Préliminaires et notations

Le but de cette sous-section est d’établir le cadre dans lequel nous allons mener notre étude sur les mesures de risque. Nous introduisons toutes les notations que nous utiliserons dans ce chapitre et dans le suivant. Ainsi nous évoquons la notion de rendement aléatoire d’une activité ou d’un portefeuille, à laquelle nous appliquons l’ensemble des mesures et des résultats de ce Chapitre 6. Nous établissons également les notations qui nous servirons lors de l’application au problème d’optimisation de portefeuille traité au Chapitre 7.

a. Représentation du risque en gestion de portefeuille – Estimateurs empiriques et cadre probabiliste.

Nous nous donnons un ensemble de m actifs risqués dont on considère le rendement sur un horizon de temps donné. Plus tard, notre étude empirique prendra par exemple en compte des rendements mensuels. On considère une réalisation historique

{

r₁,...,rn

}

du processus

( )

Rt _{1≤ ≤t n} où

(

)

1_,..., m

t t t

R = R R représente le vecteur des rendements de chaque actif à la date t .

( )

Yt _{1≤ ≤t n} est donc un processus vectoriel à valeurs dans

m_{.On note ainsi}

(

1_,..., m

)

t t t

r = r r pour chaque réalisation à la date 1 t n≤ ≤ du vecteur des rendements. Ces actifs peuvent tout à fait également représenter des activités pour lesquelles on aurait défini un rendement sur une période donnée (mensuelle, trimestrielle, annuelle).

Nous allons ainsi constituer des portefeuilles composés de ces m actifs en des proportions déterministes. Chacune d’elles sont représentées par un vecteur

(

₁,...,

)

m

m

a= a a ∈ : un portefeuille est donc caractérisé par son allocation a. Pour un portefeuille associé à la composition a, on note alors

( )

( )

1 1 m k k t t t k t n a a a R a R = ≤ ≤ ⎛ _′ ⎞ Π = Π_⎜ = = _⎟ ⎝

∑

⎠ le processus (à valeurs

dans ) de ses rendements aléatoires et

( )

( )

1 ₁ m k k t t t k _{t n} a a a r a r π π = _{≤ ≤} ⎛ _′ ⎞ =_⎜ = = _⎟ ⎝

∑

⎠ sa réalisation

historique étant donné celle des rendements des actifs

{

r₁,...,rn

}

. Comme évoqué

précédemment, le concept de portefeuille d’actifs peut être élargi à celui de portefeuille d’activités, pour peu qu’un rendement sur une période donnée ait été défini pour chacune d’entre elles.

Pour estimer la loi de probabilité de ces rendements de portefeuille, nous allons faire l’hypothèse que processus

( )

R_{t 1≤ ≤t n} est strictement stationnaire ; ainsi nous allons considérer la mesure du risque du point de vue des lois marginales. Dans le cas où l’hypothèse de stricte stationnarité ne peut être vérifiée, il faut avoir recours à des estimateurs des lois conditionnelles, à l’image de ce qui est fait dans Scaillet (2005) par exemple. Pour estimer la loi de probabilité du rendement de portefeuille Π

( )

a à chaque date, nous allons de plus nous intéresser à l’estimateur empirique emp_{( )}

a

F_Π de sa fonction de répartition défini à l’aide du vecteur de ses réalisations historiques π

( )

a de la manière suivante :

( )

( )

∑

[ ( ) [

( )

= +∞ Π = n t a emp a x n x F t 1 , 1 : 1_π ..

Comme une fonction de répartition classique, cet estimateur est continu à droite avec une limite à gauche en tout point (càdlàg), c’est aussi une fonction en escalier croissante.

Remarque : Tous les portefeuilles élaborés sur la base des m actifs initiaux ont une loi de probabilité connue si on connaît la loi de probabilité du processus

( )

_{t 1}

t n

Y _{≤ ≤} . Plus précisément, la réalisation historique d’un portefeuille à la date t est fonction de la seule réalisation historique y de _t Y . Par conséquent, notre cadre empirique est parfaitement équivalent à un _t cadre probabiliste

(

Ω A P, ,

)

où Ω , l’espace d’états, est fini de cardinal n, A est la tribu associée, P est la mesure uniforme sur Ω et où pour tout 1 t n≤ ≤ , Y est représenté par la _t variable aléatoire vectorielle R , de dimension m, définie par R

( )

ω₁ =r₁,...,R

( )

ω_n = . En r_n effet dans ce cadre, la fonction de répartition de la variable aléatoire Π

( )

a =a R′ est identique à l’estimateur empirique de la fonction de répartition du rendement Π

( )

a _t =a R′ t,1≤ ≤t n

dans l’ « ancien » cadre probabiliste.

„ En raison de cette analogie apportée par l’utilisation d’estimateurs empiriques sur un processus strictement stationnaire dans un espace probabilisé général, nous allons considérer dans tout ce chapitre et dans le suivant un cadre probabiliste à espace d’états finis comme évoqué en Remarque 1.1. Ce cadre est par ailleurs celui qu’on trouve dans Artzner et al. (1999) par exemple. Désormais, nous nous intéresserons alors à des variables aléatoires X bornées – on note X∈L∞

( )

Ω – définies sur cet espace probabilisé.

Une variable aléatoire X est alors caractérisée par ses n valeurs possibles

( )

( )

(

x1 =X ω1 ,...,xn =X ωn

)

, toutes équiprobables. Sa fonction de répartition s’exprime

ainsi :

( )

_[ , _[

( )

1 1 : i n X x i F x x n = +∞ =

∑

1 .

Remarque : Parmi la littérature scientifique, la variable aléatoire représentant le risque est souvent liée à des quantités de nature variée. Il peut s’agir d’un niveau de richesse absolu sur un horizon de temps donné. C’est par exemple le cas en gestion actif-passif lorsqu’on s’intéresse au résultat futur d’une activité ou d’une filiale sur une période de temps d’un an. Il peut également s’agir d’un niveau de pertes, comme par exemple en risque de crédit, lorsqu’on calcule des fonctions d’expected loss ou de loss given default sur des produits de crédit (CDS, CDOs, Basket Default Swaps, etc.). Pour nous, il s’agit d’un niveau de rendement c’est-à-dire d’une quantité du type ( 1) ( )

( )

t t

t Π + − Π

Π où Π désigne le niveau de (t) richesse absolue du portefeuille à la date t . C’est un cadre qu’on trouve de manière fréquente en gestion d’actifs.

En résumé, dans ce chapitre et dans le suivant, la mesure du risque porte sur des rendements aléatoires à horizon déterminé. En effet, la question de l’horizon dans la mesure du risque est cruciale (faut-il mesurer une VaR à horizon 6 mois, 1 an, 2 ans ?), ainsi nous considérerons dans ces deux chapitres des rendements aléatoires portant sur le même horizon de temps.

b. Fonction de quantile

Nous définissons ici un autre mode de caractérisation du profil probabiliste des rendements aléatoires, il s’agit de leur fonction de quantile. Si nous reprécisons cette notion bien connue, c’est qu’il en existe de multiples formalisations dans la littérature (cf. Denneberg (1994) par exemple et la remarque ci-après).

Définition (Fonction de quantile). La fonction de quantile d’une variable aléatoire X est

définie de la manière suivante :

[ ]

{

}

1_{: 0;1} inf ( ) X X F p y F y p − _→ ≥ .

Cette fonction appartient à la classe des fonctions pseudo-inverses de la fonction de répartition F_X (cf. Denneberg (1994)). Cette fonction vérifie en particulier la propriété suivante :

( )

1 1

( )

[ ]

0 X X xdF x F p dp X +∞ − −∞ = =

∫

∫

E .

Remarque : Les intégrales sont ici définies au sens de Stieltjes7. Par ailleurs, on rappelle que la fonction de quantile est continue à gauche et admet une limite à droite en tout point (càglàd).

„

Remarque : Si notre choix de la fonction de quantile parmi les pseudo-inverses de la fonction

de répartition est arbitraire, il correspond néanmoins à la convention choisie par la majeure partie de la littérature scientifique traitant de théorie du risque. Nous avons choisi le quantile dit inférieur. Nous aurions tout aussi bien pu choisir par exemple le quantile supérieur défini par F_X−1

( )

p =sup

{

y F_X(y)≤ p

}

. De plus amples développements sur le sujet peuvent être

trouvés dans Acerbi et Tasche (2002) et Rockafellar et Uryasev (2002) par exemple.

„ Dans notre cadre, où le nombre d’états de l’espace probabilisé est fini, la fonction de quantile du rendement X prend la forme suivante, pour α∈

] ]

0,1 :

( )

1 : X i n F− α =x si i 1,i n n α_{∈ ⎥}⎤ − ⎤_⎥ ⎦ ⎦, i=1,...,n ; 7 _{L’intégrale de Stieltjes ( ) ( )} I f x dg x

∫

de f par rapport à une fonction monotone g sur un intervalle I est définie comme la limite de la somme

(

( ) ( ))

( )

1 1 0 n i i i i g d g d f d − + = −

∑

lorsque le pas de la subdivision

0 inf 1 ... n 1 sup n

où x est la i-ème composante du vecteur ordonné des rendements historiques de X , _:in

1:n ... n n:

x ≤ ≤ x . On note également, de manière générique :

( )

1 : X n n F− α x_⎡α⎤ ⎢ ⎥ = ,

où ⎡ ⎤_{⎢ ⎥}z désigne le « plafond » de z , c’est-à-dire z s’il est entier ou l’entier immédiatement supérieur dans le cas contraire. Par pure convention, on ajoute également 1

( )

₀

X

F− = −∞.

Dans le document [PDF] Cours ALM : Mesure du risque et couverture des marges nettes | Formation informatique (Page 47-50)