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Chapitre 3 : Formulation théorique et identification expérimentale du modèle

3.4 Modèle de l’interface :

Plusieurs outils numériques peuvent être utilisés pour modéliser le délaminage en s’appuyant sur les principes de la mécanique de rupture.

Les outils les plus utilisés sont ceux qui se basent sur la technique de fermeture virtuelle de fissure « Virtual Crack Closure Technique » ou encore sur les modèles des zones cohésifs, permettant la simulation de la propagation des fissures.

Cependant, l’utilisation des modèles des zones cohésives dans la modélisation du délaminage est plus fiable parce que c’est la seule méthode qui permet la simulation

numérique de ses deux aspects « initiation et propagation » à l’interface des structures composites.

Ainsi, un modèle éléments finis fondé sur la mécanique de la zone cohésive a été utilisé pour la modélisation de l’initiation et de la propagation du délaminage.

Les modèles des zones cohésives sont représentés par des éléments d'interface qui mènent l'ouverture de la fissure selon une loi cohésive.

Les lois cohésives sont basées soit sur la notion de variable d'endommagement interne soit sur une loi de traction/séparation.

C’est le deuxième cas qui a été adopté dans le présent travail en utilisant le solveur Abaqus/standard pour définir le comportement des éléments d’interface.

En effet, les lois de traction/séparation supposent qu’au niveau de la pointe de toute fissure, des forces cohésives apparaissent et évoluent en fonction de l’ouverture progressive de cette fissure. Cette hypothèse a pour origine la théorie de Barenblatt [89].

En pratique, ces lois représentent tout effort pouvant créer les lèvres d’une fissure se développant à l’interface.

Ces lois ont plusieurs formes dans la littérature : trapézoïdale, exponentielle ou polynômiale. Cependant, quel que soit la forme choisie, deux paramètres sont généralement définis pour chaque mode de rupture (mode1, mode2, mode3) qui sont le taux d’énergie de restitution c

G et l’effort cohésif maximalc.

La loi de traction/séparation utilisée dans le présent travail est la loi disponible dans Abaqus/standard qui adopte initialement un comportement élastique linéaire suivi par l’initiation et l’évolution de l’endommagement.

Ce comportement élastique s’écrit en termes de matrice constitutive K qui relie les contraintes normales et de cisaillement aux déplacements respectivement normaux et de cisaillement sur toute l’interface :

n nn ns nt n s ns ss st s t nt st tt t k k k t k k k K k k k                                (3.65)

Avec

nest la contrainte normale et

s et

tsont les contraintes de cisaillement,

n,

set

t

Pour mieux comprendre le principe de ce type de modélisation de fissures, on présente dans la figure 74 une loi de traction/séparation typique qui relie les forces de traction et les sauts de déplacements dans le cas d’un délaminage de mode 1.

Figure 74: Loi de traction/séparation typique [118]

Cette figure illustre la ténacité interlaminaire

G

c qui n’est que l’aire en dessous de la courbe forces-déplacements, ainsi que la rigidité de l’interface K représentée par la pente de la courbe avant l’initiation de l’endommagement.

L’initiation de l’endommagement est déclenchée à une force interfaciale maximale égale à

0 33

et lorsque le déplacement de l’élément cohésif au fond de la fissure est égale à une valeur initiale initial .

final

 représente le déplacement pour lequel l’élément cohésif n’a plus d’influence, là, la traction devient nulle et de nouvelles surfaces de fissures sont créés.

Alors, la modélisation de l’interface par la technique des modèles de zones cohésives passe par deux étapes : la définition du critère de l’initiation de l’endommagement qui dépend des différentes contraintes maximales normales et de cisaillement correspondantes aux différents modes d’endommagement pouvant se produire, et la définition de la loi

d’évolution de l’endommagement.

3.4.1 Critères de l’initiation de l’endommagement à l’interface :

L’initiation de l’endommagement représente le début de dégradation de la réponse cohésive à un point de contact qui a lieu lorsque les contraintes et/ou les déplacements obéissent à un certain critère d’initiation d’endommagement.

Pour définir l’initiation de l’endommagement sur Abaqus on peut se baser soit sur la notion de la contrainte maximale ou quadratique soit sur la notion de séparation maximale (déplacement) ou quadratique. [109]

Le critère qu’on a utilisé dans cette étude est un critère de contrainte quadratique défini par :

2 2 2 0 0 0 1 n s t n s t

  

  

                     (3.66)

avec

n0,

s0,

t0sont les valeurs maximales des contraintes cohésives de contact.

3.4.2 Loi de propagation de l’endommagement à l’interface :

La loi de propagation de l’endommagement décrit le comportement de l’interface lorsque le critère d’initiation d’endommagement est atteint.

La mécanique de rupture définit trois modes différents de rupture : le mode 1 de traction pure, le mode 2 de cisaillement pur et le mode 3 de torsion pure. Cependant, la plupart des cas réels de chargement notamment sur les matériaux composites sont des combinaisons de ces trois modes différents. Ainsi, il est nécessaire de prendre en compte l’interaction entre ces modes dans la modélisation de l’interface.

Deux types de critère peuvent être utilisés sur Abaqus pour définir le mode mixte de délaminage ; un basé sur les séparations en traction et l’autre sur les énergies. [109]

On a utilisé dans notre étude un critère énergétique développé par Benzeggagh et Kenane [83]. En effet, la propagation de l’endommagement est définie par le taux de restitution d’énergie appelée aussi ténacité de rupture inter-laminaire qui est l’énergie libérée lorsque la fissure se propage. En fait, on considère qu’il y a rupture si le taux de restitution d’énergie est supérieur à l’énergie de cohésion.

Ce critère est défini par l’équation suivante : 𝑮𝑪 = 𝑮𝑰𝒄+ ((𝑮𝑰𝑰𝒄 − 𝑮𝑰𝒄)𝑮𝑰𝑰

𝑮𝑻+(𝑮𝑰𝑰𝑰𝒄 − 𝑮𝑰𝒄)𝑮𝑰𝑰𝑰

𝑮𝑻)(𝑮𝑰𝑰+𝑮𝑰𝑰𝑰

𝑮𝑻 )𝜼 (3.67) Les énergies critiques

G

c,

G

cet

G

c sont des paramètres caractéristiques à définir. η est aussi un paramètre du modèle de l’interface appelé propriété cohésive qui peut être déterminé à partir de l’équation précédente en identifiant 𝑮𝑰𝒄, 𝑮𝑰𝑰𝒄 , 𝑮𝑰𝑰𝑰𝒄 , 𝑮𝑪

L’identification de ces paramètres fera l’objet de la section suivante.