Ayant une description hamiltonienne (2.3) de l’environnement, nous d´ecrivons maintenant son effet sur une jonction tunnel en suivant la r´ef´erence [26]. Une jonc-tion tunnel est constitu´ee de deux ´electrodes m´etalliques, L et R, s´epar´ees par une fine couche isolante. Dans ces ´electrodes, les ´electrons vivent sous la forme de quasi-particules neutres qui sont d´ecrites par le hamiltonien suivant :
Hα =X
k
αkc†αkcαk , α={L,R}, (2.8)
et sont `a l’´equilibre thermodynamique : hc†αkcα0k0i = δα,α0δk,k0f(αk), o`u f() est la fonction de Fermi. Si le temps que met un ´electron `a traverser la jonction par effet tunnel, puis le temps que met sa charge `a s’´etaler sur la surface de la jonction, sont n´egligeables, alors un ´ev`enement tunnel se r´esume `a d´etruire une quasi-particule d’un cˆot´e de la jonction, en cr´eer une autre du cˆot´e oppos´e et modifier d’une quantit´e e la charge Q du condensateur C que forme naturellement la jonction4. Ce processus est r´ealis´e par le terme suivant :
HT =λX
k,k0
c†LkcRk0e−ieΦ/~+ h.c.
, (2.9)
o`u l’exponentielle est l’op´erateur«translation»de la charge du condensateur : eieΦ/~Qe−ieΦ/~ =Q−e.
Il implique un couplage hautement non-lin´eaire entre les quasi-particules et les modes photoniques du circuit et sera responsable de la modification de la caract´eristique I-V de la jonction.
Si la jonction est tr`es opaque, c.-`a-d. que sa conductance intrins`eque G∞ est telle
4. Mˆeme si le conducteur coh´erent avait une forme plus complexe – un Qpcen effet Hall quantique p. ex. – on pourrait toujours d´efinir une influence capacitive entre les deux bornes du conducteur coh´erent.
Chapitre 2. ´Etat des lieux th´eorique 37
que G∞ 1/RK, les deux ´electrodes sont faiblement coupl´ees par HT. On calcule alors le courant en perturbation par rapport `aHT au moyen de la r`egle d’or de Fermi :
Γi→f = 2π
~
|hf|HT|ii|2δ(Ei−Ef). (2.10) Si de plus G∞ 1/Re(Z), alors le temps entre deux ´ev`enements tunnels cons´ecutifs est beaucoup plus grand que le temps de relaxation du circuit et les ´etats initiaux |ii sont les ´etats d’´equilibre thermodynamique deHL+HR+Henv. Sous ces conditions, en supposant de plus la densit´e d’´etat νF approximativement constante aux ´energies sond´ees, on trouve l’expression suivante du courant ´electrique moyen :
I(V) = G∞ conduc-tance intrins`eque de la jonction tunnel et P(E) est une densit´e de probabilit´e. Elle s’exprime comme suit : bornes de la jonction tunnel (voir ´eq. (2.6)). L’´equation (2.11) admet une interpr´etation physique simple (figure 2.3A). Le premier terme de l’int´egrande d´ecrit le transfert d’un
´
electron de la gauche vers la droite (et inversement pour le second) : f(E−eV) est la probabilit´e que l’´etat d’´energie E soit occup´e `a gauche (eV est le d´ecalage du niveau de Fermi de l’´electrode par la source de tension) ; 1−f(E0) est la probabilit´e que l’´etat d’´energieE0 soit vide `a droite (condition impos´ee par le principe d’exclusion de Pauli) ;P(E−E0) est la probabilit´e que l’´energie ∆E=E−E0 des photons ´emis par l’´electron soit absorb´ee par l’imp´edance. `A basse ´energie, la conductance de la jonction est r´eduite car les transitions in´elastiques telles que ∆E > eV, kBT sont interdites par le principe de Pauli. Ceci apparaˆıt clairement sur l’expression de la conductance diff´erentielle,G=∂I/∂V, `a temp´erature nulle :
G(V, T = 0) =G∞
Z eV 0
P(∆E)d∆E
La fonctionP(E), ´el´ement central de cet th´eorie, est repr´esent´ee `a titre d’exemple sur la figure 2.3B dans quatre situations :
— Z = 0⇒P(E) =δ(E) : l’´electron traverse la jonction ´elastiquement.
— Z =∞ ⇒P(E) =δ(E−Ec) : l’´electron doit fournir l’´energie de charge Ec.
— Zt = RC ⇒ la fonction P(E) est, par rapport au cas pr´ec´edent, ´elargie par les fluctuations quantiques de la charge Q de la capacit´e C et son centre d´ecal´e en E =h/RC.
— Zt =LC ⇒P(E) =
ke−ρ ρk!kδ(E−kωLC) : des photons sont ´emis ind´epen-damment dans le r´esonateur, selon une loi poissonienne de param`etreρ=Ec/ωLC.
eV E
Δ� � ( Δ � )
Δ� / �
�A B
Figure 2.3 – Bilan ´energ´etique d’un ´ev`enement tunnel `a temp´erature nulle. Le sch´ema de gauche montre le saut d’un ´electron de la gauche `a la droite de la barri`ere tunnel (repr´esent´ee en jaune). Les mers de Fermi des quasi-particules sont repr´esent´ees en gris de part et d’autre de la barri`ere. Lorsqu’un ´electron traverse la barri`ere, il excite les modes du circuit et perd une ´energie ∆E. Seules sont permises les transitions aboutissant au-dessus du niveau de Fermi. Les autres, bloqu´ees par le principe de Pauli, induisent une r´eduction de la conductance
`a basse ´energie. Le graphique de droite montre la probabilit´e P(∆E) que l’environnement absorbe l’´energie ∆E : les droites verticales en tirets correspondent aux imp´edances Z = 0 (droite d’abscisse ∆E = 0) et Z = ∞ (abscisse ∆E = Ec) ; les droites continues verticales correspondent `a un circuit LC tel que ρ= 5.5 ; et la courbe continue bleue correspond `a un circuit RC avec une r´esistanceR=RK.
Cette th´eorie standard du blocage de Coulomb dynamique permet de calculer la conductance5 d’une petite jonction tunnel opaque en pr´esence de n’importe quelle im-p´edance s´erie. Elle a ´et´e g´en´eralis´ee `a des jonctions ´etendues o`u la charge ne s’´etale pas instantan´ement sur toute la surface du condensateur C [35]. Un ´electron qui tra-verse la jonction«voit»alors une imp´edance effective d´ependant de la dynamique de l’´etalement de la charge. Elle a aussi ´et´e g´en´eralis´ee au cas o`u l’´electron ne traverse pas instantan´ement la jonction [25]. Enfin, pour une jonction tunnel non-opaque – c.-`a-d.
que ses canaux, bien que de tr`es faibles transmissions, sont suffisamment nombreux pour queRKG∞1 – la jonction «se court-circuite elle-mˆeme»: un ´electron trans-f´er´e par un canal peut s’´ecouler du condensateur C non seulement par l’imp´edance s´erie mais aussi par les autres canaux. Il a ´et´e montr´e exp´erimentalement que ces autres canaux peuvent ˆetre mod´elis´es par une imp´edance lin´eaire d´etermin´ee dans une approche de champ moyen [106].
5. Le calcul ici limit´e `a fr´equence nulle peut ˆetre effectu´e `a fr´equence finie [106]. D’autres quantit´es comme le bruit peuvent ´egalement ˆetre calcul´ees et mesur´ees [37, 38].
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