation géométrique des courbes expérimentales de Kr mesurées au Soi, max atteint, c’est-à-dire la saturation maximale en
huile atteinte. Le principe est illustré Figure 81.
En procédant à une normalisation des courbes de perméabilités relatives, la construction géométrique des Krow est faite de telle sorte que le ratio des valeurs de perméabilités relatives entre une saturation quelconque So (ou Sw) de la courbe d’imbibition à générer et
celle de la saturation initiale de ladite courbe (Soi) (mesurée sur le drainage primaire), soit
égal au ratio des valeurs de perméabilités relatives entre la saturation normalisée de l’imbibition primaire expérimentale correspondant au So (So, norm : voir Figure 81) et celle
Chapitre 4 : Résultats expérimentaux et numériques, Analyses et Discussions
109 La même procédure est appliquée pour la construction des Krw, à la seule différence qu’on inclut une extrapolation croissante entre la valeur de Krw au Sorw de la courbe d’imbibition
primaire expérimentale, et 1 (Figure 81).
Figure 81: Principe de construction des perméabilités relatives par la méthode de Killough Dans notre cas, les courbes en imbibition en zone de transition du Richemont seront alors générées grâce aux courbes obtenues au Soi6 du Richemont, pour les calcaires d’Estaillade, grâce au Soi7 d’Estaillade.
- Résultats du modèle de Killough pour les calcaires de Richemont
Une fonction polynomiale d’ordre 6 et un calage numérique de type L.E.T (énoncé Chapitre 1, section 1.4.3.5.) ont été utilisés pour caler respectivement Krow(Sw, Soi6) et Krw(Sw, Soi6).
Les coefficients de détermination sont de l’ordre de R² = 0,99. Les courbes maîtresses (déduites des modélisations numériques évoquées à savoir le polynôme et le L.E.T) et les points expérimentaux correspondants sont présentés Figure 82.
Chapitre 4 : Résultats expérimentaux et numériques, Analyses et Discussions
110 Les prédictions du modèle de Killough des courbes de perméabilités relatives en imbibition dans la zone de transition sont présentées Figure 83, pour les perméabilités relatives à l’huile, et Figure 84 pour les perméabilités relatives à l’eau.
Figure 83: Résultats du modèle de Killough des Krow - Richemont
Figure 84: Résultats du modèle de Killough des Krw - Richemont L’observation de ces résultats soulève plusieurs faiblesses du modèle :
Malgré des accords acceptables des Krow prédits (Figure 83), on remarque une légère différence de courbure qui s’accentue quand on s’éloigne de la courbe maîtresse. La mouillabilité s’altérant très peu pour le calcaire de Richemont, il est tout à fait normal que la tendance prédite par le modèle (utilisant une mouillabilité constante) soit légèrement en accord avec nos résultats expérimentaux.
Concernant les Krw, l’interpolation croissante généralement utilisée pour prédire Krw(Sorw) génère beaucoup d’erreurs et surestime les Krw (Figure 84). On a dès lors,
un très fort désaccord avec les résultats expérimentaux. On surestime les valeurs de Krw et donc la mobilité de l’eau.
Chapitre 4 : Résultats expérimentaux et numériques, Analyses et Discussions
111 - Résultats du modèle de Killough pour les calcaires d’Estaillade
La même procédure que précédemment est utilisée pour caler les courbes maîtresses. Nous avons utilisé un polynôme de degré 5 pour Krow(Sw, Soi7) et un calage de type L.E.T pour
Krw(Sw, Soi7), avec des coefficients de détermination de l’ordre de R² = 0,99. Les résultats
sont présentés Figure 85 pour les perméabilités relatives à l’huile et Figure 86 pour les perméabilités relatives à l’eau.
Figure 85: Résultats du modèle de Killough des Krow - Estaillade
Figure 86: Résultats du modèle de Killough des Krw - Estaillade On peut faire les observations suivantes :
Très fort désaccord pour les Krow dû au comportement très différent de la courbe maîtresse (obtenue pour le Soi le plus fort après envahissement partiel de la
Chapitre 4 : Résultats expérimentaux et numériques, Analyses et Discussions
112 Très fort désaccord pour les Krw dû à l’interpolation croissante établie entre les
Krw(Sorw), très différente des résultats expérimentaux.
Étant donné la différence de comportement observée sur les courbes expérimentales de Krow au Soi, max attribuée à l’envahissement prononcé de la microporosité, nous avons aussi
effectué une comparaison en nous limitant à un Soi correspondant à la saturation maximale
atteinte sur le premier plateau des pressions capillaires de l’Estaillade. De ce fait, la courbe maîtresse devient celle établie au Soi6. En Figure 87, nous nous focalisons sur les courbes
de Krow prédites par Killough étant donné que le désaccord sur les courbes Krw déjà observé sera reproduit. La courbe maîtresse Krow (Sw, Soi6) est calée avec une fonction
polynomiale d’ordre 5.
Figure 87: Résultats du modèle de Killough des Krw – Estaillade (macroporosité) On observe une différence de courbure qui est plus prononcée quand on s’éloigne de la courbe maîtresse. Cette différence est plus nette pour l’Estaillade que pour le Richemont à cause de la forte altération de la mouillabilité des roches d’Estaillade.
Les prédictions des débits fractionnaires par le modèle de Killough pour les deux types de calcaire sont présentées Figure 88 pour le Richemont et Figure 89 pour l’Estaillade. On ne s’intéresse qu’aux résultats de débits fractionnaires qui partent d’une valeur inférieure à 0,5 au Soi étant donné qu’à ces valeurs, la mobilité de l’huile est encore supérieure à celle de
l’eau.
On observe une bonne cohérence avec les résultats expérimentaux pour les calcaires de Richemont (Figure 88). En ce qui concerne les résultats sur l’Estaillade présentés Figure 89, le modèle crée des fronts de saturations et une récupération forte à la percée. Ceci n’est pas en accord avec les résultats expérimentaux. La prédiction des taux de récupération est très optimiste et très différente de la réalité observée pour l’Estaillade.
Chapitre 4 : Résultats expérimentaux et numériques, Analyses et Discussions
113 Figure 88: Prédiction des fw par Killough - Richemont
(µw = 0.95 cP, µo = 34 cP)
Figure 89: Prédiction des fw par Killough - Estaillade (µw = 0.95 cP, µo = 34 cP)
Le modèle de Killough donne de meilleurs résultats dès lors que l’altération de mouillabilité le long de la zone de transition n’est pas trop importante (mouillabilité franche à l’eau vers une mouillabilité intermédiaire).