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Quasi-particules et couplage tunnel

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 87-93)

Les degr´es de libert´e quasi-particulaires sont d´ecrits de la mˆeme mani`ere qu’`a la section 2.2 :

H=HL+HR+HI+HL(t)+HR(t), o`u Hα = P

kαkcαkcαk d´ecrit les quasi-particules du r´eservoir α = {L, R, I} et Hβ(t) d´ecrit le couplage tunnel entre le r´eservoirβ ={L, R} et le r´eservoirI :

HL(t)L

X

k,k0

T−−cLkcIk0+T++cIkcLk0

; HR(t)R

X

k,k0

T−+cRkcIk0+T+−cIkcRk0

;

o`u l’op´erateur T modifie l’´etat ´electrostatique : Trr0|n, pi=|n+r, p+r0i.

6.3 1

er

ordre : transfert de charge s´ equentiel

Au premier ordre enHL(t)+HR(t), un ´ev`enement tunnel consiste simplement `a trans-f´erer un ´electron `a travers une jonction. Avec la r`egle d’or de Fermi (2.10), on trouve l’expression suivante du taux de transition :

Γ = GL,R e2

Z

dd0f()

1−f(0)

δ(0+ ∆E−);

= GL,R

e2

∆E

eβ∆E−1; (6.3)

Chapitre 6. Ilot isol´e par des jonctions tunnels : le SET 87

o`u GL,R est la conductance intrins`eque de la jonction tunnel, c.-`a-d. lorsqu’elle est directement connect´ee `a une source de tension ou `a haute temp´erature.

6.3.1 Diamants de Coulomb

L’expression (6.3) du taux de transition montre qu’`a temp´erature nulle un ´ev` ene-ment tunnel ne pourra se produire que si ∆E <0. Dans le plan (ng, V), les points tels que ∆En→n+r(α) = 0, o`u α={L, R} etr =±1, forment quatre droites qui sont trac´ees sur la figure 6.1. Dans le parall´elogramme au centre – qui est appel´ediamant de Cou-lomb – aucun ´electron ne peut entrer ou sortir de l’ˆılot, que ce soit par l’une ou l’autre des jonctions : le nombrend’´electrons est donc gel´e et la conductance diff´erentielle du circuit, G = ∂I/∂V, est nulle (au premier ordre). En dehors du diamant, le nombre d’´electrons peut en revanche varier et la conductance est non-nulle. Mesurer ce dia-mant est un bon moyen de d´eterminer les diff´erents param`etres du circuit, notamment l’´energie de charge Ec.

-1/2 1/2

-1/2

C L CR 2C

1/2

C L CR 2C

C C + C

L - C R C

C - C

L+ C R

ng-n C V/2e

--

-Figure 6.1 – Diamant de Coulomb.Cette figure montre, dans le plan (ng, V), les quatre droites d’´equation ∆En→n+(α) = 0 (on a suppos´e que CL CR. Les droites (d´e)croissantes correspondent `a la jonctionα =L(R). Les bords gauche (droit) du parall´elogramme corres-pondent `a la transitionr=−1(+1). `A l’int´erieur du parall´elogramme, on a ∆E >0 pour les quatre transitions. Le nombre d’´electrons de l’ˆılot est donc gel´e `anet, au premier ordre, aucun courant ne parcourt le circuit `a temp´erature nulle.

6.3.2 Interpr´etation ´energ´etique du transport

En dehors du diamant, plusieurs ´etats de charge contribuent au courant circulant dans le circuit. On peut en donner une interpr´etation simple en utilisant l’´equation (6.2) pour r´eexprimer les taux de transition (6.3) de la mani`ere suivante :

Γ(L)n+1→n = GL

Cela permet de repr´esenter le Set selon le diagramme ´energ´etique de la figure 6.2A, o`u l’´etat de charge avec n ´electrons sur l’ˆılot est caract´eris´e par le niveau d’´energie

´

electrostatique −∆En→n+1(R) . `A temp´erature nulle, les niveaux ayant une ´energie dans l’intervalle [0, eV] peuvent ˆetre s´equentiellement remplis par une jonction, puis vid´es par l’autre. Ce processus stochastique permet `a un courant ´electrique stationnaire de circuler dans le Set. Il s’´ecritI =eP

npn

Γ(L)n→n−1−Γ(L)n→n+1

, o`u les probabilit´espn qu’il y ait n´electrons sur l’ˆılot ob´eissent au bilan d´etaill´e :

pn

Γ(L)n→n+1+ Γ(R)n→n+1

=pn+1

Γ(L)n+1→n+ Γ(R)n+1→n

La structure en niveaux ´electrostatiques de la figure 6.2A est la cons´equence directe de la quantification de la charge de l’ˆılot. Elle est r´ev´el´ee dans les propri´et´es de transport en mesurant la conductance diff´erentielleG=∂I/∂V du Seten fonction des tensions V etVg :

— en augmentant la tension V, la fonction de Fermi du r´eservoir L rattrape les uns apr`es les autres les niveaux ´electrostatiquesn−1, n−2,etc., lesquels offrent des possibilit´es suppl´ementaires pour faire circuler le courant. Ce dernier a alors, sous certaines conditions, l’aspect d’un escalier, appel´eescalier de Coulomb.

— en balayant la tensionVg, les niveaux ´electrostatiques sont tous d´ecal´es en bloc.

On s’attend donc `a ce que les propri´et´es de transport oscillent p´eriodiquement avecVg

selon une p´eriode e/Cg (soit une p´eriode 1 enng) : les oscillations de Coulomb.

6.3.3 Oscillations de Coulomb

Exp´erimentalement, nous mesurerons les oscillations de Coulomb de la conductance

`

a tension nulle, V = 0. Cette derni`ere est en effet plus simple `a calculer th´eoriquement (c’est une propri´et´e d’´equilibre) et moins sensible aux artefacts exp´erimentaux comme le chauffage par effet Joule ou la d´ependance en ´energie des conductances intrins`eques des Qpc. Faire varierngfait osciller p´eriodiquement le syst`eme entre les deux situations

«extrˆemes» de la figure 6.2B. Quand ng prend des valeurs enti`eres, il y a un gap d’´energieEcet le transport est bloqu´e aux temp´eratures kBT Ec(c’est aussi l`a que

Chapitre 6. Ilot isol´e par des jonctions tunnels : le SET 89

l’on est le plus ´eloign´e des bords du diamant de Coulomb). Mais quand ng prend des valeurs demi-enti`eres, ce gap est supprim´e (on est alors `a l’extr´emit´e du diamant, o`u les ´etats de charge n =ng1/2 et n=ng+ 1/2 sont d´eg´en´er´ees) et la conductance est non-nulle. Entre ces deux situations, la conductance est progressivement activ´ee thermiquement au fur et `a mesure que la temp´erature augmente et que le gap diminue (les bords haut et bas du diamant se rapprochent). Si la temp´erature est suffisamment basse pour que seuls deux ´etats de charge n et n+ 1 contribuent au transport, on trouve l’expression suivante de la conductance `a tension nulle :

G= G

L+GR est la conductance intrins`eque du circuit (courbes du bas de la figure 6.3). `A plus haute temp´erature, il faut prendre en compte les autres ´etats de charge ; on trouve que les oscillations de Coulomb disparaissent et la conductance tend vers G (courbes du haut). On remarquera que la disparition des oscillations de Coulomb quandkBT Ecne signifie pas que la charge de l’ˆılot n’est plus discr´etis´ee. L’ˆılot peut passer d’un ´etat de charge

`

a un autre grˆace aux fluctuations thermiques, mais, `a un instant donn´e, la charge de l’ˆılot reste bien d´efinie et ´egale `a un nombre entier d’´electrons.

n

Figure 6.2 – Transfert de charge s´equentiel dans le SET. (A) Les fonctions de Fermi des r´eservoirs L et R sont repr´esent´ees en gris `a temp´erature nulle et les ´etats de charge de l’ˆılot sont caract´eris´es par les niveaux d’´energies ´electrostatiques ∆En(R)n+1. Le taux de la transition n+ 1n (nn+ 1) transf´erant un ´electron par la jonction αest proportionnel au nombre d’´etats occup´es (vides) du r´eservoir αau-dessus (au-dessous) du niveau n. Seuls les niveaux ´electrostatiques situ´es entre les potentiels ´electrochimiques des r´eservoirs L et R participeront donc au courant. Ici, il s’agit des niveaux net n+ 1 ; les niveaux n+ 2 sont toujours occup´es (c.-`a-d. que le nombre d’´electrons sur l’ˆılot sera toujours n+ 2) ; et les niveaux n1 sont toujours vides (c.-`a-d. que le nombre d’´electrons sur l’ˆılot sera toujours

> n1). (B) `A tension nulle, il y a un gap entre les niveaux ´electrostatiques et l’´energie de Fermi. Lorsque ng =n, ce gap est maximal et vautEc : la conductance est nulle aux basses temp´eratures kBT Ec. En variant ng, les niveaux sont d´ecal´es en bloc et le gap diminue jusqu’`a devenir nul enng=n±1/2 : la conductance est non-nulle.

Figure 6.3 – Oscillations de Coulomb du SET. La conductance diff´erentielle, G =

∂I/∂V, du Set est trac´ee `a tension nulle, V = 0, en fonction de la charge effectiveng pour diff´erentes temp´eratures. Aux temp´eratureskBT Ec (courbes du bas), la conductance pr´ e-sente d’´etroits pics p´eriodiques de hauteur G/2 ; ils sont centr´es sur les valeurs demi-enti`eres ng =n+ 1/2, o`u les ´etats de chargen etn+ 1 sont d´eg´en´er´es :E(n, p) =E(n+ 1, p). Entre deux pics, la conductance est nulle car le nombre d’´electrons dans l’ˆılot est gel´e par l’´energie de chargeEc. Ce comportement refl`ete directement la quantification de la charge de l’ˆılot. Aux temp´eratureskBT &Ec (courbes du haut), le transport est activ´e thermiquement quelle que soit ng et la conductance tend versGquandkBT Ec.

6.4 2

`eme

ordre : cotunneling

6.4.1 Hors-r´esonance

Aux valeurs enti`eres de ng, l’´equation (6.4) montre que la conductance `a ten-sion nulle est exponentiellement supprim´ee `a tr`es basse temp´erature. Le processus au deuxi`eme ordre en HL(t)+HR(t) prend alors le relais. Ce processus contourne l’in-terdit du gap en ´energie en transf´erant une charge e directement du r´eservoir L au r´eservoir R par l’interm´ediaire d’un ´etat virtuel (figure 6.4). Il est appel´e cotunne-ling in´elastique car deux ´electrons sont transf´er´es simultan´ement et car il laisse une excitation particule-trou dans l’ˆılot2. Si ce processus est possible, c’est que, d’apr`es l’´equation (6.2), l’´energie ´electrostatique a diminu´e apr`es le transfert des deux ´ elec-trons.

D’apr`es les pr´edictions th´eoriques [127–129] et les observations exp´erimentales [130],

2. Le cotunneling est dit ´elastique si le mˆeme ´electron est transf´er´e par les deux jonctions. Ce processus est dominant quand l’´ecartδentre les niveaux d’´energie des quasi-particules dans l’ˆılot n’est plus n´egligeable. Typiquement, le taux de transition ´elastique est reli´e au taux de transition in´elastique selon ΓelΓinel×Eδ

c. Γelest donc totalement n´egligeable dans un ˆılot m´etallique.

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la conductance `a tension nulle s’´ecrit :

G= RK

6 GLGR

kBT

2

, (6.5)

o`u ∆ =Ec(1 + 2(n−ng)) (∆ varie entre Ec quandng =n et 0 quandng =n+ 1/2).

Ce r´esultat est valable dans la limite kBT ∆ ; le cotunneling domine alors sur le transfert de charge s´equentiel car il d´ecroit seulement en T2.

6.4.2 A la r´` esonance

Aux valeurs demi-enti`eres deng, mˆeme si le transfert de charge s´equentiel n’est pas supprim´e `a basse temp´erature, le cotunneling peut tout de mˆeme ˆetre une contribution importante. Le calcul aboutissant `a l’´equation (6.5) ci-dessus diverge `a temp´erature finie et il faut recourir `a des techniques avanc´ees [131]. En accord avec l’exp´erience [132], il est pr´edit que la conductance est r´eduite `a des valeurs inf´erieures `a G/2 `a basse temp´erature.

n n-1 0

L R

Figure6.4 –Cotunneling dans le SET.Aux valeurs enti`eres deng, le transfert de charge s´equentiel est exponentiellement supprim´e `a tr`es basse temp´erature par le gapEc. La m´ecanique quantique permet toutefois de transf´erer de la charge directement du r´eservoirLau r´eservoirR en passant par un ´etat virtuel : on passe de l’´etatn`a l’´etatn+ 1 en transf´erant un ´electron par la jonctionR, puis simultan´ement on retourne `a l’´etatnen transf´erant un autre ´electron par la jonction L. L’´etat virtuel interm´ediaire avecn+ 1 ´electrons est interdit car ∆En→n+1(R) >0, mais le transfert des deux ´electrons est autoris´e car l’´energie ´electrostatique a baiss´e apr`es le transfert du second ´electron : ∆E(R)n→n+1+∆En+1→n(L) =eV <0. Noter qu’un second processus – non repr´esent´e sur la figure – est possible : passer de l’´etatn`an1 en transf´erant un ´electron par la jonctionL, puis simultan´ement retourner `a l’´etatnen transf´erant un autre ´electron par la jonction R.

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