Les multiplications

Palier + 1 ( par additions successives) :

4 + 4 . . . 8 + 4 ... 1 2 + 4 ... 1 6 + 4 ... 20 + 4 ... etc ...

Palier + 2 ( par soustractions successives) :

48 - 4 . . .44 -4 . . .40 - 4 ... 36 - 4 . . . 32 . . . etc ...

Palier + 3 ( par séries de produits croissants ou décroissants)

Le maître commence : 4, 8, 1 2, 1 6 , 20 ... un élève continue ou on

"pique" un élève différent pour chaque résu ltat.

Le maître commence : 48, 44, 40, 36 . . . un élève continue, . . . etc ...

Autres itinéraires :

Un élève donne toute la série "aller"; un autre la série "retour"·

idem en changeant d'élève à chaque faute;

idem en concours d'équipes.

124

Paliei· ⁺ 4 (par énoncé complet) :

·1 fois Il . . .4 :-l fois 4 . . . 1 2

2 fois 4 ... 8 4 fois 4 . . . 1 6 5 lois 4 . . . 20

6 fois 4 ... 24 et ceci jusqu ',L . 1 2 fois 4 .. .4!3 Remarque importante : iTous les l ivrets sont travai l lés jusqu 'à 1 2 ! Dans le même palier + 4 : travai l identique en série décroissante.

Palier + 5 (questions au hasard) :

Quand tous les l ivrets sont intériorisés, on passera aux questions "en vrac", d'abord à l'intérieur d'un livret :

4 fois 9 ... 36 7 fois 4 . . . 28 4 fois 1 2 . . .48 1 0 fois 4 .. .40 puis en mélangeant tous les l ivrets :

9 x 7 6 x 8 1 2 x 5 8 x 3 7 x 7 1 1 x 1 1 9 x 1 2 7 x 6 7 x 8 etc ...

D. Les recompositions : Une fois que l 'ensemble des livrets, pour la table de mu ltiplication ( et ceci jusqu'à 1 2 x 1 2 ... 1 44), sera bïen acquis, on passe­

ra aux recompositions, et ceci en deux tem ps Temps 1 : par quoi faut-il mu ltipl ier ?

3 pou r obtenir 1 5 ... 5 4 pour obtenir 28 . . . 7 8 pou r obtenir 96 ... 1 2 7 pou r obtenir 56 ... 8 etc .. . Temps 2 : par quoi est formé ?

1 5 ... c'est 3 fois 5 ou 5 fois 3

1 2 . . . c'est 1 x 1 2 ou 1 2 x 1 ; 2 x 6 ou 6 x 2; 4 x 3 ou 3 x 4

24 . . . c'est 1 x 24 ou 24 x 1 ; 2 x 1 2 ou 1 2 x 2 ; 3 x 8 ou 8 x 3 ; 4 x 6

OU 6 X 4.

Ces deux temps constituent les paliers + 1 et + 2.

Palier + 3 : plus difficile car on sort des l ivrets "classiques".

56 ... c'est 1 x 56 ou 56 x 1 ; 2 x 28 ou 28 x 2; 4 x 14 ou 14 x 4;

8 X 7 OU 7 X 8

60 . . . c'est 1 x 60 ou 60 x 1 ; 2 x 30 ou 30 x 2; 3 x 20 ou 20 x 3 ; 4 x 1 5 ou 1 5 x 4 ; 5 x 1 2 ou 1 2 x 5; 6 x 1 0 ou 1 0 x 6 ; etc .. . Quand o n au ra parcou ru les fractions ordinaires (cf. pp. 00-00) , o n pou rra atteindre un palier + 4 en disant : 1 2 c'est 1 /2 x 24; 1 /3 x 36; etc .. .

1 25

Le travail à la carte

/-\ titre de révision et pour que l'élève puisse s'entraîner à domicile sans le secours du maître, on lui fera dessiner au recto et au verso d'une carte format /\6 le tableau ci-dessous et le tableau p. 1 28.

Fig. 21 recto

A B C D ^E F G H I J

I 0 1 ⁵ 7 9 2 8 6 4 3

II 1 3 ⁷ 2 4 8 ⁵ 9 0 6

III 2 ⁵ 1 9 7 0 3 8 ^{6 4}

'IV 3 ⁷ 4 5 2 9 6 0 1 8

V 4 9 0 3 ^{6 5} 1 ⁷ 8 ²

VI ⁵ 6 2 8 1 ⁴ 7 3 ^{9 0}

VII 6 4 8 ^{0 5 7} 2 1 3 9

VIII ^{7 0} 9 6 8 3 ^{4 5} 2 1

IX 8 2 3 1 0 6 9 4 7 ' 5

X 9 8 ^{6 4} 3 1 ⁰ 2 5 7

1 26

Comme on peut le remarquer, cette table comprend des lignes et des colon­

nes au nombre de 1 0 avec tous les chiffres de O à B pour chaque ligne et pour chaque colonne. Cette disposition permet de chronométrer les performances.

Que l'on utilise la table par colonnes, par ligne ou même en diagonale, le total des résultats est toujours de 10 nombres.

Voici, à titre d'exemples, quelques exercices auxquels on peut procéder a) Additionner les nombres de la colonne A aux nombres correspondants de

la colonne B.

On aura ainsi : 0 + 1 = 1 1 -1- 3 = 4 2 + 5 "' 7 3 + 7 = 10 4 + 9 = 13 etc ...

b) Mais on peut aussi additionner la ligne IV à la ligne V.

On aura ainsi : 3 + 4 = 7 7 + 9 = 16 4 + 0 = 4 5 + 3 = 8 etc ...

c) On peut soustraire la colonne D moins la colonne C.

On aura

7 - 5 = 2 puis 2 -7 = (-5) 9 - 1 = 8 5 -⁴ = 1 3 -0 = 3 etc ...

Remarque : Pour les élèves qui ne maîtrisent pas encore la règle des signes, on leur dira que le plus grand nombre de la paire est toujours le premier.

Au lieu d'avoir 2 - 7 on aura 7 - 2 ! ! !

d) On peut additionner un nombre (7 par exemple) à tous les nombres de la colonne G.

e) Avec un palier + 1, on peut prendre un nombre de deux chiffres ( 17, par exemple) et faire le même travail, etc ...

f) On peut multiplier la ligne V I I par 8, soit :

8 x 6 8 x 4 8 x 8 8 x O etc ... ou le contraire : 6 x 8 4 x 8 0 x 8 etc ...

La deuxième table (fig. 27, verso - page suivante) permet la recomposition des livrets. L'élève dira pour la colonne C

32, c'est 1 x 32 ou 32 x 1 ; 2 x 1 6 ou 16 x 2; 4 x 8 ou 8 x 4.

33, c'est 1 x 33 ou 33 x 1; 3 x 1 1 ou 11 x 3.

35, c'est 1 x 35 ou 35 x 1; 5 x 7 ou 7 x 5.

Mais rien n'empêchera d'appliquer les exercices a) à f) ( (pp. 00 et 00) quand ou aura bien pratiqué la consolidation sous la forme des paliers suivants Palier + 1 : Révision de la table avec addition de dizaines.

20 + 10 .. .

30 + 90 .. . 30 + 20 '"

70 + 60 ... 40 + 30 '"

50 + 80 ...

127

etc .. . etc .. .

F ig. 27 verso

A B C D E F G

I 0 16 32 ^!:() 81 132 441

I I 1 18 33 54 84 144 484

I I I 4 20 35 55 90 169 529

IV 6 21 36 56 96 196 576 V 8 22 40 60 99 225 625 VI ^{9 24 42 64 100 256 676}

VII 10 25 44 66 108 289 729

VIIJ 12 27 45 70 110 324 784

IX 14 28 48 72 120 361 841 X 15 30 49 77 121 400 900

Palier + 2 : Additions d'unités en reformant la dizaine supérieure.

1 7 + 3 ... 27 + 3 .. . 37 + 3 ... 4 7 + 3 .. . etc .. . 1 6 + 4 . .. 26 + 4 . . . 56 + 4 . . . 96 + 4 .. . etc ...

En mélange :

1 2 + 8 . . . 23 + 7 .. . 45 + 5 . .. 44 + 6 .. . etc ...

Palier + 3 : En franchissant la dizaine de ·t .

1 1 + :-3 . . . 27 + �3 . . . 37 + 3 ... 47 + 3 ... etc .. . 1 6 + 4 .. . 26 + 4 .. . 56 + 4 .. . 96 + 4 . . . etc .. . En mélange

1 2 + 8 . . . 2:� -⁺ 7 . . . 1.15 + 5 . . . 4/J. + 6 . . . etc .. .

Attention ! Dès q u e le maître "sent" q u e les enfan l:s répondent mach inalement : Rompre la série

Palier + 4 : En franchissant la dizaine de 2 à 9 au moyen d'exercices gradués analogues.

1 7 + 5 .. . 46 + 6 .. . 48 + 4 .. . 53 + 9 . .. etc .. . 27 + 8 . . . 58 + 7 .. . 29 + 6 . . . 79 + 6 .. . etc .. . 29 + 5 ... 25 + 9 .. . 1 8 + 6 ... 56 + 8 ... etc .. .

Palier + 5 : Addition de dizaines et d'unités, les unités ne reformant pas une dizaine.

12 + 14 ... où l 'élève dira : 1 2 + 1 0 : 22; 22 + 4 : 26 (cf. ex. B, p. 1 23 ) . 1 3 + 1 5 . . . 1 3 + 1 4 . . . 1 4 + 1 3 . . . 22 + 1 4 .. . 23 + 1 5 . . . etc ...

Palier + 5 : Les unités reforment une dizaine.

1 8 + 1 2 . .. 1 7 + 1 3 . . . 1 6 + 1 4 ... 1 5 + 1 5 ... etc ...

28 + 12 . . . 2 7 + 1 3 ... 26 + 1 4 . .. 25 + 25 .. . etc .. . 58 + 1 2 . . . 39 + 1 1 . . . 3 4 + 1 6 . . . 4 7 + 1 3 ... etc .. . Palier + 6 : Les unités dépassent une dizaine entière de 1 .

1 9 + 1 2 ... 18 + 13 ... 17 + 14 ... 1 6 + 1 5 ... etc ...

29 + 12 ... 28 + 13 ... 27 + 1 4 ... 26 + 1 5 ... etc ...

En mélange :

26 + 1 7 ... 25 + 1 6 ... 39 + 1 4 ... 47 + 18 ... etc ...

Palier + 7 : Les unités dépassent la dizaine de 2 à 8 u nités.

1 9 + 1 3 .. . 1 8 + 1 4 ... 1 7 + 1 5 . . . 44 + 1 8 .. . etc .. . 29 + 1 3 . . . 28 + 1 4 ... 27 + 1 5 . . . 54 + 1 8 ... etc .. . En mélange :

27 + 1 7 ... 36 + 1 9 ... 76 + 1 9 ... 4 7 + 18 ... etc ...

Soustractions : Révision de la table.

Pal ier + 1 : On soustrait des dizai nes entières.

70 - 40 .. . 60 - 20 .. . 80 - 60 . .. 70 - 50 . .. etc ...

1 20 -· 50 . . . 1 30 � 70 ... 1 50 - 80 ... 1 70 - 90 . .. etc ...

1 28 1 29

P�lier f- 2 : On soustrait 1 dizaine.

36 -- 1 0 . . . 47-- 1 0 ... !52 -- 1 0 . . . 74 -- 1 0 . . . e tc .. . 713 -1 0 .. . 1 07 --· 1 0 . . . 1 1 2 - 1 0 .. . 1 1 0 - 1 0 . . . etc . . . Palier + 3 : On rnvient à des dizaines.

44 --1 4 . . . 56 - 1 6 . . . 38 -8 . . . 1 08 - - 8 . . . etc . ..

97 - 7 . . . 1 26 -- 6 ... 1 03 -3 . .. 88 - 8 . . . etc .. . Palïer + 4 : On rétrograde dans les un ités sans franch ir la dizaine.

48 - 7 .. . 56 - 3 .. . 37 - 4 . . . 39 - 5 . . . etc .. . 48 - 1 7 . . . 56 - 1 3 . . . 37 - 1 4 . . . 39 - 1 5 . . . etc .. . 48 - 27 ... 56 - 23 ... 37 - 24 . . . 39 - 25 . . . etc .. . Palier + fj : On franchit la dizaine d'une unité.

34 - 5 . . . 37 - 8 ... 56 - 7 .. . 68 - 9 . . . etc ...

24 - 15 . . . 4 7 - 18 . . . 56 - 1 7 . . . 68 - 1 9 . . . etc ...

34 - 25 ... 4 7 - 28 . . . 46 - 27 .. . 68 - 29 . .. etc ...

Palier + 6 : On franchit la dizaine de 2 unités ou pl us.

21 - 3 . . . 22 - 4 ... 23 - 5 ... 24 - 6 . . . etc .. . 31 - 3 ... 2 1 - 4 ... 22 - 5 ... 21 - 6 ... etc .. . Palier 7 : On travaille également sur les dizaines.

20 - 1 2 ... 30 - 1 4 .. . 50 - 1 7 ... 40 - 1 3 .. . etc .. . 26 - 1 7 . . . 3 1 - 28 .. . 4 7 - 1 9 . . . 2 1 - 1 7 .. . etc .. . La multiplication

Palier ⁺ 1 : On progresse dans les deux sens.

2 x 1 0 2 x 1 1 2 x 1 2 2 x 1 3 etc ... jusqu'à 1 9 (cf. ex. A, p. 1 23 ) . 3 x 1 0 3 x 1 1 3 x 1 2 3 x 1 3 etc ... jusqu'à 1 9.

On insistera sur la décomposition : 4 x 1 4 c'est 4 x 1 0 ; 4 x 4; 40 + 1 6 = 56 9 x 1 0 9 x 1 1 9 x 1 2 9 x 1 3 etc ... jusqu'à 1 9.

Palier + 2 : "Salades" entre 1 1 et 1 9 !

4 x 1 1 . . . 5 x 1 3 ... 4 x 1 7 ... 6 x 1 9 . . . etc ...

Palier + 3 : On passe à la dizaine supérieure.

4 x 2 1 . . . 5 x 1 3 . . . 4 x 1 7 ... 6 x 1 9 . . . etc ...

Palier + 4 : Passage aux autres dizaines.

6 x 54 . . . 2 x 36 .. . 7 x 48 .. . 8 x 57 ... etc .. .

Rmnarqtws finale:; pom cette prnmière série

/j,, chaque leçon, on reprendra les séries de base, juste ce qui est nécessaire pou r lancer la classe mais e11 augmentant la vitesse. I ncluons également le chiffre 7 dans les exercices sur les 3 tables car sa fréquence d'apparition est iaible.

Lorsque ces préliminaires seron t absolument maîtrisés, on pou rra passer aux exercices à la carte, sous forme de consolidation, à parti r du schéma ci-dessous : F ig. 28 (cf. Fig. 27, pp. 1 26 et 1 28)

A 8 C D E F G H 1 J

1 10 27 39 42 55 68 71 84 96 103

II 1 1 29 35 44 5 7 66 80 83 92 108

I l l 1 2 JO 34 49 56 63 78 85 97 101

I V 13 2 1 37 46 58 69 74 82 95 1 10

V 14 22 3fj 48 51 65 79 90 9J 107

V I ^{15 26 40 4 7 59 62 73 BI 98 104}

V Il 1 6 23 38 45 54 70 72 87 91 109

V I I I 1 7 2 8 3 2 50 5 3 6 1 75 89 94 106

I X 1 8 2 5 31 43 60 64 1 7 86 99 102

X 1 9 24 33 41 52 67 76 88 100 105

Comme appl ication on pou rra reprendre les schémas de calcul donnés p. 1 27 en faisant bien attention d'appliquer les décompositions ( pal ier + 5, p. 1 29, et reprendre la table p. 1 28 pour fa ire des additions en colonnes ou des mu lti­

pl ications plus difficiles.

1 30 1 3 1

De quelques applications particul ière�

Fnictions

Cn rapport avec le programme, 011 pourra travail ler '1/2, l /3 ou 1 /4 quand les relations son t éviden tes avec le l ivre t !

Palier + 1 : Séries de divisions par 2 : sur des dizaines entières.

la moitié de 1 0 30 40 50 70 90 . . . etc .. . Palier + 2 : S u r des nombres pairs.

la moitié de 1 2 24 34 42 56 74 92 26 ... etc .. . Palier + 3 : S u r des nombres impairs ( ! ) .

1 3 ( 1 2 . . . 6,5) 33 (32 ... 1 6,5) 43 (42 . . . 2 1 ,5) 5 7 7 5 9 1 . . . etc ...

Palier + 3 : Sur des nombres quelconques.

la moitié de 1 8 25 36 21 45 56 .. . etc ...

Remarque : Travailler essentiellement les nom bres compris entre 70 et 99 selon le schéma :

la moitié de 78 . . . 70 ... 35 + 4 . . . 39; 87 . . . 80 . . . 40 + 3,5; etc .. . Série de divisions par 4

Palier + 1 : Sur des dizaines entières.

Selon le schéma : le quart de 20 c'est la moitié ... 1 0 et encore la moitié : 5

le quart de 40 60 80 1 00 1 20 ou 1 0 ( 5 ... 2,5 ! ) Palier + 2 : Sur des nombres pairs.

Le quart de 16 32 24 52 84 60 1 04 ... etc ...

Série de divisions par 3 (uniquement en rapport avec le l ivret) Palier + 1

le tiers de 1 8 27 1 5 1 2 30 63 45 . . . etc .. .

Généralisation : Par analogie e t avec prudence, o n étendra les exercices à :

si 1 kg de marchandise coûte 2 fr. , combien 1 /2 kg . . . 1 fr. ; 1 kg 1 /2 . . . 3 fr.

si j'ai 3 pêches pou r fr. 1 ,20, combien pou r 1 pêche . . . fr. 0,40;

pou r 5 pêches : ... 2 fr. etc ...

1 32

IVlultip!ications

Palier + ·i : par t\ i;r:don le schéma : divi:mr p,:11" 2, mu ltiplier par ·1 0 (ou ajou­

îer u n 0 ) .

Li x 1 2 . . . 6 . . . 60 l'i Je 1 f3 . . . B . . . DO fi ,c 32 . . . H l . . . 1 60 <�te . . .

Pr1iier + 2 : avec des nombres impairs, selon le schéma : b x 1 7 . . . H i ... 8 . . . B 5 (on remplace le O d u pal ier + 1 par un 5).

5 X 19 . . . 18 ... 9 . . . 95 5 X 23 . . . 22 ... 1 1 . . . 1 1 5 5 X 15 . . . 74 . . . 37 . . . 375 etc .. .

Palier + '.'.l : par 9 , selon le schéma : mul tiplier par '1 0, moins le nombre mu lti­ plié.

9 X 12 : 1 Ü X 12 ... 1 20 ... -· 20 + 8 ... 1 08.

9 _X 25 : 1 0 _X 25 . . . 250 ... - 30 + 5 ... 225.

9 X 33 : 10 X 33 . . . 330 . . . - 30 - 1 Ü + 7 . . . 297.

9 X 44 : 1 Ü X 44 ... 440 ... - 40 - 10 + 6 ... 396.

9 x 54 : 10 x 54 ... 540 . . . - 40 - 20 + 6 . . . 486. etc .. .

Palier + 4 : par 1 1 , selon le schéma : mu ltiplier par 1 0, ajouter 1 fois le nombre.

1 1 _X 1 2 : 1 0 _X 1 2 ... 1 20 . . . + 1 2 . . . 1 32.

1 1 X 29 : 10 X 29 ... 290 ... + 10 . . . + 1 9 . . . 3 1 9 ! 1 1 X 47 : 1 0 X 47 . . . 470 . . . + 30 ... + 1 7 . . . 5 1 7 ! 1 1 _X 43 : 1 0 _X 43 ... 430 . . . + 43 ... 4 73.

1 1 X 77 : 1 Ü X 77 ... 770 ... + 30 ... + 4 7 ... 84 7 !

Attention ! Les passages de centaine, plus diffici les, sont marqués d'un point d'exclamation !

Palier + 5 : Basé sur la mu ltipl ication par 5 ( cf. pal ier + 1 , p. 00) , on étendra le calcul à la mu ltipl ication par 1 5, pu is par 25.

Schéma pour 1 5 : 1 5 x 12 : 12 ... 6 ... x 3 ( parce que 3 x 5 cc 1 5) : 1 8 . . . 1 80.

1 5 X 1 6 : 1 6 ... 8 . . . X 3 ... 24 ... 240.

1 5 _X 60 : 60 . . . 30 . . . _X 3 . . . 90 ... 900.

1 5 _X 28 : 28 ... 1 4 . . . _X 3 . . . (3 _X 1 0 ... 30; 3 _X 4 . . . 1 2 . . . 42) ... 42 ... 420.

1 5 x 1 7 : 16 ... 8 . . . x 3 ... 24 ... 240 ...

+

1 5 (3 x 5 du nombre impair) . . . 255 ! 1 5 X 2 1 : 20 ... 1 0 . . . X 3 . . . 30 ... 300 ... + 1 5 . . . 3 1 5 !

Schéma pou r 25 : 25 x 1 2 : 1 2 ... 6 ... x 5 (parce que 5 x 5 = 25) : 30 ... 300.

25 X 1 6 : 1 6 ... 8 . . . X 5 . . . 40 . . . 400.

25 X 60 : 60 ... 30 ... X 5 ... 1 50 ... 1 500.

25 x 28 : 28 . . . 14 ... x 5 . . . 7 ... 70 ( cf. pal ier + 1 , p. 00) ... 700.

25 x 1 7 : 1 6 ... 8 . . . x 5 . . . 40 . . . 400 . . .

+

25 (5 x 5 du nombre i mpair) ... 425 i

1 33

25 X 21 : 20 ... 1 0 . . . X 5 . . . 50 . . . 500 ... + 25 ... 525 ! mais 1 5 )< '10 et 25 x 10, direct : ... 1 50 et . . . 250.

Flappelons que le ! marque u ne série un peu plus diffici le, sans pou r autant constituer un pal ier + 1 .

i-';.l!ier + 3 : Développer par mrnloriio dc�s séries stilon des schémas déjà vus.

l ,4!i 'i ,55 / 1 ,2f'i 1 , 7!5 / 1 ,'.3!5 ·1 ,m.ï / soi'i �l fr. :3 ir·. 3 fr . . . . !� fr.

jours un peu plus loin, selon les possi bil ités des élèves, par pal iers succegsifs avec des incidents de rup tures de temps en ternps.

Par exemple, on pourra donner la série : 9 ,, 7, + 37, racine carrée, - 1 0, )( B1 , + 2, + 3, -· 5 . . . O! et demander de redonner la série de mémoire et dans l 'ordre ! ! !

En guise de _conclusion

Nous avons analysé le contenu du programme donné pp. 1 09 et 1 1 O. N ous avons constaté que si les élèves maîtrisent les éléments que nous al Ions donne ci-dessous sans commentaires, la réussite dans les métiers sans études l ongues (cf. 1 iste p. 1 08) dépasse 90 %.

Nous n'illustrerons cependant pas tous les objectifs i n termédiaires de la liste relative au programme. E n effet, comme dans toute taxonomie, ils sont "en­

globants". Par exemple, i I faut bien posséder les nombres entiers ( 1 .2 1 1 ) avant d'aborder les nombres fractionnaires ( 1 .2 1 2) ou les nombres décimaux ( 1 .2 1 3 ) . Nous nous limiterons donc aux exemples d'objectifs d'aboutissement.

les fractions ordinaires

Combien de mètres valent les 5/6 de cette longueu r ?

48 m Les 2/3 de cette longueu r font quelle fraction de mètre ?

1 29 cm Jean a reçu les 2/5 d'une somme. Quel le était cette somme, sachant que Jean a reçu 1 00 fr. ?

1 35

Les 2/5 d'un mât font 4 m . Combien mesu re le mât ?

.J 'ai payé le5 2/9 d'une dette de 360 fr. Combien me reste-t-il à payer ? Les 2/3 d'un liteau font 4/5 de rn. Combien mesu re le liteau '?

Dans une barre de fer de 4/5 de m combien pou r rai-je découper de barres de 2/5 m ?

Combien une longueur de 2/5 de m est-elle con tenue dans 4 m ? Les fractions décimales

Complétez : 0, 1 + 0, 1 =

0, 1 ^X 0, 1 = 0, 1 ·- 0, 1 = 0, 1 : 0, 1 =

Cote 1.213 Complétez 0, 1 + 0,01 =

0, 1 ^X 0,01 = 0, 1 - 0,01 = 0, 1 : 0,01 = Effectuez les opérations suivantes :

1,2 ^X 100 = 3 : 10 = 13,05 : 100 = 1,02 : 1 000 =

Retrouvez le nombre qui manque : ... : 7 = 2, 1 0,005 : ... = 5 Additionnez :

0,008 ^X 10000 = 1,0101 X 1 000 = 0,05 : 100 = ...

1,5 + 24,02 + 101,001 + 0,065 + 3242 + 1001,01 + 0, 1008 = Soustrayez

101,001 - 24,02 = 1001,01 - 101,001 = 0, 1008 - 0,065 = Comparaisons ordinaire-décimal Cote : 1 .214

Ecrivez en fractions décimales 3 centièmes puis multipliez par 12 millions ! Calcu lez le double de la plus grande des deux fractions suivantes : 2/7 0,4 Réponse en fraction ordinaire irréductible.

Voici un carré A et un rectangle B

B A

Indiquez en fractions ordinaires, puis en fractions décimales ce que la partie désignée ci-dessous repré­

sente par rapport au tout représenté par la figure ci-contre.

136

(]

,i) la partie /\ e)(térieu re à B ; b ) l a panirJ 13 eJ('iérifiur·r� à A;

c) lé1 partie commune ,\ A et à 13 ; Fractions ordinaires :

a) b) cl d) e) f)

Exponentielles

d) le rectangle 13 seul ; e) le carré /\ seu l ;

1) l a partie A et l a partiù 13 non com-munes.

hm:tiûns décimaie�

a) b) c) d) e) f)

Cote : 1 .215

Complétez : 6 c'est la racine carrée de ... 1 44 c'est le carré de ...

Répondez aux deux questions suivantes en indiquant l'exposant qui convient : 2.2.2.2 c'est 2··· 1 millions, c'est 10···

Effectuez les calculs suivants

5² = ··· 1 0⁴ = ... 3³ = ... 12¹ 1/3⁰= ... 1¹0 = ...

Effectuez et simplifiez

_L = ^{2 x 3}

3 x 5

i

Complétez par l'indication d'une puissance : 3² + 2 = 17 Mesures de longueur

Jean Pierre Charles 1960 112 cm 100 cm 109 cm 1965 125 cm 1 16 cm 117 cm

Cote : 2. 10

Quelle différence de stature existe-t-il entre celle, en 1960, de l'enfant qui a le plus grandi, et celle, en 1965, de l'enfant qui a le moins grandi ? Quelle est la plus courte des distances de chaque série ?

Indiquez vos transformations éventuel les ! 300 m ; 4 hm; 0,6 km Réponse :

6 dm; 300 mm; 0,4 m Réponse :

525 m; 0,8 km; 32 dam Réponse :

Quelle est la différence de ces deux longueurs : 0,56 m 84 cm ? Indiquez avec précision l'unité que vous avez choisie et les transformations éventuelles que vous avez dû effectuer.

137

tes smfoces

Un petit carré de !'i crn de côté est emboîté dans un carré plus grnnd.

Calculez l'nirn du grand carré a b C d.

Calculez l'aire du triangle a b C.

Quel le est l'aire de ce rectangle ? Unité de calcu l : le dm.

Voici un carré de 12 m de côté.

On a partagé un de ses côtés en deux et l'autre en trois parties égales. ' Calculez l'aire du triangle hachu ré.

Unité de calcul : le m.

Cote : 2.20

1 38

b

7 , 5

Calcule?'. l a circorr férence de ce cercle !

Un rectangle a une aire de 36 en/ Un de ses côtés mesure 6 cm. Comment se nomme ce rectangle particulier ?

Calculez le périmètre d'un rectangle de 48 cm² d'aire et dont une dimension vaut 8 cm.

On place bout à bout 3 carrés et l 'on obtient un rectangle de 56 cm de pour­

tour. Quel est le pourtour d'un carré ? (Vous pouvez vous aider d'un croquis ! ) Dans une plate-bande de 4 8 m² de surface, il y a 2 rosiers pour 1 6 dm²• Combien y a-t-il de rosiers ?

Calcu lez la surface blanche dont le diamètre réel est de 8 cm.

Calculez la surface de ce trapèze.

Unité de calcul : le cm.

Calculez la surface ombrée.

Unité de calcul : le cm.

3

1 39

Complétez :

0,3 km¹ = ... . 0,06 m2 =

600000 mm2

= ... .

dam¹ dm² m

Déms chaque demi-cercle, on a représenté un demi-polygone.

Donne le nom :

a) du polygone dont la moitié est représentée dans le demi-cercle supérieur ... .

b) du polygone dont la moitié est représentée dans le demi-cercle inférieur ... .

énoncé . le r ayon du cer­

cle vaut: 10 c1 •

A propos du cercle et du nombre pi, il sera bon de consulter la fiche d'histoi­

re no 9 et son corrigé. Voir pour cela au prochain chapitre, p. 000.

Le rapport est obtenu par la moyenne de la somme des carrés couvrants (extérieurs et intérieurs au cercle) et des carrés uniquement intérieurs. Le rapport entre cette moyenne et le rayon carré fournit le nombre pi.

A titre indicatif, l'approximation sur papier millimétré atteint 3, ^{1 424,} résul­

tat fort honorable en regard du résultat officiel de 3, 1 416 !

Les volumes Cote : 2.30

Donnez les réponses suivantes par simple transformation dans l'unité propo­

sée :

3 m³ 30 dm³ 300 cm³ = ... rn³ 25 000 mm³ = ... m³ m³ 62 dm³ 999 cm³ 600 mm³ = .. dm³

24478 mm³ = ... cm^{3 • . •} mm³ 2 657 341 mm³ = ... dm³ ... cm³ 192 475 dm³ = ... m^{3 . . .} dm³ Une arête de cube vaut 10 cm. Calculez son volume. Réponse en dm³•

... mm 3

Si l'on reprend les éléments de la fiche d'histoire no 9, p. 1 52, on demandera aux élèves de calculer le volume moyen de la pyramide de Kéops, sachant qu'un côté de sa base carrée mesure m 232,805 et sa hauteur m 148,21.

Un moteur comporte 4 cylindres. Chacun d'eux mesure 8 cm de diamètre et sa hauteur vaut 10 cm. Quelle est la cylindrée de ce moteur en cm³ ? Un prisme hexagonal a 1 0 cm de côté. L'apothème, dans ce cas, vaut 0,866.

Calculez le volume de ce prisme sachant que sa hauteur est de ²⁰ cm.

1 40

Calculez pour le prisme triangulaire ci-contre :

_ l'aire latérale;

__ . l'aire totale;

__ le volume.

r-lésolvez ce problème en faisant le moins d'opérations possibles !

Les capacités

6

3 4

Cote : 2.40

Soustrayez la plus petite quantité de la plus grande. Notez vos transformations d'unités.

0,07 hl et 0,9 dal puis 0,03 dal et 0,5 dl.

Une grande cave met son vin en bouteilles de 7 dl et de 1 1. Combien utilisera­

t-elle de bouteilles si elle en prend autant d'une sorte que l'autre et que ses cuves contiennent 22 950 1 de vin ?

Les poids Cote 2.50

Quel est le plus lourd des poids de chaque série

6 dag 2 hg 321 mg

20 dg 39 cg 3 g

105 kg 0,8 t 4 q

Réponse : ... . Réponse : ... . Réponse : ... . Un moustique pèse 5 mg. Combien faudrait-il de moustiques pour égaler le poids d'un lapin de kg 2, 1 80 ?

5 cageots dP pêches pèsent brut kg 27,600. Le poids d'un cageot vide fait 520 g. Les pêches, en action, sont à fr. 2, 70 le kg net. Combien devra-t-on payer pour les 5 cageots ?

Combien de fois 5 q dans 12 t et combien de fois 5 kg dans 12 q ? Indiquez avec précision l'unité que vous avez choisie pour effectuer vos opérations!

1 4 1

Mesures extra-décimales Cote : 2.70

Donnez les réponses aux opérations suivantes, sachant que le� nombres de la colonne de gauche indiquent des semainns et cc�ux de droite, des jours :

Sem . Jours Sem . Jours Sem. Jours

0 ^{4 + 1 l 1} 5

3 2 + 3 5

1 3 + 1 6

1 2 0 ⁶

3 3 2 4

Donnez les réponses aux opérations suivantes, sachant que les nombres de la colonne de gauche indiquent des demi-douzaines et ceux de droite, des crayons

Y, dz Cray . Y, dz Cray. Y, dz Cray .

0 3 + 0 5 1 2

0 3 + 0 3

3 4 + 1 5

2 3 1 4

6 3 3 5

Quelle est la plus grande différence de température entre Genève le matin et Lausanne le soir ? ( Le tableau est donné en degrés Celsius ou centigrades.)

Genève Lausanne

Mini Maxi Mini Maxi MATIN - 3⁰ + 1⁰ 0 ⁰ + ⁵⁰ SOIR 8 ⁰ +10^° + 8⁰ +11

La température en degrés Fahrenheit est égale à 9/5 de la température en degrés Celsius + 32 degrés, soit

F⁰ = (9 C^{0 /} 5) + 32 Transformez les résultats obtenus en Fahrenheit ! Les pour-cent•et les pour-mille Cote : 3.10

Une marchandise achetée 10 fr. a été revendue 8 fr. La perte représente quel pour-cent du prix d'achat ?

De combien raccourcit un coupon de tissu de m 3,20 qui subit u n retrait de 2 pour-cent au lavage ?

142

Ouel esi Je poids don t le 4 pour-cent est 24 kg ? Et si c'était 4 pour-mille '?

·J 8 fr. représenten i quel pour-cent de 300 fr. ? et quel pour-mille de 1 27 800 ir. ? ,Jau!JfWÇJC l)t poids spécifique Cote : 3.20

Un bassin mesure 3 rn �ur rn 1 ,50 avec une hauteur de 62 cm. O.uelle est, en lii:res, sa contenance et le poids d'eau (en kg) qu 'il contiendrait s'il était rem­

pli aux 2/3 ?

Un litre d'air pèse 1 3 dg. Quel volume occupe-t-il ? Combien pèseront dl 0.4 de mercure et dans combien de cm³ seront-ils contenus ?

Si l'on reprend le prisme triangulaire de la p. 141 et que l'on sait qu'il est en aluminium (poids volumique : 2,7 en g/cm³ ou en kg/dm³ ou en t/m³) calculez son poids en choisissant l'unité qui convient !

\ Les mélanges

prix, poids, mesure de l'unité Cote : 3.30

On mélange 3 000 litres de vin à fr. 6,80 le litre et 2 000 à fr. 9,60. Quel sera le prix du litre du mélange ?

On mélange 5 kg de café à 17 fr. le kg avec 15 kg de café. L'ensemble du mélange vaut 322 fr. Quel est le prix du kg du second café ?

Si 3 personnes lavent la vaisselle en 20 minutes, combien faudra-t-il de temps à 1 personne pour laver la même quantité de vaisselle ?

Si 5 caramels coûtent 20 et., combien coûteront 15 caramels ? Quel est le poids d'argent fin de 400 g d'alliage au titre de 0,800 ? Les grandeurs proportionnelles Cote : 3.40

Quel est Je travail le plus important, celui fourni par 4 ouvriers en 7 heures

ou 3 ouvriers en 9 heures

Réponse : .... ouvriers en .... heures.

ou 5 ouvriers en 6 heures ou 7 ouvriers en 4 heures ? Un piéton marche pendant 4 h. et parcourt 16,2 km. Quelle est la vitesse à la minute ? Réponse en mètres.

Un cycliste se déplace pendant 1 h. en montée à la vitesse moyenne de 12 km/h. Puis il aborde une descente et pendant 15 min. il roule à une moyenne de 60 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne ? Réponse en km/h.

Une station de pompage a une capacité de 18 000 litres par minute. Calculez son débit horaire. En supposant son débit réduit du tiers, combien faudra-t-il

143

de temps pour remplir une piscine de 6 400 m³ ? L'argent t�t son traitement Cote : 3.50

Combien y a-t-il de mois dans : 1 /2 1 /3 1 /4 1 /6 2/3 3/4 1 / 1 2 d'année ? Un voyageur de commerce achète une voiture en "leasing" à ^{1 4} % rembour­

sable en 24 mois. La voiture est à 16 000 fr. Combien doit-il payer par mois ? Complétez les indications qui manquent

Effectuez les opérations suivantes en répondant, selon le cas, en jours (j), heures (h), minutes (mn) et secondes (s)

21 h 42 mn 37 s + 9 h 26 mn 55 s =

4 j 17 h 45 mn + 28 h 35 mn 25 s + 8 h 8 s = 24 h 24 mn 20 s - 8 h 35 mn 47 s =

5 j 20 h 20 mn - 96 h 27 s =

Un coureur de moto-cross met 3 mn 17 s pour accomplir 1 tour de piste, en moyenne. Combien mettra-t-il de temps pour parcourir 20 tours ?

Un marcheur a parcouru 50 km en 4 h 20 mn 27 s. Calculez d'une part sa moyenne à l'heure et d'autre part son temps moyen sur 1 0 km.

Horaires et vitesses moyennes Sylvie se rend à bicyclette de A à B.

Anne va de B à A. Tracez le parcours d'Anne et indiquez l'heure du croise­

ment en vitesse moyenne.

Calculez les 2 vitesses moyennes !

Cotes 3.61 et 3.62

A quel le distance de Genève se trouvai t le train à 3 h 30 ?

Calculez sa vitesse moyenne. 48 l<m 36 l<m

Inventez une autre expression semblable aux suivantes montrant que vous avez compris la signification du signe * (Cf. également 1.211.)

30 * 5 = 6 144 * 12 = 12 Réponse : . .. * Deux amis marchent à 5 km/h le long de deux rails. L'écartement des rails qui les séparent est de m 1,20. Quant les deux amis se rencontreront-ils ? Un élève multiplie un nombre donné par 20 au lieu de 18. Il obtient 34 de trop au produit. Quel était le nombre donné ?

Quels sont les nombres premiers qui divisent exactement 84 ?

Jean a acheté trois cahiers : un blanc, un rouge et un vert. Ils lui ont coûté en moyenne ¹ fr. chacun. Sachant qu'il a payé 70 et. pour le cahier blanc et 1 fr. pour le cahier rouge, donnez le prix du cahier vert.

Les constructions géométriques Cote : 4.20 A l'aide du compas et de la règle, tracez

une perpendiculaire passant par "a".

Indiquez un point "p" de la perpendicu­

laire qui soit à 20 mm de "a". Mesurez la distance de "b" à "p" et indiquez-la.

145

Construisez, à partir de "a", un angle de 45 degrés puis de :10 degrés, ,1 l'aide du compas.

Les échelles Cote : 4.30

A quelle échelle a été représenté le dessin B par rapport au dessin A ?

Redessinez la figure ci-contre en doublant les hauteurs et en triplant les longueurs.

La distance, sur le plan, est de 70 mm.

Voici, à l'échelle 1: 25000*, le plan d'une route menant de la ferme A à la ferme B.

Quelle est la distance réelle entre ces deux fermes ?

Vous écrirez tous vos calculs et toutes

Vous écrirez tous vos calculs et toutes

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