1.3 Propagation non linéaire en milieu hétérogène
1.3.2 Propagation non linéaire dans les milieux granulaires
grand nombre d’études dans le domaine de l’acoustique. Présentant des comportements fluide ou solide, on les rencontre souvent dans la nature –sables, dunes, roches, sédiments– ou dans l’industrie –agroalimentaire, pharmaceutique. Ils sont le siège de phénomènes complexes, dont l’origine vient en partie des interactions de contact entre les grains qui constituent le milieu. La théorie du contact de Hertz-Mindlin [33, 34] décrit la force de contact entre deux grains. Cette force, ou la contrainte qui lui est associée, ne dépend pas linéairement de la déformation. La non linéarité de cette relation s’explique princi- palement par le fait que la surface de contact entre deux grains ne reste pas constante, mais augmente avec la déformation. C’est une non linéarité "non classique" par opposition à la non linéarité d’origine convective et thermodynamique dans un fluide ou un solide homogènes.
Le son se propage à travers les contacts et est par conséquent un outil bien adapté pour sonder un milieu granulaire. Les billes ou grains étant solides, les milieux granulaires permettent la propagation d’ondes longitudinales et transversales. Des conversions de mode peuvent avoir lieu entre les deux types d’ondes, ce qui constitue une richesse et une complexité supplémentaires par rapport à un milieu comme l’atmosphère.
35 30 25 20 15 10 5 0 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 35 30 25 20 15 10 5 0 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 35 30 25 20 15 10 5 0 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 30 20 10 0 60 40 20 0
(b)
Pump strain level, dB
Pump strain level, dB
Second
harmoni
c
le
v
el
,
d
B
Pump strain lev e l, dB
Sec o nd harmonic le v e l, dB
2
3/2
P0
= 60k P a
V ertical polarization
Figure 1.6 – D’après [35] : Amplitude de la seconde harmonique en fonction de l’amplitude d’ex- citation (à une fréquence de 5 kHz), dans un milieu granulaire constitué de billes de verre identiques ( = 2 mm). Modèle théorique en médaillon.
Approche "champ moyen" des milieux granulaires
À "basse" fréquence, la longueur d’onde moyenne est beaucoup plus grande que le dia- mètre des grains. Les dimensions du milieu sont plus petites que la distance caractéristique de la diffusion le et la diffusion multiple est donc négligeable. Tournat et coll. [35], étu-
dient la génération du second harmonique longitudinal créé par une onde transversale de fréquence 5 kHz (λ ∼ 4 cm), au sein d’un milieu de billes de verre identiques ( = 2 mm). Les ondes longitudinales et transversales ne se propageant pas à la même vitesse, il y a asynchronisme entre la source (onde transversale pompe) et le second harmonique (onde longitudinale). Les auteurs observent cependant une dépendance quadratique de l’ampli- tude du second harmonique en fonction de l’amplitude d’excitation uin, jusqu’à un certain
seuil (cf. figure 1.6). Au-delà de ce seuil, l’amplitude de l’harmonique oscille avant de re- trouver un comportement monotone (∝ u3/2in ). Ces oscillations traduisent une transition
entre deux régimes différents de contact inter-grains. Pour des amplitudes d’excitation modérées, la transmission de l’onde à travers le milieu se fait majoritairement au travers des contacts déjà établis (contacts forts). L’amplitude du second harmonique croît alors proportionnellement au carré de l’amplitude d’excitation. Au-delà du seuil, la transmission de l’onde à travers le milieu se fait par les battements des contacts faibles. L’amplitude du second harmonique croît alors proportionnellement à la puissance 3/2 de l’amplitude d’excitation.
Brunet et coll. [36] étudient la réponse d’un milieu constitué de billes de verre ( ∼ 600 − 800 µm), à une sollicitation longitudinale de fréquence 50 kHz. Ils mesurent les amplitudes des fréquences du fondamental et du second harmonique en fonction de l’am- plitude d’excitation ǫin. Le second harmonique montre d’abord une dépendance quadra-
1.3. Propagation non linéaire en milieu hétérogène 23
tique avec l’amplitude d’excitation, comme dans la référence [35]. Cependant, passé un certain seuil (ǫin >∼ 3% de la contrainte statique), les auteurs mettent en évidence un
comportement hystérétique de l’amplitude de la seconde harmonique, en suivant un cycle montée-descente avec l’amplitude d’excitation. Cette hystérésis est la marque d’une mo- dification irréversible du milieu, qui correspond à sa compaction. Enfin, plus récemment, Wildenberg et coll. [37], ont montré dans une configuration expérimentale similaire à la précédente, que la génération du second harmonique augmente avec le raidissement du milieu.
Diffusion multiple dans les milieux granulaires
À plus hautes fréquences, le libre parcours moyen élastique est inférieur aux dimensions du milieu. En régime de propagation linéaire, Jia [38] observe à 500 kHz l’existence d’une "coda" dans des milieux granulaires synthétiques (billes de verre de = 0, 6 − 0, 8 mm, λmoyen ∼ 1, 5 mm). Il mesure la transmission par des échantillons de différentes épaisseurs
et détermine une constante de diffusion du son dans le milieu.
Dans un rapport de taille de grain sur longueur d’onde similaire (f = 100 kHz, = 2 mm, λmoyen ∼ 3 mm), Tournat et coll. étudient la propagation non linéaire dans des billes
de verre [10]8. Ils s’intéressent dans un premier temps à l’auto-démodulation non linéaire,
composante basse fréquence de l’interaction non linéaire des fréquences contenues dans le paquet d’onde initial 1.2.3. Lorsque l’amplitude d’excitation, ou la distance entre l’émet- teur et le récepteur augmentent, des oscillations à plus basses fréquences apparaissent en effet au niveau de l’onde balistique (cf. figure 1.7).
À plus haute fréquence, la nature des contacts entre les grains du milieu impose une forte dissipation de l’énergie acoustique [39, 40]. S’il y a génération de l’harmonique de fréquence double, celui-ci est dissipé au niveau des contacts, et ne peut être mesuré. Les auteurs mesurent l’atténuation du fondamental pour différentes amplitudes émises et montrent que cette dernière n’est pas simplement linéaire. C’est une limite intrinsèque aux milieux granulaires. Pour avoir une "coda", il est nécessaire de travailler à des fréquences suffisamment hautes pour équilibrer le rapport de la taille des grains et de la longueur d’onde. Or, à ces fréquences, les harmoniques créés par la propagation non linéaire sont dissipés au niveau des contacts.