• Aucun résultat trouvé

Introduction de la temp´erature et du potentiel chimique

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 80-85)

Int´eressons-nous `a la d´ependance en temp´erature des masses des quarks habill´es et des m´esons.

5.4.1 Le formalisme de Matsubara

La physique des milieux ´etudi´es ici, en particulier du QGP, est `a la fronti`ere entre la physique des particules et la physique statistique, elle doit donc combiner des concepts et des m´ethodes des deux domaines. Ainsi on associe `a des ´el´ements issus de la QCD des ´el´ements de thermodynamique permettant de rendre compte de l’aspect macroscopique de la physique nucl´eaire. Parmi ces ´el´ements, la temp´erature tient une place de premier choix. `A temp´erature nulle, le propagateur du quark habill´e s’´ecrivait :

S(~p, p0) = 1

p/−m. (5.55)

Afin de tenir compte de la temp´erature, on ´ecrit ce propagateur dans le for-malisme de Matsubarai.e.avec une fonction de Green en temps imaginaire (τ =it) : temp´erature etH le hamiltonien du syst`eme. Pour les fermions, cette fonc-tion est antip´eriodique sur un intervalleβ :

S(~x−~x, τ −τ)|τ−τ=0=−S(~x−~x, τ −τ)|τ−τ (5.57)

Elle s’´ecrit donc de la mani`ere suivante en fonction de sa transform´ee de avec ωn = ±(2n + 1)π/β appel´ees fr´equences de Matsubara n ´etant un entier. Avec le mˆeme type de raisonnement qu’`a temp´erature nulle, on ´ecrit la fonction de Green pour une particule libre de masse m de la mani`ere suivante :

S(~p, ωn) = 1

p/n−m (5.59)

avec pn= (~p, iωn).

On a ainsi abandonn´e la variable temporelle et ajout´e la variable de temp´erature. Cette description est ad´equate pour l’´etude des syst`emes `a l’´equilibre et thermalis´es. On supposera ainsi que les diff´erents milieux ex-plor´es (phase hadronique, plasma...) respectent ces conditions.

5.4.2 Prise en compte du potentiel chimique

Le potentiel chimique µ est la variable de Legendre associ´ee au nombre de particule N. On ajoute donc un terme µN au lagrangien qui devient : L = ¯Ψ(i∂/−m)Ψ +µN +G[( ¯ΨΨ)2+ ( ¯Ψiγ5~τΨ)2]. Or, N = ΨΨ = ¯Ψγ0Ψ, On effectue alors la d´ecomposition suivante :

S(p, ωn) = p/+m propagateur d’un quark et le second au propagateur d’un antiquark.

La temp´erature et le potentiel chimique sont ainsi int´egr´es de fa¸cons tr`es diff´erentes au mod`ele. Ces modifications ont des r´epercussions sur les relations calcul´ees `a partir du mod`ele, en particulier sur l’´equation du gap.

5.4.3 Modification de l’´equation du gap

Le d´eveloppement de l’´equation du gap faisait intervenir des termes du type

(voir5.26). D’apr`es 5.58, on remplace

On doit donc calculer des termes du genre : 1 β L’´equation du gap est alors modifi´ee de la mani`ere suivante :

m−m0 = 8mGNcNf On retrouve, la mˆeme expression qu’`a temp´erature et potentiel chimique nuls (voir 5.48) `a part pour le num´erateur qui valait 1 et qui devient 1− f(Ep+µ)−f(Ep−µ).

5.4.4 Etude de la transition chirale´

On peut ainsi calculer l’´evolution de la masse habill´ee des quarks en fonction de la temp´erature pour diff´erents potentiels chimiques : voir figure 5.9. On observe, dans les trois cas, une transition entre une phase `a basse temp´erature o`u la masse habill´ee prend une valeur ´elev´ee (autour de 390 MeV) : la phase de sym´etrie chirale bris´ee et une phase `a haute temp´erature o`um tend versm0 qui correspond `a la phase de sym´etrie chirale restaur´ee.

On constate que plus le potentiel chimique est ´elev´e, plus la transition s’ef-fectue brutalement et `a basse temp´erature : elle apparait autour de 210 MeV si µ= 0 et autour de 110 MeV pour µ = 300 MeV. On observe ´egalement que la courbe pr´esente une zone multi-valu´ee pour un potentiel chimique de 360 MeV. C’est le signe d’une transition de phase de premier ordre : deux solutions m´etastables sont possibles et si l’on force la masse `a ˆetre univalu´ee, la courbe pr´esentera une discontinuit´e en passant abruptement de la solu-tion de sym´etrie bris´ee `a la solution de sym´etrie restaur´ee. Les deux autres transitions correspondent `a des cross-overs. Ainsi,mou plus pr´ecis´ement le condensat : <qq >=¯ m−m0

2G joue bien le rˆole de param`etre d’ordre pour la transition chirale. La valeur du condensat est de l’ordre de Λ3QCD lorsque la sym´etrie est bris´ee et nulle lorsque la sym´etrie est restaur´ee.

5.4.5 Modification de l’int´egrale de boucle et de la polarisa-tion

L’int´egrale de boucle et donc les polarisations scalaire et pseudo-scalaire sont ´egalement modifi´ees par l’introduction de la temp´erature et du potentiel

Fig. 5.9 – Masse habill´ee (en GeV) en fonction de la temp´erature (en GeV

´egalement) pour trois potentiels chimiques diff´erents : 0 MeV ; 0,3 GeV et 0,36 GeV.

chimique. Les termes f(Ep±µ) interviennent ´egalement dans le calcul de l’int´egrale de boucle et donc de la polarisation. On r´e´ecrit alors l’expression deI2(ω,~0) : On retrouve ici la mˆeme modification que dans l’´equation du gap : le num´erateur qui valait 1 devient 1−f(Ep+µ)−f(Ep−µ). D´etaillons plus pr´ecis´ement le calcul de l’int´egrale de boucle.

5.4.6 Evaluation de l’int´´ egrale de boucle par int´egrale de Cauchy

On distingue deux cas pour effectuer le calcul deI2(ω,~0). Dans le premier cas, l’int´egrand de I2(ω,~0) ne comporte pas de pˆole, c’est-`a-dire, ω2−4E2p ne s’annule pas. Cette condition est v´erifi´ee quand ω < 2m et quand ω >

2√

Λ2+m2. On calcule alors l’int´egrale de mani`ere classique et I2(ω,~0) est imaginaire pur. Dans le second cas :ω ∈[2m,2√

Λ2+m2], l’int´egrand com-porte un pˆole. On utilise alors le th´eor`eme de Sokhatsky-Weierstrass :

ǫ→0lim+

la valeur principale de Cauchy : P

La partie imaginaire deI2(ω,~0) se calcule donc `a l’aide de la partie principale de Cauchy tandis que la partie r´eelle provient du terme−iπf(0) :

Re(I2(ω,~0)) = −1

On peut d´esormais calculer les polarisations des m´esons pour chaque temp´e-rature et chaque potentiel chimique. Cela nous donne acc`es `a une quantit´e m´esonique dont on peut tirer de nombreuses informations : la fonction spec-trale.

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 80-85)