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Mod´ elisation du courant de chaleur total

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 163-168)

Nous essayons maintenant de comprendre la courbe de r´ef´erencen= 4 avec le mo-d`ele complet du courant de chaleur : JQ = 4Je+Je−ph. L’hypoth`ese la plus probable concernant le m´ecanisme de refroidissement suppl´ementaire, Je−ph, est qu’il s’agisse du couplage avec les phonons froids du r´eseau cristallin. En effet, les canaux cou-plant thermiquement les r´eservoirs froids au micro-contact ohmique ´etant balistiques, la chaleur ne peut s’´evacuer de ce dernier ni par l’effet Peltier [79], ni par le couplage

´

electron-photon qui est nul comme le montre l’absence de blocage de Coulomb dyna-mique (voir la partie I). La courben= 4 est ajust´ee avec la forme standard du couplage

´

electron-phonon dans les m´etaux diffusifs [81] : Je−ph(T, T0) = ΣV(T5 −T05), o`u le param`etre ΣV est laiss´e libre. Quant au courant de chaleur ´electronique, on suppose aussi connaitre la d´ependance en temp´erature : 4Je(T, T0) = β4(T2 −T02) mais on laisse libre le pr´efacteur β4. Les ajustements obtenus sont les lignes continues jaunes sur les figures 14.3A, 14.3B et 14.4B ; les valeurs extraites des param`etres sont :

ν = 3 /T0 = 24 mK ν = 4 /T0= 22.5 mK ν = 3 / T0 = 40 mK

ΣV 5.5 nW/K5 6.5 nW/K5 5.5 nW/K5

β4 3.8×π26hk2B 4.2×π26hk2B 3.8×π26hk2B

La valeur de β4 est ´egale `a 5 % pr`es `a celle pr´edite. Quant au couplage ´ electron-phonon, compte-tenu du volume V ≈ 2µm3 du micro-contact ohmique, on trouve : Σ ≈ 3 nW/K5/µm3. Cette valeur est typique pour les m´etaux constituant le micro-contact ohmique ; par exemple, une valeur de 2.4 nW/K5/µm3 est mesur´ee dans l’or avec des temp´eratures entre 80 mK et 1 K (voir la revue [81]). L’´ecart de 20 % entre les couplages d´etermin´es `a ν = 3 et ν = 4 pourrait s’expliquer par la diff´erence de champ magn´etique `a ces deux facteurs de remplissage.

14.3.1 Hypoth`eses sur le couplage ´electron-phonon

En supposant que le couplage ´electron-phonon a la formeJe−ph(T, T0) = ΣV(T5− T05), deux hypoth`eses sont faites.

La premi`ere est que les phonons sont froids, ce qui n´ecessite une r´esistance de Ka-pitza suffisamment faible entre le micro-contact ohmique et l’h´et´erojonction Ga(Al)As et une diffusion thermique suffisante dans cette derni`ere. Si cette hypoth`ese des pho-nons froids est habituelle pour ce bas niveau de puissance inject´ee, sa validit´e est ici confirm´ee par le fait que la valeur de ΣV extraite `aν = 3 est identique `aT0= 24 mK et T0 = 40 mK. C’est un crit`ere habituel pour d´emontrer l’absence de phonons chauds [151].

Chapitre 14. R´esultats exp´erimentaux 163

L’autre hypoth`ese est que la d´ependance en temp´erature se fait selon une loi puis-sance Tp d’exposant p = 5. C’est le comportement standard qui est observ´e dans la plupart des exp´eriences impliquant des mat´eriaux similaires `a basse temp´erature.

Des d´eviations peuvent toutefois exister, par exemple dans les m´etaux tr`es d´ esordon-n´es [152], qui correspondent `a des variations de l’exposant entre 3 et 6. Pour tester cette hypoth`ese, les donn´ees n = 4 sont ajust´ees en laissant libre l’exposant p. Afin de se concentrer sur le couplage ´electron-phonon, qui devient dominant aux puissances JQ &20 fW, l’ajustement est effectu´e jusqu’aux plus hautes tensions V appliqu´ees `a l’´echantillon, qui correspondent `aJQ≈90 fW. On trouve pour les donn´ees `aν = 3 un exposant p= 4.8 et un pr´efacteurβ4= 4.04×π26hk2B ; pour les donn´ees `aν = 4 le mˆeme exposant p= 4.8 et un pr´efacteurβ4 = 3.6×π26hkB2 .

Ces observations concordent toutes avec l’hypoth`ese que le m´ecanisme de refroi-dissement suppl´ementaire est dˆu au couplage ´electron-phonon d´ecrit par l’expression standard : Je−ph = ΣV(T5−T05).

14.3.2 Courant de chaleur `a travers tous les canaux ´electroniques Nous avons successivement d´etermin´e le courant de chaleur ´electronique `a travers (n−4) canaux en suivant une proc´edure totalement ind´ependante du m´ecanisme de re-froidissement suppl´ementaire, puis `a travers les 4 canaux de r´ef´erence en mod´elisant ce m´ecanisme par le couplage ´electron-phonon. Nous compilons maintenant ces r´esultats pour obtenir le courant de chaleur `a travers l’ensemble des n canaux de conduction.

Il est de la forme nJe(T, T0) =βn(T2−T02), avecβn4n−4. Le coefficient βn, qui est trac´e en symboles sur la figure 14.6 en fonction du nombre de canaux n, est en tr`es bon accord avec les pr´edictions th´eoriques, n× π26hk2B (ligne grise). La mˆeme analyse statistique que pr´ec´edemment sur l’ensemble de huit valeurs{βn/n}(Tableau 1) donne :

Je(T, T0)

T2 −T02 = (0.98±0.02)×π2k2B

6h . (14.2)

ν = 3 ν = 4

n 2 3 4 2 3 4 5 6

αn−4 -2.00 -0.93 -2.33 -1.40 1.06 1.83

αn−4

n−4 1.00 0.93 1.16 1.40 1.06 0.92

βn 1.78 2.85 3.78 1.84 2.77 4.17 5.23 6.00

βn

n 0.89 0.95 0.95 0.92 0.92 1.04 1.05 1.00 Tableau 1

0 2 4 6

0 2 4 6

ν = 3 T

0

= 2 4 m K ν = 4 T

0

= 2 2 . 5 m K

β

n

( π

2

k

2 B

/6 h ) n

Figure 14.6 – Limite quantique du courant de chaleur `a travers n canaux ´ elec-troniques. Le coefficientβn = TnJ2 e

−T02 = αn−4+β4, qui est d´etermin´e `a partir des mesures du courant de chaleur ´electronique relatif (αn−4) et `a partir de l’ajustement de la r´ef´erence n= 4 avec un mod`ele complet du courant de chaleur (β4), est trac´e en symboles en fonction du nombre de canaux net compar´e aux pr´edictions th´eoriques, nπ26hk2B, qui tombent sur la ligne continue grise.

Chapitre 15

Mesures M´ egahertz

Ce chapitre d´ecrit les chaˆınes d’amplification impl´ement´ees dans le r´efrig´erateur `a dilution au d´ebut de ce travail de th`ese et donne des d´etails suppl´ementaires sur les mesures de bruit pr´esent´ees pr´ec´edemment.

15.1 Amplificateurs cryog´ eniques Hemt

Le cœur de la chaˆıne d’amplification est un amplificateur cryog´enique Hemt de haute imp´edance d’entr´ee con¸cu et fabriqu´e au LPN [97]. Le sch´ema g´en´erique d’un tel transistor est repr´esent´e sur la figure 15.1A : un courant ´electrique circulant entre le drain D et la sourceS d’un gaz bidimensionnel d’´electrons de haute mobilit´e – form´e dans une h´et´erostructure Ga(Al)As dans notre cas – est modul´e par effet de champ au moyen d’une tension appliqu´ee `a une grille G. Le Hemtest polaris´e en appliquant des tensions continuesVDD etVS. Typiquement, nos param`etres de polarisation sont : IDS ≈4 mA etVDS ≈100 mV. En r´egime de saturation, un – petit – signalδVG `a la fr´equenceω entraˆıne une variation du courant de polarisation,δIDS, qui se r´epercute amplifi´ee sur la tension du drain :δVD =−GδVG. On montre que le gain a l’expression suivante1 : G= g gm

d+1/ZL, o`u apparaissent la transconductance, gm∂I∂VDS

GS

VDS

, et la conductance du gaz, gd∂I∂VDS

DS

VGS

. Typiquement, on a :gd≈5 mS,gm ≈100 mS et G≈5.

Un ´el´ement important pour les performances du Hemt est le couplage capacitif, Cgd≈2 pF, entre la grille et le drain2. Une premi`ere cons´equence est que, vue depuis la grille, cette capacit´e est renormalis´ee : Cgd0 = (1 +G)Cgd. Cette renormalisation s’appellel’effet Miller (figure 15.1B) et conduit `a une diminution de la bande passante.

Une deuxi`eme cons´equence de cette capacit´e parasite est que le bruit «thermique»,

1. DDetS sont `a la masse `a cette fr´equence.

2. Aux fr´equences de travail (≈ MHz), la source est `a la masse (δVS = 0) donc Cgs est sans importance.

165

Svhemt, produit par le canal se d´everse dans l’imp´edance d’entr´ee Z via le couplage parasite Cgd. En mod´elisant le Hemt selon le sch´ema de la figure 15.2, on trouve l’expression suivante du bruit mesur´e :

h(δVD)2iω =|G|2h

4kBTRe Z0(ω)

+Svhemt

1 +jGωCgdZ0(ω)

2i ,

o`uZ0 =

1/Z+jωCgd0 −1

. Il apparaˆıt un bruit en courant, SIhemt =Svhemt(GωCgd)2, corr´el´e au bruit en tension. Ce n’est pas la source usuelle de bruit en courant qu’on attribue en g´en´eral au bruit de partition du courant de fuite – totalement n´egligeable avec ces Hemt – entre la grille et le gaz d’´electrons. Pour minimiser le bruit en cou-rant, il faut ici r´eduireG,Cgd ou encore la fr´equence, mais en pratique cela a tendance

`

a augmenter Svhemt. Avant de monter un Hemt dans le r´efrig´erateur `a dilution, on effectue une recherche syst´ematique des param`etres de polarisation optimisant ses per-formances. Ceci est fait dans une canne `a 4 K avec un montage sp´ecial permettant de d´eterminer G, Cgd etSvhemt.

G

D ZL

DD

S

δVG

Z

Cgd

⇐⇒ δVG

Z Cgd0 (B)

(A)

Figure 15.1 – (A) Sch´ema g´en´erique d’un amplificateur cryog´enique Hemt. (B) Re-normalisation de la capacit´e Ggd par effet Miller.

gmδVG+δIth Z

δVG

Cgd

δVD

ZL

1/gd

Figure15.2 –Sch´ema ´electronique mod´elisant un HEMT dans le r´egime des petits signaux. δIth est le bruit «thermique»du canal : g2dh(δIth)2iω=Shemtv .

Chapitre 15. Mesures M´egahertz 167

15.2 Impl´ ementation de la chaˆıne

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