• Aucun résultat trouvé

Annales d’examen

Dans le document CORPS FINIS (Page 149-157)

Partie II. Courbes elliptiques

B.1. Annales d’examen

APPENDICE B

Exercice 5

-Donner, en la justifiant, une description des corpsF49,F121,F169. Exercice 6

-Donner une description deF4 puis écrire la table d’addition et de multiplication pour ce corps.

Exercice 7 -1.À quelle conditionZ/mZcontient-il un élément d’ordre3?

2.Montrer queT2+T+ 1est irréductible surFqsi et seulement siq≡2 (mod3).

3.FactoriserT2+T + 1dansF3[T].

4.Montrer que siq≡1 (mod3), alors le cardinal de l’ensemble des cubes dansFq: F3q={x3, x∈Fq}

est égal à(q+ 2)/3.

5.Donner une construction deF133.

B.1. ANNALES D’EXAMEN 151

Module A1B Exercice 1 -On considère la courbeEsurF5d’équation affine

Y2=X3−X

1.Donner l’équation de la courbe projectiveEeassociée. La courbeEeest-elle non-singulière ? On pose0 = (0 : 1 : 0).

2.Donner tous les éléments deE(Fe 5).

3.A quel groupeE(Fe 5)est-il isomorphe ?

Exercice 2

-1.SiEest une courbe elliptique surF7, donner une majoration du nombre de points deE(F7).

On considère la courbeEsurF7d’équation affine Y2=X3+ 1

2.Donner l’équation de la courbe projectiveEeassociée. La courbeEeest-elle non-singulière ? En pose0 = (0 : 1 : 0).

3.Donner tous les éléments deE(e F7).

4.Calculer la multiplicité d’intersection de la courbe avec sa tangente en le pointM de coor-données homogènes(0 : 1 : 1). Calculer(M.M). En déduire l’ordre deM.

5.Construire un isomorphisme de groupes

(Z/2Z)2×Z/3Z→E(Fe 7) en précisant l’image de(1,0,0),(0,1,0)et(0,0,1).

Exercice 3

-SoitKun corps de caractéristique différente de2et de3. SoitKune clôture algébrique de K. On considère la courbeCsurKd’équation affine

Y2=X3 1.Donner l’équation de la courbe projectiveCeassociée.

2.Quels sont les points à l’infini deCe? 3.Quels sont les points singuliers deCe?

4.On considère la droite projectiveDpd’équationY =pXavecp∈K. Donner les coordon-nées des points d’intersection deDavecC.e

T.S.V.P.

5.En déduire un morphismeψ:P1(K)→Ceenvoyant(0 : 1)sur(0 : 1 : 0)qu’on explicitera.

6.Que peut-on dire deP1(K)etCe?

7.On note0 = (0 : 1 : 0) et Ce0 l’ensembles des points non-singuliers de C. Déterminere ψ−1(ψ(a : 1) +ψ(b : 1)). (Indication : On pourra se placer dans le plan affine K2 vu comme {(x : 1 : t) ∈ P2(K)} et écrire T = pX +q l’équation d’une droite passant par des points M1 = (x1 : 1 : t1)etM2 = (x2 : 1 : t2). On pourra également poser (x3 : 1 :t3) = (M1.M2)et(x4: 1 :t4) =M1+M2.)

8.A quel groupe(Ce0(K),+)est-il isomorphe ?

BIBLIOGRAPHIE

[ABV] D. W. Ash, I. F. Blake, and S. A. Vanstone,Low complexity bases, Discrete Appl.

Math.25(1989), 191–210.

[Ca] J. W. S. Cassels, Lectures on elliptic curves, London math. society student texts, vol. 24, Cambridge university press, Cambridge, 1991.

[Co] H. Cohen,A course in computational algebraic number theory, Graduate Texts in Math., vol. 138, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York, 1993.

[DH] W. Diffie and M. E. Hellman,New directions in cryptography, IEEE Trans. Informa-tion Theory22(1976), no 6, 644–654.

[EG] T. ElGamal,A public key cryptosystem and a signature scheme based on discrete logarithms, IEEE Trans. Inform. Theory31(1985), no 4, 469–472.

[IEEE] IEEE, Standard specifications for public key cryptography, Tech. Report P1363, IEEE Standards Department, 1999.

[Kn] A. W. Knapp,Elliptic curves, Math. notes, vol. 40, Princeton university press, Prin-ceton, 1993.

[KL] D. E. Knuth and S. Levy,The CWEB System of structured documentation, Addison Wesley, Baltimore, 1994.

[Me] A. Meyer,Illustrations, Science et Vie Junior, Dossier Hors Série53(2002), 85.

[MOV] R. C. Mullin, I. M. Onyszchuk, and S. A. Vanstone, Optimal normal basis in GF(pn), Discrete Appl. Math.22(1988), no 2, 149–161.

[Per] D. Perrin,Cours d’algèbre, ENS, Paris, 1988.

[RDO] E. Ramis, C. Deschamps, et J. Odoux,Cours de mathématiques spéciales 1. Algèbre, Masson, Paris, 1985.

[RSA] R. L. Rivest, A. Shamir, and L. Adleman,A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems., Comm. ACM21(1978), no 2, 120–126.

[Se] J.-P. Serre,Cours d’arithmétique, Le mathématicien, PUF, Paris, 1988.

Z: anneau des entiers . . . 8

N: entiers positifs ou nuls . . . 8

Q: nombres rationnels . . . 8

R: nombres réels . . . 8

C: nombres complexes . . . 8

♯X: cardinal deX . . . 8

|a|: valeur absolue dea . . . 8

a|b:adiviseb . . . 8

aZ: multiples de l’entiera . . . 8

P: ensemble des nombres premiers . . . 8

a%b: reste de la division euclidienne . . . 8

ab(modm):acongru àbmodulom . . . 11

x: classe d’équivalence dex . . . 12

E/R: quotient deEpour la relation d’équivalence R . . . 12

Z/nZ: entiers modulon . . . 13

GX: applications deXversG . . . 17

SX: groupe des permutations deX . . . 17

Sn: groupe des permutations de{1, . . . , n} 17 hXi: sous-groupe engendré parX . . . 18

Ker(φ): Noyau deφ . . . 18

Im(φ): Image deφ . . . 18

G/H: classes à gauche . . . 18

(G:H): Indice deHdansG . . . 19

HG: sous groupe distingué . . . 20

ord(g): ordre deg . . . 20

Gp: composantep-primaire . . . 22

A×: éléments inversibles deA . . . 26

Mm,n(A): matricesm×n . . . 27

Mn(A):Mn,n(A) . . . 28

car(A): caractéristique deA . . . 28

Fr(A): Corps des fractions deA . . . 28

B[X]: sous-anneau engendré parBX. . . . 29

K(X): sous-corps engendré parX . . . 29

K(x1, . . . , xn): sous corps engendré par lesxi 29 (x1, x2, . . . , xn): idéal engendré . . . 30

Pn i=1Ii: somme des idéauxIi . . . 30

ab:aetbsont associés . . . 31

pgcd: plus grand commun diviseur . . . 32

ppcm: plus petit commun multiple . . . 32

A[T]: anneau de polynômes . . . 32

deg(P): degré deP. . . 33

K(T): corps des fractions rationnelles . . . 33

A[[T]]: séries formelles surA. . . 36

v0(F): ordre deF . . . 36

P(Q) =PQ: série formelle composée . . . 37

A[T1, . . . , Tn]: polynômes ànvariables . . . 37

Tα: le produitQn i=1Tiαi . . . 37

∂P ∂Ti : dérivée partielle deP. . . 37

I : système de représentants des irréductibles de A . . . 41

ϕ: fonction indicatrice d’Euler . . . 44

L(M, N): applications linéaires deMversN 48 E: dual deE . . . 48

dimE: dimension deE . . . 49

(e1, . . . , en): base duale de(e1, . . . , en) . . 49

Pee: matrice de changement de bases deeàe 50 X(G): caractères deG . . . 50

L/K: extension de corps . . . 56

IrrαK(T): polynôme minimal deαsurK . . . 58

K: clôture algébrique deK . . . 60

µn(K): racinesn-ième de l’unité dansK . . 63

µn(K): racines primitivesn-ièmes de l’unité 63 φn(T):n-ième polynôme cyclotomique . . . . 63

Cpi: facteur binômial . . . 65

Fq: corps àq=pdéléments . . . 65

Pn(K): espace projectif de dimensionnsurK 90 P(E): ensemble des droites deE . . . 90

g(C): genre de la courbeC . . . 101

Z(V, T): série zêta associée àV . . . 105

: discriminant . . . 110

INDEX

A Algorithme

addition modn . . . 14

Bezout . . . 40, 118 division euclidienne . . . 35, 125 factorisation de Berlekamp . . . 84

de Cantor-Zassenhaus . . . 81

de Cantor-Zassenhaus pourF2 . . . 81

sans facteur carré . . . 78

stratégie . . . 77

suivant les dégrés . . . 79

inverse dans un quotient . . . 131

pgcd . . . 117

puissance . . . 14, 116 Anneau . . . 26

commutatif . . . 26

de matrices . . . 28

de polynômes . . . 32

euclidien . . . 38

factoriel . . . 41

intègre . . . 26

morphisme . . . 28

nul . . . 27

principal . . . 38

produit . . . 27

quotient . . . 29

unifère . . . 26

Application linéaire . . . 48

Automorphisme . . . 28

B Base d’un espace vectoriel . . . 49

duale . . . 49

polynômiale . . . 67

Base normale . . . 85

gaussienne . . . 87

optimale . . . 86

Bezout . . . 9, 39, 118 C Caractéristique . . . 28

d’un corps . . . 45

Caractère d’un groupe . . . 50

Cardinal d’un sous-groupe . . . 19

Clôture algébrique . . . 60

relative . . . 59

Classe à droite . . . 18

à gauche . . . 18

Classe d’équivalence . . . 12

Coefficient dominant . . . 33

Compléxité . . . 86

Composantep-primaire . . . 22

Congruence . . . 11

Coordonnées de l’opposé sur une courbe elliptique . . . . 111

de la somme sur une courbe elliptique . . . 111

homogènes . . . 90

Corps . . . 26

algébriquement clos . . . 60

de décomposition . . . 61

des fractions . . . 28

des fractions rationnelles en une variable . . 33

parfait . . . 76

Corps finis structure . . . 65

Courbe elliptique . . . 107

critère de lissité . . . 110

loi de groupe . . . 110

non-singulière . . . 99

Cryptographie El Gamal . . . 73

RSA . . . 45

D

Décomposition en facteurs irréductibles . . 11, 41 Degré

d’un polynôme . . . 33

total d’un polynôme . . . 37

Degré de l’extension . . . 56

Dérivée d’un polynôme . . . 32

partielle d’un polynôme . . . 37

Dimension d’un espace projectif . . . 90

d’un espace vectoriel . . . 49

Discriminant d’une courbe elliptique . . . 110

Diviseur . . . 8

strict de0 . . . 26

Divisibilité . . . 31

dans les entiers . . . 8

Division euclidienne . . . 34

dans les entiers . . . 8

Droite projective . . . 90

Dual d’un espace vectoriel . . . 48

E Élément algébrique . . . 58

inversible . . . 26

dans un anneau de polynômes . . . 34

irréductible . . . 31

sans facteur carré . . . 76

Éléments associés . . . 31

Ensemble-quotient . . . 12

Espace projectif . . . 90

dimension . . . 90

droite . . . 90

hyperplan . . . 90

sous-espace . . . 90

Espace vectoriel . . . 47

dual . . . 48

sous-espace vectoriel . . . 48

Euclide . . . 10

Extension algébrique . . . 59

d’Artin-Schreier . . . 72

de corps . . . 56

de Kummer . . . 70

finie . . . 56

F Factorisation de Berlekamp . . . 83

de Cantor-Zassenhaus . . . 80

sans facteur carré . . . 78

suivant les degrés . . . 79

Famille génératrice . . . 48

libre . . . 48, 49 presque-nulle . . . 48

Fonction indicatrice d’Euler . . . 44

Fonction zêta . . . 105

Formule d’inversion de Fourier . . . 52

Frobenius . . . 65

G Gauss . . . 9, 40 Générateur d’un groupe . . . 18

Genre d’une courbe . . . 101

d’une surface réelle . . . 100

Groupe . . . 16

abélien . . . 16

commutatif . . . 16

courbe elliptique . . . 110

cyclique . . . 18

monogène . . . 18

produit . . . 16

quotient . . . 20

sous-groupe . . . 17

H Hilbert 90 . . . 71, 72 Homographie . . . 96

Hyperplan à l’infini . . . 91

projectif . . . 90

I Idéal . . . 29

d’un anneau-quotient . . . 30

engendré . . . 30

maximal . . . 30

premier . . . 30

principal . . . 38

Image d’un morphisme de groupes . . . 18

Indice d’un sous-groupe . . . 19

Interpolation de Lagrange . . . 55

Inverse dans un anneau . . . 26

dans un groupe . . . 16

dans un quotient . . . 40

Isomorphisme d’anneaux . . . 28

de corps . . . 28

de groupes . . . 17

Dans le document CORPS FINIS (Page 149-157)

Documents relatifs