Jonctions tunnels de grande conductance

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 93-97)

Un premier moyen d’augmenter le couplage entre l’ˆılot et le circuit consiste `a multi-plier le nombre de canaux dans la jonction tunnel en agrandissant sa taille. Chaque ca-nal r´ealise un couplage faible, mais l’ensemble r´ealise un couplage fort (GL,R&1/RK).

Il est alors pr´edit [133, 134] que les fluctuations quantiques de la charge de l’ˆılot d´ e-truisent progressivement sa quantification. Cela se traduit sur la forme des oscillations de Coulomb : les pics sont ´elargis, le maximum de la conductance tend vers z´ero en 1/log(T) `a basse temp´erature, et l’´energie de charge est effectivement r´eduite. La th´ eo-rie n’est pas quantitative car interviennent des param`etres renormalis´es dont le lien avec les param`etres r´eels n’est pas connu, mais elle a pu ˆetre confirm´ee exp´ erimentale-ment `a un niveau qualitatif [132].

Chapitre 7

Ilot coupl´ e par des contacts ponctuels quantiques

Nous consid´erons maintenant le cas o`u l’ˆılot m´etallique est connect´e `a deux contacts ponctuels quantiques (figure 5.1). Nous commen¸cons pour cela par mentionner une analogie entre le hamiltonien tunnel du chapitre pr´ec´edent et le mod`ele Kondo, laquelle permet notamment d’estimer qualitativement le comportement du circuit pour toutes valeurs des conductances GL et GR des canaux des Qpc. Nous ´etudierons ensuite certaines limites dans lesquelles les oscillations de Coulomb peuvent ˆetre calcul´ees quantitativement.

7.1 Analogie avec l’effet Kondo

7.1.1 Dans la limite GL,R 1/RK

Aux ´energies eV, kBT Ec o`u seuls deux ´etats de chargenet n+ 1 peuvent ˆetre atteints par les processus r´eels et virtuels, il a ´et´e observ´e dans les r´ef´erences [135, 136]

que le hamiltonien tunnel du chapitre pr´ec´edent est identique au hamiltonien du mod`ele Kondo anisotrope [137] :

HKondo= X

k,s,m

kaksmaksm+BKSz+ X

k,s,k0,s0,m

Jm σss+0Sss0S+

aksmak0s0m,

o`u l’op´erateuraksncr´ee un ´electron d’´energiek et de spins=↑,↓dans lani`emebande de conduction, et les matrices Sz,± agissent sur le spin de l’impuret´e Kondo1. Dans cette analogie, les ´etats«up»et«down»du spin de l’impuret´e Kondo correspondent aux ´etats de charge netn+ 1, les ´etatss=↑et↓du spin d’un ´electron de conduction correspondent, respectivement, `a la position de l’´electron `a l’int´erieur et `a l’ext´erieur de l’ˆılot, le champ magn´etiqueBK =Ec[1 + 2(n−ng)], etJm correspond au couplage λd’un canal m.

1. S±est une combinaison lin´eaire des matrices de Pauli :S±=Sx±Sy. Idem pourσ±.

93

Physiquement, cette analogie signifie que, de la mˆeme mani`ere que le spin des

´

electrons de conduction ´ecrante le spin de l’impuret´e Kondo, les paires particule-trou virtuelles cr´e´ees de part et d’autre des jonctions ´ecrantent la charge de l’ˆılot. La charge de l’ˆılot est d’ailleurs directement reli´ee au spin de l’impuret´e Kondo selon la relation suivante : hQi=e 12 − hSzi

.

Une cons´equence importante de cette analogie est que le nombre de canaux connec-t´es `a l’ˆılot est d´eterminant [138]. Avec deux Qpcen effet Hall quantique, o`u la d´eg´ e-n´erescence de spin est lev´ee, on arrive `a un effet Kondo `aN = 2 canaux ; `a champ nul, N = 4 ; et avec deux jonctions tunnels m´etalliques,N 1. Or le nombre de canaux est crucial pour l’effet Kondo. Le comportement d’un Qpcde transmissionGL,R 1/RK

peut donc ˆetre tr`es diff´erent de celui d’une jonction tunnel de mˆeme conductance. Par exemple, il est bien connu que dans le mod`ele Kondo `a N = 2 canaux (Qpc sans spin), les constantes de couplage ne cessent de croˆıtre en diminuant la temp´erature si BK = 0. Le maximum des oscillations de Coulomb du Qpc doit donc, `a tr`es basse temp´erature, remonter jusqu’`a e2/2h.

On se donne un aper¸cu du comportement du circuit avec l’expression suivante de la renormalisation des conductances des Qpc`a basse ´energie :

GKondoL,R (T) = GL,R cos2 p

RKGL,Rξ/π , avec ξ= log Ec

max(kBT,∆), (7.1) qui est valable tant que GKondo e2/h. La conductance du circuit se d´eduit en rem-pla¸cant GL,R par sa valeur renormalis´eeGKondoL,R (T) dans les expressions (6.4) et (6.5) du transfert de charge s´equentiel et du cotunneling. Hors r´esonance (∆6= 0), la conduc-tance diminue donc toujours en T2 aux temp´eratures kBT ∆. `A la r´esonance (∆ = 0), en revanche, on trouve que la conductance croˆıt au fur et `a mesure que la temp´erature diminue, jusqu’`a diverger en TK = kEc

B exp −π2

2

RKGL,R

. Cette diver-gence signifie que l’expression ci-dessus n’est valable qu’aux temp´eratures T TK et que GL,R≈e2/haux temp´eratures T .TK.

7.1.2 Vue d’ensemble

Le fait que la conductance `a la r´esonance remonte `a des valeurs ≈e2/hmˆeme en partant de Qpcdont les conductances intrins`eques sont tr`es inf´erieures `ae2/hsugg`ere une certaine universalit´e des caract´eristiques de la solution (7.1). En s’appuyant dessus et avec des arguments de «scaling», Furusaki et Matveev [68] ont dress´e une vue d’ensemble qualitative du comportement du circuit (figure 7.1).

Hors r´esonance, que la d´eg´en´erescence de spin soit lev´ee ou non dans le Qpc, le couplage faible est le seul point fixe stable et la diminution en T2 de la conductance est universelle.

Chapitre 7. Ilot coupl´e par des contacts ponctuels quantiques 95

A la r´` esonance, il faut distinguer plusieurs cas :

— si les Qpc sont asym´etriques (GL 6=GR), alors l’asym´etrie – qui est une per-turbation pertinente au sens du groupe de renormalisation – ne va cesser de croˆıtre jusqu’`a ce que la plus grande des deux conductances tende vers e2/het la plus petite vers z´ero ;

— dans le cas sym´etrique et avec la d´eg´en´erescence de spin lev´ee, le couplage faible est un point fixe instable tandis que le couplage fort est stable : les deux canaux verront leur conductance converger vers e2/h;

— dans le cas sym´etrique et avec des ´etats de spin d´eg´en´er´es, ni le couplage fort, ni le couplage faible ne sont des points fixes stables et les conductances convergeront vers une valeur interm´ediaire .e2/h.

0 e2

Figure 7.1 –Diagramme de flot des conductances GL etGR des canaux des QPC.

Les fl`eches montrent l’´evolution deGL et GR lorsque l’´energie d´ecroˆıt. `A gauche (hors r´ eso-nance, avec ou sans spin), toutes les configurations ´evoluent vers le couplage faible. Au milieu (`a la r´esonance, sans spin), les configurations sym´etriques ´evoluent vers le couplage fort et les configurations asym´etriques ´evoluent vers une asym´etrie de plus en plus forte. `A droite (`a la esonance, avec spin), les configurations sym´etriques ´evoluent vers un couplage interm´ediaire d’ordre e2/h et les configurations asym´etriques ´evoluent vers une asym´etrie de plus en plus forte. On remarquera que, GL et GR esignant les conductances des canaux, en pr´esence du spin o`u il y a deux canaux identiques dans chaque Qpc, la conductance d’un Qpcest ´egale `a 2×GL,R.

La remont´ee `a e2/h de la conductance dans le cas sym´etrique et en l’absence de spin est confort´ee par deux autres r´esultats. Premi`erement, il a ´et´e montr´e [67] que le hamiltonien (7.2) que nous verrons plus loin (il d´ecrit le circuit au voisinage du point fixe de couplage fort), est identique (en posant V = 0 et |rL|=|rR|) au hamiltonien de l’effet Kondo `a deux canaux dans la limite de Toulouse [139]. Deuxi`emement, des calculs num´eriques montrent que la capacit´e de l’ˆılot – qui correspond `a la suscepti-bilit´e magn´etique du spin de l’impuret´e Kondo – diverge logarithmiquement `a basse temp´erature, quelle que soit la valeur de GL,R [140, 141]. Il existe donc `a la fois une analogie formelle avec l’effet Kondo aux deux «extr´emit´es» que sont les points fixes de couplage fort et de couplage faible et de forts indices num´eriques entre les deux.

Mentionnons pour finir que la temp´erature Kondo est bien approxim´ee parTK quelles que soient les conductances GL,R, d’apr`es les calculs num´eriques de la r´ef´erence [140].

7.1.3 L’effet Kondo de charge est-il observable exp´erimentalement ? Pour estimer si la remont´ee de la conductance que Furusaki et Matveev pr´edisent lorsqueGL=GRest mesurable, on utilise la solution (7.1) qui nous donne l’´echelleTK de cette remont´ee dans le r´egime de couplage faible. AvecRKGL,R= 0.1, on trouve : TK ≈ 1.7×10−7Ec/kB ≈ 50 nK (Ec ≈ 300 mK dans notre syst`eme exp´erimental).

Aucune chance donc de voir la remont´ee avec un couplage faible. Si on se permet d’utiliser cette solution dans le r´egime de couplage fort, RKGL,R= 0.9, pour estimer qualitativement la mesurabilit´e de l’effet, on trouve TK ≈1.7 mK. Cette temp´erature n’est pas totalement n´egligeable compar´ee `a celle d’un r´efrig´erateur `a dilution entre 10 et 20 mK ; cependant, l’amplitude de la remont´ee est naturellement limit´ee par le fait que la conductance de d´epart est d´ej`a proche dee2/h. Les conductances interm´ e-diaires, RKGL,R ≈0.5, devraient donc ˆetre plus propices. On trouve : TK = 0.3 mK.

Cette temp´erature est tr`es faible, mais la lente d´ependance logarithmique donne : GKondoL,R (30 mK) = 0.66 e2/h et GKondoL,R (10 mK) = 0.96 e2/h. La diff´erence entre ces deux conductances est tr`es clairement mesurable ; on s’attend bien sˆur `a ce que la re-mont´ee r´eelle soit plus faible, mais elle resterait mesurable mˆeme si elle ´etait inf´erieure d’un ordre de grandeur ; nos r´esultats exp´erimentaux montreront que c’est le cas.

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 93-97)