Nous avions pr´esent´e lors de l’´etat de l’art une technique permettant de prendre en compte l’aspect surfacique des donn´ees (voir 3.4.1) mais qui pr´esentait des probl`emes d’in-stabilit´e. L’id´ee ´etait d’accorder plus d’importance aux distances dans la direction normale `
a la surface. En-effet, les nuages de points sont issus de la mˆeme surface ´echantillonn´ee de deux mani`eres diff´erentes. Les distances dans le plan tangent `a la surface correspondent `
a ces diff´erences d’´echantillonnage et ne sont donc pas n´ecessairement nulles. Mieux vaut donc leur accorder une importance moindre. Nous pr´esentons ici une nouvelle m´ethode qui s’appuie sur un mod`ele de bruit semi-anisotrope (isotrope dans le plan tangent `a la surface mais diff´erent dans la direction normale) qui s’int`egre directement dans notre mod`ele statistique, et garantit ainsi la stabilit´e de l’algorithme.
5.3.1 Bruit semi-anisotrope
Nous souhaitons donc accorder une importance diff´erente `a la distance dtdans le plan tangent et `a la distance dn dans le plan normal `a la surface en un point m du mod`ele, plan connu grˆace `a la normale nm:
La fa¸con la plus simple d’exprimer math´ematiquement cette contrainte dans notre canevas statistique est de supposer que le bruit sur les points (le bruit que nous avons d´efini dans l’´equation 4.1 et qui permet de d´eriver l’algorithme ICP et EM) est lui-mˆeme semi-anisotrope. On peut mˆeme utiliser deux mod`eles de bruit compl`etement diff´erents dans la direction normale `a la surface (qui correspond au bruit de mesure) et dans le plan tangent de la surface (o`u on observe `a la fois le bruit de mesure et l’´echantillonnage de la surface). On compose alors ces deux mod`eles de bruits pour obtenir p(si|mj,T ) = p(T ? si|mj) et
adapter l’algorithme (ICP ou ICP/EM) en fonction.
5.3.2 Cas gaussien
Nous allons illustrer le paragraphe pr´ec´edent, volontairement tr`es g´en´eral, en abordant le cas gaussien. Nous supposerons donc que le bruit de mesure sur le point est compos´e de deux bruits gaussiens centr´es additifs et ind´ependants, le premier d’´ecart-type σt2 dans le plan tangent `a la surface (i.e. la plan perpendiculaire `a nm) et le second d’´ecart-type σ2 dans la direction perpendiculaire `a la surface (i.e. dans l’axe de la normale). Ces deux bruits s’additionnent pour former un bruit gaussien dont la covariance Σmm peut s’exprimer dans la base orthonormale (nm,e2,e3) (o`u (e2,e3) est une base orthonormale du plan tangent) : on a alors
Σ = σ2 0 0 0 σt2 0 0 0 σ2 t = σt2.Id + (σ2− σ2 t) 1 0 0 0 0 0 0 0 0
soit dans une base quelconque :
Σ = σ2t.Id + (σ2− σ2
t).nmntm
Nous avons suppos´e la loi gaussienne, et connaissons sa covariance. On peut donc l’´ecrire :
p(si|mj,T ) = p(T ? si|mj) = exp(−µ
2(T ? si,mj)) p(2π)D. |Σ|
on constate alors que la constante de normalisation p(2π)D. |Σ| = p(2π)D.σ2.σ2 t.σ2
t est constante. On peut donc faire tous nos calculs `a cette constante pr`es.
Ainsi, la phase de recherche des appariements dans le cas de l’ICP devra maximiser, pour si donn´e le terme exp(−µ2(T ? si,mj)), ou de fa¸con ´equivalente, minimiser :
µ2(T ? si,mj) = d 2 t σ2 t + d 2 n σ2 = 1 σ2 t d2+ ( 1 σ2 − 1 σ2 t )d2n
Dans le cas de l’EM, les poids d’appariements seront donn´es par :
Aij = exp(−µ
2(T ? si,mj)) P
kexp(−µ2(T ? si,mk)) deux pr´ecisions pratiques sont n´ecessaires :
– Le lien entre le seuil sur la distance de Mahalanobis µ2
max utilis´ee pour le rejet des appariements (voir 3.6.2.0) et le seuil sur la distance dmaxutilis´ee par le kD-Tree pour
la recherche des appariements (voir 3.2.3) n’est plus tout `a fait ´evident, puisqu’il n’y a plus qu’un seul ´ecart-type. Ce qui est important, c’est de bien prendre en compte tous les points dont la distance de Mahalanobis ne d´epasse pas le seuil. Il faut donc choisir pour dmax la distance maximale permettant d’obtenir la distance de Mahalanobis seuil : dmax= maxsi,mj/µ2(T ?si,mj)=µ2
max(d(T ?si,mj)). Dans notre cas, elle d´epend de l’´ecart-type maximum :
dmax = q
µ2
max. max(σ2 t,σ2)
– Approche multi-´echelle : On peut se demander, si on applique, dans l’approche multi-´
echelle, le mˆeme coefficient pour les deux variances σ2
t et σ2. C’est ce que nous faisons.
En ce qui concerne l’estimation de la transformation entre les deux nuages de points, nous devons minimiser le crit`ere suivant (voir 4.3) :
CICP(T,A) =P ijAij.µ2(T ? si,mj) =P ijAij. 1 σ2 td2(T ? si,mj) + (σ12 − 1 σ2 t)d2n(T ? si,mj) (5.5) Il n’existe malheureusement pas `a notre connaissance de solution explicite `a la mi-nimisation de ce crit`ere. Nous appliquerons donc une descente de gradient, en adap-tant les formules qui donnent Φ = dC(T )dT et H = dΦ(T )dT (voir 3.8.2), avec Σ−1eijeij =
1 σ2 t.Id + (σ12 − 1 σ2 t).nmjntmj: dC(T ) dT = X ij Aij. 1 σt2.e t ij. deij dT + 1 σ2 − 1 σt2 . eij|nmj . deij dT .nmj t! H 'X ij Aij. 1 σ2 t . deij dT t . deij dT + 1 σ2 − 1 σ2 t . deij dT .nmj . deij dT .nmj t!
5.3.3 Surfaces ´echantillonn´ees
Reste `a savoir comment fixer nos deux param`etres σ2 et σ2
t pour une surface ´ echan-tillonn´ee. Comme nous l’avons d´ej`a mentionn´e, les distances normales correspondent au v´eritable bruit de mesure, et le param`etre σ2 doit donc correspondre `a la variance σ2
m de celui-ci. En revanche, les erreurs dans le plan tangent peuvent se d´ecomposer comme une erreur due `a la mesure et une due au pas d’´echantillonnage. Ces deux erreurs sont ´ evide-ment ind´ependantes, et on peut donc additionner leurs variances pour fixer le param`etre σ2
t.
va-riance de la distance entre un point quelconque de la surface et son plus proche voisin dans notre version ´echantillonn´ee de la surface. Les deux points sont ici suppos´es exacts, puisque l’on traite le bruit de mesure s´epar´ement. On peut faire ce calcul lorsque l’´echantillonnage est effectu´e sur une grille `a peu pr`es r´eguli`ere (ce qui est vrai pour les surfaces segmen-t´ees dans le scanner, pr´esent´ees section 1.5.1, et pour les acquisitions 2D 1/2, pr´esent´ees section 1.5.2), et la surface `a peu pr`es lisse. On fait alors une approximation plane de la surface autour d’un point ´echantillonn´e, et on regarde les points quelconques qui seront appari´es `a ce point. Il sont contenus dans un carr´e de la taille le pas d’´echantillonnage :
on peut calculer la variance de la distance des points du carr´e au point central : elle est ´egale `a p62 o`u p est la pas d’´echantillonnage. Finalement, on a :
σ2 = σm2
σt2 = σm2 + p
2
6
5.3.4 Discussion
Les exp´eriences, pr´esent´ees `a la section 6.4.3.0, montrent que l’utilisation de points semi-anisotropes apportent au gain notable dans la robustesse mais parfois une l´eg`ere diminution de la pr´ecision de l’algorithme. De plus, la variance tangentielle doit ˆetre plus importante que la variance normale pour apporter de bons r´esultats, comme le sugg`ere le paragraphe pr´ec´edent.
En conclusion, on a ainsi pu donner moins d’importance aux distances dans le plan tangent aux surfaces grˆace `a une m´ethode s’incorporant directement dans notre canevas statistique, et ainsi am´elior´e la robustesse du recalage.
Nous reviendrons sur cette m´ethode dans le chapitre consacr´e aux surfaces, o`u nous verrons qu’elle correspond `a un cas particulier tr`es simple des mod`eles probabilistes d’´el´ e-ments de surface (section 8.3.3).