Partie II. Courbes elliptiques
B.1. Annales d’examen
APPENDICE B
Exercice 5
-Donner, en la justifiant, une description des corpsF49,F121,F169. Exercice 6
-Donner une description deF4 puis écrire la table d’addition et de multiplication pour ce corps.
Exercice 7 -1.À quelle conditionZ/mZcontient-il un élément d’ordre3?
2.Montrer queT2+T+ 1est irréductible surFqsi et seulement siq≡2 (mod3).
3.FactoriserT2+T + 1dansF3[T].
4.Montrer que siq≡1 (mod3), alors le cardinal de l’ensemble des cubes dansFq: F3q={x3, x∈Fq}
est égal à(q+ 2)/3.
5.Donner une construction deF133.
B.1. ANNALES D’EXAMEN 151
Module A1B Exercice 1 -On considère la courbeEsurF5d’équation affine
Y2=X3−X
1.Donner l’équation de la courbe projectiveEeassociée. La courbeEeest-elle non-singulière ? On pose0 = (0 : 1 : 0).
2.Donner tous les éléments deE(Fe 5).
3.A quel groupeE(Fe 5)est-il isomorphe ?
Exercice 2
-1.SiEest une courbe elliptique surF7, donner une majoration du nombre de points deE(F7).
On considère la courbeEsurF7d’équation affine Y2=X3+ 1
2.Donner l’équation de la courbe projectiveEeassociée. La courbeEeest-elle non-singulière ? En pose0 = (0 : 1 : 0).
3.Donner tous les éléments deE(e F7).
4.Calculer la multiplicité d’intersection de la courbe avec sa tangente en le pointM de coor-données homogènes(0 : 1 : 1). Calculer(M.M). En déduire l’ordre deM.
5.Construire un isomorphisme de groupes
(Z/2Z)2×Z/3Z→E(Fe 7) en précisant l’image de(1,0,0),(0,1,0)et(0,0,1).
Exercice 3
-SoitKun corps de caractéristique différente de2et de3. SoitKune clôture algébrique de K. On considère la courbeCsurKd’équation affine
Y2=X3 1.Donner l’équation de la courbe projectiveCeassociée.
2.Quels sont les points à l’infini deCe? 3.Quels sont les points singuliers deCe?
4.On considère la droite projectiveDpd’équationY =pXavecp∈K. Donner les coordon-nées des points d’intersection deDavecC.e
T.S.V.P.
5.En déduire un morphismeψ:P1(K)→Ceenvoyant(0 : 1)sur(0 : 1 : 0)qu’on explicitera.
6.Que peut-on dire deP1(K)etCe?
7.On note0 = (0 : 1 : 0) et Ce0 l’ensembles des points non-singuliers de C. Déterminere ψ−1(ψ(a : 1) +ψ(b : 1)). (Indication : On pourra se placer dans le plan affine K2 vu comme {(x : 1 : t) ∈ P2(K)} et écrire T = pX +q l’équation d’une droite passant par des points M1 = (x1 : 1 : t1)etM2 = (x2 : 1 : t2). On pourra également poser (x3 : 1 :t3) = (M1.M2)et(x4: 1 :t4) =M1+M2.)
8.A quel groupe(Ce0(K),+)est-il isomorphe ?
BIBLIOGRAPHIE
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Z: anneau des entiers . . . 8
N: entiers positifs ou nuls . . . 8
Q: nombres rationnels . . . 8
R: nombres réels . . . 8
C: nombres complexes . . . 8
♯X: cardinal deX . . . 8
|a|: valeur absolue dea . . . 8
a|b:adiviseb . . . 8
aZ: multiples de l’entiera . . . 8
P: ensemble des nombres premiers . . . 8
a%b: reste de la division euclidienne . . . 8
a≡b(modm):acongru àbmodulom . . . 11
x: classe d’équivalence dex . . . 12
E/R: quotient deEpour la relation d’équivalence R . . . 12
Z/nZ: entiers modulon . . . 13
GX: applications deXversG . . . 17
SX: groupe des permutations deX . . . 17
Sn: groupe des permutations de{1, . . . , n} 17 hXi: sous-groupe engendré parX . . . 18
Ker(φ): Noyau deφ . . . 18
Im(φ): Image deφ . . . 18
G/H: classes à gauche . . . 18
(G:H): Indice deHdansG . . . 19
H⊳G: sous groupe distingué . . . 20
ord(g): ordre deg . . . 20
Gp∞: composantep-primaire . . . 22
A×: éléments inversibles deA . . . 26
Mm,n(A): matricesm×n . . . 27
Mn(A):Mn,n(A) . . . 28
car(A): caractéristique deA . . . 28
Fr(A): Corps des fractions deA . . . 28
B[X]: sous-anneau engendré parB∪X. . . . 29
K(X): sous-corps engendré parX . . . 29
K(x1, . . . , xn): sous corps engendré par lesxi 29 (x1, x2, . . . , xn): idéal engendré . . . 30
Pn i=1Ii: somme des idéauxIi . . . 30
a∼b:aetbsont associés . . . 31
pgcd: plus grand commun diviseur . . . 32
ppcm: plus petit commun multiple . . . 32
A[T]: anneau de polynômes . . . 32
deg(P): degré deP. . . 33
K(T): corps des fractions rationnelles . . . 33
A[[T]]: séries formelles surA. . . 36
v0(F): ordre deF . . . 36
P(Q) =P◦Q: série formelle composée . . . 37
A[T1, . . . , Tn]: polynômes ànvariables . . . 37
Tα: le produitQn i=1Tiαi . . . 37
∂P ∂Ti : dérivée partielle deP. . . 37
I : système de représentants des irréductibles de A . . . 41
ϕ: fonction indicatrice d’Euler . . . 44
L(M, N): applications linéaires deMversN 48 E∨: dual deE . . . 48
dimE: dimension deE . . . 49
(e∨1, . . . , e∨n): base duale de(e1, . . . , en) . . 49
Pee′: matrice de changement de bases deeàe′ 50 X∗(G): caractères deG . . . 50
L/K: extension de corps . . . 56
IrrαK(T): polynôme minimal deαsurK . . . 58
K: clôture algébrique deK . . . 60
µn(K): racinesn-ième de l’unité dansK . . 63
µ∗n(K): racines primitivesn-ièmes de l’unité 63 φn(T):n-ième polynôme cyclotomique . . . . 63
Cpi: facteur binômial . . . 65
Fq: corps àq=pdéléments . . . 65
Pn(K): espace projectif de dimensionnsurK 90 P(E): ensemble des droites deE . . . 90
g(C): genre de la courbeC . . . 101
Z(V, T): série zêta associée àV . . . 105
∆: discriminant . . . 110
INDEX
A Algorithme
addition modn . . . 14
Bezout . . . 40, 118 division euclidienne . . . 35, 125 factorisation de Berlekamp . . . 84
de Cantor-Zassenhaus . . . 81
de Cantor-Zassenhaus pourF2 . . . 81
sans facteur carré . . . 78
stratégie . . . 77
suivant les dégrés . . . 79
inverse dans un quotient . . . 131
pgcd . . . 117
puissance . . . 14, 116 Anneau . . . 26
commutatif . . . 26
de matrices . . . 28
de polynômes . . . 32
euclidien . . . 38
factoriel . . . 41
intègre . . . 26
morphisme . . . 28
nul . . . 27
principal . . . 38
produit . . . 27
quotient . . . 29
unifère . . . 26
Application linéaire . . . 48
Automorphisme . . . 28
B Base d’un espace vectoriel . . . 49
duale . . . 49
polynômiale . . . 67
Base normale . . . 85
gaussienne . . . 87
optimale . . . 86
Bezout . . . 9, 39, 118 C Caractéristique . . . 28
d’un corps . . . 45
Caractère d’un groupe . . . 50
Cardinal d’un sous-groupe . . . 19
Clôture algébrique . . . 60
relative . . . 59
Classe à droite . . . 18
à gauche . . . 18
Classe d’équivalence . . . 12
Coefficient dominant . . . 33
Compléxité . . . 86
Composantep-primaire . . . 22
Congruence . . . 11
Coordonnées de l’opposé sur une courbe elliptique . . . . 111
de la somme sur une courbe elliptique . . . 111
homogènes . . . 90
Corps . . . 26
algébriquement clos . . . 60
de décomposition . . . 61
des fractions . . . 28
des fractions rationnelles en une variable . . 33
parfait . . . 76
Corps finis structure . . . 65
Courbe elliptique . . . 107
critère de lissité . . . 110
loi de groupe . . . 110
non-singulière . . . 99
Cryptographie El Gamal . . . 73
RSA . . . 45
D
Décomposition en facteurs irréductibles . . 11, 41 Degré
d’un polynôme . . . 33
total d’un polynôme . . . 37
Degré de l’extension . . . 56
Dérivée d’un polynôme . . . 32
partielle d’un polynôme . . . 37
Dimension d’un espace projectif . . . 90
d’un espace vectoriel . . . 49
Discriminant d’une courbe elliptique . . . 110
Diviseur . . . 8
strict de0 . . . 26
Divisibilité . . . 31
dans les entiers . . . 8
Division euclidienne . . . 34
dans les entiers . . . 8
Droite projective . . . 90
Dual d’un espace vectoriel . . . 48
E Élément algébrique . . . 58
inversible . . . 26
dans un anneau de polynômes . . . 34
irréductible . . . 31
sans facteur carré . . . 76
Éléments associés . . . 31
Ensemble-quotient . . . 12
Espace projectif . . . 90
dimension . . . 90
droite . . . 90
hyperplan . . . 90
sous-espace . . . 90
Espace vectoriel . . . 47
dual . . . 48
sous-espace vectoriel . . . 48
Euclide . . . 10
Extension algébrique . . . 59
d’Artin-Schreier . . . 72
de corps . . . 56
de Kummer . . . 70
finie . . . 56
F Factorisation de Berlekamp . . . 83
de Cantor-Zassenhaus . . . 80
sans facteur carré . . . 78
suivant les degrés . . . 79
Famille génératrice . . . 48
libre . . . 48, 49 presque-nulle . . . 48
Fonction indicatrice d’Euler . . . 44
Fonction zêta . . . 105
Formule d’inversion de Fourier . . . 52
Frobenius . . . 65
G Gauss . . . 9, 40 Générateur d’un groupe . . . 18
Genre d’une courbe . . . 101
d’une surface réelle . . . 100
Groupe . . . 16
abélien . . . 16
commutatif . . . 16
courbe elliptique . . . 110
cyclique . . . 18
monogène . . . 18
produit . . . 16
quotient . . . 20
sous-groupe . . . 17
H Hilbert 90 . . . 71, 72 Homographie . . . 96
Hyperplan à l’infini . . . 91
projectif . . . 90
I Idéal . . . 29
d’un anneau-quotient . . . 30
engendré . . . 30
maximal . . . 30
premier . . . 30
principal . . . 38
Image d’un morphisme de groupes . . . 18
Indice d’un sous-groupe . . . 19
Interpolation de Lagrange . . . 55
Inverse dans un anneau . . . 26
dans un groupe . . . 16
dans un quotient . . . 40
Isomorphisme d’anneaux . . . 28
de corps . . . 28
de groupes . . . 17