9.2 Prise en compte des boucles de pion
9.2.2 Polarisation du m´eson ρ avec boucles de pion
On en d´eduit le vertex πqq, en prenant ´egalement en compte le vertex purement pseudoscalaire iγ5τ qui ´etait d´ej`a pr´esent avant le m´elange avec le mode axial :
9.2.2 Polarisation du m´eson ρ avec boucles de pion
Nous sommes d´esormais en mesure de calculer la propagation du m´eson ρen prenant en compte les boucles de pion. Pour cela, nous avons besoin de calculer l’amplitude−iΓρππ(p, p′) associ´ee aux diagrammes de la figure9.3.
On applique les r`egles de Feynman en utilisant le vertex calcul´e en 9.31 et
on obtient : R´esultat diff´erent de celui de [87]. Quelques ´etapes interm´ediaires de ce long calcul sont donn´ees en Annexe C.
9.2.3 Conclusion
Ainsi, on a pu, en introduisant les vertex vecteurs dans le lagrangien,
´etendre le mod`ele `a l’´etude des m´esonsρeta1. On a alors pu tracer l’´evolution de la masse de ces m´esons en fonction de la temp´erature `a diff´erents poten-tiels chimiques. De plus, nous avons effectu´e les calculs analytiques permet-tant d’inclure les boucles de pions dans la propagation duρ. Reste `a effectuer les impl´ementations num´eriques.
Conclusion
En conclusion, ce travail a permis, `a partir du mod`ele PNJL, de tracer le diagramme de phase de QCD `a l’aide des param`etres d’ordre <qq >¯ et Φ, ceci pour diff´erents choix de caract´eristiques du mod`ele (potentiel polyno-mial ou logarithmique et cutoff fix´e `a Λ ou `a +∞). On a pu localiser les lignes de transitions chirale et de d´econfinement et s´eparer la phase hadronique de la phase de QGP. En plus de cela, on a confirm´e l’existence d’une nouvelle phase `a haut potentiel chimique et basse temp´erature. Cette phase o`u la sym´etrie chirale est restaur´ee et o`u le confinement est r´ealis´e a ´et´e nomm´ee CCS comme ”confined and chiral symmetric”. Il apparaˆıt que, lorsque le cutoff est fix´e `a +∞, un d´econfinement se produit `a basse temp´erature pour les tr`es hauts potentiels chimiques. Le mod`ele utilis´e est n´eanmoins suppos´e perdre en validit´e dans ces r´egions ´eloign´ees de l’origine (T = 0, µ= 0). Cet aspect demandera donc des confirmations de la part de mod`eles `a validit´e plus ´etendue.
De plus, nous avons montr´e, chose a priori nouvelle, qu’`a haut poten-tiel chimique, le d´econfinement s’amorce progressivement d`es les tr`es faibles temp´eratures. Nous avons ´egalement d´etaill´e la position du point critique dans le diagramme et l’´etalement de la zone de m´etastabilit´e autour de la transition chirale de premier ordre.
Un sondage du diagramme directement `a partir de quantit´es m´esoniques
`
a ensuite ´et´e effectu´e. Parmi de nombreuses possibilit´es, le choix du crit`ere m´esonique de d´econfinement s’est port´e sur l’´ecart-type de la fonction spec-trale du sigma. Ce crit`ere pr´esente, en effet, la propri´et´e int´eressante de saturer `a la fois dans la mati`ere hadronique et dans le plasma. Le choix de la diff´erence mσ − mπ comme crit`ere de transition chirale s’est, par ailleurs, impos´e tr`es rapidement. On a pu, grˆace `a ces crit`eres, retrouver des d´elimitations de phase proches de celles obtenues en champ moyen.
Nous avons ´egalement pu appliquer ces crit`eres directement au mod`ele NJL sans boucle de Polyakov. Nous avons alors ´egalement mis en ´evidence la pr´esence d’une phase CCS. Cette phase reste n´eanmoins difficile `a d´elimiter avec le seul crit`ere d’´ecart-type ´etant donn´ee la saturation de l’´ecart-type
`
a haut potentiel chimique uniquement `a haute temp´erature, signe de la pr´esence du QGP, mais pas `a basse temp´erature. On consid`ere ainsi que la phase CCS est pr´esente tant que la saturation `a haute temp´erature n’est pas
atteinte. L’´etude pourrait ˆetre approfondie en int´egrant, par exemple, l’in-fluence des di-quarks au mod`ele ou encore en utilisant des mod`eles d´ecrivant la phase quarkyonique.
Enfin, nous avons amorc´e la description du comportement du m´eson ρ dans les diff´erentes phases ´etudi´ees. Le calcul du propagateur du ρ prenant en compte les boucles de pions a ´et´e effectu´e. Reste `a d´ecrire l’´evolution de la fonction spectrale et de la masse du ρ en fonction de la temp´erature et du potentiel chimique.
Appendices
Annexe A
Transformations de Fierz
Une transformation de Fierz permet de r´earranger les champs de fer-mions dans le lagrangien d’interaction [94]. Elle donne la relation entre Ψ¯a(4)ΓkabΨb(1) ¯Ψc(3)ΓkcdΨd(2) et ¯Ψa(4)ΓkabΨb(2) ¯Ψc(3)ΓkcdΨd(1), aveca, b, cet ddes indices combinant les indices tensoriels, de saveur et de couleur. L’int´e-rˆet de cette transformation est d’´etablir le lien entre le terme direct et le terme d’´echange : le terme direct calcul´e `a partir du lagrangien apr`es trans-formation de Fierz est, en effet, ´equivalent au terme d’´echange calcul´e `a partir du lagrangien original. Que l’on fasse le calcul `a partir du lagrangien originalLI, du lagrangien transform´eF(LI) ou d’une combinaison des deux
LI+F(LI)
2 , on trouve la mˆemeself-energy. Donc si le lagrangien original ne donne qu’un terme direct (i.e.le terme d’´echange est nul), alors le lagrangien transform´e donne seulement un terme d’´echange et la combinaison donne la somme des deux. Ainsi, qu’on fasse l’approximation de Hartree-Fock (direct + ´echange) ou de Hartree seulement (terme direct seulement), on obtient la mˆeme self-energy.
Etudier la relation entre le terme original et le terme apr`es transforma-´ tion de Fierz revient `a connaˆıtre les matrices de croisement cmk reliant les matrices d’interaction Γkab :X
k
ΓkcbΓkda=X
k,m
cmkΓmcaΓmdb. La matrice de croi-sement des indices de saveur relie donc les produit de vertex 1.1 et~τ.~τ entre eux. Elle prend la forme suivante :
1.1 Pour ce qui est des indices de spinoriels, on note :
sαβ,α′β′ = 1αβ1α′β′
pαβ,α′β′ = (iγ5)αβ(iγ5)α′β′ vαβ,α′β′ = (γµ)αβ(γµ)α′β′ aαβ,α′β′ = (γµγ5)αβ(γµγ5)α′β′
tαβ,α′β′ = (σµν)αβ(σµν)α′β′.
Et on montre que :
sαβ′,α′β = 14[s+v+12t−a−p]αβ,α′β′
pαβ′,α′β =−14[s−v+ 12t+a−p]αβ,α′β′
vαβ′,α′β = 14[4s−2v−2a+ 4p]αβ,α′β′ aαβ′,α′β =−14[4s+ 2v+ 2a+ 4p]αβ,α′β′.
Or les termes d’interaction du mod`ele NJL ( ¯ΨΨ)2 et ( ¯Ψiγ5~τΨ)2 corres-pondent respectivement aux couplages (s).(1.1)SU(2) et (p).(~τ.~τ). On peut donc calculer la transfom´ee de Fierz de ( ¯ΨΨ)2+ ( ¯Ψiγ5~τΨ)2 :
Fh
( ¯ΨΨ)2+ ( ¯Ψiγ5~τΨ)2i
= 18h
2( ¯ΨΨ)2+ 2( ¯Ψiγ5~τΨ)2−2( ¯Ψ~τΨ)2−2( ¯Ψiγ5Ψ)2
−4( ¯ΨγµΨ)2−4( ¯Ψiγ5γµΨ)2+ ( ¯ΨσµνΨ)2−( ¯Ψσµν~τΨ)2i .
(A.2) Ici la transformation des indices de couleur n’a pas ´et´e prise en compte.
On constate que les termes vectoriels qui apparaissent apr`es transforma-tion ne correspondent pas aux termes du lagrangien d’interactransforma-tion vectorielle 9.1. Le rajout explicite de ces termes dans le lagrangien vectoriel est donc justifi´e.
Annexe B
Pseudo-code du calcul de la temp´ erature de d´ ebut de la phase d´ econfin´ ee
Ci-apr`es est pr´esent´e le pseudo-code l´eg`erement simplifi´e du calcul de la temp´erature de d´ebut de la phase d´econfin´ee :
Fonction temp´erature_d´ebut_d´econfinement (mu)=
(`a chaque potentiel chimique, on associe une temp´erature de mani`ere `a tracer une courbe sur le diagramme de phase)
maxi = ´ecart-type(mu; T=0.6) mini = ´ecart-type(mu; T=0.01) (calcul des bornes)
hauteur = maxi-.((maxi-.mini)*.0.02)
(calcul de l’ordonn´ee au del`a de laquelle on consid`ere que le d´econfinement est r´ealis´e)
Solution = T telle que ´ecart-type(T) = hauteur (calcul de la temp´erature associ´ee `a cette ordonn´ee)