Mod´ elisation des transitions

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pr´esent´es ci-dessus et seule une r´esolution num´erique est envisageable. Cela n´ecessite donc un traitement de type calcul num´erique dont le coˆut n’est pas justifiable par rapport au mod`ele polynomial.

R´esultats La figure8.8montre les r´esultats du mod`ele exponentiel, calcul´es num´eriquement, compar´es aux donn´ees exp´erimentales.

L’erreur de simulation est ici inf´erieure `a 6%, r´esultat l´eg`erement meilleur que celui du mod`ele polyno-mial. Cependant, plusieurs probl`emes se posent comme la r´esolution num´erique, le nombre et le choix des donn´ees `a utiliser pour obtenir un bon param`etrage. En effet, en choisissant pour ce mod`ele trois mesures de fa¸con ´equir´epartie sur 8 bits, l’erreur estim´ee de la simulation passe de 6 `a 10%, valeur bien sup´erieure au mod`ele pr´ec´edent. Par cons´equent, au vu de ces difficult´es de r´esolution, le choix va se porter par la suite sur le mod`ele polynomiale en s´electionnant les mesures de param`etrage de fa¸con ´equir´epartie.

8.6 Mod´ elisation des transitions

On se place toujours dans le domaine T0, c’est-`a-dire dans le domaine o`u les transitions ont une valeur initiale nulle. Cette partie pr´esente un mod`ele du comportement des transitions, repr´esentant l’´evolution temporelle du niveau de gris.

8.6.1 Mod` ele en tangente hyperbolique

D’apr`es la d´emarche m´ethodologique pr´esent´ee dans la section 8.4, une fois le mod`ele des temps de r´eponse pos´e, il faut `a pr´esent d´efinir la mod´elisation des transitions de niveaux de gris. Ce mod`ele, associ´e

`

a une s´erie d’´equations math´ematiques, a pour but de se rapprocher le plus possible du comportement des cellules LCD. La figure8.9montre un exemple r´eel d’´evolution des niveaux de gris lors de transitions montantes.

Figure8.9 – ´Evolution du niveau de gris lors de diff´erentes transitions de T0

Au vu de la forme g´en´erale des courbes, un mod`ele en tangente hyperbolique a ´et´e propos´e. Pour rappel, la fonction tangente hyperbolique est d´efinie par :

tanh(x) = sinh(x)

cosh(x) =ex−e−x ex+e−x

Pour d´ecrire par la suite le comportement des transitions selon sa valeur initiale ou finale, on proc`ede `a un d´ecoupage en trois ´etapes de la fonction en tangente hyperbolique :

• Etape dite de d´ec´el´eration : Le coefficient directeur de la tangente diminue de plus en plus au fur et `a mesure que le temps s’´ecoule ; il passe de la valeurs`a 0.

La fonction tangente hyperbolique est une fonction continue deRvers [−1; 1] ; pour la mod´elisation, il faut ram`ener cette fonction sur un intervalle de temps et d’amplitude bien d´efini. Pour cela, le mod`ele en tangente hyperbolique a besoin de trois param`etres pr´esent´es ci-dessous :

• Le temps de r´eponse : Chaque transition ´etant de dur´ee diff´erente (dur´ee en fonction de L), le mod`ele en tangente hyperbolique doit avoir comme param`etre principal cette valeur. On note cette valeurτ.

• La valeur finale de la transition : Cette valeur correspond au niveau de gris que l’on d´esire atteindre

`

a la fin de la transition. Elle est not´eeL

• Le d´ecalage temporel : Bien que non-utilis´ee dans les calculs qui suivent, cette valeur permet de fixer le d´ebut de la transition `a t= 0 ms. Celle-ci est not´eeI.

A l’aide de ces trois param`etres, et sachant que la mesure analytique du temps de r´eponse pour une transition (calcul th´eorique ´egal `a la dur´ee pour que ce mod`ele de transition passe de 10% `a 90% de sa valeur finale) doit ˆetre identique `a sa valeur exp´erimentale (valeur mesur´ee), on repr´esente la mod´elisation en tangente hyperbolique deT0L par la fonction :

f(t) =

Afin de tester le mod`ele en tangente hyperbolique d´efini ci-dessus, nous avons utilis´e des donn´ees captur´ees grˆace `a la cam´era lin´eaire sur un moniteur PC de type Twisted Nematic (TN). Les donn´ees enregistr´ees ´etant assez bruit´ees (pr´esence parasite du Backlight de l’´ecran et du bruit analogique de la mesure), celles-ci ont ´et´e rendues plus lisibles `a l’aide d’un banc de filtres m´edians.

La figure 8.10montre une transition mesur´ee (du noir au niveau de gris 96) ainsi que le mod`ele en tangente hyperbolique associ´e (le temps de r´eponse est estim´e avec le mod`ele de la section8.5).

La figure8.11montre l’´evolution de l’erreur absolue au cours de la transition de 0 `a 96. L’erreur la plus importante est de l’ordre de 4 niveaux de gris, r´epartie essentiellement sur les ´etapes d’acc´el´eration et de d´ec´el´eration de la transition.

On notera que le maximum de l’erreur absolue n’est pas constant selon la valeur finale choisie ; si il est de l’ordre de 4 niveaux de gris pourT096, il descend en dessous de 2 niveaux et demi de gris pourT032

8.6. MOD ´ELISATION DES TRANSITIONS 125

Figure8.10 – Comparaison entre transition me-sur´ee et mod`ele

Figure8.11 – Erreur absolue entre le mod`ele et la transitions de 0 `a 96

mais augmente jusqu’`a plus de 5 niveaux de gris pourT0128.

La d´etermination exacte du d´ebut et de la fin d’une transition ´etant difficile, des valeurs de d´epart de L

1000 (au lieu de 0) et d’arriv´ee de 999L

1000 (au lieu deL) ont ´et´e choisis. En moyennant sur cette dur´ee totale de la transition, et en posantCdatala mesure etCmodelela valeur donn´ee par le mod`ele, on obtient l’erreur relative suivante :

∆Er

Er = |Cdata−Cmodel|

|Cdata| = 1.5%

Le bruit n’´etant pas nul, on peut consid´erer cette valeur comme tr`es bonne et en d´eduire donc que le mod`ele propos´e est bien en accord avec les donn´ees r´eelles.

8.6.3 G´ en´ eralisation aux transitions montantes

Dans cette partie, on g´en´eralise le temps de r´eponse et la forme des transitions deT0aux transitions ayant une valeur initiale non nulle.

Apr`es avoir d´efini un mod`ele de temps de r´eponse et de comportement pourT0, il faut maintenant pouvoir obtenir la forme et le temps de r´eponse de toutes les transitions de T−T0, c’est-`a-dire l’en-semble des transitions montantes dont la valeur initiale est non nulle. On notera ce nouvel enl’en-sembleT. En observant la figure8.5, on remarque que toutes les transitions de l’ensembleTpeuvent se d´eduire deT0, c’est-`a-dire que la transitionTXY (avecX >0 etX < Y) peut ˆetre calcul´ee `a partir de la transition T0Y.

Pour cela, on extrait premi`erement du mod`ele en tangente hyperbolique la partie de la transition sup´erieure `a la valeur X (partie commen¸cant detX et terminant `a la fin de la transition). Puis, on rem-place la partie commen¸cant de 0 et terminant `a tX par la valeurX. On obtient finalement une nouvelle courbe de la transition TXY sur laquelle il est envisageable de calculer le temps de r´eponse comme le montrent les exemples figures8.12et 8.13.

Le paragraphe suivant va d´emontrer comment, `a partir du temps de r´eponse de la transition initiale T0Y, il est possible de calculer simplement le temps de r´eponse de la nouvelle transitionTXY avecX∈]0..Y[.

Figure 8.12 – Comparaison entre Txy mesur´e avecx=y/2 et son mod`ele en tangente hyper-bolique

Figure 8.13 – Comparaison entre Txy mesur´e avec x = y/10 et son mod`ele en tangente hy-perbolique

Calcul du temps de r´eponse SoitT0Lf la transition ayant comme valeur initiale z´ero, comme valeur finale Lf et comme temps de r´eponseτ. On d´esire maintenant calculer le nouveau temps de r´eponseτ0 de la transitionTLLf

i, transition ayant toujours la mˆeme valeur finale mais poss´edant maintenant la valeur initialeLi non nulle.

Soientt1 ett2, d´efinis tels queτ0=t2−t1 avect1et t2 les instants pendant lesquels la transition est respectivement `a 10% et 90% de sa valeur finale [Vid05] :

Lf pourcentage de la valeur initiale de la transition par rapport `a la valeur finale.

Sachant que, pour x∈]−1,1[,tanh−1(x) = 1

La valeur Ct permet de calculer le temps de r´eponse de toutes les transitions de T `a partir des temps de r´eponse deT0.

Le trac´e deCtsur la figure8.14montre que cette fonction est une application strictement d´ecroissante de [0,1] vers [0.5; 1] ; La valeur du temps de r´eponse de TXY ne peut donc pas descendre en dessous de 50% du temps de r´eponse deT0Y. Bien ´evidemment, le temps de r´eponse de la transitionTXY devient ´egal au temps de r´eponse de la transitionT0Y lorsque la valeur pdevient nulle.

8.6.4 Conclusion

Le but principal de la mod´elisation que nous proposons est d’acc´el´erer la g´en´eration de la LUT. En g´en´eral, celles-ci comportent 32×32 valeurs, soit 496 pour les transitions montantes et autant de mesures

`

a r´ealiser, contre 4 `a 7 pour notre mod`ele. Autrement dit, la m´ethode permet de r´eduire de 95% le temps

8.7. R ´EDUCTION DE TRAˆIN ´EES PAR REHAUSSEMENT DU NOIR 127

Figure8.14 – Evolution de la fractionCten fonction depLLi

f

d´evolu aux mesures. Cette solution apporte un deuxi`eme avantage non n´egligeable ´economiquement : elle permet de supprimer sur le composant final la m´emoire ROM stockant la LUT.

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