1.4 Régularisation par des modèles d'endommagement non-locaux
1.4.3 Les modèles d'endommagement non-locaux
La régularisée générale par des fonctionnelles elliptiques donnée par (1.16) peut être interprétée
comme un authentique modèle d'endommagement non-local. Ce modèle à son tour peut encore
se généraliser par :
G(u, α) =
Z
Ω
1
2A(α)ε(u)·ε(u)dx+
Z
Ω
µ
Gcη|∇α|2+w(α)
η
¶
dx− F(u) (1.17)
où α est le champ d'endommagement, A(α) est le tenseur de rigidité aecté par
l'endomma-gement, w(α) entre dans la dénition de la densité volumique d'énergie dissipée et η est un
paramètre qui a la dimension d'une longueur, caractéristique du matériau. L'introduction des
forces volumiques ne pose plus de problème puisqu'il est question de la recherche de minimums
locaux à la fonctionnelle.
L'endommagement décrit l'évolution des phénomènes entre l'état vierge et l'amorçage de la ssure
macroscopique. On le représente par une variable interne représentative de l'état de détérioration
de la matière. On prend le parti d'en rendre compte de façon "eective" c'est-à-dire de façon
macroscopique. Ce paramètre est une variable continue(∈[0,1]), on parlera auquel cas
d'endom-magement progressif.
L'objectif à présent est de développer des modèles d'endommagement non-locaux non applicables
à un matériau précis, mais plutôt des modèles représentatifs de cette famille de modèles
d'en-dommagement fragiles régularisés. Pour ce faire, on propose de faire des choix très simples tout
en dégageant les propriétés génériques que nous allons développer à la section suivante.
1.4.3.1 Leur construction
La construction d'un modèle d'endommagement fragile standard régularisé se résume en le choix :
• du paramètre d'endommagement représenté par la variableα dont la nature dépend de la
complexité du modèle envisagé, dans notre cas, pour des modèles isotropes, cette variable
est un scalaire,
• de la dépendance de la relation contrainte-déformation vis-à-vis de ce paramètre,
• de la loi d'évolution du paramètre.
Ainsi, la construction se résume en le choix du paramètreα et des deux fonctions α7→A(α) et
α7→w(α). Il faut maintenant préciser comment les propriétés mécaniques des modèles
d'endom-magement non-locaux se traduisent en termes des fonctionsA(α) etw(α) (pour plus de détails,
on renvoie le lecteur vers les travaux de Lemaitre et Chaboche [LC78], de Francfort et Marigo
[FM93]).
Les propriétés d'écrouissage
Les lois d'écrouissage sont les règles qui caractérisent l'évolution du domaine d'élasticité21 au
cours de la déformation "inélastique"22 (cf gure 1.6). Les propriétés d'écrouissage des modèles
d'endommagement23 sont elles-mêmes liées à des propriétés de convexité de la fonction
d'élasti-citéα7→A(α).
En faisant référence à la gure (1.6), σ représente le champs des contraintes et ε le champs
des déformations, l'écrouissage étant représenté par le signe dedσ/dε. On parlera d'écrouissage
positif ou durcissement si la quantitédσ/dε est positive, et on parlera d'écrouissage négatif ou
adoucissement si la quantitédσ/dεest négative. Quant à la quantitédε/dα, elle traduit
l'évolu-tion de l'endommagement et doit donc être strictement positive. Commedε/dα >0, l'étude du
signedσ/dε revient à l'étude du signe dedσ/dα.
durissement adouissement
ε
eσ
σ
eε
Fig. 1.6 Courbe contraintes-déformations
Propriétés des fonctions A et w
Le matériau doit avoir une élasticité positive, soit A(α)>0. Cette condition peut aussi s'écrire
de façon équivalente : s(α) =A(α)−1 >0, où s(α) désigne le tenseur de souplesse du matériau
dans un état d'endommagement α. En eet, la positivité de la fonction A est équivalente à la
21domaine à l'intérieur duquel le comportement est linéaire, c'est-à-dire la relation entre les contraintes et les
déformations est linéaire
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domaine à l'intérieur duquel le comportement est non linéaire, ce qui se traduit par une relation non linéaire
entre les contraintes et les déformations
positivité de la souplesse.
Puisque le matériau s'assouplit en dissipant de l'énergie quant il s'endommage, on doit alors
vérier :A′(α)<0(ou encores′(α)>0) etw′(α)>0. En eet, on doit avoir perte de rigidité du
matériau lorsque ce dernier s'endommage, c'est-à-dire que lorsque l'endommagement augmente
la rigidité du matériau diminue. Cela se traduit mathématiquement par la décroissance de la
fonction A en α. La relation A′(α) < 0 induit alors, en terme de souplesse, que s′(α) > 0 car
s′(α) =−A
′(α)
A2(α). Et enn, on doit avoir w′(α)>0car plus l'endommagement augmente et plus
la dissipation s'amplie aussi.
On doit avoir écrouissage en déformation (dε/dα >0) pour des états d'endommagement
homo-gènes24, c'est-à-direα >˙ 025. Le critère d'évolution de l'endommagement est donc atteint et il est
donné par la relation 1
2A
′(α)ε·ε+w
′(α)
η = 026. On en déduit que
r
−ηA
′
2w′ = 1
ε, et en dérivant
cette expression, on obtient
Ãr
−ηA
′
2w′
!′
=−ε12dαdε. La condition d'écrouissage en déformation,
est alors équivalente à−
Ãr
−A
′
w′
!′
>0, soit A′/w′ doit être une fonction croissante enα.
On voudrait aussi que pour ces mêmes états d'endommagement homogèness′/w′ soit une
fonc-tion croissante deα. On sait queσ =A(α)ε, donc le critère peut se récrire en terme de σ et on
obtient 1
2
A′(α)
A2(α)σ·σ+ w
′(α)
η = 0, en se rappelant ques′ =−A
′(α)
A2(α), le critère s'écrit
r
ηs′
2w′ = 1
σ.
En dérivant cette expression, on obtient alors :
Ãr
ηs′
2w′
!′
=−σ12dσdα. Puisque on doit avoir
adou-cissement en contrainte, on en déduit alors
Ãr
s′
w′
!′
>0, soits′/w′une fonction croissante enα.
La construction de modèles d'endommagement se résume désormais à la prise en compte des
conditions suivantes :
Élasticité positive : A(α)>0, s(α) =A(α)−1 >0;
Assouplissement et dissipation : A′(α)<0, s′(α)>0, w′(α)>0;
Écrouissage en déformation : w′(α)A′′(α)−w′′(α)A′(α)>0;
Adoucissement en contrainte : w′(α)s′′(α)−w′′(α)s′(α)>0.
(1.18)
1.4.3.2 Les propriétés énergétiques : problème d'évolution, problème incrémental
Nous avons vu que pour une structure quelconque, l'énergie totale est donnée par la relation
(1.17). Cette relation est dénie pour tout couple (u, α) dans Ct× D avec Ct et D désignant
respectivement l'ensemble des champs de déplacement cinématiquement admissibles et l'ensemble
24les états d'endommagement homogènes sont des solutions observables du problème d'évolution, ils se
carac-térisent par l'endommagement uniforme de tous les points de la structure
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