1.2 Le peigne de fréquence atomique (AFC)
1.2.3 Le protocole AFC-DLCZ
Réaliser le stockage d’un photon unique requière non seulement une mémoire quan-tique universelle mais également une source de photons uniques. La bande passante des mémoires quantiques sur demande dans les cristaux dopés terres-rares peut être limitée à quelques MHz, voir quelques dizaines de MHz (c’est le cas de Eu3+:Y2SiO5 et Pr3+:Y2SiO5). La génération de photons uniques d’une telle largeur spectrale par SPDC (spontaneous parametric down conversion) est délicate et requière un filtrage spectral important. De plus la réalisation d’un bon couplage du photon jusqu’à la mémoire est souvent difficile.
Dans le but de réaliser un répéteur, l’utilisation d’une mémoire quantique n’est en réalité pas nécessaire. Le protocole DLCZ proposé par Duan, Lukin, Cirac et Zoller en 2001 [28] est une manière astucieuse de s’affranchir de mémoire universelle et de source de photons uniques. L’idée est de tout d’abord créer une excitation unique directement dans le système atomique. Une manipulation du système permet ensuite de convertir sur demande l’excitation unique en photon unique. Ce protocole a largement fait ses
preuves dans les atomes froids notamment [29]. L’AFC-DLCZ, un protocole de type DLCZ basé sur l’AFC, a été proposé par Sekatski et al. en 2011. Nous proposons ici une version légèrement modifiée de celle proposée par Sekatski et al..
Afin de générer l’excitation unique dans le cristal dopé terres rares, une première impulsion d’écriture (W, "write") à t = 0 vient exciter une portion non négligeable de l’AFC (voir figure 1.5), préparé initialement sur l’état |gi. La phase de la cohérence optique créée commence donc à évoluer selon le schéma AFC. Un détecteur placé dans une direction a priori arbitraire, attend l’émission d’un photon émis par émission spontanée à la fréquencefes, résonante avec la transition|ei ↔ |si. Un filtre de bande passante étroite est donc nécessaire afin de filtrer les photons émis à d’autres fréquences.
A un instant TStokes, le détecteur clique, nous annonçant que l’ensemble a émit un photon unique dans cette direction. Ce photon est appelé photon "Stokes". Le détecteur peut aussi bien avoir annoncé l’émission de deux photon Stokes puisqu’il ne résout pas le nombre de photons. Si on note pS la probabilité de générer un photon Stokes, la probabilité d’en générer 2 est donnée par p2S. La pureté de l’excitation unique ainsi créée dépend de la proportion de photons uniques émis par rapport à l’émission de 2 photons et plus, elle même fonction de la quantité d’atomes excités par l’impulsion d’écriture. Une excitation faible va favoriser la pureté de l’excitation unique mais va réduire la probabilité de générer un photon. La détection de ce photon nous indique donc la création d’une "excitation" unique dans l’état|sidélocalisée sur tout les atomes.
L’ensemble atomique se retrouve donc dans un état de Dicke [30], la phase accumulée pendant le tempsTStokesrestant bien présente. Un instanttaprès l’impulsion d’écriture, une phase supplémentaire est accumulée due à la largeur inhomogène de spin. L’état peut donc s’écrire pourt > TStokes :
|Φi=
N
X
i=1
e−j2πni∆TStokese−j2πδspini (t−TStokes)|g1g2..sigi+1..gNi (1.21) Afin de compenser cette inhomogénéité de la transition spin, une impulsion π sur la transition |gi ↔ |si est appliquée au temps TRF. Enfin, une impulsion de lecture (R) est appliquée à l’instant TR afin de transférer l’excitation unique depuis |gi dans
|ei. Pour t > TR, on a donc :
|Φi =
N
X
i=1
e−j2πni∆TStokese−j2πni∆(t−TR)e−j2πδispin[TRF−TStokes−(TR−TRF)]|s1s2..eisi+1..sNi
=
N
X
i=1
e−j2πni∆(TStokes+t−TR)e−j2πδispin(2TRF−TStokes−TR)|s1s2..eisi+1..sNi (1.22) Un écho de photon (appelé photon anti-Stokes) est donc émit à la fréquence feg au
Temps
TS+1/∆ W R
Stokes Anti-Stokes W
R
Stokes Anti-Stokes
Cristal
W R
RF
Stokes Anti-Stokes
TS (a)
(b)
(c)
TRF
t=0 1/Δ
𝑠
𝑔 𝑒
TR
Figure 1.5 – (a)schéma montrant la direction des impulsions d’écriture (W) et de lecture (R), ainsi que des photons Stokes et anti-Stokes. (b) Diagramme en temps du schéma AFC-DLCZ. (c) Diagramme en énergie du schéma
tempst =TAS :
TAS =TR+ 1/∆−TStokes (1.23)
De plus la largeur inhomogène de spin est donc a priori compensée si (détails sur le cas réel en appendice) :
TRF = TR+TS
2 (1.24)
On peut dors et déjà constater que le temps d’émission du photon Stokes et celui de l’anti-Stokes sont corrélés (cf. équation 1.23). De plus, selon l’équation 1.23, à plu-sieurs modes temporels de Stokes distincts correspondent pluplu-sieurs modes anti-Stokes distincts. Cela offre la possibilité, pour le protocole AFC-DLCZ, de faire du stockage multimode temporel, ce qui n’est pas le cas pour le protocole DLCZ standard.
Enfin, pour que le photon anti-Stokes soit émit, l’accord de phase spatial doit être respecté. Or, comme on peut le voir sur la figure 1.5, on a :
~kW = −~kR (1.25)
~kAS = −~kS (1.26)
Le désaccord de vecteur d’onde s’exprime donc :
∆k~ =~kW −~kStokes−2~kRF +~kR−~kAS =−2~kRF (1.27)
Afin que ce désaccord de vecteur d’onde n’affecte pas l’efficacité, il faut vérifier que :
|∆k|L~ 2π (1.28)
avec L la longueur du cristal. Dans notre cas, L vaut 1 cm, et |∆k|~ = ωRF/c = 2π·34.5·106/(3·108)'0.72. Donc :
|∆k|L~ '7.2·10−3 2π (1.29)
On peut constater que l’excitation initiale (W) est générée sur une transition dif-férente de la transition d’émission (Stokes et anti-Stokes). Le profil de la distribution spatiale de l’onde de spin générée est ainsi différent du profil d’absorption spatial du cristal lors de l’émission du photon anti-Stokes. Ceci est donc à considérer pour le cal-cul de l’efficacité. Si l’on définit par ˜d1 la profondeur optique moyenne sur la transtion
|gi ↔ |eiet par ˜d2 la profondeur optique moyenne du cristal sur la transition|si ↔ |ei, on obtient après calcul, la formule d’efficacité suivante :
ηDLCZ = 4 d˜1d˜2
1−e−d˜1(1−e−
d˜1+d˜2 2
d˜1+ ˜d2
)2sinc2(π
F)ηTe−2TS/T2spin (1.30) en gardant les définitions de la partie 1.2.
Cette expression se simplifie fortement si ˜d1 1. Cette condition est dans notre cas plutôt vérifiée (cf section 3.5). L’efficacité peut finalement s’exprimer :
ηDLCZ = 4
d˜2(1−e−
d˜2
2 )2sinc2(π
F)ηTe−2TS/T2spin (1.31) La limite fondamentale théorique de cette dernière expression est de ηDLCZlim '82%
pour ˜d2 '2.6.
Il est important de remarquer que l’émission d’un photon Stokes est temporellement séparée de l’application de l’impulsion d’écriture. Il en est de même d’ailleurs entre le photon anti-Stokes et l’impulsion de lecture. Par conséquent, étant donné que les temps TStokes et TAS sont corrélés (cf. équation 1.24), le protocole AFC-DLCZ est capable de stocker plusieurs modes temporels, tout comme l’AFC. La capacité multimode est d’ailleurs la même que pour le protocole AFC (cf. équation 1.8). Ceci est un avantage certain comparé au protocole DLCZ "standard" qui ne permet pas distinguer différents modes temporels lors de la lecture. Or, La capacité multimode est essentielle à la réalisation pratique d’un répéteur quantique [5]. En conséquence, le protocole AFC-DLCZ est donc non seulement une excellente alternative à la réalisation d’une mémoire de type DLCZ dans les cristaux dopés terres rares, mais il présente également cette capacité multimode qui pourrait conduire à la réalisation d’un répéteur quantique.