Problème discret d'ordre deux en temps et en espace

An de gagner en ordre de convergence et en temps de calcul, nous introduisons dans cette section un schéma numérique d'ordre deux en temps et en espace correspondant à notre problème de couplage.

Nous étudions l'existence et l'unicité de la solution. Une estimation a priori de l'erreur de discrétisation est établie pour le schéma proposé. Nous considérons alors des approxi-mations plus précises. Nous approchons alors la vitesse et la température dans chaque triangle du maillage avec des polynômes P2 et nous gardons l'approximation P1pour la pession.

D'où, pour tout n∈ {1, ..., N}, X_nh =

vh ∈X; ∀K ∈ T_nh, vh|K ∈P₂(K) , Ynh =

rh ∈Y;∀K ∈ Tnh, rh|K ∈P2(K) , M_nh =

q_h ∈M; ∀K ∈ T_nh, qh|K ∈P₁(K) .

De plus, nous introduisons les espaces discrets suivants :

Pour la discrétisation en temps, nous considérons le même pas de tempsτ_net nous utilisons la méthode a multipas linéaire : BDF "Méthode de diérentiation rétrograde", incondi-tionnellement stable. Cette méthode consiste à donner des approximations des termes de dérivée en temps par la dérivée du polynôme d'interpolation. En d'autre terme, nous approchons les dérivées partielles ∂u

∂t et ∂T

∂t par 3uⁿ_h−4uⁿ⁻¹_h +uⁿ⁻²_h

2τ_n et 3T_hⁿ−4T_hⁿ⁻¹+T_hⁿ⁻²

2τ_n .

Nous introduisons, pour 2 ≤ n ≤ N, la formulation variationnelle discrète stabilisée suivante :

Nous calculons (u¹_h, T_h¹) par une résolution du schéma d'Euler suivant :

(1.63)











































Trouver (u¹_h, p¹_h)∈X_1h×M_1h, T_h¹ ∈Y_1h tels que, u¹_h−u⁰_h

τ₁ ,v_h

+ (ν(T_h¹)∇u¹_h,∇v_h)−(p¹_h,divv_h)

+du(u¹_h,u¹_h,vh) = (f¹(T_h¹),vh) ∀vh ∈X1h

T_h¹−T_h⁰ τ₁ , r_h

+d_T(u¹h, T_h¹, r_h) +α(∇T_h¹,∇r_h)

= (g¹, r_h) ∀r_h ∈Y_1h (q_h,div u¹_h) = 0 ∀q_h ∈M_1h

Remarque 1.6.1. Les espaces éléments nisX_nhetM_nh(espaces de Taylor-Hood) choisis vérient la condition inf-sup (1.26).

Proposition 1.6.2. Nous introduisons les opérateurs suivants :

1) Il existe un opérateur d'interpolation P_h ∈ L(H₀¹(Ω)^d, X_nh) (cf. [54] et [33]), tel que (i) ∀q_h ∈M_nh,

(1.64) ∀v∈X,

Z

Ω

q_h(x)div (P_hv(x)−v(x))dx= 0.

(ii) Pour k= 0,1 ou 2,

(1.65) ∀v∈H^k+1(Ω)^d∩H₀¹(Ω)^d, kP_hv−vk_L2(Ω)^d≤c_Ph^k+1_n |v|_Hk+1(Ω)^d,

|P_hv−v|_H¹_(Ω)^d ≤c_Ph^k_n|v|_H^k+1_(Ω)^d. 2) De même, [52] il existe R_h ∈ L(H₀¹(Ω), Y_nh) tels que,

(i) Pour k= 0,1 ou 2,

(1.66) ∀r∈H^k+1(Ω)∩H₀¹(Ω), kR_hr−rk_L²_(Ω)≤c_Rh^k+1_n |r|_H^k+1_(Ω)

|R_hr−r|_H¹_(Ω) ≤c_Rh^k_n|r|_Hk+1(Ω). 3) Pour la pression, il existe un opérateur r_h ∈ L(L²₀(Ω), M_nh), vériant, pour tout

q∈H^s(Ω)∩L²₀(Ω), s∈[0,2]

krhq−qk_L²_(Ω)≤crh^s_n|q|_H^s_(Ω),

où c_P, c_R et c_r sont des constantes positives indépendantes de τ et h.

Remarque 1.6.3. Nous utilisons souvant la relation suivante : Y_nh, vérient les inégalités suivantes :

d_u(u,v,w)≤2(S₄⁰)²|u|_H¹

1.6.1 Existence et unicité de la solution

Proposition 1.6.5. (Stabilité) deuxième équation de (1.62) r_h par 4τ_nT_hⁿ et nous utilisons la relation (1.67). La Propo-sition 1.4.6, les inégalités de Sobolev et de Cauchy-Schwarz, nous permettent d'otenir :

kT_hⁿk²_L2(Ω) +k2T_hⁿ−T_hⁿ⁻¹k²_L2(Ω) +kδ²T_hⁿ⁻¹k²_L2(Ω)

Nous sommons sur n allant de 2 à m ≤ N l'équation précédente. Nous obtenons, en choisissant ε=α, l'inégalité suivante

sup

D'autre part, nous choisissonsv_h = 4τ_nuⁿ_h dans la première équation du problème (1.62).

Nous obtenons, en suivant les mêmes étapes précédentes, le résultat suivant kuⁿ_hk²_L2(Ω)^d +k2uⁿ_h −uⁿ⁻¹_h k²_L2(Ω)^d +kδ²uⁿ⁻¹_h k²_L2(Ω)^d

Nous insérons l'inéquation (1.70) dans (1.71). Ensuite, nous sommons sur n allant de2 à m. En choisissant ε1 =ε2 = νˆ₁

Pour montrer l'existence de la solution du schéma d'ordre deux en temps et en espace,2 nous avons recours au Corollaire 1.6.7 comme étant une conséquence du théorème de point xe de Brouwer (cf. [30]) suivant :

Théorème 1.6.6. (Théorème de Brouwer)

Toute application continue d'une partie convexe compact non vide de Rⁿ dans elle même possède un point xe.

Corollaire 1.6.7. Soient H un espace de Hilbert de dimension nie de norme k.k_H de produit scalaire (., .)_h et F une application continue deH dans H, telle qu'il existe µ > 0 tel que, pour tout v ∈H

(F(v), v)_H ≥0,

avec kvk_H=µ.

Par la suite, nous raisonnons par induction sur n ≥ 3. Tout d'abord, pour chaque T_hⁿ⁻¹ etT_hⁿ⁻² vériant (1.69), nous introduisons la fonctionφ_T de Y_nh dans Y_nh suivante :

(φ_T(T_hⁿ), r_h) =

3T_hⁿ−4T_hⁿ⁻¹+T_hⁿ⁻² 2τ_n , r_h

+d_T(uⁿh, T_hⁿ, r_h) +α(∇T_hⁿ,∇r_h)−(gⁿ, r_h).

Nous déduisons facilement la continuité de cette fonction.

D'autre part, d'après la Propriété 1.4.6 et l'inégalité de Sobolev, nous obtenons

|(φ(T_hⁿ), T_hⁿ)| ≥ |T_hⁿ|_H¹

Le théorème précédent nous permet d'aboutir à la majoration suivante :

|(φ(T_hⁿ), T_hⁿ)| ≥ |T_hⁿ|_H¹

Nous concluons, d'après le théorème de point xe de Brouwer 1.6.7, il existe au moins un T_hⁿ∈Ynh tel que

φ(T_hⁿ) = 0

et

|T_hⁿ|_H¹

0(Ω) ≤ 1 α

5S₂⁰

2τ_minCT1 +S₂⁰ kgk_L∞(^{0,Tˆ;L2(Ω)})

.

Il reste à montrer l'existence de uⁿ_h, pour chaque uⁿ⁻¹_h et uⁿ⁻²_h vériant (1.68). Nous considérons alors la fonction φu de Xnh dans Xnh, telle que pour tout vh ∈Xnh

(φ_u(uⁿ_h),v_h) =

3uⁿ_h −4uⁿ⁻¹_h +uⁿ⁻²_h 2τ_n ,v_h

+d_u(uⁿh,uⁿ_h,v_h) +(ν(T_hⁿ(uⁿ_h))∇uⁿ_h,∇v_h)−(fⁿ(T_hⁿ(uⁿ_h)),v_h).

Les inégalités de Sobolev et les Hypothèses 1.3.1 nous donnent

|(φ(uⁿ_h),uⁿ_h)| ≥ |uⁿ_h|_H¹

0(Ω)^d

ˆ

ν₁|uⁿ_h|_H¹

0(Ω)^d−

5S₂⁰

2τ_minC_u1 +c_f1S₂⁰C_T1 +S₂⁰ kf₀k_L∞(^{0,Tˆ;L2(Ω)d})

. Nous remarquons que pour tout uⁿ_h ∈X_nh telle que

|uⁿ_h|_H¹

0(Ω)^d =µu = 5S₂⁰

2τ_minCu1 +cf1S₂⁰CT1 +S₂⁰ kf0k_L∞(^{0,Tˆ;L2(Ω)d}), (φ(uⁿ_h),uⁿ_h)≥0.

Nous concluons du théorème de point xe de Brouwer et de la condition inf-sup, qu'il existe (uⁿ_h, pⁿ_h)∈X_nh×M_nh solution de la pemière équation du problème (1.62).

2 Théorème 1.6.9. (Unicité de la solution discrète)

Soit ν lipschitzienne avec une constante de Lipschitz noté ν^∗. Sous les hypothèses 1.3.1, le problème (1.62) admet une unique solution (uⁿ_h, pⁿ_h, T_hⁿ) ∈ X_nh×M_nh×Y_nh, pour un pas de temps τ_n susamment petit.

Preuve. Soient

u⁽¹⁾ⁿ_h , p⁽¹⁾ⁿ_h , T_h⁽¹⁾ⁿ et

u⁽²⁾ⁿ_h , p⁽²⁾ⁿ_h , T_h⁽²⁾ⁿ

deux solutions du problème (1.62). Notons,

(wⁿ_h, sⁿ_h, z_hⁿ) =

u⁽¹⁾ⁿ_h −u⁽²⁾ⁿ_h , p⁽¹⁾ⁿ_h −p⁽²⁾ⁿ_h , T_h⁽¹⁾ⁿ−T_h⁽²⁾ⁿ . La diérence z_hⁿ vérie l'équation suivante :

(1.72)

3z_hⁿ−4z_hⁿ⁻¹+zⁿ⁻²_h 2τ_n , r_h

+d_T(u⁽¹⁾ⁿ_h , T_h⁽¹⁾ⁿ, r_h)−d_T(u⁽²⁾ⁿ_h , T_h⁽²⁾ⁿ, r_h) +α(∇z_hⁿ,∇r_h) = 0.

Nous intercalons le termed_T(u⁽²⁾ⁿ_h , T_h⁽¹⁾ⁿ, r_h). La relation (1.67) nous permet d'obtenir, en multipliant (1.72) par 4τ_n et choisissant r_h =zⁿ_h, l'égalité suivante

kz_hⁿk²_L2(Ω) +k2zⁿ_h −z_hⁿ⁻¹k²_L2(Ω) +kδ²z_hⁿ⁻¹k²_L2(Ω)− kzⁿ⁻¹_h k²_L2(Ω) − k2z_hⁿ⁻¹−z_hⁿ⁻²k²_L2(Ω)

+4τ_nα|z_hⁿ|²_H1(Ω) =−d_T(wⁿh, T_h⁽¹⁾ⁿ, zⁿ_h) +d_T(u⁽²⁾ⁿ_h , z_hⁿ, z_hⁿ).

En appliquant les inégalités de Holder et de Sobolev, nous aurons

Comme toutes les normes sont équivalentes en dimension nie, en utilisant la Proposition 1.6.5 et la relation a.b≤ 1

2a²+ 1

2b², nous trouvons une inégalité de la forme suivante :

(1.73)

D'autre part, en suivant les mêmes démarches pour l'équation de la vitesse nous aurons, en utilisant le fait queνetf₁ sont lipschitziennes et qu'on est en dimension nie, l'inégalité suivante :

Nous sommons chacune des inégalités (1.73) et (1.74) pour n allant de 1 jusquà m≤N. En remarquant que z_h⁰ =z_h¹=0 et w⁰_h =w_h¹ =0, nous obtenons

Pour appliquer le lemme de Gronwall discret, nous écrivons le dernier terme d'ordren=m du second membre de la manière suivante :

w^m_h =δ²w^m−1_h + 2w_h^m−1−w_h^m−2

et

zⁿ_h =δ²z_h^m−1+ 2z_h^m−1−z_h^m−2. Par conséquent,

kw^m_h k²_L2(Ω)^d= 2

kδ²w^m−1_h k²_L2(Ω)^d +k2w_h^m−1−w_h^m−2k²_L2(Ω)^d

et

kz_h^mk²_L2(Ω)= 2

kδ²z^m−1_h k²_L2(Ω) +k2z_h^m−1−z_h^m−2k²_L2(Ω)

. Pour τ_m assez petit, le terme

c3τm(kz_h^mk²_L2(Ω) +kw_h^mk²_L2(Ω)^d)

peut être contrôlé à l'aide des termes correspondants du premier membre de l'équation (1.75) écrite pour l'ordremetm−1. Nous appliquons ainsi le lemme de Gronwall discret, pour obtenir wⁿ_h =zⁿ_h = 0, 2≤ n ≤N. Grâce à la condition inf-sup, nous avons pⁿ_h = 0, 2≤n≤N.

D'où l'unicité de la solution.

2

1.6.2 Estimation d'erreur a priori

Dans cette section, nous établissons une estimation a priori de l'erreur de discrétisation du schéma numérique d'ordre deux en temps et en espace. Nous supposons alors que le pas de temps est xe et que le maillage n'évolue pas avec le temps. Nous notons par hle pas de maillage etτ le pas de temps. Pour simplier, nous prenonsu⁰_h =Phu⁰ etT_h⁰ =RhT⁰. Théorème 1.6.10. Soient T ∈L^∞

0,Tˆ;H³(Ω)

, T⁰ ∈L^∞

0,Tˆ;H²(Ω) , T⁰⁰ ∈L^∞

0,Tˆ;L²(Ω)

et u ∈L^∞

0,Tˆ;H³(Ω)^d

, l'erreur de la température obtenue par une itération du schéma d'Euler (1.63) vérie l'inégalité suivante, pour τ assez petit,

1

2 kT_h¹−R_hT¹k²_L2(Ω) +1

2ατ|T_h¹−R_hT¹|²_H1

0(Ω)≤Cˆ_T⁰ (h⁴+τ⁴) + ˆC_T⁰⁰τ|u¹_h−P_hu¹|²_H1 0(Ω)^d. où P_h et R_h sont les opérateurs dénis dans la Proposition 1.6.2.

Preuve. D'après la formule de Taylor-Lagrange, il existe θ∈]0; 1[ telle que T⁰ =T¹−τ T⁰(τ) + 1

2τ²T⁰⁰(τ θ), alors,

(1.76) T⁰(τ) = T¹−T⁰

τ −τ

2T⁰⁰(τ θ).

La solution continue T¹ vérie l'équation suivante, pour tout r∈Y

Nous remplaçons (1.76) dans (1.77), pour obtenir T¹−T⁰, r

D'autre part, la solution T_h¹ du problème discret (1.63), vérie l'équation suivante T_h¹−T_h⁰, r_h

Nous ajoutons et retranchons R_hT¹ dans le premier et le deuxième terme de l'égalité précédente Pour le terme B2, nous avons le résultat suivant

|B₂| =

Le terme trilinéaire B₃ s'écrit sous la forme suivante :

Nous traitons chaque terme séparement, pour obtenir en utilisant la Remarque 1.6.4, les majorations suivantes ; En utilisant les estimations obtenues, (1.80) s'écrit

kr¹_hk²_L2(Ω) +ατ|r_h¹|²_H1 et Cˆ_u⁰⁰⁰⁰ indépendantes de δ₁ telles que, pour τ assez petit,

1

où P_h et R_h sont les opérateurs dénis dans la Proposition 1.6.2.

Preuve. Pour démontrer (1.81) il sut de suivre les mêmes étapes de la preuve du Théorème 1.6.10. Nous utilisons la formule de Taylor-Lagrange, alors il existe θ∈]0; 1[ tel que,

(1.82) u⁰(τ) = u¹−u⁰

τ +1

2τu⁰⁰(τ θ).

Notonsv¹_h =u¹_h−P_hu¹ etϕ¹_h =P_hu¹−u¹, oùP_h est l'opérateur déni dans la Proposition 1.6.2. Le problème continue (E) donne, pour t=t₁ =τ etv=v_h¹, la relation suivante :

u⁰(τ),v¹_h

+ (ν(T¹)∇u¹,∇v_h¹)−(p¹,div v_h¹) +d_u(u¹,u¹,v¹_h)

=τ(f₀(t₁),v¹_h) +τ(f₁(T¹),v¹_h) la formule 1.82 nous donne,

u¹−u⁰,v_h¹

−1 2τ²

u⁰⁰(τ θ),v¹_h

+τ ν(T¹)∇u¹,∇v_h¹

−τ p¹,div v¹_h

+τ d_u u¹,u¹,v_h¹

=τ f₀(t₁),v¹_h

+τ f₁(T¹),v¹_h (1.83) .

D'autre part, la solution (u¹_h, p¹_h, T_h¹) vérie l'équation discrète suivante, pour v_h =v_h¹ u¹_h−u⁰_h

τ ,v¹_h

+ ν(T_h¹)∇u¹_h,∇v¹_h

− p¹_h,div v_h¹ +d_u u¹_h,u¹_h,v¹_h

= f₀¹,v¹_h

+ f₁(T_h¹),v_h¹ (1.84) .

(1.83) et (1.84) impliquent,

(1.85)

(u¹_h−u¹,v_h¹) + 1 2τ²

u⁰⁰(τ θ),v¹_h

+τ ν(T_h¹)u¹_h−ν(T¹)∇u¹,∇v_h¹

−τ(p¹_h−p¹,divv¹_h) +τ d_u(u¹_h,u¹_h,v¹_h)−τ d_u(u¹,u¹,v_h¹)

=τ(f₁(T_h¹)−f₁(T¹),v¹_h) + (u⁰_h−u⁰,v¹_h).

Nous ajoutons et nous retranchons P_hu¹ dans le premier et le troisième terme de (1.85), ensuite nous intercalons ±(ν(T_h¹)∇P_hu¹,v¹_h), pour obtenir,

kv¹_hk²_L2(Ω)^d +τνˆ1|v¹_h|²_H1 0(Ω)^d ≤

|τ ν(T_h¹)P_hu¹−ν(T¹)∇u¹,∇v¹_h

|+|τ p¹_h−p¹,div v_h¹

|

|τ d_u u¹_h,u¹_h,v¹_h

−d_u u¹,u¹,v_h¹

|+|1 2τ²

u⁰⁰(τ θ),v¹_h

| +|τ f₁(T_h¹)−f₁(T¹),v_h¹

|+| P_hu¹−u¹

− u⁰_h−u⁰ ,v¹_h (1.86) |.

Notons B₁,...,B₆ les termes du second membre de l'équation précédente.

Nous suivons la même démarche de la preuve du Théorème 1.6.13. Alors, en utilisant

la Proposition 1.6.2, le Lemme 1.2.3 et le fait que ν est bornée et lipschitzienne, nous obtenons

B₁ = τ ν(T_h¹)∇(P_hu¹−u¹),∇v_h¹

+τ ν(T_h¹)−ν(T¹)

∇u¹,∇v¹_h

≤ 1

2ε₁νˆ₂²c²_Ph⁴τ kuk²_L∞

(^{0,Tˆ;H3(Ω)d})+1

2τ ε₁|v¹_h|²_H1 0(Ω)^d

+ 1

2ε₂δ₁τ(ν^∗)² kuk²_L∞(^{0,Tˆ;W1,4(Ω)d})kT_h¹−T¹k²_L2(Ω)

+ 1

2ε₂δ₁τ(ν^∗)² kuk²

L^∞(^{0,Tˆ;W1,4(Ω)d}) |T_h¹−T¹|²_H1

0(Ω)+1

2ε₂|v_h¹|²_H1 0(Ω)^d. Commer_hp¹, p¹_h ∈M_1h ,alors

τ(r_hp¹,div v¹h) = 0 et

τ(p¹_h,div v¹h) = 0,

oùr_h est l'opérateur introduit dans la Proposition 1.6.2. D'où B2 = τ rhp¹−p¹,div v_h¹

≤ τ c²_rh⁴ ε₃ kpk²

L^∞(^{0,Tˆ;H2(Ω)})+τ ε₃ 2 |v¹_h|²_H1

0(Ω)^d.

Ensuite, nous intercalons dansB₃, le termeτ d_u(u¹_h, P_hu¹,v_h¹), pour avoir d'après le Théo-rème 1.4.6

B₃ =τ d_u u¹_h, P_hu¹,v¹_h

−τ d_u u¹,u¹,v¹_h . Nous ajoutons et retranchons les termes suivants

τ d_u P_hu¹, P_hu¹,v¹_h

et τ d_u u¹, P_hu¹,v¹_h . AlorsB₃ s'écrit

B₃ = τ d_u v¹_h, P_hu¹,v¹_h

+τ d_u ϕ¹_h, P_hu¹,v¹_h

+τ d_u u¹, ϕ¹_h,v¹_h

= B3,1+B3,2+B3,3. En utilisant le Lemme 1.2.3 et

ab≤ a^p p +b^p

0

p⁰ , avec 1 p + 1

p⁰ = 1,

nous obtenons les majorations suivantes, Le terme source sera majoré par

B5 ≤ 1 Il vient des majorations obtenues, l'inégalité suivante

kv_h¹k²_L2(Ω)^d +ˆν1τ|v¹_h|²_H1

Théorème 1.6.12. Sous les hypothèses des Théorèmes 1.6.10 et 1.6.11, il existe des constantes k₀, Cˆ_u et Cˆ_T, indépendantes de h et de τ, telles que

1

4 kr_h¹k²_L2(Ω) +1 4|r_h¹|²_H1

0(Ω)≤CˆT(h⁴+τ⁴)

et 1

4 kv¹_hk²_L2(Ω)^d +1 4|v¹_h|²_H1

0(Ω)^d ≤Cˆ_u(h⁴+τ⁴).

Preuve. D'après les Théorèmes 1.6.10 et 1.6.11, nous avons 1

2 kr¹_hk²_L2(Ω) +1

2ατ|r_h¹|²_H1

0(Ω) ≤Cˆ_T⁰(h⁴+τ⁴) + ˆC_T⁰⁰τ|v¹_h|²_H1 0(Ω)^d

et

τνˆ1

2 |v¹_h|²_H1

0(Ω)^d ≤Cˆ_u⁰(h⁴+τ⁴) + ˆC_u⁰⁰⁰⁰δ₁τ|T_h¹−T¹|_H¹

0(Ω)

+ Cˆ_u⁰⁰+ Cˆ⁰⁰⁰_u

δ₁

!

τ kT_h¹−T¹k²_L2(Ω) . (1.87)

Nous intercalonsR_hT_h¹ dans les deux termes de l'équation (1.87). Il vient de la Proposition 1.6.2 avecδ₁ = αˆν₁

8 ˆC_T⁰⁰Cˆ_u⁰⁰⁰⁰, 1

2 kr¹_hk²_L2(Ω)+ατ 4 |r¹_h|²_H1

0(Ω) ≤Cˆ_T⁰(h⁴+τ⁴) + ˆC_T⁰⁰τ kr_h¹k²_L2(Ω) . Supposons que Cˆ_T⁰⁰τ ≤ 1

4, alors nous concluons l'estimation a priori suivante : (1.88) kT_h¹−T¹k²_L2(Ω)+τ|T_h¹−T¹|²_H1

0(Ω) ≤Cˆ_T(h⁴+τ⁴).

L'estimation a priori qui correspond à la vitesse sera déduite à partir du Théorème 1.6.11 et la relation (1.88), pourτ assez petit.

Dans ce qui suit, nous énonçons les théorèmes intermédiaires qui nous seront utiles dans2 l'estimation a priori de l'erreur de la vitesse et la température.

Théorème 1.6.13. Soient (u, T, p) la solution du problème continu (E), (uⁿh, T_hⁿ, pⁿ_h) la solution du problème discret. Pour u ∈ L^∞ 0, T;H³(Ω)^d

, T ∈ L^∞(0, T;H³(Ω)), T⁰ ∈ L^∞(0, T;H²(Ω)) et T⁽³⁾ ∈L²(0, T;L²(Ω)), il existe des constantesCˆ_T⁰ , Cˆ_T⁰⁰ et Cˆ_T⁰⁰⁰ qui ne dépendent pas de h et de τ telles que,pour tout m ≤N

kT_h^m−RhT^mk²_L2(Ω) +k2(T_h^m−RhT^m)−(T_h^m−1−RhT^m−1)k²_L2(Ω)

+

m

X

n=2

kδ²(T_hⁿ⁻¹−RhTⁿ⁻¹)k²_L2(Ω) +

m

X

n=2

τ α|T_hⁿ−RhTⁿ|²_H1(Ω)

≤ Cˆ_T⁰ (τ⁴+h⁴) + ˆC_T⁰⁰⁰

m

X

n=2

τ|uⁿ_h−P_huⁿ|²_H1 0(Ω)^d, où P_h et R_h sont les opérateurs dénis dans la Proposition 1.6.2.

Preuve. Nous considérons l'équation de la température du problème discret (1.62). En nous obtenons la relation suivante :

(1.89)

D'autre part, la deuxième équation du problème continue (E) donne, pour t = tn et r=r_h =rⁿ_h, La formule de Taylor avec reste intégral implique,

D'après les inégalités de Cauchy-Schwarz et (1.6), nous obtenons

|R₁| ≤ τ⁴

avec

A₁ =|2 3ϕⁿ_h −4ϕⁿ⁻¹_h +ϕⁿ⁻²_h , r_hⁿ

|, A₂ =τ α|(∇ϕⁿ_h,∇rⁿ_h)| et

A₃ =|d_T (uⁿ_h, T_hⁿ, r_hⁿ)−d_T (uⁿ, Tⁿ, r_hⁿ)|.

D'autre part, d'après la formule de Taylor, nous avons 2 3ϕⁿ_h−4ϕⁿ⁻¹_h +ϕⁿ⁻²_h , r_hⁿ

=

R_hT⁰(t_n)−T⁰(t_n), rⁿ_h

+ (R₂, r_hⁿ), avec

R₂ ≤ τ³² 2√

3 kR_hT⁽³⁾−T⁽³⁾k_L²_(tn−2,tn) .

Or, d'après [52], l'oprérateur R_h est stable en normeL², alors nous obtenons, en utilisant l'inégalité de Cauchy Schwarz,

|A₁| ≤ 2τ kR_hT⁰(t_n)−T⁰(t_n)k_L²_(Ω)krⁿ_hk_L²_(Ω) +τ τ³²

√2 kR_hT⁽³⁾−T⁽³⁾k_L²_(0,T;L²_(Ω))krⁿ_hk_L²_(Ω) .

A partir de l'inégalité (1.6), les propriétés de Rh (1.66) et de Ph (1.65), nous avons

|A₁| ≤ (S₂⁰)²c²_Rh⁴τ

2ε₂ kT⁰k²

L^∞(^{0,Tˆ;H2(Ω)})+ε₂τ 2 |r_hⁿ|²_H1

0(Ω)

+τ⁴(S₂⁰)²(c⁰_R)²

6ε₃ kT⁽³⁾k_L2(^{0,Tˆ;L2(Ω)}) + τ ε₃

2 |r_hⁿ|²_H1 0(Ω). De même, |A₂| sera majoré par,

|A₂| ≤ α²τ h⁴c²_R 2ε4

kuk²

L^∞(^{0,Tˆ;H3(Ω)d}) +τ ε₄

2 krⁿ_hk²_H1(Ω) .

Enn, pour estimer le terme|A₃|, nous intercalons tout d'abord les termes±4τ(uⁿ_h∇R_hTⁿ, r_hⁿ) et±2τ(divuⁿ_hR_hTⁿ, r_hⁿ) et nous utilisons la Proposition 1.4.6,

|A₃| = 4τ(uⁿ_h∇R_hTⁿ, rⁿ_h) + 2τ(div uⁿ_hR_hTⁿ, rⁿ_h)

−4τ(uⁿ∇Tⁿ, r_hⁿ)−2τ(div uⁿTⁿ, r_hⁿ), ensuite, nous ajoutons et nous retranchons les termes

4τ(Phuⁿ∇RhTⁿ, r_hⁿ), 2τ(div (Phuⁿ)RhTⁿ, rⁿ_h), 4τ(vⁿ_h∇Tⁿ, rⁿ_h) et 2τ(div (v_hⁿ)Tⁿ, rⁿ_h), pour obtenir la relation suivante,

|A₃| ≤ |A_3,1|+|A_3,2|+|A_3,3|,

avec

A_3,1 = 4τ(vⁿ_h∇R_hTⁿ, rⁿ_h) + 2τ(div vⁿ_hR_hTⁿ, rⁿ_h), A_3,2 = 4τ(P_huⁿ∇ϕⁿ_h, rⁿ_h) + 2τ(div vⁿ_hϕⁿ_h, r_hⁿ),

A_3,3 = 4τ((P_huⁿ−uⁿ)∇Tⁿ, r_hⁿ) + 2τ(div(P_huⁿ−uⁿ)Tⁿ, rⁿ_h).

Pour majorer A_3,1, A_3,2 et A_3,3, nous appliquons les inégalités de Sobolev, de Hölder et (1.6), de même que la Proposition 1.6.2. Alors, nous obtenons

|A3,1| ≤ 2(S₄⁰)⁴(c⁰_R)²τ ε₅ |vⁿ_h|²_H1

0(Ω)^d kTk²_L∞(^{0,Tˆ;H1(Ω)}) +(S₄⁰)⁴(c⁰_R)²τ

ε₆ |v_hⁿ|²_H1

0(Ω)^d kTk²

L^∞(^{0,Tˆ;H1(Ω)}) +2τ ε5|rⁿ_h|²_H1

0(Ω)+τ ε6|rⁿ_h|²_H1 0(Ω),

|A_3,2| ≤ 2(S₄⁰)⁴(c⁰_P)²c²_Rτ

ε₇ h⁴ kTk²_L∞

(^{0,Tˆ:H3(Ω)})kuk²_L∞

(^{0,Tˆ;H1(Ω)d}) +(S₄⁰)⁴(c⁰_P)²c²_Rτ

ε₈ h⁴ kTk²_L∞(^{0,Tˆ:H3(Ω)})kTk²_L∞(^{0,Tˆ;H1(Ω)}) +2τ ε₇|rⁿ_h|²_H1

0(Ω)+τ ε₈|r_hⁿ|²_H1 0(Ω), et

|A_3,3| ≤ 2(S₄⁰)⁴c²_Rτ

ε₉ h⁴ kuk²

L^∞(^{0,Tˆ:H3(Ω)d})kTk²

L^∞(^{0,Tˆ;H1(Ω)}) +(S₄⁰)⁴(c⁰_R)²τ

ε₁₀ h⁴ kuk²

L^∞(^{0,Tˆ:H3(Ω)d})kTk²

L^∞(^0,Tˆ;H0¹(Ω)) +2τ ε₉|r_hⁿ|²_H1

0(Ω)+τ ε₁₀|r_hⁿ|²_H1 0(Ω).

Finalement, nous utilisons les majorations obtenues précédemment pour obtenir, en som-mant sur n de2 jusqu'à m≤N, l'estimation suivante :

kr_h^mk²_L2(Ω) +k2r^m_h −r_h^m−1k²_L2(Ω)+

m

X

n=2

kδ²r_hⁿ⁻¹k²_L2(Ω) +4

m

X

n=2

τ α|r_hⁿ|²_H1 0(Ω)

≤ ξ₁(τ⁴+h⁴) +ξ₂

m

X

n=2

τ|r_hⁿ|²_H1

0(Ω)+ξ₃

m

X

n=2

τ|vⁿ_h|²_H1 0(Ω)^d

+3 kr¹_hk²_L2(Ω), (1.92)

avec ξ_i, i= 1, ...,3dépendent de ε_i, i= 1, ...,10.

D'après le Théorème 1.6.10, avec un choix convenable de ε_i pour i ∈ {1, ...,10} (avec

ξ₂ = 2α), (1.92) devient

Le théorème suivant nous donne l'estimation a priori de l'erreur de la vitesse. 2

Théorème 1.6.14. Soientd= 2,(u, T, p)la solution du problème continu (E),(uⁿh, T_hⁿ, pⁿ_h) Toutes les constantes utilisées dans la précédante majoration sont indépendentes de h et de τ. problème contine (E), pour avoir

4τ

u⁰(t_n),vⁿ_h

+ 4τ(ν(Tⁿ)∇uⁿ,∇vⁿ_h)−4τ(pⁿ,div vⁿ_h)

+4τ(uⁿ∇uⁿ,vⁿ_h) + 2τ(div (uⁿ)uⁿ,vⁿ_h) = 4τ(f₀ⁿ,vⁿ_h) + 4τ(f₁(Tⁿ),vⁿ_h). (1.94)

D'après la formule de Taylor, nous pouvons écrire

Nous intercalons ±2 3uⁿh−4uⁿ⁻¹_h +uⁿ⁻²_h ,vⁿh

dans (1.94). Ce qui implique,

(1.95) 2 3uⁿh−4uⁿ⁻¹h +uⁿ⁻²h ,vⁿh

+ 4τ(ν(Tⁿ)∇uⁿ,∇vⁿh) + 4τ(uⁿ∇uⁿ,vⁿh) + 2τ(div (uⁿ)uⁿ,vⁿh)−4τ(pⁿ,div vⁿh)−4τ(fⁿ(Tⁿ),vⁿh) = ˜R1, avec

R˜₁ =

τu⁰(t)− 3u(t)−4u(t−τ) +u(t−2τ)

2 ,v_h

≤ τ⁴ 24˜ε1

ku⁽³⁾k²

L²(^{0,Tˆ;L2(Ω)d})+τε˜₁(S₂⁰)² 2 |uⁿ_h|²_H1

0(Ω)^d. (1.93) et (1.95) donnent en ajoutant et retranchant

2 3P_huⁿ−4P_huⁿ⁻¹ +P_huⁿ⁻²,vⁿh

et4τ(ν(T_hⁿ)∇P_huⁿ,∇vⁿh), le résultat suivant :

kvⁿ_hk²_L2(Ω)^d +k2vⁿ_h−vⁿ⁻¹_h k²_L2(Ω)^d +kδ²vⁿ⁻¹_h k²_L2(Ω)^d

− kvⁿ⁻¹_h k²_L2(Ω)^d − k2vⁿ⁻¹_h −vⁿ⁻²_h k²_L2(Ω)^d +4τνˆ₁|vⁿ_h|²_H1 0(Ω)^d

≤ |2 3 ˜ϕⁿ_h −4 ˜ϕⁿ⁻¹_h + ˜ϕⁿ⁻²_h ,vⁿh

|+|4τ(ν(T_hⁿ)∇Phuⁿ,∇vⁿh)−4τ(ν(Tⁿ)∇uⁿ,∇vⁿh)|

+|4τ(uⁿh∇uⁿh,vⁿh) + 2τ(div (uⁿh)uⁿh,vⁿh)−4τ(uⁿ∇uⁿ,vⁿh)−2τ(div(uⁿ)uⁿ,vⁿh)| +|4τ(pⁿ_h−pⁿ,div vⁿh)|+|4τ(f₁(T_hⁿ),vⁿh)−4τ(f₁(Tⁿ),vⁿh)|+|R˜₁|.

Nous notons les termes du membre droite de l'équation précédente, respectivement, A˜_i pouri∈ {1, ...,5}.

Or,

3 ˜ϕⁿ_h−4 ˜ϕⁿ⁻¹_h + ˜ϕⁿ⁻²_h

2τ =P_hu⁰(t_n)−u⁰(t_n) + ˜R₂, avec

|R˜₂| ≤ τ³² 2√

3 k P_hu⁽³⁾−u⁽³⁾

(x)k_L²_(tn−2,tn) .

Comme P_h est stable en norme H₀¹, alors nous obtenons en utilisant les inégalités de Hölder, (1.6) et la Proposition 1.6.2, l'estimation suivante

|A˜₁| ≤ 2(c_P)²h⁴

˜ ε2

ku⁰k²

L^∞(^{0,Tˆ;H2(Ω)d})+2τε˜₂|v_hⁿ|²_H1 0(Ω)^d

+(S₄⁰)⁴τ⁴(c⁰_P)²

˜

ε₃ ku⁽³⁾k²

L²(^0,Tˆ;H0¹(Ω)^d) +τε˜₃|v_hⁿ|²_H1 0(Ω)^d

Pour le terme|A˜₂|, nous intercalons±4τ(ν(T_hⁿ)∇uⁿ,vⁿ_h). Il vient des inégalités de Hölder,

de Sobolev, (1.64) et du Lemme 1.2.3 le résultat suivant :

|A˜₂| ≤ 2(ˆν₂)²c²_Ph⁴τ

˜

ε₄ kuk²

L^∞(^{0,Tˆ;H3(Ω)d}) +2τε˜₄|vⁿ_h|²_H1 0(Ω)^d

+2τ(ν^∗)⁴

˜

ε₅δ˜₁ kuk⁴

L^∞(^{0,Tˆ;W1,4(Ω)d})kT_hⁿ−Tⁿk²_L2(Ω)

+τδ˜₁

˜

ε₅ |T_hⁿ−Tⁿ|²_H1

0(Ω)+τε˜5|vⁿ_h|²_H1 0(Ω)^d. Ensuite, nous ajoutons et nous retranchons dans A˜3 les termes

4τ d_u(uⁿ_h, P_huⁿ,vⁿ_h), 4τ d_u(P_huⁿ, P_huⁿ,v_hⁿ) et4τ d_u(uⁿ, P_huⁿ,vⁿ_h). D'après la Proposition 1.4.6, nous obtenons l'inégalité suivante

|A˜₃| ≤ |4τ(vⁿ_h∇P_huⁿ,vⁿ_h) + 2τ(div(vⁿ_h)P_huⁿ,vⁿ_h)|

+|4τ((P_huⁿ−uⁿ)∇P_huⁿ,vⁿ_h) + 2τ(div (P_huⁿ−uⁿ)P_huⁿ,vⁿ_h)| +|4τ(uⁿ∇(P_huⁿ−uⁿ),v_hⁿ) + 2τ(div(uⁿ)(P_huⁿ−uⁿ)uⁿ,v_hⁿ)|

≤ A˜_3,1+ ˜A_3,2+ ˜A_3,3. Alors, en utilisant la relation suivante

ab≤ a^p p +b^p

0

p⁰ , avec 1 p + 1

p⁰ = 1,

lLa Remarque 1.6.4 et le Lemme 1.2.3, nous obtenons la majoration suivante,

|A˜_3,1| ≤ 4τ S₄⁰(c⁰_P)²2¹⁴ kuk_L∞(^0,Tˆ;H0¹(Ω)^d)kvⁿ_hk_L¹²2(Ω)^d |vⁿ_h|_H³²1 0(Ω)^d

≤ 4τ S₄⁰(c⁰_P)² kuk_L∞(^0,Tˆ;H0¹(Ω)^d) 1

2(˜ε₆)⁴|vⁿ_h|²_H1

0(Ω)^d+3(˜ε₆)⁴³

4 kvⁿ_hk²_L2(Ω)^d

! . De plus,

|A˜_3,2| ≤ 4τ(S₄⁰)⁴(c⁰_P)²c²_P

˜

ε₇ h⁴ kuk²_L∞(^0,Tˆ;H0¹(Ω)^d)kuk²_L∞(^{0,Tˆ;H3(Ω)d}) +4τε˜₇|vⁿ_h|²_H1

0(Ω)^d

et

|A˜3,3| ≤ 4τ(S₄⁰)⁴c²_P

˜

ε₈ h⁴ kuk²_L∞(^0,Tˆ;H0¹(Ω)^d)kuk²_L∞(^{0,Tˆ;H3(Ω)d}) +4τε˜8|vⁿ_h|²_H1

0(Ω)^d. D'autre part, comme r_hpⁿ, pⁿ_h ∈M_nh ,alors

4τ(r_hpⁿ,div vⁿh) = 0

et

4τ(pⁿ_h,div vⁿh) = 0,

oùr_h est l'opérateur introduit dans la Proposition 1.6.2. D'où,

|A˜₄| ≤ 4τ c²_rh⁴

˜

ε₉ kpk²

L^∞(^{0,Tˆ;H2(Ω)}) +2τε˜₉|vⁿ_h|²_H1 0(Ω)^d.

Finalement, pour le terme A˜₅, nous utilisons le fait que f₁ est c^∗_f1-lipschitzienne pour obtenir

Nous sommons surn allant de 2àm. Alors les estimations obtenues précédemment nous donnent

Nous utilisons le résultat du Théorème 1.6.11 et choisissons des valeurs convenables deε˜_i, pouri∈ {1, ..,9}, de sorte d'avoir Pour appliquer le lemme de Gronwall discret, nous remarquons que

kv^m_h k_L²_(Ω)^d≤2(kδ²v^m−1_h k²_L2(Ω)^d +k2v^m−1_h −v^m−2_h k²_L2(Ω)^d).

Le Théorème 1.6.12 et le lemme de Gronwall impliquent, pour τ susamment petit, la Théorème 1.6.15. Sous les hypothèses des Théorèmes 1.6.14 et 1.6.13, il existe deux constantes Cˆu et CˆT indépendantes de τ et h, pour τ assez petit, telles que avec P_h et R_h sont les opérateurs d'interpolation dénis dans la Proposition 1.6.2 et Cˆ_u et Cˆ_T sont dépendantes du temps nal Tˆ.

Preuve. Nous commençons par démontrer l'inégalité (1.96). D'après le résultat du Théo-rème 1.6.13, nous avons

Le Théorème 1.6.14, nous permet de remplacer le dernier terme de (1.98) par Cˆ_u(h⁴+τ⁴) + ˆC_uδ₁

pour obtenir en utilisant les mêmes notations des constantes, Il vient des propriétés de R_h, les inégalités suivantes :

|T_hⁿ−Tⁿ|²_H1

0(Ω) ≤2(c⁰_R)²h⁴ kTk²

L^∞(^{0,Tˆ;H3(Ω)}) +2|r_hⁿ|²_H1 0(Ω). Nous les remplaçons dans (1.99) et choisissons δ˜₁ = α

4 ˆC_T⁰⁰⁰ pour obtenir en conservant les mêmes notations des constantes,

Pourτ assez petit, ces termes seront contrôlés par des termes correspondants du premier membre de l'équation 1.100. Alors, nous appliquons le théorème de Gronwall discret, ce qui implique l'estimation d'erreur suivante :

sup

La relation (1.97) découle du Théorème 1.6.14, en suivant les mêmes étapes de calcul et concluons la preuve du théorème.

2

Chapitre 2

Simulations numériques du problème

modèle

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