Afin de prendre en compte l’influence des particules sur le mouvement de l’air, il faut avoir recours à
l’introduction de termes sources supplémentaires dans les équations de transport tant des quantités de mou
vement que de celle de l’énergie turbulente cinétique ainsi que de son taux de dissipation (e). La fraction
volumique restant limité et aucun changement de phase n’étant envisagé dans le présent travail, la modifi
cation de l’équation de continuité n’est pas prise en compte, car négligeable. Ceci n’est pas le cas des autres
équations gouvernant l’écoulement et les différents termes sources sont détaillés ci-dessous.
3.4.1 Quantités de mouvement
Dans la résolution de l'équation de la trajectoire d’une particule, on a vu qu’il fallait prendre en compte
leurs effets de traînée. Cette force est exercée par le fluide sur chaque particule. De par le principe d’action -
réaction, il apparaît normal de soustraire cette force dans le bilan du transport des quantités de mouvement.
C’est pourquoi, pour les 3 composantes de vitesses, il faut ajouter au second membre l’ensemble des forces
de traînée qui peut s’écrire
E Sv.p = {Vf, - Vp) CoRep (3.11)
n n
oîi n représente le nombre de gouttes dans la cellule considérée. Ces termes supplémentaires sont calculés
dans le module de suivi Lagrangien du code, puisqu’ils nécessitent à la fois la connaissance de la vitesse
instantanée de la particule (Vp) et du fluide {Vf,).
3.4.2 Énergie cinétique turbulente et son taux de dissipation
Le formalisme utilisé ici est le même que Sommerfeld (1997).
Puisque l’équation de la quantité de mouvement est changée avec l’introduction de termes sources prove
nant de la phase discrète, l’équation de turbulence se trouve par la même modifiée. Les termes sources induits
par la présence des particules sur l’énergie cinétique turbulente peuvent s’écrire en multipliant l’équation
modifiée de quantité de mouvement pour une vitesse fluctuante v{ ptxr et en prenant la moyenne, il apparaît
un terme supplémentaire équivalent à
Spk = ^ {S'v,pv'fi)
t
(3.12)
Ceux-ci équivalent à l’écriture suivante
Spk = Y. - {V,){Sv.p)) (3.13)
i
Ceci correspond aux contributions des fluctuations de quantité de mouvement supplémentaire introduits
par la phase discrète sur le fluide. En ce qui concerne son taux de dissipation, le terme supplémentaire est
modélisé par
Sp, = Ca^Spk (3.14)
avec Ce3 = 1.87
Ces deux termes seront aussi calculés dans le module de suivi de gouttes d’eau, car nécessitant la connais
sance des vitesses instantanées du fluide et de la particule suivie.
3.5 Conclusions
Ce chapitre a permis d’introduire la modélisation du fluide porteur au sein d’un écoulement diphasique.
Il a mis en évidence l’introduction des termes sources liés à la présence de la phase discrète. Dans l’équation
de la quantité de mouvement, les effets de traînée sont reportés dans le mouvement du fluide, en ce qui
concerne les fluctuations turbulentes, il y a un terme supplémentaire correspondant aux contributions des
fluctuations de quantité de mouvement introduites par les particules discrètes. L’ensemble de ces termes
sources seront calculés dans le module Lagrangien du code.
Simulation Lagrangienne d’une pulvérisation liquide 29
Chapitre 4
Simulation Lagrangienne d’une
pulvérisation liquide
Afin de modéliser une pulvérisation, des gouttes sont injectées clans l’écoulement de l’air. Cependant,
l'infiuence de la turbulence doit être prise en compte pour bien estimer l'hydrodynamique de la pulvérisation.
Le présent chapitre est consacré à la définition et au suivi Lagrangien d’une pulvérisation liquide. Le but
est de pouvoir définir les principales caractéristiques utiles lors de l'injection des gouttes d’eau simulant
l'hydrodynamique d’un spray.
4.1 Equation d’une goutte
L’équation d’une particule peut se réduire, dans la cas où le rapport de densité entre le fluide porteur et
la phase discrète est petit (Hjelmfelt &: Mockros (1966)) à:
dVp, 3 Pf Uf
dt 4 Pp dj
dyi{t)
dt = Vp>.{t)
(4.1)
où Rep est le nombre de Reynolds particulaire défini par
R&p — Pf ^rdp
Pf
(4.2)
avec Vr la vitesse relative entre la particule et le fluide porteur. Un schéma Runge-Kutta est utilisé pour
résoudre ce système d’équation. L’un des principaux paramètres est le pas de temps fixé pour effectuer
l’intégration. Or, ce pas doit être suffisamment petit pour ne pas perdre des fluctuations du fluide vues
par la particule, mais, il doit être le plus grand possible afin de limiter les temps de calcul des différentes
trajectoires. Ainsi, le pas de temps utilisé est calculé pour chaque cas et est fixé selon les échelles temporelles
représentant :
- la réponse aérodynamique d’une particule Tp
- l’échelle de temps Lagrangien de l’écoulement ti
Le premier est le temps mis par une particule placée dans un écoulement uniformément au repos pour
atteindre l/e de sa vitesse initiale. Il vaut dans le cadre du régime de Stokes
Ppd-l
18 f.Cf (4.3)
Afin de prendre en compte le changement de la force de traînée pour des nombres de Reynolds particulaires
plus élevés, ce temps de réponse devient
La seconde échelle temporelle correspond à l'échelle Eulerienne de longueur des fluctuations divisée par
les fluctuations caractéristiques de la vitesse.
Celui-ci correspond au temps typique des plus petites fluctuations du fluide.
Des études (Desjonqueres (1987)) ont montré que le temps d'intégration doit vérifler
(4.5)
= mvn —, —
\ 5 10/ (4.6)
La seconde inconnue de l’équation (Eq. 4.1) est le coefficient de tramée Cp- Si le nombre de Reynolds
|)articulaire Rcp est inférieur à l’imité, on se trouve dans le régime de Stokes, et la valeur devient
Re„ (4.7)
Pour des nombres supérieurs, il existe plusieurs expressions dans la littérature, et parmi celles-ci, 3
expressions ont été retenues, afin de comparer les effets de ce coefficient dans la dispersion particulaire.
- Clift Cd = ^ + 4- 0.40 Morsi & Alexander (1972)
«e» ' l + ^Re,
- Morsi-Alexander Cq = + 9z
- Schiller et Neumann Cq ~ (l + 0.15iîep®®^)
4.2 Fluctuations de vitesse 31
4.2 Fluctuations de vitesse
4.2.1 Estimation du temps intégral du fluide vu par la particule
Il est important d’estimer le temps intégral du fluide vu par la particule dans le cadre de la dispersion
des particules sous l’influence de Itx turbulence du fluide environnant. Dans un premier temps, les expressions
sans vitesse relative sont présentées en reprenant les résultats de (Wang & Stock (1993)).
Tl = T,nE (4 g)
Cependant, le temps intégral est différent selon la présence ou non de forces e.xternes agissant sur la
particule pour créer une vitesse de drift. Dans le Ccxs présent, seule les forces de gravité agissent sur les
particules pour obtenir cette vitesse relative dans une direction de l'écoulement. Ainsi, le temps intégral
différera selon la composante choisie. Dans le plan parallèle à la vitesse relative moyenne, il vaudra
î’Z// =
Tandis que dans le plan perpendiculaire, celui-ci voit son expression devenir :
(4.9)
TIe = (4.10)
Ce dernier est toujours supérieur au temps dans le plan parallèle de la force. Ceci provient du fait que la
vitesse relative a tendance à faire changer la particule de structure turbulente plus rapidement, et donc le
temps de corrélation est moins important. Ces expressions font intervenir le temps mobile Eulérien
{TmE)-Son expression est tirée d’une valeur prédéfinie du rapport en Te et TmE et vaut typiquement entre 0.2 et
0.4.
Il existe d’autres façon de décrire ce temps Lagrangien (Pozorski &: Minier (1998)). Ces méthodes ont
été comparées (Petrissans et al. (2000) et donnent des résultats légèrement différents puisque la dispersion
est un peu surestimée avec l’écriture du temps Lagrangien choisie et un peu sous-estimée avec l’autre.
4.2.2 Corrélations temporelles
La vitesse instantanée du fluide vue par la particule doit être calculée en fonction de l’énergie turbulente
cinétique et de la vitesse moyenne du fluide. Comme le pas de temps choisi pour l’intégration de l’équation
du mouvement de la goutte est inférieur au temps intégral Lagrangien du fluide ainsi qu’au temps de réponse
aérodynamique de la particule, les fluctuations de vitesse sont corrélées. Afin de simuler cette corrélation, il
faut de prendre comme vitesse fluctuante a l’instant t + At une fraction de la vitesse fluctuante au pas de
temps précédent ainsi qu’un terme purement aléatoire, comme le montre l’équation 4.11
Vf.{t + At) = a{t)vf.{t) +'i! (4.11)
Afin d’assurer la convergence du processus stochastique il est important que la fonction a vérifie
a(At')a(At) = a(At Af') (4.12)
Des études ont été menées récemment sur ces fonctions a et 'I', et il en ressort (Petrissans et al. (2000)) que
a = exp (4.13)
Afin de prendre en compte ces expressions, les vitesses fluctuantes sont calculées en utilisant la fonction
^<x, de forme Gaussienne et ayant comme propriétés:
< 'ij >
< >
0 (4.14)
(4.15)
La moyenne nulle résulte du fait que la moyenne des fluctuations de vitesse doit être nulle (par définition).
Sa variance quant à elle doit inclure le module des fluctuations ainsi que le pas de temps de la corrélation
temporelle.
De plus, il faut imposer une certaine cohérence des fluctuations croisées, et c’est pour cela qu’il est
important de vérifier lors de la génération du bruit blanc que :
< > = 1 — exp (4.16)
Les vitesses étant calculées sur les faces des mailles et l’énergie cinétique turbulente au centre de ces
mailles, il faut utiliser des interpolations afin d’estimer les valeurs de ces grandeurs au niveau de la particule.
Pour ceci, le même type d’interpolation que celui développé dans le cadre du suivi expérimental de particule
est utilisé. Il s’agit d’une interpolation pondérée par l’inverse de la surface (ou par le volume si il s’agit des
calculs tridimensionnels) formée par le point d’interpolation et les milieux des faces des noeuds entourant la
particule. L’explication illustrée dans la Figure 4.2 concerne un cas 2D.
Fig. 4.2 - Principe du schéma d’interpolation des vitesses
La principale difficulté de ce genre de schéma est la correcte estimation des échelles temporelles.
4.3 Validation du modèle de dispersion
Dans la littérature, il existe quelques expériences de dispersion de particules sous l’effet d’une turbulence
homogène et isotrope. Dans le cadre de la validation du processus stochastique utilisé, les résultats existants
sont utilisés.
4.3.1 Expériences de Snyder Lumley (1971)
Il s’agit d’étudier la dispersion dans une soufflerie vertical avec une vitesse moyenne de (Vf) = 6.55m.s~^
dirigée contre la gravité (Snyder & Lumley (1971)). L’axe Y est choisi comme étant l’axe de l’écoulement.
Les vitesses transversales moyennes sont nulles. Les niveaux des fluctuations sont donnés en fonction de la
position de la particule dans le canal, ainsi que les temps intégraux des fluctuations du fluide. Plusieurs types
de particules (voir tableau 4.1) ont été utilisées afin de vérifier l’influence du nombre de Stokes.
4.3 Validation du modèle de dispersion 33
Type Verre creux Pollen \ erre Cuivre
Diamètre dp pin 46.5 87 87 46.5
Densité (pp) {kg.in~'^) 260 1000 2500 8900
Tp {10-^s) 1.7 22.9 57.1 .58.1
Tab. 4.1 - Liste des différentes particules utilisées par Snyder & Lumley (1971)
Vf! Uf/
À2 A (fj - 16)
^^^^39.4 - 12)
Wf> = (Vf),
39.4 (X-12)
(4.17)
Afin de bien pouvoir calculer la dispersion, il est important de connaître les temps Lagrangiens de
l’écoulement. Pour se faire, les expressions fournies par Snyder & Lumley (1971) seront utilisées. Les échelles
intégrales Eulerienne de l’écoulement peuvent se calculer de la façon suivante;
L, = CuTl>/{^)
(4.18)Il faut estimer le temps Lagrangien du fluide, que l’on suppose obéir à
Tl = (4.19)
e
Ce modèle requiert l’estimation des constantes Cu et Ct- Afin de respecter les valeurs réelles des échelles
de longueurs, il faut prendre Cli = 5, et Cl^ - Cl3 = 2, puisque l’échelle longitudinale est supérieure aux
échelles transversales. En ce qui concerne Ct, la valeur préconisé par Hinze (1975) est prise et vaut 0.235.
Afin de connaître e, on utilise l’équation de transport de k, sachant qu’il n’y a ni production, ni diffusion de
la turbulence :
dk dk {vn
2M (— (- - 16)
-2 2
V 42.4 \M J ' 39.4 \M J (4.20)
Afin de comparer les résultats du modèle numérique avec les données expérimentales, à
temps, la dispersion moyenne doit être calculée de la manière suivante
chaque pas de
{xh = {(Xp, - (Xp.))') = {xl.) - {Xp^f (4.21)
Différentes simulations ont été effectuées afin de valider l’ensemble du processus, et cela a notamment
permis de vérifier les corrélations temporelles imposées pour les fluctuations de vitesse du fluide vues par la
particule.
Influence du nombre de Stokes
Le temps d’intégration d’une trajectoire de la particule est fixé à . Une première comparaison est
faite entre les différents types de particules, afin de voir l’influence du nombre de Stokes sur la dispersion.
On constate dans la Figure 4.3 que les particules de cuivre se dispersent aussi peu que les particules de verre,
et ceci provient du fait de leur temps de réponse identique, confirmant la prépondérance de ce paramètre.
L’ensemble des différents processus est présenté avec les particules de verre creux, car elles possèdent le
temps de réponse aérodynamique le plus faible et sont donc les plus sensibles aux fluctuations.
Fig. 4.3 - Dispersion transversale des particules
Dispersion des particules de verre creux
Le pas temporel est fixé à -^f^, c’est-à-dire 0.17ms. Une première étude consiste à définir le nombre de
particules type requis pour avoir une convergence statistique de la dispersion des particules. Des simulations
ont été effectuées avec un nombre variant de 5000 à 40 000 afin de voir le nombre requis pour avoir une
convergence statistique satisfaisante. Ceci est très utile, notamment dans la simulation de la dispersion des
gouttes issues d’un spray. En effet, toutes les gouttes ne seront pas simulées une par une, mais plutôt par
paquet, afin de limiter les temps de calculs. Les résultats sont présentés pour un suivi temporel de 500ms et
pour les coordonnées transversales à l’écoulement principal. On constate qu’en dessous de 10000 échantillons,
la dispersion n’est pas complètement convergée, comme le montre le tableau 4.2. Par contre, il ne semble pas
y avoir d’intérêts à suivre un trop grand nombre de particules, puisqu’il n’y a pratiquement pas de différence
entre l’égaillement de 10000 et de 40000 particules.
Nombre de particules Dispersion en cm^
5000 5.288
10 000 5.206
20 000 5.209
40 000 5.204
Tab. 4.2 - Influence du nombre de trajectoires pour la convergence des statistiques de dispersion
De plus, il est possible de visualiser la dispersion temporelle des particules dans un plan transversal à
l’écoulement. La position des particules est reprise pour trois temps de suivi: 25ms, 250ms et 500ms. La
dispersion des particules creuses se fait de manière isotrope, comme le montre la figure 4.4, où les positions
des particules sont indiquées dans un plan de l’écoulement pour les trois instants choisis. Pour le dernier pas
de temps, une projection dans un plan parallèle à l’écoulement est montrée pour illustrer l’isotropie de la
dispersion des plus petites particules. La vitesse terminale des particules est de 6.533m.s“^ dans le sens de
l’écoulement et est nulle dans les directions perpendiculaires.
Il est très important de prendre en compte la cohérence des fluctuations de vitesses, sans quoi, la dispersion
est sous-estimée comme le montre la figure 4.5 où des simulations ont été faites en n’imposant pas de
corrélation entre deux vitesses successives vues par la particule. Par contre, la position moyenne finale est
bien calculée même si l’égaillement n’est pas du tout estimé.
Dispersion des particules de cuivre
Une autre étude consiste à s’intéresser de plus près aux particules de cuivre qui ont un temps de réponse
plus important. Les mêmes types de résultats sont présentés que dans le cas des particules de verre creux,
en ce qui concerne les photos prises à différents temps de suivi. On peut constater néanmoins une différence
notable avec ces particules. En effet, on constate sur la Figure 4.6 que la symétrie est bien respectée pour
la dispersion transversale des particules, mais par contre, on peut observer une certaine anisotropie dans la
dispersion longitudinale. Ainsi, l’empreinte devient elliptique au lieu de circulaire, comme cela était le cas
4.3 Validation du modèle de dispersion 35
PQfiHipn,^ a 1 =;? (iff
o.oe
r M 0.01 ^I •» »’ ^
O. -0 02 • •o w i* Position X (m) Ni
Positions a t =250 ms 0 07 006 0.05 00* - N''/■ 003 002 OOi -001 ■0.02 •0.03 •0.0* •0.05 •0.06 •0.07 ■0.06 ■aos 0 0 05 Position X (m) Position X (m) Position X (m)Fig. 4.4 - Influence de la corrélation appliqtiée aux fluctuations de vitesse
Particules de verre creux
Temps (ms)
O.
avec les particules de verre creux. Cette anisotropie a déjà été mentionnée dans des travaux antérieurs Pascal
& Oesterlé (2000), mais ceci permet de valider le processus dispersif utilisé dans la suite de ce travail. Cette
anisotropie est due aux effets de continuité liés à la vitesse relative entre la particule et le fluide porteur,
vitesse provenant des forces de gravité.
Positions apres t = 25 ms Positiotis apr<îs t = 250 ms
- 0.05
?
N - ♦ O « sS
■ (X. :___ ;__ 1__ 1__ ___ ___ ^__ :__ 1__ ^__ 1________ 1--0.05 1j_____ __________________L-i__ _ 1 1 1 1_____ J. •0.05 0 0 05 -C 05 0 0.05 Position X (m) Position X (m)Positions apres t = 500 ms Positions apres t = 500 ms
■0-05 0 0 06 0.05 0 0.05
Position X (m) Position X (m)
Fig. 4.6 - Positions des particules de cuivre en fonction du temps de suivi
4.3.2 Expériences de Wells Stock (1983)
Dans ce cas test (Wells & Stock (1983)), la soufflerie est orientée horizontalement, mais avec la même
vitesse que celle utilisée précédemment. Ainsi, la vitesse de l’écoulement est (Vj) — 6.55m.s~^. Ainsi, les
forces de gravité seront normales à l’écoulement principal, et les effets de croisement de trajectoires peuvent
être étudiés. Afin d’annuler ou de renforcer les effets de la gravité, un champ électrique peut être appliqué.
Trois valeurs de champ électrique ont été choisies :
—25800 V/m qui annule les effets de la gravité
- 0 V/m
- 25800 V/m qui soumet la particule à une force supplémentaire équivalente à la gravité
Type Verre Verre
Diamètre jum 5 57
Densité (kg.m~'^) 2475 2420
Tp (lO'-^s) 0.192 24.4
Tab. 4.3 - Liste des différentes particules utilisées par Wells & Stock (1983)
4.4 Définition d’une pulvérisation 37
Cette simulation est très importante puisqu'elle correspond aux types de mesures effectuées dans le cadre
de la galerie à vent avec les pulvérisations liquides et la présence d'un vent latéral perpendiculaire à la
direction de la gravité. Seul le cas de l'absence de champ électricjue est repris ici, car le plus représentatif
du but recherché. La vitesse de chute est de 25.8cm/s pour les particules de 57/im et est pratiquement nulle
pour celles de 5/im. Le calcul de la dispersion se fait de la même façon que pour le cas précédent (voir Eq.
4.21). Les calculs sont effectués avec 20 000 particules. Le tableau 4.4 montre que la dispersion calculée par
le présent modèle est légèrement supérieure aux valeurs mesurées. On constate à nouveau que les plus petites
particules se dispersent plus facilement.
Particule Dispersion mesurée (cm^) Dispersion calculée crri^
5/jm 2.60 2.68
57/ivn 2.12 2.24
Tab. 4.4 - Résultats de la dispersion transversale des particules en X — 70 M
Les dispersions longitudinales n’ont pas été mesurées expérimentalement, mais d’autres études (Chang
(1998)) avaient déjà montré qu’elles étaient moins importantes que les dispersions transversales, et ceci se
retrouve dans le tableau 4.5 où les dispersions transversales sont reprises simultanément avec les dispersions
longitudinales. Cette différence s’explique par les forces de gravité agissant sur les particules dans le sens
transversal, créant une vitesse relative imposant un effet de croisement de trajectoires.
Particule Dispersion longitudinale {cm-) Dispersion transversale
5i.irn 2.20 2.68
57/tm 1.87 2.24
Tab. 4.5 - Comparaison de la dispersion longitudinale et transversale des particules en X = 70 M
4,4 Définition d’une pulvérisation
4.4.1 Présentation
Une pulvérisation liquide se caractérise par la présence simultanés de différents diamètres de gouttes.
Ainsi, pour représenter au mieux cette distribution granulométrique, un nombre fini de gouttes est simulé,
chaque goutte étant injectée selon différents angles. Afin de limiter le temps de calcul, une pondération sera
associée à chaque goutte pour respecter le débit massique de la tuyère (typiquement, un facteur 10 est choisi
dans le présent travail). Les pulvérisations simulées étant des jets plats, leur empreinte est elliptique. Il est
ainsi nécessaire de correctement simuler cette géométrie lors du suivi des gouttes issues de la buse. Pour
se faire, le module de la vitesse sera identique pour toutes les gouttes, quelque soit leur diamètre, mais les
projections selon les 3 cixes varieront afin de décrire la forme elliptique souhaitée. Ainsi, si ip représente le
plus grand angle et 0 le plus petit, une série de gouttes sera suivie avec comme vitesse initiale un angle pi
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