Résolutions analytique et numérique

Lorsque le nerf et les électrodes sont décrits avec des géométries simples, l’équation de Laplace ou Poisson peut être résolue analytiquement. Pour des géométries plus com- plexes et réalistes, un modèle et une résolution numériques seront privilégiés.

FIGURE2.10 – Représentation schématique d’un axone soumis à une stimulation par une électrode représentée comme un point source

Résolution analytique

Milieu infini Le modèle le plus simple consiste à considérer une fibre baignant dans un milieu infini, homogène et de conductivitéσ isotrope. L’électrode est modélisée comme un point source, délivrant un courant I (Fig.2.10). A une distance r =px2_{+ y}2_{+ z}2_du

point source, au niveau d’un nœud de Ranvier (NDR) le potentiel a pour expression : V(x, y, z) = I

4πσpx2_{+ y}2_{+ z}2 (2.18)

Avec r la distance du point source au nœud de Ranvier considéré. La valeur du potentiel est nulle à l’infini. Ce modèle simplifié est couramment utilisé en amont de l’étude de la réponse des fibres nerveuses [MCNEAL,1976;RATTAY,1986,1989]. Ce modèle est éga-

lement employé à titre de comparaison avec des modèles numériques plus complexes, tenant compte de l’anisotropie et l’hétérogénéité, afin de souligner l’importance des pro- priétés du milieu : [GRILL, 1999; GRILL et MORTIMER, 1996b; STRUIJK et collab., 1991;

WARMANet collab.,1992]. Il est possible de modéliser un milieu anisotrope dans les di-

rections longitudinale et transverse par un changement de coordonnées [GRILL,1999] :

V(x, y, z) = I 4π q x2_σ xxσzz+ y2σxxσzz+ z2σ2xx (2.19)

Volume conducteur de dimension finie Le nerf peut être modélisé comme un volume conducteur ou un ensemble de volumes conducteurs de dimensions finies . Dans ce cas, la recherche de solutions analytiques est encore possible par méthode de séparation des variables et transformation de Fourier [PLONSEY,1974;SWEENEYet collab.,1990;VELTINK

et collab.,1988b]. La structure représentant le nerf est très simplifiée : il s’agit d’un volume conducteur de forme cylindrique.

Conclusion La résolution analytique peut s’appliquer à des modèles constitués de struc- tures simples, symétriques, sans irrégularités. La solution exacte d’un problème d’équa- tions aux dérivées partielles (problème exact) est une fonction continue. Pour des mo- dèles tenant compte de la topographie réaliste des nerfs, fortement hétérogène, incluant par exemple de multiples fascicules, des vaisseaux sanguins, et autres irrégularités, il n’existe pas forcément de solution analytique. Dans ce cas, des méthodes de résolution numé- rique (solution approchée) sont privilégiées.

Méthodes numériques

Concernant le passage d’un problème exact (continu) au problème approché (dis- cret), il existe plusieurs techniques de résolutions numériques. Pour le calcul numérique des solutions, le domaine continu doit être discrétisé spatialement en une grille d’élé- ments appelée maillage (Fig.2.11). L’équation est résolue aux nœuds du maillage, c’est- à-dire que la solution est calculée en des points donnés (résolution discrète) et non en chaque point du domaine continu. Autrement dit, les solutions approchées de l’équation sont calculées comme un ensemble de valeurs discrètes sous la forme de composantes d’un vecteur solution d’un problème matriciel. Nous présentons trois méthodes : les dif- férences finies, les éléments finis et les éléments finis de frontières.

FIGURE2.11 – Exemple de modèle continu issu d’une coupe histologique de nerf vague multifas- ciculaire de brebis (à gauche) et le maillage obtenu (à droite). La troisième dimension (en z) est obtenue par extrusion.

Méthode des différences finies La méthode numérique des différences finies est une technique de recherche de solutions approchées de problèmes à dérivées partielles. Il s’agit d’un ensemble de points isolés (appelés nœuds) situés dans le domaine de défini- tion des fonctions assujetties aux équations aux dérivées partielles ; c’est-à-dire une grille sur laquelle sont définies les inconnues correspondant aux valeurs approximatives de ces fonctions.

Le maillage comprend également des nœuds situés sur la frontière du domaine afin de pouvoir imposer les conditions aux limites et/ou la condition initiale.

La méthode des différences finies consiste à remplacer les dérivés apparaissant dans le problème continu par des différences divisées en un nombre fini de points discrets ou nœuds du maillage. L’avantage de la méthode des différences finies est la simplicité de son implémentation pour un maillage régulier et son faible coût en calcul. Un maillage resserré aux zones d’intérêts et des conditions limites complexes requièrent des modifi- cations spéciales et plus lourdes à implémenter. Ses inconvénients sont : la relative sim- plicité de la géométrie des domaines de calculs, la difficulté de prise en compte des condi- tions aux limites, et l’absence de résultats de majoration d’erreurs.

[HERINGAet collab.,1982] et pour la stimulation électrique du nerf périphérique [D’IN- ZEOet collab.,1992;GOODALLet collab.,1995;SZLAVIKetDEBRUIN,2000].

Méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis consiste à approcher, dans un sous-espace de dimen- sion finie, un problème écrit sous forme variationnelle dans un espace de dimension in- finie. Le maillage des domaines en éléments finis est représenté par des cellules polygo- nales quelconques (triangles, quadrilatères).

La solution approchée est alors une fonction déterminée par un nombre fini de para- mètres comme par exemple, ses valeurs en certains points (les nœuds du maillage). Les avantages de cette méthode sont le traitement des géométries complexes, la détermi- nation plus simple des conditions aux limites (comparée à la méthode des différences finies), et la possibilité de démonstrations mathématiques de convergence et de majora- tion d’erreurs. Les inconvénients de cette méthode résident dans la complexité à la mettre en œuvre et son coût élevé en temps de calcul. Cette méthode est la technique référence pour résoudre les problèmes bioélectriques de la stimulation électrique.

On retrouve cette méthode dans l’analyse du champ de potentiels générés par une élec- trode Cuff [CHINTALACHARUVU et collab., 1991a] et FINE [CHOI et collab., 2001; LERT-

MANORATet DURAND,2004a,b], notamment pour la recherche de solutions multipolaires

optimales pour améliorer la sélectivité. Elle est très utilisée pour le calcul du champ dans des modèles à géométries réalistes (issues de coupes histologiques) tels que le nerf fémo- ral [SCHIEFERet collab.,2008], le nerf médian de primate (non-humain) [BRILLet collab.,

2009] ou humain [BRILLet TYLER,2011], le nerf sciatique de rat [RASPOPOVICet collab.,

2011] et le nerf vague [HELMERSet collab.,2012].

Méthode des éléments finis de frontières

La méthode des éléments finis de frontières considère les inconnues du problème aux interfaces des milieux de conductivités différentes, ce qui réduit les dimensions du pro- blème et le nombre d’inconnues. En conséquence, seul un maillage du domaine en sur- face est requis.

Cette méthode est idéale pour résoudre les problème dans les milieux homogènes [FRIJNS

et collab.,1995], mais peut gérer des milieux hétérogènes [CLERCet collab.,2008;JACQUIR

et collab.,2007;LAFORETet collab.,2009].

L’avantage de cette méthode est son faible coût en ressource de calcul car le nombre d’in- connues est fortement réduit. Cette méthode est aussi la plus précise mais nécessite une deuxième étape pour le calcul des valeurs à l’intérieur d’un volume. Elle est difficilement adaptable aux domaines anisotropes.