Dans le cadre de la méthode DEM, l’équation de mouvement de Newton est appliquée à chaque grain. Le grain peut être soumis à des efforts de contact, à des efforts de frottement, de cohésion, d’agglomération etc. Pour une loi de contact inter-granulaire standard (intégré dans EDEM sous le nom ‘Hertz-Mindlin’), ces efforts comprennent des raideurs de contact dans les directions normale et tangentielle, un effet d'amortissement dans les deux directions et un effet de frottement tangentiel.
L’équation [2] de la dynamique de chaque grain est donnée-ci-dessous où mi représente la masse du grain ; xi le vecteur position et la somme ∑ Fi, la résultante des forces subiespar ce grain :
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L’effort normal de contact est la conséquence de la déformation élastique de la zone de contact.
Les déformations restent en général négligeables devant la taille des particules solides en contact. Dans le cadre de la méthode DEM, le postulat est que les grains restent rigides et indéformables mais qu'ils ont la possibilité de s'interpénétrer légèrement. L'effort de contact est proportionnel à la profondeur de cette interpénétration ; c’est un effort répulsif qui tend à s'opposer à l'interpénétration. Le coefficient de raideur de cet effort est un paramètre qui dépend des propriétés élastiques des grains (module de Young, coefficient de Poisson) mais qui doit être corrigé par l’utilisateur de façon que l'interpénétration entre les grains reste limitée. De manière pratique, par le biais d’un ajustement des propriétés des grains (réduction de la valeur du module d’élasticité ou de cisaillement), on modifie le coefficient de raideur pour limiter l'interpénétration au centième ou au millième du plus petit diamètre des grains. Cependant, les propriétés des grains influent aussi fortement sur la valeur du plus petit pas de temps de calcul admissible. Un compromis doit donc être trouvé avec des valeurs ajustées en limitant l’interpénétration mais n’allongeant pas le pas de temps de base.
Pour tenir compte de la dissipation de l’énergie lors du contact des grains, la manière la plus simple est d'introduire un amortissement visqueux en parallèle de la raideur normale de contact, c’est-à-dire une force proportionnelle à la vitesse normale relative des grains. Le coefficient d’amortissement est normalement évalué à partir d’un paramètre empirique appelé coefficient de restitution. Ce dernier est en fait le rapport de la vitesse de séparation (après la collision) sur la vitesse d’approche (avant la collision) lors d’une collision des grains. Il peut être déterminé en mesurant la hauteur de rebond vertical d’un grain sur une paroi plane ou identifiée.
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Dans la direction tangentielle de contact entre les deux grains, il est nécessaire de prendre en compte le frottement. Ce frottement impose une limite supérieure avant glissement à l'effort tangentiel, limite supposée proportionnelle à la valeur de l'effort normal. Le coefficient de frottement statique est un paramètre physique à mesurer ou à identifier. Il est par définition égal au rapport entre la force tangentielle capable de mettre en mouvement un grain (initialement immobile sur une surface ciblée), et la force perpendiculaire à cette surface appliquée à ce grain. La valeur de ce paramètre peut être identifiée à partir des essais de formation de talus naturel.
L’existence des efforts tangentiels induit la rotation des grains. Une équation de dynamique supplémentaire doit donc être résolue pour permettre d’évaluer les vitesses angulaires des grains. L’hypothèse simplificatrice sous-jacente est que les grains se touchent deux à deux en un seul point de contact, ce qui semble un peu en contradiction avec la notion de zone de pénétration définie ci-avant.
L’utilisation de la loi de contact DEM standard requiert donc d’identifier les propriétés élastiques des grains (avec des ajustements parfois nécessaires) pour évaluer les raideurs normale et tangentielle et deux paramètres empiriques liés à la dissipation d'énergie dans les directions normale (coefficient de restitution) et tangentielle (coefficient de frottement). Dans l’approche simplifiée appliquée dans le cadre de cette étude, la résistance au roulement, la cohésion entre les grains et leur agglomération ne sont pas prises en compte.
Figure 21 : Figure illustrant la géométrie et les forces de 2 grains en interaction en méthode DEM
La figure 21 ci-dessus illustre la géométrie considérée. Deux grains sphériques sont représentés par a et b comme indiqué ; leurs centres de gravité sont respectivement raet rb, leurs vitesses de translation : vaet vb, tandis que leurs vitesses de rotation sont désignées par ωa et ωb, et est positive dans le sens inverse des aiguilles d'une montre dans un plan de coordonnée. Chaque disque a un rayon (R), une masse (m) et un moment d'inertie (I). Deux vecteurs unitaires nab et
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tab perpendiculaires entre eux sont définis, nab étant dirigé selon la ligne reliant les centres de gravité.
Ces deux vecteurs permettent de décomposer la force s'exerçant au point de contact en une force normale et une force tangentielle (dite aussi de cisaillement) pour chaque contact entre particules.
Les simulations ont été réalisées à l’aide du logiciel EDEM, de la société DEM solutions, basée à Edimbourg (Royaume-Uni). Notre choix s’est porté sur ce logiciel car il a une facilité d’utilisation que n’offrait pas le deuxième logiciel présélectionné (PFC de la société ITASCA, France). En effet, EDEM est un logiciel avec une interface utilisateur élaborée, pratique à prendre en main pour tous types d’utilisateurs. Par ailleurs, il permet d’étendre les fonctions de base avec des routines utilisateur que l’on peut ajouter. Cette possibilité va être exploitée pour rajouter un modèle de calcul pour la partie séchage.
Le logiciel nécessite de renseigner les valeurs des paramètres géométriques (dimensions, géométrie et matériaux de l’enveloppe), des particules (tailles, formes, masses, etc.), des modèles d’interactions (particules-enveloppe ; particules-particules) et la façon de générer les particules (nombre, débit, formation du lit initial, etc.).
Le modèle de contact utilisé pour toutes les simulations est celui de Hertz-Mindlin sans glissement ; ce modèle est réglé par défaut dans le logiciel EDEM (cf paragraphe précédent.).
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