La boucle de Polyakov est une boucle de Wilson calcul´ee dans le cadre d’un r´eseau euclidien o`u l’on a impos´e des conditions de p´eriodicit´e sur la variable temporelle. Le formalisme euclidien permet de faire des calculs `a l’´equilibre `a temp´erature finie. L’inverse de la temp´erature du syst`eme est alors not´e β. Dans un mod`ele de pure jauge, la fonction de partition d’un syst`eme de gluons en pr´esence de quarks statiques s’´ecrit alors :
ZQ(β, ~x) = Z
D[A, ψ,ψ]e¯ −SpurejaugeL(~x). (3.3) avec L(~x) la boucle de Polyakov d´efinie de la mani`ere suivante :
L(~x) = 1
Nc ´etant le nombre de couleur et Trc la trace sur la couleur.
Nous verrons plus en d´etail, dans les chapitres suivants, la mani`ere dont la temp´erature et la boucle de Polyakov sont utilis´ees pour d´ecrire le plasma.
Cet objet servira de param`etre d’ordre pour la transition de d´econfi-nement.
On verra que la boucle de Polyakov est sensible `a la brisure spontan´ee de la sym´etrie de jauge que l’on peut lier au d´econfinement.
3.3 Conclusion
Dans cette premi`ere partie, nous avons vu que de nombreuses indica-tions exp´erimentales permettaient de supposer la formation d’un plasma de quarks et de gluons lors des collisions d’ions lourds dans les acc´el´erateurs.
Pour d´ecrire ce milieu, plusieurs options s’offrent alors `a nous. La premi`ere est d’utiliser la th´eorie donnant les pr´edictions les plus pr´ecises sur la mati`ere interagissant fortement : la QCD. Malheureusement, cette th´eorie n’est pas applicable aux ´echelles d’´energie concern´ee. Un deuxi`eme option est de discr´etiser l’espace-temps et d’effectuer, comme nous venons de l’aborder, des calculs sur r´eseau. Enfin, une troisi`eme option consiste `a utiliser des mod`eles effectifs.
Deuxi` eme partie
Un mod` ele effectif de la QCD
Les calculs analytiques ´etant impossibles `a basse ´energie et la QCD sur r´eseau ´etant limit´ee au domaine de tr`es faible potentiel chimique, l’utilisation de mod`eles effectifs s’impose pour d´ecrire le diagramme de phaseT−µ. On se limitera `a des syst`emes dont la dynamique est contenue dans le lagrangien de la QCD.
A part pour quelques r`egles de somme, il est aujourd’hui difficile de` tirer de la QCD des informations concernant les propri´et´es de basse ´energie des hadrons de mani`ere analytique. La th´eorie des perturbations ne permet effectivement pas de calculer des quantit´es telles que les masses hadroniques, les largeurs de r´esonances ou les longueurs de diffusion. Dans le cadre de l’´etude de la transition entre mati`ere hadronique et plasma de quarks et de gluons, un mod`ele effectif sera utilis´e : le mod`ele Nambu–Jona-Lasinio (NJL) ainsi que l’une de ses extensions : le mod`ele Polyakov–Nambu–Jona-Lasinio (PNJL).
Le mod`ele NJL a d’abord ´et´e introduit afin de d´ecrire les interactions entre nucl´eons et incorpore d´esormais les quarks comme degr´es de libert´e.
Un aspect essentiel de ce mod`ele est qu’il est construit avec un lagrangien respectant la sym´etrie chirale pr´esente en QCD.
Chapitre 4
Quels ´ el´ ements pour fabriquer une th´ eorie effective de QCD ?
4.1 El´ ´ ements de la th´ eorie des transitions de phase
D’apr`es la th´eorie de Ginzburg-Landau, on peut fabriquer une th´eorie effective `a partir d’une th´eorie plus globale en se basant sur les sym´etries du lagrangien initial ainsi qu’en incorporant des param`etres d’ordre d´ecrivant la transition.
4.1.1 Le param`etre d’ordre
Ce qui caract´erise une transition de phase est la discontinuit´e ou la di-vergence de certaines propri´et´es du syst`eme lors de la petite modification d’un param`etre. Le passage d’une phase `a l’autre s’accompagne souvent d’un changement de sym´etrie. La phase ordonn´ee, en r`egle g´en´erale celle de basse temp´erature, est moins sym´etrique que la phase d´esordonn´ee : c’est l’apparition de l’ordre qui provoque la perte de sym´etrie. Cette perte est d´ecrite grˆace `a une variable appel´ee ”param`etre d’ordre” qui prend une va-leur nulle dans la phase sym´etrique et non nulle dans la phase ordonn´ee.
Lorsque le groupe de sym´etrie de la phase ordonn´ee (de basse temp´erature) est un sous-groupe de celui de la phase sym´etrique (de haute temp´erature), on peut utiliser la classification de Landau selon laquelle la transition est de premier ordre si le param`etre est discontinu et de second ordre s’il est continu et que sa d´eriv´ee diverge. Lorsque le param`etre est continu et qu’au-cune divergence de sa d´eriv´ee n’apparaˆıt, on parlera d’une transition de type crossover, le param`etre en question n’est alors plus, `a proprement parler, un param`etre d’ordre mais seulement une donn´ee caract´erisant l’´evolution du crossover. On peut quand mˆeme d´efinir une ligne de transition dans le
dia-gramme de phase pour ce dernier cas, en prenant comme point de transition le point o`u la d´eriv´ee du param`etre est extr´emale. On peut se permettre d’utiliser plusieurs crit`eres pour caract´eriser la transition. Ce qui importe est alors que les diff´erents crit`eres convergent lorsque le crossover devient une v´eritable transition de phase.
4.1.2 Brisure de sym´etrie
Lorsque l’´etat de plus basse ´energie d’un syst`eme ne poss`ede pas la sym´etrie compl`ete de l’espace ou du hamiltonien d´ecrivant les interactions, on dit que la sym´etrie est bris´ee spontan´ement. Ce type de brisure est `a opposer `a la brisure explicite se produisant lorsqu’il existe, d`es le d´epart, un terme brisant la sym´etrie dans le hamiltonien ou dans le lagrangien de la th´eorie. Selon le th´eor`eme de Goldstone [40], lors d’une brisure spontan´ee de sym´etrie continue, il apparait une excitation de masse nulle appel´ee boson de Goldstone.
Un des aspects centraux du mod`ele que nous allons pr´esenter est la brisure d’une sym´etrie particuli`ere : la sym´etrie chirale.