On s’int´eresse dans cette section `a des probl`emes de conductivit´e thermique, dans des chaˆınes d’atomes mono-dimensionnelles, avec interaction entre plus proches voisins. Commen¸cons par poser le probl`eme.
On se donne un Hamiltonien de la forme H(q, p) = n X i=1 p2i 2 + n X i=1 V (qi− qi−1), (85)
o`u qi repr´esente la position courante de la particule i (on note q = (q1, . . . , qn) ∈ Rn), pi son impulsion, et V est le potentiel d’interaction de plus proches voisins. On supprime l’invariance par translation en fixant q0 = 0. Pour simplifier la pr´esentation, tous les atomes ont la mˆeme masse, qu’on a fix´ee `a m = 1.
On consid`ere ensuite la dynamique suivante :
– les particules qui ne sont pas aux extr´emit´es de la chaˆıne suivent une dynamique Hamiltonienne : pour 2≤ i ≤ n − 1,
˙qi = ∂qiH = pi, ˙pi =−∂piH = V′(qi+1− qi)− V′(qi− qi−1), (86) o`u H est le Hamiltonien (85).
– les particules aux deux bords sont en contact avec un thermostat, la temp´erature Tn `a droite ´etant diff´erente de la temp´erature T1 `a gauche. Un mod`ele simple est l’´equation de Langevin, dq1 = p1dt, dp1 = V′(q2− q1)− V′(q1− q0)− ξp1 dt +p 2ξT1dW1 (87) et dqn= pndt, dpn= −V′(qn− qn−1)− ξpn dt +p 2ξTndWn, (88) o`u ξ > 0 est un param`etre et q0= 0 dans (87).
Formellement, l’id´ee est d’imposer une diff´erence de temp´erature aux deux extr´emit´es du syst`eme, et de ne pas perturber la dynamique au sein du syst`eme. On s’attend `a ce qu’un profil de temp´erature s’´etablisse dans la chaˆıne, dont les caract´eristiques sont reli´ees aux propri´et´es de conductivit´e thermique du mod`ele.
Plus pr´ecis´ement, on d´efinit l’´energie Ei de l’atome i par Ei= p 2 i 2 + 1 2[V (qi− qi−1) + V (qi+1− qi)] .
Un calcul simple montre que, pour tout 3≤ i ≤ n − 2, dEi
dt = Ji−1,i− Ji,i+1, (89)
avec
Ji,i+1 =−12(pi+1+ pi)V′(qi+1− qi).
Ainsi, pour tout atome n’interagissant pas avec un atome en contact avec un thermostat, la variation d’´energie est donn´ee par la relation (89), dans laquelle on peut interpr´eter Ji,i+1 comme le flux d’´energie de l’atome i `a l’atome i + 1.
Supposons maintenant que la dynamique (86)-(87)-(88) est ergodique pour une mesure µT1,Tn(q, p)dqdp (on renvoie `a [36] et [129, Sec. 3] pour des travaux d´emontrant cette affirmation). Alors le courant moyen d’´energie entre les atomes i et i + 1 est
Ji,i+1 = Z
Ji,i+1 µT1,Tn(q, p)dqdp.
Le syst`eme ´etant homog`ene, on montre queJi,i+1est en fait ind´ependant de i, et ne d´epend que de la taille n du syst`eme, des temp´eratures impos´ees T1 et Tn, et ´eventuellement de ξ. On le note Jn(T1, Tn).
Remarque 25 Dans le cas Tn = T1, la mesure exp(−H(q, p)/T1) dq dp est une mesure stationnaire pour (86)-(87)-(88). Dans le cas T1 6= Tn, on ne sait pas, en g´en´eral, exhiber une mesure invariante de la dynamique. Ce genre de situations est donc plus difficile que celle ´etudi´ee par exemple dans la Section 1.2 : dans les deux cas, on peut montrer que le probl`eme admet une mesure invariante, mais ici, on ne sait pas l’´ecrire analytiquement.
Dans un mod`ele macroscopique (en dimension un pour simplifier), le flux d’´energie J (x) est reli´e au gradient de temp´erature locale par la loi de Fourier, J (x) = κT′(x), o`u κ est la conductivit´e thermique du mat´eriau. Dans le mod`ele microscopique ici consid´er´e, on d´efinit par analogie la conductivit´e thermique κn(T1, Tn) de la chaˆıne d’atomes par
Jn(T1, Tn) = κn(T1, Tn) Tn− T1
n . (90)
Si la limite κ := limn→∞limTn→T1κn(T1, Tn) existe, alors on dit que le mat´eriau a une conductivit´e normale, et κ est sa conductivit´e [30].
Pour de nombreux mod`eles, la conductivit´e n’est pas normale. Par exemple, dans le cas o`u V est harmonique dans (85), on peut calculer analytiquement Jn(T1, Tn), qui est constant avec n [130]. On d´eduit donc de (90) que la conductivit´e κn(T1, Tn) est proportion-nelle `a la taille n du syst`eme, et diverge dans la limite thermodynamique. Le mˆeme type de ph´enom`ene se produit d`es que le Hamiltonien H est compl`etement int´egrable [147, 142, 88]. La situation est tr`es diff´erente lorsque la dynamique interne (86) est perturb´ee par des termes al´eatoires. En fonction du type de la perturbation, la conductivit´e est finie, ou bien diverge comme nα pour un certain 0 < α < 1 (cf. par exemple [29, 18, 15]).
Dans [FL18], nous avons ´etudi´e num´eriquement le comportement asymptotique de la conductivit´e κn avec n, dans le cas o`u V est le potentiel de Toda,
V (r) = a
bexp(−br) + ar + c,
o`u a > 0, b > 0 et c sont des param`etres du mod`ele. Ce choix est motiv´e par le fait que le Hamiltonien (85) est alors compl`etement int´egrable. Nous avons introduit une perturbation
de la dynamique interne (86), qui consiste `a ´echanger les moments de deux particules voisines `a des temps al´eatoires exponentiellement distribu´es (on note γ−1 le temps moyen entre deux ´echanges). On remarque que, lors d’un tel ´echange entre les particules i et i + 1, l’´energie locale Ei+ Ei+1 est conserv´ee, de mˆeme que l’impulsion locale pi+ pi+1. Cette perturbation est donc consid´er´ee comme faible (par rapport `a une perturbation dans laquelle l’´energie locale Ei+ Ei+1 ou le moment local pi+ pi+1ne seraient pas pr´eserv´es). Lorsque γ = 0, la dynamique interne est (86), et la conductivit´e diverge comme n, le probl`eme ´etant compl`etement int´egrable. Lorsque γ > 0, nous avons constat´e num´erique-ment que la conductivit´e diverge encore, suivant la loi κn(T1, Tn) ∼ nα, pour un certain exposant 0 < α ≤ 1/2. Le fait d’introduire une perturbation stochastique, aussi petite soit-elle, change donc imm´ediatement le taux de divergence de la conductivit´e.
Le cas que nous avons ´etudi´e num´eriquement appartient `a une classe de probl`emes pour lesquels l’existence (ou la non-existence) d’une valeur universelle pour l’exposant α fait l’objet d’un vif d´ebat dans la litt´erature [120, 106]. Un int´erˆet de notre travail est que nous avons constat´e, dans nos simulations, que l’exposant α d´epend de γ, qui mesure l’intensit´e de la perturbation stochastique. Ceci semble donc ˆetre en contradiction avec l’existence d’une valeur universelle.
2 M´ethodes coupl´ees discret-continu
Cette seconde partie est consacr´ee `a l’´etude de quelques m´ethodes de couplage discret-continu, pour la simulation num´erique des mat´eriaux. L’id´ee est de coupler une description atomistique de la mati`ere, utilisant comme degr´es de libert´e les positions des atomes (qui interagissent les uns avec les autres par des lois `a l’´echelle microscopique) et une description plus traditionnelle, via les concepts de la m´ecanique du continuum.
Pour illustrer notre propos, il est utile de bri`evement rappeler quelques notions stan-dard de m´ecanique du continuum, dans un cadre stationnaire en temps (on renvoie par exemple `a [41] pour une pr´esentation plus compl`ete). SoitD ⊂ Rd le domaine occup´e par le syst`eme dans sa configuration de r´ef´erence, et
ϕ :D → Rd
la d´eformation du syst`eme : ϕ(x) est la position dans la configuration d´eform´ee du point qui est `a la position x dans la configuration de r´ef´erence. On note F = ∇ϕ : D → Md
le gradient de d´eformation (Md est l’espace des matrices de taille d× d). L’´equilibre du solide dans D lorsqu’il est soumis `a des forces de volume f s’´ecrit
−div T = f dans D, (91)
avec des conditions aux limites ad´equates (typiquement, on impose sur le bord ∂D la position ϕ, ou bien les forces T· n, o`u n est la normale sortante). Ici, T est le tenseur des contraintes (plus pr´ecis´ement, le premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff).
L’´equation (91) est une ´equation universelle, qui exprime l’´equilibre des forces. Pour fermer le syst`eme, il faut se donner une relation entre le tenseur des contraintes T et des grandeurs reli´ees `a la cin´ematique du solide (telles que ϕ ou F ). Cette relation, appel´ee loi de comportement, ou ´equation constitutive, d´epend du mat´eriau consid´er´e. C’est elle qui contient la physique ou la m´ecanique du syst`eme. On se restreint ici `a la mod´elisation de solides hyper´elastiques, pour lesquels il existe une densit´e d’´energie ´elastique,
W : (x, F )∈ D × Md→ R, telle que la loi constitutive s’´ecrit
T (x, F ) = ∂W
∂F (x, F ). (92)
Ainsi, le tenseur des contraintes ne d´epend de ϕ que via son gradient, et ce de mani`ere locale.
Supposons pour simplifier qu’on munit (91)-(92) de conditions aux limites de type Dirichlet sur tout le bord ∂D :
∀x ∈ ∂D, ϕ(x) = ϕ0(x). (93)
On reconnaˆıt alors dans (91)-(92)-(93) l’´equation d’Euler-Lagrange associ´ee au probl`eme
inf{EM(ϕ), ϕ∈ AM} , (94)
o`uAM est l’ensemble des d´eformations admissibles (et qui v´erifient donc en particulier les conditions aux limites), et EM(ϕ) est l’´energie macroscopique,
EM(ϕ) = Z D W (x,∇ϕ(x)) dx − Z D f ϕ.
Remarque 26 Pour tous les mod`eles r´ealistes, W est une fonction non-convexe de F (en raison de l’invariance du mod`ele par mouvement de corps rigide). Par cons´equent, l’´etude de probl`emes variationnels du type (94) n’est pas simple, et fait par exemple appel `a la notion de quasi-convexit´e, qui g´en´eralise celle de convexit´e. On renvoie `a [14] et [41]. ⋄ Sur le plan de la mod´elisation, l’´ecriture d’une loi constitutive (par exemple du type (92)) n’est pas simple. Cela n´ecessite une tr`es bonne compr´ehension du mat´eriau, souvent acquise sur la base de r´esultats exp´erimentaux. Or, les mat´eriaux sont soumis de plus en plus `a des conditions de chargement extrˆemes, en terme de temp´erature, pression, contraintes m´ecaniques (penser aux mat´eriaux utilis´es dans l’industrie nucl´eaire actuelle, et dans les r´eacteurs `a fusion en projet), . . . Le renouvellement fr´equent des mat´eriaux donne peu de temps pour parvenir `a une compr´ehension empirique de leurs propri´et´es. Enfin, pour certaines sollicitations, la mod´elisation via un continuum n’est tout simplement pas adapt´ee. C’est par exemple le cas lorqu’on s’int´eresse `a la propagation de fractures dans des mat´eriaux cristallins (comme les m´etaux). La fracture avance car des liaisons atomiques cassent. La description intime du ph´enom`ene se fait donc `a l’´echelle atomistique.
Ceci motive l’apparition, depuis une quinzaine d’ann´ees, de mod`eles discret-continu, dont l’objectif est de compenser le manque d’information `a l’´echelle macroscopique (et la difficult´e `a en obtenir) par la mise en oeuvre de calculs `a une ´echelle plus fine. L’id´ee est donc d’utiliser un mod`ele fin pour calculer la loi de comportement `a l’´echelle macrosco-pique. Par construction, la physique contenue `a l’´echelle microscopique, de mˆeme que les invariances du syst`eme, sont naturellement pr´esentes `a l’´echelle macroscopique. On s’at-tend aussi `a ce qu’il soit plus facile d’obtenir et de valider ces mod`eles fins, ´ecrits `a une ´echelle plus petite, et que le rˆole des diff´erents param`etres du mod`ele soit plus facile `a appr´ehender.
Nous avons d´ecrit ci-dessus le mod`ele macroscopique adopt´e, celui de la m´ecanique du continuum. D´ecrivons maintenant le mod`ele microscopique, qui sera ici le mod`ele de r´ef´erence. Pour simplifier, on suppose que le mod`ele atomistique ne fait intervenir que des interactions de paire. On note N le nombre total d’atomes (il y a donc N1/d atomes par dimension), et V : Rd→ R le potentiel interatomique. En l’absence de forces ext´erieures, l’´energie totale associ´ee `a la configuration {ϕi}1≤i≤N est alors
Eµ {ϕi}1≤i≤N = 1 2 N X i=1 N X j6=i,j=1 V ϕi− ϕj N−1/d . (95)
On remarquera que, dans l’argument de V , on a mis `a l’´echelle toutes les distances, en utilisant le facteur multiplicatif N−1/d. On voit ainsi que, si la distance d’´equilibre de V (typiquement, V est `a sym´etrie radiale, V (x) = V(|x|), et la distance d’´equilibre de V est le minimiseur de la fonction r ∈ R+ 7→ V(r)) est de l’ordre de 1, alors la distance d’´equilibre du mod`ele est d’ordre N−1/d. Comme il y a N1/d particules par dimension, on obtient ainsi un syst`eme qui occupe `a l’´echelle macroscopique un volume fini.
Remarque 27 On suppose dans toute la suite que V est r´egulier. Dans les cas pertinents, V est `a sym´etrie radiale (par invariance du mod`ele par rotation), et lim|x|→0V (x) = +∞, tandis que lim|x|→+∞V (x) = 0. A nouveau, comme dans le cas de la m´ecanique du continuum, ces hypoth`eses, essentielles du point de vue de la mod´elisation, rendent l’´etude math´ematique difficile. ⋄
Remarque 28 L’´energie potentielle Eµ donn´ee par (95) est exactement l’´energie poten-tielle de la Section 1, qui apparaˆıt par exemple dans (6). ⋄
Au bilan, la difficult´e de travailler avec un mod`ele macroscopique tel que (94) est que, dans certaines situations, il est difficile de choisir une bonne densit´e W . Au contraire, on suppose que le mod`ele microscopique (95) contient toute la physique n´ecessaire. Le probl`eme de ce mod`ele est bien sˆur son coˆut : un ´echantillon macroscopique de mati`ere contient de l’ordre de N ∼ 1023 atomes. Mˆeme si on travaille avec des ´echantillons tr`es petits `a l’´echelle macroscopique, le nombre de degr´es de libert´e en jeu est encore immense. Cependant, dans beaucoup de situations d’int´erˆet, il est tr`es fr´equent que la zone dans laquelle le mod`ele macroscopique est mis en d´efaut (et o`u il faut donc utiliser le mod`ele microscopique) est tr`es localis´ee. Dans le cas de probl`emes de propagation de fracture, il s’agit de la zone au voisinage de la pointe de fracture. Pour des probl`emes de nano-indentation, la zone critique est situ´ee au voisinage de l’indenteur (cf. la Figure 7). Il est donc naturel d’essayer de d´evelopper une approche de type d´ecomposition de domaine, o`u le domaine de calcul est ´ecrit comme
D = Dreg∪ Dsing, (96)
o`uDregest le domaine dans lequel on s’attend `a une d´eformation r´eguli`ere (cf. les Figures 8 et 9). L’id´ee est donc, dans Dreg, d’utiliser un mod`ele macroscopique (tel que celui de m´ecanique du continuum rappel´e ci-dessus), en tirant profit du fait qu’il conduit `a une discr´etisation abordable en terme de coˆut calcul. A l’oppos´e, dansDsing, on s’attend `a une d´eformation irr´eguli`ere, que seul le mod`ele microscopique peut d´ecrire avec pr´ecision.
Fig. 7 – Une simulation num´erique typique couplant un mod`ele discret avec un mod`ele de continuum, dans un cube de cot´e 2 µm (Image due `a M. Fivel, INPG ; cf. aussi [70]).
2.1 Mod`eles `a temp´erature nulle
On suppose pour commencer que le probl`eme est pos´e comme un probl`eme variationnel. Le mod`ele de r´ef´erence est le mod`ele atomistique (95), et la solution de r´ef´erence est le minimiseur de infn Eµ {ϕi}1≤i≤N, {ϕi}1≤i≤N ∈ Aµ o , (97)
o`u Aµ est l’ensemble des d´eformations microscopiques admissibles (pour simplifier la pr´esentation, on suppose ici que les probl`emes variationnels ont un unique minimiseur). En pratique, il est tr`es difficile de r´esoudre ce probl`eme, car le nombre de degr´es de libert´e est trop grand. L’approche discret-continu telle qu’esquiss´ee ci-dessus consiste `a passer par les ´etapes suivantes :
2000 angstr¨oms
1000 angstr¨oms D´eformation irr´eguli`ere D´eformation r´eguli`ere
Nanoindenteur (25 angstr¨oms)
Fig. 8 – Repr´esentation sch´ematique d’une exp´erience de nanoindentation : pr`es de l’in-denteur, qui est tr`es dur, on s’attend `a une d´eformation irr´eguli`ere, dont la description n´ecessite un mod`ele fin. Plus loin, la d´eformation est r´eguli`ere, et un mod`ele macrosco-pique, discr´etis´e sur un maillage grossier (ici, des quadrangles), permet d´ej`a d’atteindre une bonne pr´ecision.
Mod`ele de continuum Mod`ele atomistique Maillage de taille H ≫ 1/N Distance interatomique 1/N
Fig. 9 – Partition du domaine D (en dimension un) en un domaine r´egulier Dreg, o`u on utilise un mod`ele de continuum, et un domaine singulier Dsing, o`u on utilise un mod`ele atomistique.
1. d´eriver du mod`ele microscopique un mod`ele macroscopique, sous certaines hypoth`eses (typiquement de r´egularit´e de la d´eformation) ; on dispose ainsi de deux mod`eles, `a deux ´echelles diff´erentes, qui sont consistants l’un avec l’autre ;
2. proposer un mod`ele coupl´e utilisant les deux mod`eles, par exemple via une d´ecomposi-tion du domaine de calcul, et l’utilisad´ecomposi-tion dans chaque zone du mod`ele le plus ap-propri´e. Les principales difficult´es sont alors
(a) l’´ecriture de conditions de raccordement, entre un mod`ele discret et un mod`ele continu,
(b) le d´eveloppement de strat´egies adaptatives, o`u le choix des domaines Dreg et Dsing dans (96) n’est pas fait a priori, mais est adapt´e par l’algorithme, un peu `
a la mani`ere d’estimations a posteriori.
De nombreuses approches peuvent ˆetre utilis´ees pour d´eriver un mod`ele de continuum `a partir d’un mod`ele atomistique. On renvoie ici `a [21, 22] pour l’´etude d´etaill´ee et rigoureuse du cas d´eterministe, `a [24, 27, 25] pour le cas de r´eseaux al´eatoires (cf. aussi les travaux reli´es pr´esent´es dans [19]), et `a l’article de revue [26].
Dans [FL5], nous avons propos´e, dans un cadre mono-dimensionnel, un mod`ele coupl´e inspir´e de la m´ethode QuasiContinuum (propos´ee initialement dans [138, 137], puis mise `
a jour dans [134]). En une dimension, les probl`emes de raccordement de mod`eles sont consid´erablement simplifi´es, ce qui nous a permis de nous concentrer sur les questions de choix de partition du domaine de calcul, et obtention d’estimations d’erreur, dans un cas o`u le mod`ele atomistique n’est pas convexe (cf. aussi [FL6] pour le traitement du cas convexe). Ces contributions ont ´et´e d´ecrites dans [FL7]. On renvoie aussi, de mani`ere plus g´en´erale, aux articles de revue [FL32, FL17, 26]. Notre principale conclusion est que, mˆeme
dans ce cadre mono-dimensionnel tr`es simple, le couplage entre un mod`ele discret et un mod`ele continu peut conduire, d`es lors que les mod`eles ne sont pas convexes, `a des effets surprenants et non-d´esir´es. Il est donc important de garder une grande prudence vis `a vis de ces m´ethodes.
Notons enfin qu’il existe maintenant une litt´erature importante sur le couplage entre un mod`ele discret et continu, ou bien sur le couplage de mod`eles discrets dont l’un est la version “simplifi´ee” de l’autre (dans notre cas, cela consisterait `a ´etudier le couplage entre le mod`ele atomistique d’une part et, d’autre part, la discr´etisation du mod`ele de continuum). On renvoie `a [5, 6, 7, 22, 54, 55, 56, 57, 58, 61, 62, 108, 109, 124, 1]. A notre connaissance, la plupart des ´etudes se concentre sur des probl`emes mono-dimensionnels. De plus, le cas de potentiels non-convexes est rarement abord´e.