Procédure de simulation avec le modèle

5.2 Procédure de simulation avec le modèle

Utiliser les deux équations (5.10) et (5.11) nous permet de simuler des départs et des arrêts collectifs dans des groupes de moutons. Dans cette section, je vais dé-tailler comment se déroulent les simulations. Les simulations consistent à déterminer simultanément l’état comportemental et la position des individus ce qui permettra d’obtenir les dates de suivi et d’arrêt d’individus naïfs suite au départ et à l’arrêt d’un individu initiateur (dont on contrôle les dates de départs et d’arrêt) et à re-produire le déplacement des individus et l’effet de leurs positions spatiales sur les réponses des congénères.

5.2.1 État initial

Avant de simuler quoi que ce soit, il est nécessaire de définir un état initial pour le système. Celui-ci correspond en fait à la configuration spatiale du groupe avant que le moindre départ n’ait lieu. Pour définir l’état initial, il nous faut donc déterminer la position de chaque individu avant le départ de l’initiateur. L’état comportemental des individus est : à l’arrêt avant le départ (S_S).

5.2.2 Départ de l’initiateur et simulation des départs

La simulation débute avec le départ de l’initiateur à l’instant t₀, ce qui correspond à la première transition depuis l’état S_S et l’état M. L’initiateur se déplace en ligne droite en direction d’une cible de position déterminée à une vitesse v constante. Afin

Chapitre 5. Modèle spatio-temporel des départs et des arrêts

et les changements de position des individus en mouvement se font instantanément selon un pas de temps fixe (∆t : 0.01s). Par simplification, nous faisons l’hypothèse que la position des individus ne change pas lorsqu’ils ne sont pas en comportement de déplacement. Il s’agit d’une approximation car lorsque les individus sont en train de s’alimenter, ils se déplacent plus ou moins faiblement.

Pour simuler les départs des individus naïfs, nous allons utiliser l’équation (5.10) qui prend en compte la position et l’état comportemental de chaque individu (M ou S_S) pour déterminer si chaque individu bascule en état de déplacement (suivi des individus partis). Cette équation nous permet, à chaque pas de temps, de calculer la probabilité par unité de temps de partir µ (le taux de départ) de chaque individu non parti et donc la probabilité de chacun de ces individus de démarrer (P robabilité = µ × ∆t). Cela permet de simuler les départs successifs des individus. Lorsque ceux-ci démarrent, nous considérons qu’il se déplacent comme l’initiateur, soit en direction de la cible et à une vitesse constante v.

5.2.3 Arrêt de l’initiateur et simulation des arrêts

L’évènement majeur suivant consiste en l’arrêt de l’initiateur qui correspond à la première transition depuis l’état M vers l’état S_T. Au niveau de la cible, l’arrêt a lieu à un temps déterminé sachant la distance entre la position de l’initiateur à l’état initial t₀ et la position de la cible et la vitesse de déplacement v . L’existence d’un individu dans l’état S_T rend possible l’apparition de transitions des individus naïfs de la marche vers l’arrêt.

5.2. Procédure de simulation avec le modèle

De même que pour les départs, nous pouvons, à chaque pas de temps calculer la probabilité par unité de temps de s’arrêter pour chaque individu en marche grâce à l’équation (5.11) qui prend en compte les comportements et les positions de chaque individu en S_T et en M. Pour chaque individu en M, sa probabilité de s’arrêter permet de déterminer à chaque pas de temps s’il s’arrête de marcher ou non et donc de connaître la position à laquelle il s’arrête.

5.2.4 Résultats des simulations

Il faut noter qu’il est tout à fait possible que l’initiateur s’arrête au niveau de la cible alors que tous les individus naïfs ne se sont pas mis en mouvement. Les phases de départs et d’arrêts peuvent donc être concomitantes. Il est également possible que les derniers individus en marche s’arrêtent alors que certains n’ont pas encore démarré, avec pour conséquence la scission du groupe de naïfs. Ainsi, s’il n’y a plus d’individu dans l’état M, les simulations s’arrêtent car le système ne peut plus évoluer. Les individus dans les états S_S et S_T (s’ils existent) sont "piégés" dans leurs états respectifs le seul stimulus pouvant déclencher la sortie de l’état S_S étant la présence d’individus dans l’état M. Le processus de simulation est résumé dans la figure 5.2.

Être capable de simuler les départs et des arrêts collectifs de groupes selon la procédure présentée ci-dessus permet de déterminer précisément les dates de départ et d’arrêt de chaque individu, ainsi que l’état final du système, celui-ci pouvant prendre trois formes :

Chapitre 5. Modèle spatio-temporel des départs et des arrêts 0 8 16 24 32 Nom bre d’individus en mouv emen t t₀ (b) État initial Départ de l’initiateur (t₀)

1ère transition S_S M 1ère transition M ST^{Arrêt de l’initiateur}

Simulation de la phase d’arrêt (équation (5.11)) Arrêt de la simulation Phase de déplacement collectif Simulation de la phase de départ (équation (5.10))

{

{

{ {

Figure 5.2 – Exemple du déroulement d’une simulation et du type de dynamique obtenu. (a) Ce schéma indique les différentes étapes d’une simulation

grâce au modèle. La simulation se fait à partir de la configuration initiale du groupe et démarre avec le départ de l’initiateur vers la cible. S’en suit la phase des départs (ligne rouge) durant laquelle, grâce à l’équation (5.10) nous pouvons déterminer les dates de départs des individus naïfs. Lorsque le dernier individu du groupe a suivi et si personne ne s’est arrêté, nous pouvons observer une phase de déplacement collectif durant laquelle tous les individus du groupe sont en train de se déplacer vers la cible. Ensuite, l’initiateur s’arrête ce qui provoque le début de la phase d’arrêt (ligne verte) durant laquelle en utilisant l’équation (5.11) nous simulons les arrêts des individus naïfs. La simulation s’arrête quand il n’y a plus aucun individu en mouvement (dans l’état M). (b) Exemple de résultat possible par simulation : le nombre d’individus en mouvement en fonction du temps dans un groupe de 32 individus. Nous retrouvons les trois phases observées expérimentalement : la phase de départ (en rouge), la phase de déplacement collectif (en bleu) et la phase d’arrêt (en vert) correspondantes aux trois phases de simulation.

Notons que le cas présenté ici montre une simulation pour laquelle il existe une phase de déplacement collectif. Il est également possible que la phase de départ et la phase d’arrêt soient superposées, ce qui implique qu’il y aurait absence d’une phase de déplacement collectif avec tous les individus en mouvements.

— Il y a suivi collectif total lorsque tous les individus naïfs suivent l’initiateur et s’arrêtent près de lui : tout les individus sont dans l’état S_T à l’état final, — Il y a absence de suivi collectif lorsque aucun individu n’a suivi l’initiateur :