Mod`ele classique de collision

Deux condensats de Bose-Einstein qui rentrent en collision peuvent ˆetre mod´elis´es simple- ment de fa¸con classique comme deux nuages de particules ponctuelles soumis `a des processus de collisions ´elastiques. Il faut bien voir que cette image est tr`es simpliste et qu’elle ne per- met pas de rendre compte de l’ensemble de la dynamique de collision. Les mod`eles th´eoriques d´evelopp´es au chapitre 5 permettront de compl´eter cette approche et d’estimer l’amplitude des effets n´eglig´es dans ce petit mod`ele. Pour l’heure, nous nous en tenons `a ce mod`ele simple qui fournit malgr´e tout une bonne vision des ph´enom`enes impliqu´es et par l’interm´ediaire duquel on peut ais´ement obtenir un jeu de donn´ees directement comparable aux donn´ees exp´erimentales. Nous d´eveloppons dans la suite les principaux r´esultats que l’on peut d´eduire de cette approche.

A l’issue du transfert Raman, les deux condensats se recouvrent et se d´eplacent avec des vitesses oppos´ees ±~krec/m dans le r´ef´erentiel attach´e au centre de la collision. Une

particule du premier condensat, d’impulsion ~krec, peut subir une collision ´elastique avec une

particule de l’autre condensat, d’impulsion −~krec. Classiquement, les lois de conservation de

4.1 Analyse des propri´et´es de la sph`ere de diffusion 93

Fig. 4.1 – Projections de tranches de la sph`ere de diffusion dans l’espace des impulsions. Pour obtenir de telles images, on a d’abord reconstruit les impulsions des atomes en suivant la m´ethode d´ecrite dans l’annexe B. Chaque tranche de la sph`ere correspond `a un intervalle de largeur 0.2~krec suivant l’axe py. Les figures de (a) `a (l) correspondent `a des tranches

d’´egales ´epaisseurs comprises entre −1.2~krec et 1.2~krec. Dans le plan (pxpz) les impulsions

ont ´et´e exprim´ees en unit´e de ~krec. On a moyenn´e les r´esultats sur 350 temps de vol. Le

les impulsions finales des deux particules p1f et p2f. On peut en effet ´ecrire que p1f + p2f = 0 p2_1f 2m+ p2_2f 2m = ~2_k2 rec m (4.1)

Ces ´equations impliquent que les impulsions p1f et p2f sont de modules ´egaux, ~krec, mais

de sens oppos´es. Les atomes qui rentrent en collision se r´epartissent donc sur une sph`ere de rayon ~krec dans l’espace des impulsions. Ce raisonnement simple permet de comprendre

l’apparition du halo sph´erique de collision autour des deux condensats observ´es `a la fin du chapitre 3.

Pour aller un peu plus loin, on peut tenir compte de la largeur initiale de la distribution d’impulsion des atomes des deux condensats. En effet, du fait du principe d’incertitude de Heisenberg, la largeur en impulsion d’un condensat de Bose-Einstein est inversement propor- tionnel `a son extension spatiale. Cet effet va avoir pour cons´equence d’´elargir la sph`ere de diffusion, form´ee des atomes des deux condensats qui sont rentr´es en collision. Dans notre cas, les condensats sont anisotropes. Un mod`ele simple revient `a consid´erer les distributions d’impulsion n± des deux condensats de forme gaussienne. On suppose qu’on peut donc les

mettre sous la forme suivante n±(p) = 1 (2π)3/2_σ xσyz2 e− (px±prec)2 2σ2x − p2_{y +p}2_z 2σ2yz _(4.2)

o`<sub>u l’indice ± rep`ere le sens de propagation du condensat consid´er´e. Pour l’instant, cette</sub> forme peut paraˆıtre compl`etement arbitraire. Malgr´e tout, un calcul num´erique complet de la distribution d’impulsion des condensats typiques avec lesquels nous avons travaill´e montre qu’une telle forme correspond assez bien `a la r´ealit´e. Un tel calcul est d´evelopp´e au paragraphe 5.2.1. A partir d’une telle m´ethode, on peut montrer que les largeurs σx et σyz peuvent

s’exprimer en fonction des tailles Rx et Ryz des condensats. On verra que pour les tailles

typiques des condensats impliqu´es dans les collisions, on peut ´ecrire que

σx ≃ 2 ~ Rx σyz ≃ 2 ~ Ryz (4.3)

La collision des deux condensats de Bose-Einstein peut donc ˆetre maintenant mod´elis´ee de la fa¸con suivante : les impulsions de deux atomes peuvent ˆetre choisies al´eatoirement en suivant les distributions d’impulsion des deux condensats. Ce choix correspond `a un choix al´eatoire des particules qui rentrent en collision pendant le d´eplacement des deux condensats. Connaissant ces impulsions, on peut ´ecrire les ´equations de conservation de l’´energie et de l’impulsion sous une forme similaire `a celle des ´equations 4.1. Ces ´equations permettent de d´eterminer les caract´eristiques de la sph`ere dans laquelle les deux particules sont diffus´ees `a l’issue de la collision. Il ne reste plus qu’`a d´ecider al´eatoirement la direction selon laquelle les particules sont diffus´ees. On obtient ainsi les impulsions finales des deux particules. En r´ep´etant ce processus un grand nombre de fois, on peut obtenir une structure approch´ee de la distribution d’impulsions des atomes diffus´es `a l’issue de la s´eparation des condensats, c’est `

4.1 Analyse des propri´et´es de la sph`ere de diffusion 95

Un tel mod`ele n´eglige un certain nombre d’effets dont nous aurons l’occasion de reparler. D’une part, on consid`ere que toutes les collision ont lieu au centre du pi`ege magn´etique. Cela revient en fait `a n´egliger les extensions spatiales des condensats. Une telle approximation est l´egitime exp´erimentalement dans la mesure o`u nous observons les particules apr`es de longs temps de vol. L’extension initiale des nuages a donc un effet n´egligeable sur la distribution fi- nale des positions des particules comme nous avons pu le voir au paragraphe 2.4.11_{. D’autre}

part, nous n´egligeons les effets du champ moyen pendant l’expansion des condensats. Une telle approximation n’est pas rigoureusement valide. La conversion de l’´energie d’interaction en ´energie cin´etique pendant l’expansion des condensats va avoir tendance `a ´elargir les ditri- butions n±. Nous risquons donc avec un tel mod`ele de sous-estimer la largeur effective des

distributions d’impulsion des condensats. D’un autre cˆot´e, en mˆeme temps que les nuages s’´etendent, la densit´e des condensats diminuent. Comme le nombre de collisions entre atomes est directement reli´e aux densit´es des condensats, le taux de collision diminue au cours du temps. Cet effet est donc balanc´e et on peut donc ˆetre tent´e de consid´erer que la majeure partie des collisions ont lieu au d´ebut de l’expansion. Pour ne pas alourdir le mod`ele, nous ne tiendrons pas compte ici des effets du champ moyen pendant l’expansion des condensats. Nous nous contenterons d’en estimer les effets le moment venu (voir le paragraphe 4.1.3).

Ce petit mod`ele nous permet finalement de simuler tr`es simplement la collision de deux condensats de Bose-Einstein. Dans toute la suite, nous allons syst´ematiquement comparer les r´esultats exp´erimentaux aux r´esultats de ce petit mod`ele, pour les diff´erentes quantit´es que nous avons cherch´e `a mesurer. Nous verrons que ce petit mod`ele permet d’interpr´eter simplement la majeure partie des r´esultats obtenus.