Mouvements ascendants et descendants en couche limite

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3.4 Statistiques de la turbulence en couche limite

3.4.3 Mouvements ascendants et descendants en couche limite

La présente section est une estimation des termes définis ci-dessus dans le cas de la couche limite neutre calculée en simulation numérique directe par [55]. Cette simulation est conduite à un nombre de Reynolds (basé sur la vitesse au centre et la demi hauteur du canal) de 12580 et un nombre de Reynolds de

frot-tement Reτ = hu/ν de 590. Elle a été réalisée avec un code pseudo-spectral en

formulation Chebychev-τ dans la direction normale à la paroi, et Fourier dans les autres directions. Une description détaillé de la méthode numérique est donnée dans [56].

Pour α fixé, on réalise des visualisations sur des plans horizontaux de la façon suivante (voir figure 3.4) :

– couleur verte si√ Ω ≤ α|S|, – couleur bleue si√ Ω > α|S| et v ≤ 0, – couleur rouge si√ Ω > α|S| et v > 0.

Suivant cette représentation, les zones peu intenses sont en vert, les zones intenses et top-down sont en bleu et les zones intenses et bottom-up sont en rouge. La

figure 3.4 a été réalisée pour α = 1. On y constate qualitativement pour y+valant

20, 40 et 50, une prédominance des zones rouges (vitesse verticale positive, soit zones bottom-up) sur les zones bleues (vitesse verticale négatives, soit zones

top-down). Pour y+= 250, il y a un équilibre entre les zones rouges et bleues.

De plus, lorsque les zones vertes sont en nette minorité (ce qui est le cas pour

y+valant 40, 50 et 250), ce qui correspond au cas où la valeur de α est trop faible

pour discriminer les évènements réellements intenses, on a 

 

γ<+(α) + γ>+(α) = 1

γ<+(α)v<+(α) + γ>+(α)v>+(α) = 0

Ainsi, si les évènements de type bottom-up dominent en probabilité, cela a pour contrepartie que les évènements de type top-down sont plus intenses.

Afin de s’affranchir de la difficulté liée au choix du seuil α, la figure 3.5,

tra-cée pour y+= 100, montre d’une part les probabilités des évènements intenses en

fonction de α et d’autre part les valeurs moyennes des vitesses de ces évènements intenses. Cette figure est basée sur des éléments communiqués par F. Laadhari (communication privée). On constate que les courbes se croisent pour α ≈ 0,5,

avec une prédominance des évènenements bottom-up pour α<0,5, et une

prédo-minance des évènements top-down pour α>0,5.

Cette figure, basée sur une analyse cinématique des évènements, n’a pas d’ex-plication dynamique (c’est à dire basée sur une analyse des équation de Navier-Stokes) triviale, et mérite à elle seule la poursuite d’investigations détaillées du cas

FIGURE 3.4 – Pour α = 1, en vert zones peu intenses, en rouge zones bottom-up

et en bleu zones top-down, avec, de bas en haut : y+ = 20 ; y+ = 40 ; y+ = 50 ;

neutre. En effet, et même si in fine le mécanisme de génération de la turbulence se passerait dans la sous-couche visqueuse, il se pourrait bien que l’instabilité qui s’y produit soit déclenchée par l’arrivée d’un évènement venant des couches supérieures.

g

a

0.5

g

+<

g

+> y+ =100 (a) |v|

a

0.5 v+< v+> y+ =100 (b)

FIGURE 3.5 – Pour y+ = 100, (a) : proportion d’occurence des évènements

in-tenses en fonction du seuil α (lignes continues : évènement inin-tenses bottom-up ; tirets : évènement intenses top-down) ; (b) : vitesse verticale moyenne des évè-nements intenses en fonction du seuil α (lignes continues : évènement intenses

bottom-up; tirets : évènement intenses top-down).

3.4.4 Perspectives

La perspective proposée par cette section consiste d’une part, à continuer l’in-vestigation en neutre et d’autre part à commencer à appliquer les méthodes utili-sées ici en neutre pour de la turbulence stratifiée. Pour ce qui est de l’investigation en neutre, il y a sans doute un équilibre à trouver entre les analyses de simula-tions numériques directes (en particulier en mettant en place un suivi lagrangien des particules fluides) et la mise au point de petits modèles analytiques à visée explicative.

3.5 Conclusion et perspectives

On a vu dans ce chapitre trois idées principales : d’une part, en laminaire, on dispose d’une solution exacte des équations de Navier-Stokes qui peut être utilisée comme cas test très simple pour les logiciels utilisés en ingénierie. D’autre part, on a vu que les cas turbulents sont beaucoup moins bien compris, qu’il s’agisse de la prévision des flux globaux en écoulement fortement stratifié ou de la structure fine de la turbulence, même en neutre. Dans ce cas particulier, un effort reste à faire

pour mieux comprendre (c’est à dire se construire une représentation mentale du phénomène) la cinématique des écoulements turbulents, dès lors que l’on souhaite mettre en place des modèles avancés.

Etude des panaches

4.1 Introduction

Le chapitre 3 a analysé un premier écoulement canonique, celui du canal stra-tifié, et a montré des pistes d’investigation complémentaires pour à la fois mieux décrire les caractéristiques moyennes de l’écoulement dans les cas fortement stra-tifiés et la structure fine de la turbulence. L’écoulement en canal est représentatif de la convection forcée. Le présent chapitre analyse un second écoulement cano-nique, le cas des panaches, représentatif de la convection libre.

Dans ce chapitre, on considère un milieu fluide ambient de masse volumique

ρa, dans lequel se trouve une source continue de fluide de masse volumique ρ06=

ρa. L’ensemble de l’écoulement est soumis à l’accélération de la pesanteur g =

−gez, et de ce fait, la pousée d’Archimède va conduire à des mouvements de

convection. Cette source est supposée localisé à la hauteur z = 0, et peut être ponctuelle ou non dans le plan z = 0. La masse volumique du milieu fluide ambient

peut dépendre de la hauteur considérée, ρa= ρa(z). On appelle panache un tel

écoulement.

L’approche retenue est de partir du cas général, sans faire l’hypothèse que l’approximation de Boussinesq est valide, et de retrouver les résultats classiques de la théorie des panaches (tels que présentés en particulier dans [13]) en ne faisant que les hypothèses strictement nécessaires. Le cas des panaches non Boussinesq a été analysé phénoménologiquement par divers auteurs, en particulier [57], [58]. La théorie des panaches (issue des travaux des [59] et présentée en particulier dans [13]) a été étendue par [60] au cas des panaches non Boussinesq issus de sources ponctuelles.

On s’intéressera notamment au comportement asymptotique des panaches pour

z grand, ce qui conduit naturellement aux corrections d’origine virtuelle (sur ce

sujet, voir en particulier [61], [62] et [63]). On verra comment il est possible de 79

mettre en place des développements raccordés permettant de prendre en compte à la fois le champ proche (z petit) et le champ lointain (z grand), suivant l’approche proposée initialement par [63] et suivie ensuite par [64].

Dans toute la suite de ce chapitre, on note x = (x,y,z) la position d’un point, u(x, y, z,t) = (u, v, w) le champs de vitesse instantané et U(x, y, z) = (U,V,W ) la moyenne de Favre de la vitesse. On se limite au cas d’une source constante, ce qui fait que la moyenne de Favre ne dépend pas du temps. Pour alléger les nota-tions, la moyenne de Reynolds de la masse volumique est notée ρ(x,y,z), la masse

volumique instantanée étant ρ(x,y,z) + ρ(x, y, z,t). On utilisera également les

co-ordonées cylindriques, où la position du point (x,y,z) est repérée par (r,θ,z) ; en

coordonées cylindriques, la vitesse est notée u(x,y,z,t) = (ur, uθ, w). Sauf mention

contraire, on considérera qu’il n’y a pas de mouvement azimutal en moyenne, de

telle sorte que∂(·)∂θ pour toute grandeur prise en moyenne de Reynolds ou de Favre.

On se limite au cas d’un panache léger dans un fluide ambient lourd1. La source

flottabilité donnant naissance au panache est supposée d’extension finie, comprise entre les hauteurs z = 0 et z = h, et le point (x,y,z) = (0,0,0) est pris au barycentre de l’intersection de la source de flottabilité et du plan z = 0.

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