L’algorithme de Levenberg-Marquardt dans la méthode des moindres carrés

P T

7 8

De plus, dans un souci d’optimisation du temps, le modèle direct ne considère plus un calcul raie-à-raie pour chaque couche atmosphérique, mais il utilise des intensités d’absorption

pré-calculées raies-à-raies ( ,cf section 2.1.5) pour différents couples de

pression et de température recouvrant le domaine atmosphérique. Les sections efficaces pour l’espèce cible dans l’intervalle spectral considéré sont calculées une fois pour toutes et sont regroupées dans une table (look-up tables). Le calcul du spectre atmosphérique couche à couche se base alors sur une interpolation linéaire pour la température et le logarithme de la pression. Les pas de grille en température et en pression déterminent la qualité de l’inversion et sont déterminés de telle sorte que la différence entre les spectres synthétiques résultant d’une part, d’un calcul raie-à-raie, et d’autre part, d’une interpolation des sections efficaces pour des couples fixes de pression et température, ne dépassent pas la valeur du bruit radiométrique de l’instrument. Les tables ont été construites avec un échantillonnage de 0.025 cm^-1 (soit un sur-échantillonnage de 10 vs l’échantillonnage de 0.25 cm^-1 des spectres IASI).

( ) ( , , j V j j T C D E C C$

F

Les spectres de radiance sont ensuite convolués avec la fonction d’instrument IASI (représentée par une fonction gaussienne de 0.5 cm^-1 de largeur à mi-hauteur) et ensuite re-échantillonnés selon l’échantillonnage spectral de IASI.

Notons que l’utilisation de look-up tables est une méthode couramment utilisée pour un calcul de spectres atmosphériques en traitement rapide ou lors d’inversion dans des fenêtres spectrales relativement grandes.

3.5 L’algorithme de Levenberg-Marquardt dans la

méthode des moindres carrés

Nous avons précédemment décrit la méthode itérative de Gauss-Newton utilisée dans le formalisme de la méthode d’estimation optimale implémenté dans Atmosphit et dans

FORLI. De manière similaire à la méthode de Gauss-Newton, l’approche de Levenberg-Marquardt, généralement utilisée dans la méthode des moindres carrés, consiste en une procédure qui permet d’améliorer à chaque étape d’un processus itératif, les valeurs initiales d’un ensemble de paramètre, en minimisant la fonction coût suivante:

7

8

@ _!& _{$ $} '

L’approche de Levenberg-Marquardt est particulière dans la mesure où elle s’adapte à la forme de la fonction coût, d’une part par le calcul du gradient qui donne la direction de la plus grande pente (méthode efficace loin du minimum) et d’autre part, par le calcul de la dérivée seconde (hessien) de la fonction coût (méthode efficace au voisinage du minimum). Cette minimisation effectue ainsi un compromis entre la direction du gradient et la direction donnée par la méthode de Gauss-Newton. C’est une méthode itérative qui modifie à chaque étape l’importance relative des deux processus permettant de minimiser@².

Pour un problème de moindre carré non linéaire, la solution est obtenue après convergence selon :

7 8

7 8

oùG est un coefficient d’amortissement positif, choisi à chaque étape pour minimiser la fonction coût @². Si G_i tend vers 0, la méthode répond au Hessien, alors que si G_itend versH, elle suivra le gradient de la plus grande pente. Le meilleurG_i n’est pas recherché, mais à chaque itération, dès que la fonction coût diminue pour n’importe quel

choisi à chaque étape pour minimiser la répond au Hessien, alors que si G_itend n’est pas recherché, mais

(3.48)

i

G , on recommence

une nouvelle itération.

Notons que cette méthode ne considère aucune contrainte sur la réalité physique des solutions durant l’inversion.

Pour un problème mal-posé comme l’inversion d’un profil vertical à partir d’une observation au nadir, il est probable que la solution déterminée par cette procédure corresponde effectivement à un minimum de la fonction coût mais ne représente aucune réalité physique. Cet aspect indésirable de l’inversion est minimisé dans la méthode de l’estimation optimale par l’ajout d’une contrainte apportée par l’informationa priori et par la matrice de covariance associée. Elle permet d’amortir la méthode des moindres carrés en tenant compte des fluctuations acceptables autour de l’a priori.

En revanche, la méthode des moindres carrés est appropriée pour les inversions de mesures effectuées au limbe (ou en occultation solaire) où la résolution verticale est telle que chaque mesure est représentative d’une concentration à une altitude déterminée et relativement peu corrélée aux mesures provenant des autres altitudes.

L’algorithme de Levenberg-Marquardt dans la méthode des moindres carrés est la méthode d’inversion utilisée pour le traitement des mesures ACE-FTS/Scisat-1 (Bernath et al., 2005 ; Boone et al., 2005).

3.6 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons détaillé en particulier, la méthode d’inversion de

l’estimation optimale (OEM). Le formalisme matriciel développé par Rodgers est

remarquable car il permet une caractérisation complète de l’information contenue dans le spectre et un calcul du bilan d’erreur. L’OEM est une méthode statistique qui consiste en une combinaison de la mesure et d’une connaissance a priori de l’état recherché à l’aide du théorème de Bayes. L’informationa priori de l’état représente une contrainte nécessaire pour compléter l’information limitée contenue dans la mesure en tenant compte des incertitudes a priori autour de la solution a priori. La matrice de covariance a priori doit idéalement représenter la variabilité naturelle de l’état mesuré et le profil a priori, l’état réel moyen. Les

quantités restituées sur base de cette méthode se complètent par une matrice de covariance associée à l’erreur d’inversion.

Les outils qui ont été utilisés dans ce travail de thèse pour l’inversion et la caractérisation des données inversées reposent sur ce formalisme. Ils sont implémentés dans Atmosphitet FORLI, les programmes d’inversion des spectres d’absorption IR mesurés au nadir. Ils permettent également de caractériser les quantités mesurées en terme de sensibilité, de contenu en information et des différentes sources d’erreur.

L’analyse de sensibilité consiste premièrement en une analyse des jacobiens. Ceux-ci fournissent une évaluation qualitative de la distribution de la sensibilité et permettent d’estimer le mode de variation du profil qui correspond à la sensibilité la plus importante. L’analyse du contenu en information permet ensuite de séparer les composantes du profil qui proviennent effectivement de la mesure des composantes qui proviennent de l’état a priori et de quantifier le nombre d’informations indépendantes contenu dans la mesure. Enfin, la caractérisation des différents termes d’erreur permet de quantifier les incertitudes sur l’inversion. L’erreur de lissage résulte d’une sensibilité verticale limitée. L’erreur sur la mesure résulte du bruit radiométrique associé à la mesure ainsi que des erreurs dûes aux incertitudes sur le modèle direct. La mesure de l’acide nitrique au départ des spectres IR IMG et IASI (voir chapitres 5 et 6) repose sur cette méthode.

Finalement, nous avons brièvement décrit la méthode d’inversion utilisée pour l’inversion des spectres observés par ACE-FTS. L’analyse des concentrations de HNO3 mesuré par ce sondeur est présentée dans le chapitre suivant.